संख्या पद्धति: विभाज्यता और शेषफल

{"kind": "quant", "intro_hi": "यह अध्याय SSC Tier-1 में 2-3 और Tier-2 में 3-4 प्रश्नों के साथ अत्यंत महत्वपूर्ण है। इसके नियम निश्चित हैं, इसलिए यह कम समय में पूरे अंक दिलाने वाला विषय है।", "intro_en": "This chapter is crucial with 2-3 questions in SSC Tier-1 and 3-4 in Tier-2. Since the rules are fixed, it is a high-scoring topic that saves time during the exam.", "subtopics": [{"name_hi": "विभाज्यता के नियम और अज्ञात अंक ज्ञात करना", "name_en": "Divisibility Rules and Finding Missing Digits", "explain_hi": "विभाज्यता के नियम (Divisibility Rules) हमें बिना भाग दिए यह बताने में मदद करते हैं कि कोई संख्या किसी अन्य संख्या से पूरी तरह विभाजित होगी या नहीं। 2, 4, 8 के लिए हम अंतिम अंकों को देखते हैं, जबकि 3 और 9 के लिए अंकों के योग (Sum of digits) का उपयोग करते हैं। 11 के लिए विषम और सम स्थानों के अंकों के अंतर को देखा जाता है। संयुक्त विभाजक (Composite Divisors) जैसे 72 के लिए, हम उसे सह-अभाज्य गुणनखंडों (Co-prime factors) जैसे 8 और 9 में तोड़कर जाँच करते हैं। परीक्षा में अक्सर एक या दो अज्ञात अंक (x, y) निकालने वाले प्रश्न पूछे जाते हैं।", "explain_en": "Divisibility rules help determine if a number is divisible by another without actual division. Rules for 2, 4, and 8 depend on the last digits, while 3 and 9 depend on the sum of digits. For 11, we use the difference between the sum of digits at odd and even positions. For composite divisors like 72, we check divisibility by its co-prime factors (8 and 9). In exams, questions usually involve finding missing digits (x, y) to make a number divisible by a given divisor.", "formulas": [{"formula": "3 या 9 की विभाज्यता = अंकों का योग 3 या 9 से कटना चाहिए", "when_hi": "जब किसी संख्या को 3 या 9 से जाँचना हो", "examples": [{"q": "यदि 543x7, 9 से विभाज्य है, तो x का मान क्या है?", "sol": "अंकों का योग = 5 + 4 + 3 + x + 7 = 19 + x\n9 से विभाज्य होने के लिए योग 27 होना चाहिए (चूँकि 19 के बाद 27 आता है)\n19 + x = 27\nx = 27 - 19 = 8", "ans": "8"}, {"q": "संख्या 87M62, 3 से पूर्णतः विभाज्य है, तो M के सभी संभावित मानों का योग क्या है?", "sol": "अंकों का योग = 8 + 7 + M + 6 + 2 = 23 + M\n3 से विभाज्यता के लिए 23 + M = 24, 27, 30 होना चाहिए\nM = 1, 4, 7\nयोग = 1 + 4 + 7 = 12", "ans": "12"}], "when_en": "To check divisibility by 3 or 9"}, {"formula": "4, 8, 16 की विभाज्यता = अंतिम 2, 3 या 4 अंक विभाज्य होने चाहिए", "when_hi": "जब संख्या के अंत में अज्ञात अंक हो या 4/8 से जाँचना हो", "examples": [{"q": "संख्या 5432x, 4 से विभाज्य है, तो x के कितने मान संभव हैं?", "sol": "अंतिम दो अंक = 2x\n4 से विभाज्य 2x वाली संख्याएँ: 20, 24, 28\nx के मान = 0, 4, 8\nकुल मान = 3", "ans": "3"}, {"q": "यदि 985x3678y, 72 से विभाज्य है, तो y का मान क्या होगा?", "sol": "72 = 8 × 9 (सह-अभाज्य गुणनखंड)\n8 की विभाज्यता के लिए अंतिम 3 अंक 78y, 8 से कटने चाहिए\n78y ÷ 8 करने पर: 8 × 9 = 72, शेष 6 बचा\nअब 6y, 8 से कटना चाहिए, तो y = 4 (64)", "ans": "4"}], "when_en": "To check divisibility by 4, 8, or 16"}, {"formula": "11 की विभाज्यता = |(विषम स्थानों का योग) - (सम स्थानों का योग)| = 0 या 11 का गुणज", "when_hi": "जब संख्या को 11 या 88, 99 जैसे विभाजकों से जाँचना हो", "examples": [{"q": "संख्या 1x5x4, 11 से विभाज्य है, x का मान क्या है?", "sol": "विषम स्थानों का योग = 4 + 5 + 1 = 10\nसम स्थानों का योग = x + x = 2x\nअंतर = 10 - 2x = 0\n2x = 10\nx = 5", "ans": "5"}], "when_en": "To check divisibility by 11 or its multiples like 88, 99"}], "variations": ["एक अज्ञात अंक (x) का मान ज्ञात करना", "दो अज्ञात अंक (x और y) का मान ज्ञात करना (जैसे 72, 88 से विभाज्यता)", "अज्ञात अंक के अधिकतम या न्यूनतम मान पर आधारित प्रश्न", "7, 11, 13 की संयुक्त विभाज्यता (abcabc पैटर्न)", "विभाज्यता की जाँच करना (कौन सी संख्या विभाज्य है)", "अंकों के संभावित मानों का योग ज्ञात करना"], "examples": [{"variation": "एक अज्ञात अंक (x) का मान ज्ञात करना", "q": "यदि संख्या 6704x2, 9 से पूर्णतः विभाज्य है, तो x का मान क्या है?", "sol": "अंकों का योग = 6 + 7 + 0 + 4 + x + 2 = 19 + x\n9 से विभाज्य अगली संख्या 27 है\n19 + x = 27\nx = 27 - 19 = 8", "ans": "8"}, {"variation": "दो अज्ञात अंक (x और y) का मान ज्ञात करना (जैसे 72, 88 से विभाज्यता)", "q": "यदि 10-अंकीय संख्या 5432y1749x, 72 से विभाज्य है, तो (5x - 4y) का मान क्या है?", "sol": "72 = 8 × 