संख्या पद्धति: इकाई अंक, शून्य और गुणनखंड

{"kind": "quant", "intro_hi": "यह अध्याय SSC CGL/CHSL Tier-1 और Tier-2 के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, जिससे आमतौर पर 2-3 प्रश्न पूछे जाते हैं। यह एक स्कोरिंग विषय है क्योंकि इसके नियम और शॉर्टकट निश्चित हैं, जो गणना में समय बचाते हैं।", "intro_en": "This chapter is crucial for SSC CGL/CHSL Tier-1 and Tier-2, typically contributing 2-3 questions. It is highly scoring because its rules and shortcuts are fixed, saving significant calculation time.", "subtopics": [{"name_hi": "इकाई अंक (Unit Digit)", "name_en": "Unit Digit", "explain_hi": "किसी भी संख्या का इकाई अंक (Unit Digit) केवल उसके अंतिम अंक पर निर्भर करता है। जब हम संख्याओं को गुणा करते हैं या उनकी घात (Power) निकालते हैं, तो हमें केवल अंतिम अंकों पर ध्यान देना होता है। घातों के मामले में, अंक एक निश्चित अंतराल के बाद खुद को दोहराते हैं, जिसे चक्रियता (Cyclicity) कहते हैं। 0, 1, 5, 6 का इकाई अंक हमेशा वही रहता है। 4 और 9 की चक्रियता 2 है, जबकि 2, 3, 7, 8 की चक्रियता 4 है।", "explain_en": "The unit digit of any number depends only on its last digit. When multiplying numbers or calculating powers, we only focus on the last digits. In powers, digits repeat after a fixed interval called cyclicity. Digits 0, 1, 5, 6 always result in the same unit digit. 4 and 9 have a cyclicity of 2, while 2, 3, 7, 8 have a cyclicity of 4.", "formulas": [{"formula": "0, 1, 5, 6 की घात 'n' = वही अंक", "when_hi": "जब आधार (Base) का अंतिम अंक 0, 1, 5, या 6 हो।", "examples": [{"q": "155^99 का इकाई अंक क्या है?", "sol": "आधार का अंतिम अंक 5 है\n5 की कोई भी घात हो, इकाई अंक 5 ही रहता है", "ans": "5"}, {"q": "106^100 का इकाई अंक क्या है?", "sol": "आधार का अंतिम अंक 6 है\n6 की कोई भी घात हो, इकाई अंक 6 ही रहता है", "ans": "6"}], "when_en": "When the last digit of the base is 0, 1, 5, or 6."}, {"formula": "4^विषम = 4, 4^सम = 6 और 9^विषम = 9, 9^सम = 1", "when_hi": "जब आधार का अंतिम अंक 4 या 9 हो।", "examples": [{"q": "124^123 का इकाई अंक ज्ञात करें।", "sol": "आधार का अंतिम अंक 4 है\nघात 123 एक विषम (Odd) संख्या है\n4^विषम = 4", "ans": "4"}, {"q": "259^124 का इकाई अंक ज्ञात करें।", "sol": "आधार का अंतिम अंक 9 है\nघात 124 एक सम (Even) संख्या है\n9^सम = 1", "ans": "1"}], "when_en": "When the last digit of the base is 4 or 9."}, {"formula": "इकाई अंक = (अंतिम अंक)^(शेषफल), जहाँ शेषफल = घात ÷ 4", "when_hi": "जब आधार का अंतिम अंक 2, 3, 7, या 8 हो।", "examples": [{"q": "122^13 का इकाई अंक क्या होगा?", "sol": "अंतिम अंक = 2\nघात 13 को 4 से भाग देने पर शेषफल = 1\n2^1 = 2", "ans": "2"}, {"q": "123^20 का इकाई अंक क्या होगा?", "sol": "अंतिम अंक = 3\nघात 20 को 4 से भाग देने पर शेषफल = 0\nजब शेषफल 0 हो, तो घात 4 लेते हैं\n3^4 = 81", "ans": "1"}], "when_en": "When the last digit of the base is 2, 3, 7, or 8."