9\n8 के लिए: अंतिम 3 अंक 49x, 8 से विभाज्य होने चाहिए\n49x ÷ 8 => 8 × 6 = 48, शेष 1 बचा, 1x = 16 (x = 6)\n9 के लिए: अंकों का योग = 5+4+3+2+y+1+7+4+9+6 = 41 + y\n41 + y = 45 (9 का गुणज) => y = 4\nमान = 5(6) - 4(4) = 30 - 16 = 14", "ans": "14"}, {"variation": "अज्ञात अंक के अधिकतम या न्यूनतम मान पर आधारित प्रश्न", "q": "संख्या 456x2, 8 से विभाज्य है। x का न्यूनतम मान क्या होगा?", "sol": "8 की विभाज्यता के लिए अंतिम 3 अंक 6x2, 8 से विभाज्य होने चाहिए\nयदि x = 0, 602 ÷ 8 (नहीं)\nयदि x = 1, 612 ÷ 8 (नहीं)\nयदि x = 3, 632 ÷ 8 = 79 (हाँ)\nअतः न्यूनतम मान 3 है", "ans": "3"}, {"variation": "7, 11, 13 की संयुक्त विभाज्यता (abcabc पैटर्न)", "q": "एक 6-अंकीय संख्या 479xyz, 7, 11 और 13 से पूर्णतः विभाज्य है। (y + z) ÷ x का मान क्या है?", "sol": "7, 11, 13 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) 1001 होता है\nकोई भी संख्या जो 1001 से विभाज्य है, वह abcabc के रूप में होती है\nअतः 479xyz = 479479\nx = 4, y = 7, z = 9\nमान = (7 + 9) ÷ 4 = 16 ÷ 4 = 4", "ans": "4"}, {"variation": "दो अज्ञात अंक (x और y) का मान ज्ञात करना (जैसे 72, 88 से विभाज्यता)", "q": "यदि 8-अंकीय संख्या 2074x4y2, 88 से विभाज्य है, तो x के अधिकतम मान के लिए (4x + 3y) ज्ञात करें।", "sol": "88 = 8 × 11\n8 के लिए: 4y2 विभाज्य होना चाहिए => y = 3 (432) या 7 (472)\n11 के लिए: (2+y+x+0) - (7+4+4+2) = (x+y+2) - 17 = x+y-15\nx+y-15 = 0 या -11\nयदि y=7, x+7-15=0 => x=8 (अधिकतम)\nयदि y=3, x+3-15=0 => x=12 (संभव नहीं)\nमान = 4(8) + 3(7) = 32 + 21 = 53", "ans": "53"}, {"variation": "विभाज्यता की जाँच करना (कौन सी संख्या विभाज्य है)", "q": "निम्नलिखित में से कौन सी संख्या 11 से विभाज्य है? (A) 121212 (B) 45654 (C) 108097 (D) 98765", "sol": "(C) 108097 को जाँचें:\nविषम स्थानों का योग = 7 + 0 + 0 = 7\nसम स्थानों का योग = 9 + 8 + 1 = 18\nअंतर = 18 - 7 = 11 (जो 11 से विभाज्य है)", "ans": "108097"}, {"variation": "अंकों के संभावित मानों का योग ज्ञात करना", "q": "यदि 712x, 4 से विभाज्य है, तो x के सभी मानों का योग क्या है?", "sol": "अंतिम दो अंक 2x, 4 से विभाज्य होने चाहिए\nसंभावित संख्याएँ: 20, 24, 28\nx के मान = 0, 4, 8\nयोग = 0 + 4 + 8 = 12", "ans": "12"}], "asked_hi": "SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से हर साल 1-2 प्रश्न निश्चित रूप से आते हैं। सबसे ज्यादा 72, 88 और 99 की विभाज्यता पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं जहाँ दो अज्ञात अंक (x, y) निकालने होते हैं।", "asked_en": "This sub-topic is highly frequent in SSC CGL and CHSL exams. Questions usually focus on divisibility by 72, 88, and 99, requiring students to find two missing variables (x and y).", "mistakes_hi": ["72 की विभाज्यता जाँचते समय 8 और 9 के बजाय 12 और 6 का उपयोग करना (हमेशा सह-अभाज्य गुणनखंड ही लें)।", "11 के नियम में विषम/सम स्थानों को गिनने में गलती करना।", "8 की विभाज्यता में केवल अंतिम दो अंकों को देखना (अंतिम तीन अंक देखने चाहिए)।"], "tip_en": "For 72 or 88, always use the rule of 8 first to find the last digit (y), then use the rule of 9 or 11 to find the other digit (x). This saves time.", "tip_hi": "72 या 88 जैसे प्रश्नों में, हमेशा पहले 8 का नियम लगाकर अंतिम अंक (y) निकालें, फिर 9 या 11 का नियम लगाकर दूसरा अंक (x) निकालें। इससे गणना आसान हो जाती है।"}, {"name_hi": "शेषफल की मूल अवधारणाएँ और ऋणात्मक शेषफल", "name_en": "Remainder Basics, Sums/Products, and Negative Remainder Trick", "explain_hi": "शेषफल (Remainder) वह संख्या है जो किसी संख्या को दूसरी संख्या से पूरी तरह विभाजित न कर पाने पर बचती है। जब हम बड़ी गणनाओं (जैसे जोड़ या गुणा) का शेषफल निकालते हैं, तो हम पूरी संख्या को हल करने के बजाय अलग-अलग संख्याओं का शेषफल निकाल सकते हैं। ऋणात्मक शेषफल (Negative Remainder) एक गणितीय ट्रिक है जहाँ हम भाजक (Divisor) के अगले गुणज (Multiple) तक पहुँचते हैं ताकि गणना आसान हो जाए। उदाहरण के लिए, 19 को 20 से भाग देने पर शेषफल 19 या -1 हो सकता है। अंत में, यदि उत्तर ऋणात्मक आए, तो उसमें भाजक जोड़कर धनात्मक बना लेते हैं।", "explain_en": "Remainder is the value left over after division. In complex calculations involving sums or products, we can find individual remainders instead of calculating the entire expression first. The negative remainder trick involves using the difference from the next multiple of the divisor to simplify calculations. For example, 19 divided by 20 gives a remainder of 19 or -1. If the final result is negative, add the divisor to get the actual positive remainder.", "formulas": [{"formula": "Rem(A + B + C) / D = (Rem(A/D) + Rem(B/D) + Rem(C/D)) / D", "when_hi": "जब कई संख्याओं के योगफल को किसी संख्या से भाग देना हो।", "examples": [{"q": "(43 + 55) को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "43 को 7 से भाग देने पर शेषफल = 1 (7 × 6 = 42)\n55 को 7 से भाग देने पर शेषफल = 6 (7 × 7 = 49)\nयोगफल का शेषफल = (1 + 6) / 7\n= 7 / 7\nशेषफल = 0", "ans": "0"}, {"q": "(102 + 103 + 104) को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "102 को 5 से भाग देने पर शेषफल = 2\n103 को 5 से भाग देने पर शेषफल = 3\n104 को 5 से भाग देने पर शेषफल = 4\nयोगफल का शेषफल = (2 + 3 + 4) / 5\n= 9 / 5\nशेषफल = 4", "ans": "4"}], "when_en": "When the sum of multiple numbers needs to be divided by a divisor."}, {"formula": "Rem(A × B × C) / D = (Rem(A/D) × Rem(B/D) × Rem(C/D)) / D", "when_hi": "जब कई संख्याओं के गुणनफल को किसी संख्या से भाग देना हो।", "examples": [{"q": "(12 × 13) को 5 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "12 को 5 से भाग देने पर शेषफल = 2\n13 को 5 से भाग देने पर शेषफल = 3\nगुणनफल का शेषफल = (2 × 3) / 5\n= 6 / 5\nशेषफल = 1", "ans": "1"}, {"q": "(49 × 51) को 8 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "49 को 8 से भाग देने पर शेषफल = 1 (8 × 6 = 48)\n51 को 8 से भाग देने पर शेषफल = 3 (8 × 6 = 48)\nगुणनफल का शेषफल = (1 × 3) / 8\n= 3 / 8\nशेषफल = 3", "ans": "3"}], "when_en": "When the product of multiple numbers needs to be divided by a divisor."}, {"formula": "Actual Remainder = Negative Remainder + Divisor", "when_hi": "जब गणना के दौरान शेषफल ऋणात्मक (Negative) प्राप्त हो।", "examples": [{"q": "59 को 60 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "59 को 60 से भाग देने पर ऋणात्मक शेषफल = -1\nवास्तविक शेषफल = -1 + 60\nशेषफल = 59", "ans": "59"}, {"q": "(15 × 14) को 16 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "15 को 16 से भाग देने पर शेषफल = -1\n14 को 16 से भाग देने पर शेषफल = -2\nगुणनफल का शेषफल = (-1) × (-2)\n= 2", "ans": "2"}], "when_en": "When the calculated remainder is negative, add the divisor to get the positive remainder."}], "variations": ["योग और अंतर का शेषफल", "गुणनफल का शेषफल", "ऋणात्मक शेषफल का उपयोग", "बड़ी संख्याओं का गुणनफल", "मिश्रित संक्रियाएँ (जोड़ और गुणा)", "शून्य शेषफल की पहचान"], "examples": [{"variation": "योग और अंतर का शेषफल", "q": "(123 + 456 + 789) को 9 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।", "sol": "123 को 9 से भाग देने पर शेषफल = 6 (अंकों का योग 1+2+3=6)\n456 को 9 से भाग देने पर शेषफल = 6 (4+5+6=15, 1+5=6)\n789 को 9 से भाग देने पर शेषफल = 6 (7+8+9=24, 2+4=6)\nकुल शेषफल = (6 + 6 + 6) / 9\n= 18 / 9\nशेषफल = 0", "ans": "0"}, {"variation": "ऋणात्मक शेषफल का उपयोग", "q": "(73 × 75 × 78 × 57) को 37 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "73 को 37 से भाग देने पर शेषफल = -1 (37 × 2 = 74)\n75 को 37 से भाग देने पर शेषफल = 1\n78 को 37 से भाग देने पर शेषफल = 4\n57 को 37 से भाग देने पर शेषफल = 20\nगुणनफल का शेषफल = (-1 × 1 × 4 × 20) / 37\n= -80 / 37\n-80 को 37 से भाग देने पर शेषफल = -6\nधनात्मक शेषफल = -6 + 37 = 31", "ans": "31"}, {"variation": "ऋणात्मक शेषफल का उपयोग", "q": "(198 × 199) को 200 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "198 को 200 से भाग देने पर शेषफल = -2\n199 को 200 से भाग देने पर शेषफल = -1\nगुणनफल का शेषफल = (-2) × (-1)\n= 2", "ans": "2"}, {"variation": "मिश्रित संक्रियाएँ (जोड़ और गुणा)", "q": "(65 + 66 × 67) को 68 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।", "sol": "65 को 68 से भाग देने पर शेषफल = -3\n66 को 68 से भाग देने पर शेषफल = -2\n67 को 68 से भाग देने पर शेषफल = -1\nव्यंजक: -3 + (-2 × -1)\n= -3 + 2\n= -1\nधनात्मक शेषफल = -1 + 68 = 67", "ans": "67"}, {"variation": "शून्य शेषफल की पहचान", "q": "(1751 × 1752 × 1753) को 17 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "1751 को 17 से भाग देने पर शेषफल = 0 (1700 + 51)\nचूँकि गुणनफल में एक संख्या का शेषफल 0 है\nइसलिए पूरे गुणनफल का शेषफल भी 0 होगा\n(0 × 1752 × 1753) / 17\nशेषफल = 0", "ans": "0"}, {"variation": "योग और अंतर का शेषफल", "q": "(48 - 55) को 7 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "48 को 7 से भाग देने पर शेषफल = 6 (या -1)\n55 को 7 से भाग देने पर शेषफल = 6 (या -1)\nअंतर का शेषफल = 6 - 6\n= 0", "ans": "0"}, {"variation": "बड़ी संख्याओं का गुणनफल", "q": "(1397 × 1398 × 1402) को 7 से भाग देने पर शेषफल ज्ञात कीजिए।", "sol": "1397 को 7 से भाग देने पर शेषफल = -3 (1400 - 3)\n1398 को 7 से भाग देने पर शेषफल = -2 (1400 - 2)\n1402 को 7 से भाग देने पर शेषफल = 2 (1400 + 2)\nगुणनफल का शेषफल = (-3 × -2 × 2) / 7\n= 12 / 7\nशेषफल = 5", "ans": "5"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं में यह टॉपिक सरलीकरण (Simplification) और संख्या पद्धति के अंतर्गत पूछा जाता है। अक्सर 3-4 बड़ी संख्याओं के गुणनफल को किसी संख्या से भाग देने पर शेषफल पूछा जाता है। यह हर साल CGL और CHSL की लगभग हर शिफ्ट में आता है।", "asked_en": "This topic is frequently asked in SSC exams under Simplification and Number System. Usually, questions involve finding the remainder of a product or sum of 3-4 large numbers. It appears in almost every shift of CGL and CHSL.", "mistakes_hi": ["अंतिम उत्तर ऋणात्मक छोड़ देना (हमेशा भाजक जोड़कर धनात्मक बनाएं)।", "शेषफल को भाजक से बड़ा छोड़ देना (यदि बड़ा आए तो फिर से भाग दें)।", "गुणा करते समय चिन्हों (+/-) का ध्यान न रखना।"], "tip_en": "Always use negative remainders like -1 or -2 if the number is just below a multiple of the divisor to keep calculations small.", "tip_hi": "यदि संख्या भाजक के गुणज के बहुत करीब है, तो गणना कम करने के लिए हमेशा ऋणात्मक शेषफल (-1, -2 आदि) का उपयोग करें।"}, {"name_hi": "घातों का शेषफल (Remainder of a^n)", "name_en": "Remainder of a^n (Cyclicity, Fermat's Theorem)", "explain_hi": "जब किसी संख्या की घात (power) को किसी भाजक से विभाजित किया जाता है, तो हम द्विपद प्रमेय (Binomial Theorem) या फर्मा प्रमेय का उपयोग करते हैं। मुख्य उद्देश्य आधार (base) को भाजक के गुणज (multiple) के +1 या -1 के करीब लाना होता है। यदि आधार को (भाजक + 1) के रूप में लिखा जाए, तो शेषफल हमेशा 1 होता है। यदि आधार को (भाजक - 1) के रूप में लिखा जाए, तो शेषफल घात के सम (even) या विषम (odd) होने पर निर्भर करता है। फर्मा प्रमेय का उपयोग तब करते हैं जब भाजक एक अभाज्य संख्या (prime number) हो। यदि शेषफल ऋणात्मक आए, तो उसमें भाजक जोड़कर अंतिम धनात्मक उत्तर प्राप्त करते हैं।", "explain_en": "When a number with a power is divided by a divisor, we use Binomial or Fermat's theorem to find the remainder. The main goal is to bring the base close to a multiple of the divisor with a difference of +1 or -1. If the base is (divisor + 1), the remainder is always 1 regardless of the power. If the base is (divisor - 1), the remainder depends on whether the power is even or odd. Fermat's Little Theorem is used when the divisor is a prime number. If the remainder is negative, add the divisor to get the final positive remainder.", "formulas": [{"formula": "Remainder of [(ax + 1)^n / a] = 1", "when_hi": "जब आधार, भाजक के गुणज से 1 अधिक हो।", "examples": [{"q": "25^25 को 24 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "25 = 24 + 1\nशेषफल = 1^25\nशेषफल = 1", "ans": "1"}, {"q": "17^200 को 16 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें।", "sol": "17 = 16 + 1\nशेषफल = 1^200\nशेषफल = 1", "ans": "1"}], "when_en": "When the base is 1 more than a multiple of the divisor."}, {"formula": "Remainder of [(ax - 1)^n / a] = 1 (if n is even) or -1 (if n is odd)", "when_hi": "जब आधार, भाजक के गुणज से 1 कम हो।", "examples": [{"q": "17^200 को 18 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "17 = 18 - 1\nशेषफल = (-1)^200\nचूँकि घात 200 सम है, इसलिए (-1)^200 = 1", "ans": "1"}, {"q": "67^67 को 68 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "67 = 68 - 1\nशेषफल = (-1)^67\nचूँकि घात 67 विषम है, इसलिए शेषफल = -1\nधनात्मक शेषफल = 68 - 1 = 67", "ans": "67"}], "when_en": "When the base is 1 less than a multiple of the divisor."}, {"formula": "Remainder of [a^(p-1) / p] = 1", "when_hi": "जब भाजक (p) एक अभाज्य संख्या हो और a, p सह-अभाज्य (co-prime) हों।", "examples": [{"q": "2^100 को 101 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "यहाँ p = 101 (अभाज्य संख्या) है\nफर्मा प्रमेय के अनुसार, a^(p-1) / p का शेषफल 1 होता है\n2^(101-1) / 101 = 2^100 / 101\nशेषफल = 1", "ans": "1"}, {"q": "3^16 को 17 से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करें।", "sol": "यहाँ p = 17 (अभाज्य संख्या) है\nफर्मा प्रमेय के अनुसार, 3^(17-1) / 17 का शेषफल 1 होता है\n3^16 / 17\nशेषफल = 1", "ans": "1"}], "when_en": "When the divisor (p) is a prime number and a, p are co-prime."