}], "variations": ["गुणनफल और योग का इकाई अंक", "घात वाली संख्याओं का इकाई अंक", "जटिल व्यंजकों का इकाई अंक", "फैक्टोरियल वाली संख्याओं का इकाई अंक"], "examples": [{"variation": "गुणनफल और योग का इकाई अंक", "q": "634 × 262 × 719 का इकाई अंक क्या है?", "sol": "इकाई अंकों का गुणा करने पर: 4 × 2 × 9\n4 × 2 = 8\n8 × 9 = 72\nअंतिम अंक = 2", "ans": "2"}, {"variation": "घात वाली संख्याओं का इकाई अंक", "q": "122^173 का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।", "sol": "अंतिम अंक = 2\nघात 173 को 4 से भाग देने पर शेषफल = 1\n2^1 = 2", "ans": "2"}, {"variation": "घात वाली संख्याओं का इकाई अंक", "q": "124^372 + 124^373 का इकाई अंक क्या होगा?", "sol": "124^372 (सम घात) का इकाई अंक = 6\n124^373 (विषम घात) का इकाई अंक = 4\nयोग = 6 + 4 = 10\nइकाई अंक = 0", "ans": "0"}, {"variation": "जटिल व्यंजकों का इकाई अंक", "q": "7^71 × 6^63 × 3^65 का इकाई अंक क्या है?", "sol": "7^71: 71/4 शेषफल 3, 7^3 = 343 (3)\n6^63: 6 की कोई भी घात = 6\n3^65: 65/4 शेषफल 1, 3^1 = 3\n3 × 6 × 3 = 54", "ans": "4"}, {"variation": "जटिल व्यंजकों का इकाई अंक", "q": "(259)^148 - (123)^43 का इकाई अंक ज्ञात करें।", "sol": "9^148 (सम घात) = 1\n3^43: 43/4 शेषफल 3, 3^3 = 27 (7)\n1 - 7 = -6\nऋणात्मक होने पर: -6 + 10 = 4", "ans": "4"}, {"variation": "फैक्टोरियल वाली संख्याओं का इकाई अंक", "q": "1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ... + 100! का इकाई अंक क्या है?", "sol": "1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24 (4)\n5! = 120 (0)\n5! के बाद सभी का इकाई अंक 0 होगा\nयोग = 1 + 2 + 6 + 4 + 0 = 13", "ans": "3"}, {"variation": "घात वाली संख्याओं का इकाई अंक", "q": "8^100 का इकाई अंक क्या है?", "sol": "घात 100 को 4 से भाग देने पर शेषफल = 0\nशेषफल 0 होने पर घात 4 लेते हैं\n8^4 = 8 × 8 × 8 × 8\n64 × 64 = 4096", "ans": "6"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं (CGL, CHSL, MTS) में इस टॉपिक से अक्सर 1 प्रश्न पूछा जाता है। यह गणना को तेज करने के लिए अन्य अध्यायों में भी उपयोगी है।", "asked_en": "1-2 questions are frequently asked in SSC CGL, CHSL, and MTS exams. It is a high-scoring topic.", "mistakes_hi": ["घात को 4 से भाग देने पर शेषफल 0 आने पर घात को 0 मान लेना (हमेशा घात 4 लें)।", "घटाव वाले प्रश्नों में यदि परिणाम ऋणात्मक आए तो उसमें 10 जोड़ना भूल जाना।"], "tip_en": "If a product contains 5 and at least one even number, the unit digit will always be 0.", "tip_hi": "यदि किसी गुणनफल में 5 और कम से कम एक सम संख्या (Even number) हो, तो इकाई अंक हमेशा 0 होगा।"}, {"name_hi": "शून्य की संख्या (Trailing Zeros)", "name_en": "Number of Trailing Zeros", "explain_hi": "किसी भी गुणनफल के अंत में शून्य (Zero) तब बनता है जब 2 और 5 का मिलन होता है। एक 2 और एक 5 मिलकर एक 10 (शून्य) बनाते हैं। इसलिए, शून्यों की संख्या 2 और 5 के जोड़ों (Pairs) की संख्या के बराबर होती है। फैक्टोरियल (n!) में 2 की संख्या हमेशा 5 से अधिक होती है, इसलिए हम केवल 5 की कुल घात (Power) गिनते हैं। यदि प्रश्न में केवल विषम संख्याएँ हों, तो शून्य की संख्या 0 होगी क्योंकि वहां 2 मौजूद नहीं होता।", "explain_en": "Trailing zeros are formed by the multiplication of 2 and 5. One pair of (2 x 5) creates exactly one zero. The number of zeros in a product depends on the number of pairs of 2 and 5 available. In factorials (n!), the count of 2 is always greater than 5, so we only count the total power of 5 to find the zeros. If a product contains only odd numbers, the number of zeros will be zero because factor 2 is missing.", "formulas": [{"formula": "Zeros in n! = [n/5] + [n/25] + [n/125] + ...", "when_hi": "जब किसी फैक्टोरियल (n!) या 1 से शुरू होने वाली क्रमिक संख्याओं के गुणनफल में शून्य निकालने हों।", "examples": [{"q": "100! के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "100 / 5 = 20\n20 / 5 = 4\nकुल शून्य = 20 + 4 = 24", "ans": "24"}, {"q": "500! के अंत में कितने शून्य होंगे?", "sol": "500 / 5 = 100\n100 / 5 = 20\n20 / 5 = 4\nकुल शून्य = 100 + 20 + 4 = 124", "ans": "124"}], "when_en": "To find the number of zeros in a factorial (n!) or a product of consecutive numbers starting from 1."}, {"formula": "Number of zeros = min(Power of 2, Power of 5)", "when_hi": "जब संख्याएँ अलग-अलग दी गई हों या घात (Power) के रूप में हों।", "examples": [{"q": "2^10 x 5^7 के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?", "sol": "2 की घात = 10\n5 की घात = 7\nन्यूनतम घात (Minimum) = 7\nशून्यों की संख्या = 7", "ans": "7"}, {"q": "12 x 15 x 20 x 25 में शून्यों की संख्या ज्ञात करें।", "sol": "12 = 2^2 x 3\n15 = 3 x 5^1\n20 = 2^2 x 5^1\n25 = 5^2\nकुल 2 की घात = 2 + 2 = 4\nकुल 5 की घात = 1 + 1 + 2 = 4\nशून्य = 4", "ans": "4"}], "when_en": "When numbers are given individually or in the form of powers."}], "variations": ["फैक्टोरियल (n!) में शून्यों की संख्या", "संख्याओं के क्रमिक गुणनफल (Product of series) में शून्य", "घातों (Powers) के रूप में दी गई संख्याओं में शून्य", "विषम संख्याओं के गुणनफल में शून्य", "10 के गुणजों (Multiples of 10) वाली श्रृंखला में शून्य"], "examples": [{"variation": "फैक्टोरियल (n!) में शून्यों की संख्या", "q": "140! के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "140 / 5 = 28\n28 / 5 = 5 (भागफल)\n5 / 5 = 1\nकुल शून्य = 28 + 5 + 1 = 34", "ans": "34"}, {"variation": "संख्याओं के क्रमिक गुणनफल (Product of series) में शून्य", "q": "1 x 2 x 3 x ... x 1000 के अंत में कितने शून्य होंगे?", "sol": "यह 1000! के समान है।