}], "variations": ["(a+1)^n या (a-1)^n का सीधा प्रयोग", "संख्या को (a ± 1) के रूप में बदलना", "फर्मा का प्रमेय (Fermat's Theorem) आधारित प्रश्न", "बड़ी घातों का सरलीकरण", "चक्रीयता (Cyclicity) का उपयोग", "भाजक के गुणज के पास ले जाना"], "examples": [{"variation": "(a+1)^n या (a-1)^n का सीधा प्रयोग", "q": "68^88 को 67 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "68 = 67 + 1\nशेषफल = 1^88\nशेषफल = 1", "ans": "1"}, {"variation": "(a+1)^n या (a-1)^n का सीधा प्रयोग", "q": "17^200 को 18 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "17 = 18 - 1\nशेषफल = (-1)^200\nचूँकि 200 सम संख्या है, (-1)^200 = 1", "ans": "1"}, {"variation": "संख्या को (a ± 1) के रूप में बदलना", "q": "2^31 को 9 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "2^3 = 8, जो 9 से 1 कम है\n2^31 = 2^1 × 2^30 = 2 × (2^3)^10\n2^31 = 2 × 8^10\n8 को 9 से भाग देने पर शेषफल = -1\nशेषफल = 2 × (-1)^10 = 2 × 1 = 2", "ans": "2"}, {"variation": "बड़ी घातों का सरलीकरण", "q": "(67^67 + 67) को 68 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "67 को 68 से भाग देने पर शेषफल = -1\nशेषफल = (-1)^67 + (-1)\nशेषफल = -1 - 1 = -2\nधनात्मक शेषफल = 68 - 2 = 66", "ans": "66"}, {"variation": "फर्मा का प्रमेय (Fermat's Theorem) आधारित प्रश्न", "q": "38^102 को 103 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "यहाँ 103 एक अभाज्य संख्या (p) है\nफर्मा प्रमेय: a^(p-1) / p का शेषफल 1 होता है\n38^(103-1) / 103 = 38^102 / 103\nशेषफल = 1", "ans": "1"}, {"variation": "चक्रीयता (Cyclicity) का उपयोग", "q": "4^96 को 6 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "4^1 / 6 का शेषफल = 4\n4^2 = 16 / 6 का शेषफल = 4\n4^3 = 64 / 6 का शेषफल = 4\nचूँकि 4 की किसी भी घात को 6 से भाग देने पर शेषफल 4 ही आता है\nशेषफल = 4", "ans": "4"}, {"variation": "भाजक के गुणज के पास ले जाना", "q": "(7^19 + 2) को 6 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "7 को 6 से भाग देने पर शेषफल = 1\nशेषफल = 1^19 + 2\nशेषफल = 1 + 2 = 3", "ans": "3"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं (CGL, CHSL, MTS) में इस उप-विषय से अक्सर 1 प्रश्न पूछा जाता है, विशेषकर घातों को (a ± 1) के रूप में बदलने वाले पैटर्न पर।", "asked_en": "In SSC exams like CGL and CHSL, one question is frequently asked from this sub-topic, especially focusing on patterns where the base is converted to (a ± 1).", "mistakes_hi": ["ऋणात्मक शेषफल (जैसे -1) को ही अंतिम उत्तर मान लेना और भाजक जोड़कर उसे धनात्मक न बनाना।", "फर्मा प्रमेय को तब लागू करना जब भाजक एक अभाज्य संख्या (Prime Number) न हो।", "घात के सम (Even) या विषम (Odd) होने के प्रभाव को नजरअंदाज करना।"], "tip_en": "Always look for a power of the base that is 1 more or 1 less than a multiple of the divisor to simplify calculations instantly.", "tip_hi": "हमेशा आधार की ऐसी घात खोजें जो भाजक के गुणज से 1 कम या 1 अधिक हो, इससे गणना बहुत आसान हो जाती है।"}, {"name_hi": "a^n - b^n और a^n + b^n की विभाज्यता", "name_en": "Divisibility of a^n - b^n and a^n + b^n", "explain_hi": "यह उप-विषय घातांक (powers) वाली संख्याओं के विभाज्यता नियमों पर आधारित है। जब संख्याएँ a^n - b^n या a^n + b^n के रूप में होती हैं, तो हम घात (power) 'n' के सम (even) या विषम (odd) होने के आधार पर उनके गुणनखंड (factors) ज्ञात करते हैं। परीक्षा में अक्सर यह पूछा जाता है कि दी गई संख्या किस विकल्प से पूरी तरह विभाज्य है। इसका मूल आधार बीजगणितीय सूत्र जैसे (a² - b²) और (a³ + b³) हैं।", "explain_en": "This sub-topic deals with divisibility rules for expressions in the form a^n - b^n or a^n + b^n. Based on whether the power 'n' is even or odd, we identify the factors of the expression. In exams, questions typically ask which number completely divides the given expression. The logic is derived from algebraic identities like (a² - b²) and (a³ + b³).", "formulas": [{"formula": "a^n - b^n is always divisible by (a - b)", "when_hi": "जब n एक विषम संख्या (Odd number) हो", "examples": [{"q": "(49^15 - 1) किस संख्या से पूर्णतः विभाज्य है?", "sol": "यहाँ a = 49, b = 1 और n = 15 (विषम) है\nनियम: a^n - b^n विभाज्य है (a - b) से\nविभाजक = 49 - 1 = 48\nचूँकि संख्या 48 से विभाज्य है, यह 48 के गुणनखंडों (जैसे 8, 12, 24) से भी विभाज्य होगी।", "ans": "48"}, {"q": "(2^33 - 1) का एक गुणनखंड ज्ञात करें।", "sol": "इसे (2^3)^11 - 1^11 लिख सकते हैं\nयहाँ a = 8, b = 1 और n = 11 (विषम) है\nगुणनखंड = a - b = 8 - 1 = 7", "ans": "7"}], "when_en": "When n is an odd number"}, {"formula": "a^n - b^n is divisible by both (a - b) and (a + b)", "when_hi": "जब n एक सम संख्या (Even number) हो", "examples": [{"q": "(7^12 - 4^12) किस संख्या से विभाज्य है?", "sol": "यहाँ a = 7, b = 4 और n = 12 (सम) है\nनियम के अनुसार, यह (7-4) और (7+4) दोनों से विभाज्य है\nविभाजक = 3 और 11\nअतः यह (3 × 11) = 33 से भी विभाज्य होगी।", "ans": "33"}, {"q": "(2^20 - 1) निम्न में से किससे विभाज्य नहीं है? (विकल्प: 3, 5, 11, 7)", "sol": "a = 2, b = 1, n = 20 (सम)\nविभाजक = (2-1) = 1 और (2+1) = 3\nयदि हम 2^20 को (2^2)^10 लिखें, तो (4^10 - 1) के लिए विभाजक (4-1)=3 और (4+1)=5 होंगे\nयदि हम 2^20 को (2^4)^5 लिखें, तो (16^5 - 1) के लिए विभाजक (16-1)=15 और (16+1)=17 नहीं (n विषम है)\nविकल्पों में 3 और 5 विभाजक हैं, 11 भी (2^10-1)(2^10+1) से आएगा। 7 विभाज्य नहीं है।", "ans": "7"}], "when_en": "When n is an even number"}, {"formula": "a^n + b^n is divisible by (a + b)", "when_hi": "जब n एक विषम संख्या (Odd number) हो", "examples": [{"q": "(127^97 + 97^97) को 32 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "यहाँ a = 127, b = 97 और n = 97 (विषम) है\nनियम: a^n + b^n विभाज्य है (a + b) से\nविभाजक = 127 + 97 = 224\nचूँकि 224, 32 से पूर्णतः विभाज्य है (32 × 7 = 224)\nअतः शेषफल 0 होगा।", "ans": "0"}, {"q": "(31^41 + 43^41) का एक उभयनिष्ठ विभाजक क्या है?", "sol": "यहाँ n = 41 (विषम) है\nविभाजक = a + b = 31 + 43 = 74\n74 के गुणनखंड 2 और 37 भी विभाजक होंगे।", "ans": "74"}], "when_en": "When n is an odd number"}], "variations": ["a^n - b^n जहाँ n विषम (odd) है", "a^n - b^n जहाँ n सम (even) है", "a^n + b^n जहाँ n विषम (odd) है", "घातों को समान बनाकर हल करना (Making powers equal)", "उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor) ज्ञात करना", "शेषफल (Remainder) आधारित प्रश्न", "बड़ी श्रृंखला (Series) वाले प्रश्न"], "examples": [{"variation": "a^n - b^n जहाँ n विषम (odd) है", "q": "(49^15 - 1) पूर्णतः विभाज्य है:", "sol": "n = 15 (विषम संख्या)\nनियम: a^n - b^n, (a - b) से विभाज्य होता है\nविभाजक = 49 - 1 = 48\nविकल्पों में यदि 8, 12, 16 या 24 हो तो वे भी सही होंगे।", "ans": "48"}, {"variation": "a^n + b^n जहाँ n विषम (odd) है", "q": "(19^5 + 21^5) किससे विभाज्य है?", "sol": "n = 5 (विषम संख्या)\nनियम: a^n + b^n, (a + b) से विभाज्य होता है\nविभाजक = 19 + 21 = 40\nसंख्या 40 और इसके सभी गुणनखंडों से विभाज्य होगी।", "ans": "40"}, {"variation": "घातों को समान बनाकर हल करना (Making powers equal)", "q": "(3^41 + 7^82) किससे विभाज्य है?", "sol": "घातों को समान करें: 7^82 = (7^2)^41 = 49^41\nअब संख्या = 3^41 + 49^41\nn = 41 (विषम)\nविभाजक = 3 + 49 = 52", "ans": "52"}, {"variation": "उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common Factor) ज्ञात करना", "q": "(47^43 + 43^43) और (47^47 + 43^47) का उभयनिष्ठ गुणनखंड क्या है?", "sol": "पहली संख्या: n = 43 (विषम), विभाजक = 47 + 43 = 90\nदूसरी संख्या: n = 47 (विषम), विभाजक = 47 + 43 = 90\nदोनों का उभयनिष्ठ गुणनखंड 90 है।", "ans": "90"}, {"variation": "शेषफल (Remainder) आधारित प्रश्न", "q": "(7^10 - 5^10) को 11 से विभाजित करने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "n = 10 (सम)\nविभाजक = (7 + 5) = 12 और (7 - 5) = 2\nसंख्या 12 से विभाज्य है, लेकिन 11 से नहीं।\nवैकल्पिक विधि: 7^10 - 5^10 = (49)^5 - (25)^5\n49 mod 11 = 5, 25 mod 11 = 3\n5^5 - 3^5 = 3125 - 243 = 2882\n2882 / 11 = 262, शेषफल = 0", "ans": "0"}, {"variation": "बड़ी श्रृंखला (Series) वाले प्रश्न", "q": "(1^7 + 2^7 + 3^7 + ... + 10^7) को 11 से भाग देने पर शेषफल क्या होगा?", "sol": "जोड़े बनाएँ: (1^7 + 10^7), (2^7 + 9^7) ... (5^7 + 6^7)\nप्रत्येक जोड़ा (a^n + b^n) के रूप में है जहाँ n विषम है\nअतः प्रत्येक जोड़ा (a + b) = 11 से विभाज्य है\nसभी जोड़ों का शेषफल 0 होगा।", "ans": "0"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं में इस टॉपिक से 'विभाजक पहचानें' या 'शेषफल ज्ञात करें' वाले प्रश्न पूछे जाते हैं। CGL Tier-1 और Tier-2 में यह एक नियमित पैटर्न है।", "asked_en": "In SSC exams, questions from this topic involve 'identifying the divisor' or 'finding the remainder'. This is a regular pattern in CGL Tier-1 and Tier-2.", "mistakes_hi": ["a^n + b^n में n सम (even) होने पर भी (a+b) नियम लगा देना (यह गलत है)।", "घातों (powers) को समान किए बिना सीधे आधार (base) को जोड़ना या घटाना।", "यह भूल जाना कि यदि कोई संख्या 48 से विभाज्य है, तो वह 12 या 24 से भी विभाज्य होगी।"], "tip_en": "If the powers are different, always try to make them equal by using the property (a^m)^n = a^(mn) before applying the rules.", "tip_hi": "यदि घातें अलग-अलग हों, तो नियम लगाने से पहले (a^m)^n = a^(mn) का उपयोग करके उन्हें समान बनाने का प्रयास करें।"