\n1000 / 5 = 200\n200 / 5 = 40\n40 / 5 = 8\n8 / 5 = 1\nकुल शून्य = 200 + 40 + 8 + 1 = 249", "ans": "249"}, {"variation": "घातों (Powers) के रूप में दी गई संख्याओं में शून्य", "q": "2^222 x 5^555 के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?", "sol": "2 की घात = 222\n5 की घात = 555\nशून्य = min(222, 555)\nशून्य = 222", "ans": "222"}, {"variation": "विषम संख्याओं के गुणनफल में शून्य", "q": "1 x 3 x 5 x 7 x ... x 99 के गुणनफल में शून्यों की संख्या ज्ञात करें।", "sol": "शून्य के लिए 2 और 5 दोनों चाहिए।\nइस श्रृंखला में सभी संख्याएँ विषम (Odd) हैं।\nयहाँ 5 तो है, लेकिन एक भी 2 मौजूद नहीं है।\nइसलिए कोई जोड़ा नहीं बनेगा।", "ans": "0"}, {"variation": "संख्याओं के क्रमिक गुणनफल (Product of series) में शून्य", "q": "2 x 4 x 6 x ... x 200 के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात करें।", "sol": "2^100 x (1 x 2 x 3 x ... x 100)\n2 की घात पर्याप्त है, हमें 1 से 100 तक में 5 की घात देखनी है।\n100 / 5 = 20\n20 / 5 = 4\nकुल शून्य = 24", "ans": "24"}, {"variation": "घातों (Powers) के रूप में दी गई संख्याओं में शून्य", "q": "125^4 x 16^3 के अंत में शून्यों की संख्या क्या होगी?", "sol": "125^4 = (5^3)^4 = 5^12\n16^3 = (2^4)^3 = 2^12\n2 की घात = 12, 5 की घात = 12\nजोड़ों की संख्या = 12", "ans": "12"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं में यह टॉपिक 'Number System' के अंतर्गत आता है। CGL और CHSL में अक्सर 100! से 1000! के बीच के सवाल या 10, 20, 30 की सीरीज वाले सवाल पूछे जाते हैं।", "asked_en": "This topic is a staple in SSC exams under Number System. Questions usually range from direct factorials like 100! to 1000!, or series involving multiples of 10 or 5.", "mistakes_hi": ["केवल 5 से भाग देना और 25 या 125 जैसे उच्च घातों को छोड़ देना।", "विषम संख्याओं की सीरीज में 5 देखकर शून्य गिन लेना, जबकि 2 के बिना शून्य नहीं बनता।", "10 की सीरीज में बाहर निकाले गए 10 की घात को जोड़ना भूल जाना।"], "tip_en": "In a series of multiples of 5 (5, 10, 15...), 5s are more than 2s, so count the power of 2 instead of 5 to find zeros.", "tip_hi": "यदि सीरीज 5 के गुणजों (5, 10, 15...) की है, तो 5 की संख्या 2 से अधिक होगी, ऐसी स्थिति में शून्यों के लिए 2 की घात गिनें।"}, {"name_hi": "n! में अभाज्य/संयुक्त संख्या की अधिकतम घात", "name_en": "Highest power of a prime/composite in n!", "explain_hi": "किसी फैक्टोरियल (n!) में किसी अभाज्य संख्या (Prime Number) की अधिकतम घात निकालने के लिए हम 'क्रमिक विभाजन' (Successive Division) का उपयोग करते हैं। इसमें n को उस अभाज्य संख्या से तब तक भाग देते हैं जब तक भागफल छोटा न हो जाए, फिर सभी भागफलों को जोड़ देते हैं। यदि संख्या संयुक्त (Composite) है, तो उसे अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ते हैं। संयुक्त संख्या की घात उस अभाज्य गुणनखंड पर निर्भर करती है जिसकी घात कम आती है (अक्सर सबसे बड़ा अभाज्य)। यह विधि शून्य की संख्या (Trailing Zeros) निकालने का आधार है।", "explain_en": "To find the highest power of a prime number in n!, we use successive division of n by that prime and sum up the quotients. For composite numbers, we first factorize them into prime factors. The highest power of the composite number is determined by the limiting prime factor (the one that appears the fewest times, usually the largest prime). This concept is essential for solving problems related to divisibility and trailing zeros in factorials.", "formulas": [{"formula": "E_p(n!) = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3] + ...", "when_hi": "जब n! में किसी अभाज्य संख्या (p) की अधिकतम घात निकालनी हो।", "examples": [{"q": "100! में अभाज्य संख्या 5 की अधिकतम घात ज्ञात कीजिए।", "sol": "100 / 5 = 20\n20 / 5 = 4\nकुल घात = 20 + 4 = 24", "ans": "24"}, {"q": "60! में अभाज्य संख्या 3 की अधिकतम घात क्या होगी?", "sol": "60 / 3 = 20\n20 / 3 = 6\n6 / 3 = 2\nकुल घात = 20 + 6 + 2 = 28", "ans": "28"}], "when_en": "When you need to find the maximum power of a prime number (p) in n!."}, {"formula": "Power of Composite (C = p^a * q^b) = min(Power of p / a, Power of q / b)", "when_hi": "जब n! में किसी संयुक्त संख्या (जैसे 6, 12, 15) की अधिकतम घात निकालनी हो।", "examples": [{"q": "40! में 6 की अधिकतम घात ज्ञात कीजिए।", "sol": "6 = 2 × 3\n3 की घात: 40/3 = 13, 13/3 = 4, 4/3 = 1 (कुल = 18)\n2 की घात: 40/2 = 20, 20/2 = 10, 10/2 = 5, 5/2 = 2, 2/2 = 1 (कुल = 38)\nन्यूनतम मान = 18", "ans": "18"}, {"q": "20! में 4 की अधिकतम घात क्या है?", "sol": "4 = 2^2\n2 की घात: 20/2 = 10, 10/2 = 5, 5/2 = 2, 2/2 = 1 (कुल = 18)\n4 की घात = 18 / 2 = 9", "ans": "9"}], "when_en": "When you need to find the maximum power of a composite number in n!."}], "variations": ["अभाज्य संख्या की अधिकतम घात (Highest power of a Prime)", "संयुक्त संख्या की अधिकतम घात (Highest power of a Composite)", "विभाज्यता पर आधारित प्रश्न (Divisibility based questions)", "बड़ी घात वाली संयुक्त संख्या (Composite numbers with higher powers like 4^k or 9^k)"], "examples": [{"variation": "अभाज्य संख्या की अधिकतम घात (Highest power of a Prime)", "q": "120! में अभाज्य संख्या 7 की अधिकतम घात ज्ञात कीजिए।", "sol": "120 / 7 = 17 (भागफल)\n17 / 7 = 2 (भागफल)\nकुल घात = 17 + 2 = 19", "ans": "19"}, {"variation": "अभाज्य संख्या की अधिकतम घात (Highest power of a Prime)", "q": "200! में 3 की अधिकतम घात क्या है?", "sol": "200 / 3 = 66\n66 / 3 = 22\n22 / 3 = 7\n7 / 3 = 2\nकुल घात = 66 + 22 + 7 + 2 = 97", "ans": "97"}, {"variation": "संयुक्त संख्या की अधिकतम घात (Highest power of a Composite)", "q": "50! में 15 की अधिकतम घात ज्ञात कीजिए।", "sol": "15 = 3 × 5\n5 की घात: 50/5 = 10, 10/5 = 2 (कुल = 12)\n3 की घात: 50/3 = 16, 16/3 = 5, 5/3 = 1 (कुल = 22)\nन्यूनतम (12, 22) = 12", "ans": "12"}, {"variation": "विभाज्यता पर आधारित प्रश्न (Divisibility based questions)", "q": "यदि 100!, 11^k से पूर्णतः विभाज्य है, तो k का अधिकतम मान क्या होगा?", "sol": "k का मान 100! में 11 की अधिकतम घात के बराबर होगा\n100 / 11 = 9\nचूंकि 9, 11 से