}, {"name_hi": "LCM आधारित शेषफल (समान और भिन्न शेषफल)", "name_en": "LCM Based Remainders (Same and Different Remainders)", "explain_hi": "इस उप-विषय में हम ऐसी संख्याएँ ज्ञात करना सीखते हैं जिन्हें x, y, और z से विभाजित करने पर कुछ शेषफल बचता है। इसमें मुख्य रूप से दो स्थितियाँ होती हैं: पहली, जब प्रत्येक स्थिति में शेषफल (r) समान हो, और दूसरी, जब शेषफल अलग-अलग हों लेकिन भाजक और शेषफल का अंतर (d) समान हो। हम दी गई संख्याओं का LCM निकालते हैं क्योंकि वह सबसे छोटी विभाज्य संख्या होती है। बड़ी या छोटी n-अंकों की संख्या ढूँढने के लिए हम LCM के गुणज (multiples) का उपयोग करते हैं।", "explain_en": "This sub-topic covers finding numbers that leave specific remainders when divided by divisors x, y, and z. There are two main cases: first, where the remainder (r) is the same for all divisors, and second, where remainders are different but the difference (d) between each divisor and its respective remainder is constant. We use the LCM of the divisors as it is the smallest common multiple. To find n-digit numbers, we work with multiples of the LCM and adjust for the remainder or difference.", "formulas": [{"formula": "संख्या (N) = LCM(x, y, z) × k + r", "when_hi": "जब प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल 'r' प्राप्त हो।", "examples": [{"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15 और 20 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 4 शेषफल बचे।", "sol": "LCM(12, 15, 20) = 60\nसंख्या = LCM × k + r\nयहाँ k = 1 (सबसे छोटी संख्या के लिए)\nसंख्या = 60 × 1 + 4\nसंख्या = 64", "ans": "64"}, {"q": "वह छोटी से छोटी संख्या क्या है जिसे 8, 10 और 12 से भाग देने पर 5 शेष बचे?", "sol": "LCM(8, 10, 12) = 120\nसंख्या = 120 + 5\nसंख्या = 125", "ans": "125"}], "when_en": "When the remainder 'r' is the same in each case."}, {"formula": "संख्या (N) = LCM(x, y, z) × k - d", "when_hi": "जब शेषफल अलग हों लेकिन (भाजक - शेषफल) = d (समान अंतर) हो।", "examples": [{"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 20, 25 और 30 से विभाजित करने पर क्रमशः 14, 19 और 24 शेषफल बचे।", "sol": "अंतर (d) = 20-14 = 6, 25-19 = 6, 30-24 = 6\nLCM(20, 25, 30) = 300\nसंख्या = LCM - d\nसंख्या = 300 - 6\nसंख्या = 294", "ans": "294"}, {"q": "वह न्यूनतम संख्या क्या है जिसे 15, 18 और 20 से विभाजित करने पर क्रमशः 11, 14 और 16 शेषफल प्राप्त हो?", "sol": "अंतर (d) = 15-11 = 4, 18-14 = 4, 20-16 = 4\nLCM(15, 18, 20) = 180\nसंख्या = 180 - 4\nसंख्या = 176", "ans": "176"}], "when_en": "When remainders are different but (Divisor - Remainder) = d (constant difference)."}], "variations": ["समान शेषफल वाली सबसे छोटी संख्या", "समान शेषफल वाली n-अंकों की संख्या", "समान अंतर (भाजक - शेषफल) वाली संख्या", "वह संख्या जिसमें कुछ जोड़ने या घटाने पर वह विभाज्य हो जाए", "दी गई सीमा (Range) के बीच की संख्या"], "examples": [{"variation": "समान शेषफल वाली सबसे छोटी संख्या", "q": "वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जिसे 16, 24 और 36 से विभाजित करने पर प्रत्येक बार 7 शेषफल प्राप्त हो।", "sol": "LCM(16, 24, 36) = 144\nसंख्या = LCM + शेषफल\nसंख्या = 144 + 7\nसंख्या = 151", "ans": "151"}, {"variation": "समान अंतर (भाजक - शेषफल) वाली संख्या", "q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 24, 32 और 36 से विभाजित करने पर क्रमशः 19, 27 और 31 शेषफल बचे।", "sol": "अंतर (d) = 24-19=5, 32-27=5, 36-31=5\nLCM(24, 32, 36) = 288\nसंख्या = 288 - 5\nसंख्या = 283", "ans": "283"}, {"variation": "समान शेषफल वाली n-अंकों की संख्या", "q": "4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15, 18 और 27 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 7 शेषफल बचे।", "sol": "LCM(12, 15, 18, 27) = 540\n9999 / 540 करने पर शेषफल = 279\nविभाज्य संख्या = 9999 - 279 = 9720\nअभीष्ट संख्या = 9720 + 7\nसंख्या = 9727", "ans": "9727"}, {"variation": "समान अंतर (भाजक - शेषफल) वाली संख्या", "q": "5 अंकों की वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 10, 15 और 20 से विभाजित करने पर क्रमशः 7, 12 और 17 शेषफल प्राप्त हो।", "sol": "अंतर (d) = 10-7=3, 15-12=3, 20-17=3\nLCM(10, 15, 20) = 60\n5 अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000\n10000 / 60 करने पर शेषफल = 40\nविभाज्य संख्या = 10000 + (60 - 40) = 10020\nअभीष्ट संख्या = 10020 - 3\nसंख्या = 10017", "ans": "10017"}, {"variation": "दी गई सीमा (Range) के बीच की संख्या", "q": "500 और 600 के बीच वह संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15 और 20 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में 9 शेषफल बचे।", "sol": "LCM(12, 15, 20) = 60\n60 के गुणज जो 500-600 के बीच हों: 540\nअभीष्ट संख्या = 540 + 9\nसंख्या = 549", "ans": "549"}, {"variation": "वह संख्या जिसमें कुछ जोड़ने या घटाने पर वह विभाज्य हो जाए", "q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें से 7 घटाने पर वह 12, 16, 18 और 21 से पूरी तरह विभाजित हो जाए।", "sol": "LCM(12, 16, 18, 21) = 1008\nचूँकि संख्या में से 7 घटाने पर वह विभाज्य होती है\nसंख्या = LCM + 7\nसंख्या = 1008 + 7\nसंख्या = 1015", "ans": "1015"}, {"variation": "समान शेषफल वाली n-अंकों की संख्या", "q": "4 अंकों की वह सबसे छोटी संख्या क्या है जिसे 4, 6, 10 और 15 से भाग देने पर प्रत्येक बार 2 शेष बचे?", "sol": "LCM(4, 6, 10, 15) = 60\n4 अंकों की सबसे छोटी संख्या = 1000\n1000 / 60 करने पर शेषफल = 40\nविभाज्य संख्या = 1000 + (60 - 40) = 1020\nअभीष्ट संख्या = 1020 + 2\nसंख्या = 1022", "ans": "1022"}], "asked_hi": "SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से अक्सर 4-अंकों या 5-अंकों की संख्या पर आधारित प्रश्न पूछे जाते हैं। 'समान अंतर' वाला केस सबसे महत्वपूर्ण है।", "asked_en": "SSC CGL and CHSL frequently ask questions based on 4-digit or 5-digit numbers from this topic. The 'constant difference' case is the most important pattern.", "mistakes_hi": ["समान अंतर (Case 2) में अंतर 'd' को जोड़ने की गलती करना (इसे हमेशा घटाया जाता है)।", "LCM की जगह गलती से HCF निकाल लेना।", "n-अंकों की संख्या निकालते समय शेषफल को पहले जोड़ना और फिर गुणज ढूँढना।"], "tip_en": "For 'same remainder' questions, subtract the remainder from the options and check divisibility by the largest divisor. For 'constant difference', add the difference to the options and check.", "tip_hi": "समान शेषफल वाले प्रश्नों में, विकल्पों में से शेषफल घटाकर देखें कि कौन सा विकल्प सबसे बड़े भाजक से कट रहा है। समान अंतर वाले प्रश्नों में, अंतर को विकल्पों में जोड़कर चेक करें।"}], "summary_hi": ["विभाज्यता नियम: 3 और 9 (अंकों का योग), 4 (अंतिम 2 अंक), 8 (अंतिम 3 अंक), 11 (विषम और सम स्थानों के योग का अंतर)।", "संयुक्त विभाजक: यदि संख्या 72 से विभाज्य है, तो वह 8 और 9 दोनों से विभाज्य होगी।", "शेषफल प्रमेय: (a + b + c) % n = (a%n + b%n + c%n) % n.", "ऋणात्मक शेषफल: गणना को आसान बनाने के लिए (n-1) को -1 के रूप में उपयोग करें।", "फर्मा का नियम: यदि p अभाज्य है, तो a^(p-1) को p से विभाजित करने पर शेषफल 1 आता है।", "(a+1)^n / a का शेषफल हमेशा 1 होता है।", "(a-1)^n / a का शेषफल 1 होता है यदि n सम है, और (a-1) होता है यदि n विषम है।", "a^n - b^n हमेशा (a-b) से विभाज्य होता है; यदि n सम है तो (a+b) से भी।", "a^n + b^n हमेशा (a+b) से विभाज्य होता है यदि n विषम है।", "समान अंतर (k) वाली संख्या: LCM(x, y, z) * n - k, जहाँ k = भाजक - शेषफल।"], "summary_en": ["Divisibility Rules: 3 & 9 (sum of digits), 4 (last 2 digits), 8 (last 3 digits), 11 (diff of sum of alt digits).", "Composite Divisors: If a number is div by 72, it must be div by both 8 and 9.", "Remainder Theorem: (a + b + c) % n = (a%n + b%n + c%n) % n.", "Negative Remainder: Use (n-1) as -1 to simplify calculations.", "Fermat's Theorem: If p is prime, a^(p-1) divided by p leaves remainder 1.", "(a+1)^n / a always leaves remainder 1.", "(a-1)^n / a leaves remainder 1 if n is even, and (a-1) if n is odd.", "a^n - b^n is always divisible by (a-b); also by (a+b) if n is even.", "a^n + b^n is always divisible by (a+b) if n is odd.", "Number with constant difference (k): LCM(x, y, z) * n - k, where k = divisor - remainder."]}