छोटा है, आगे भाग नहीं होगा\nकुल घात = 9", "ans": "9"}, {"variation": "बड़ी घात वाली संयुक्त संख्या (Composite numbers with higher powers like 4^k or 9^k)", "q": "75! में 8 की अधिकतम घात ज्ञात कीजिए।", "sol": "8 = 2^3\n2 की घात: 75/2=37, 37/2=18, 18/2=9, 9/2=4, 4/2=2, 2/2=1\n2 की कुल घात = 37+18+9+4+2+1 = 71\n8 की घात = 71 / 3 = 23.66 (केवल पूर्णांक लें)\nअधिकतम घात = 23", "ans": "23"}, {"variation": "बड़ी घात वाली संयुक्त संख्या (Composite numbers with higher powers like 4^k or 9^k)", "q": "50! में 12 की अधिकतम घात क्या होगी?", "sol": "12 = 2^2 × 3\n3 की घात: 50/3=16, 16/3=5, 5/3=1 (कुल = 22)\n2 की घात: 50/2=25, 25/2=12, 12/2=6, 6/2=3, 3/2=1 (कुल = 47)\n2^2 की घात = 47 / 2 = 23\nन्यूनतम (22, 23) = 22", "ans": "22"}, {"variation": "संयुक्त संख्या की अधिकतम घात (Highest power of a Composite)", "q": "100! में 10 की अधिकतम घात ज्ञात कीजिए।", "sol": "10 = 2 × 5\n5 की घात: 100/5 = 20, 20/5 = 4 (कुल = 24)\n2 की घात हमेशा 5 से अधिक होगी\nअतः 10 की घात = 24", "ans": "24"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं (CGL, CHSL) में यह टॉपिक अक्सर 'Trailing Zeros' या 'Divisibility' के रूप में पूछा जाता है। हर साल लगभग 1-2 प्रश्न इस कॉन्सेप्ट पर आधारित होते हैं।", "asked_en": "In SSC exams like CGL and CHSL, this topic is frequently asked under 'Trailing Zeros' or 'Divisibility' rules. Usually, 1-2 questions based on this concept appear every year.", "mistakes_hi": ["संयुक्त संख्या (जैसे 6) से सीधे भाग देना गलत है; हमेशा अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ें।", "भाग देते समय शेषफल (Remainder) को जोड़ना; केवल भागफल (Quotient) को ही जोड़ना चाहिए।", "बड़ी घात वाली संख्या (जैसे 8 = 2^3) में अंतिम भागफल को घात (3) से भाग देना भूल जाना।"], "tip_en": "For composite numbers like 10 or 15, only calculate the power of the larger prime factor (5 in both cases) as it will always be the limiting factor.", "tip_hi": "संयुक्त संख्या जैसे 10 या 15 के लिए, केवल बड़े अभाज्य गुणनखंड (दोनों में 5) की घात निकालें, क्योंकि वही हमेशा कम मात्रा में उपलब्ध होगा और उत्तर तय करेगा।"}, {"name_hi": "गुणनखंडों की संख्या और योग", "name_en": "Number and Sum of Factors", "explain_hi": "किसी भी संख्या के गुणनखंड (Factors) वे संख्याएँ होती हैं जो उसे पूरी तरह विभाजित करती हैं। इसे हल करने के लिए सबसे पहले संख्या का अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) किया जाता है, जैसे N = a^p × b^q × c^r। यहाँ a, b, c अभाज्य संख्याएँ हैं। कुल गुणनखंडों की संख्या निकालने के लिए सभी घातों (powers) में 1 जोड़कर गुणा किया जाता है। यह विषय SSC परीक्षाओं में बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि इससे सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं।", "explain_en": "Factors are numbers that divide a given number completely. To find them, we first perform prime factorization: N = a^p × b^q × c^r. The total number of factors is found by adding 1 to each exponent and multiplying them. This concept is essential for recognizing patterns in divisors, even/odd distributions, and their sums in competitive exams.", "formulas": [{"formula": "Total Factors = (p+1)(q+1)(r+1)", "when_hi": "जब किसी संख्या के सभी गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करनी हो।", "examples": [{"q": "संख्या 360 के कुल कितने गुणनखंड हैं?", "sol": "360 का अभाज्य गुणनखंडन = 2^3 × 3^2 × 5^1\\nयहाँ p=3, q=2, r=1\\nकुल गुणनखंड = (3+1) × (2+1) × (1+1)\\nकुल गुणनखंड = 4 × 3 × 2 = 24", "ans": "24"}, {"q": "संख्या 500 के कुल गुणनखंडों की संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "500 = 2^2 × 5^3\\nयहाँ p=2, q=3\\nकुल गुणनखंड = (2+1) × (3+1)\\nकुल गुणनखंड = 3 × 4 = 12", "ans": "12"}], "when_en": "When you need to find the total number of divisors of a number."}, {"formula": "Odd Factors = (q+1)(r+1) and Even Factors = p(q+1)(r+1)", "when_hi": "जब सम (Even) और विषम (Odd) गुणनखंडों की संख्या अलग-अलग निकालनी हो (जहाँ a=2 है)।", "examples": [{"q": "120 के सम और विषम गुणनखंडों की संख्या ज्ञात करें।", "sol": "120 = 2^3 × 3^1 × 5^1\\nविषम गुणनखंड (2 की घात छोड़कर) = (1+1) × (1+1) = 4\\nसम गुणनखंड = 3 × (1+1) × (1+1) = 12", "ans": "विषम: 4, सम: 12"}, {"q": "180 के विषम गुणनखंडों की संख्या क्या है?", "sol": "180 = 2^2 × 3^2 × 5^1\\nविषम गुणनखंड = (2+1) × (1+1)\\nविषम गुणनखंड = 3 × 2 = 6", "ans": "6"}], "when_en": "When you need to calculate the count of even and odd divisors separately."}, {"formula": "Sum of Factors = [(a^(p+1)-1)/(a-1)] × [(b^(q+1)-1)/(b-1)]", "when_hi": "जब संख्या के सभी गुणनखंडों का योगफल ज्ञात करना हो।", "examples": [{"q": "72 के सभी गुणनखंडों का योग ज्ञात कीजिए।", "sol": "72 = 2^3 × 3^2\\nयोग = [(2^4-1)/(2-1)] × [(3^3-1)/(3-1)]\\nयोग = (15/1) × (26/2)\\nयोग = 15 × 13 = 195", "ans": "195"}, {"q": "100 के सभी गुणनखंडों का योग क्या होगा?", "sol": "100 = 2^2 × 5^2\\nयोग = (2^0+2^1+2^2) × (5^0+5^1+5^2)\\nयोग = (1+2+4) × (1+5+25)\\nयोग = 7 × 31 = 217", "ans": "217"}], "when_en": "When the question asks for the sum of all divisors of a number."}, {"formula": "Ways as product of two factors = Total/2 or (Total+1)/2", "when_hi": "जब संख्या को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने के तरीके पूछे जाएँ।", "examples": [{"q": "80 को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है?", "sol": "80 = 2^4 × 5^1\\nकुल गुणनखंड = (4+1)(1+1) = 10\\nतरीके = 10 / 2 = 5", "ans": "5"}, {"q": "36 को दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने के तरीके ज्ञात करें।", "sol": "36 = 2^2 × 3^2\\nकुल गुणनखंड = (2+1)(2+1) = 9 (पूर्ण वर्ग)\\nतरीके = (9+1) / 2 = 5", "ans": "5"}], "when_en": "To find how many pairs of factors can multiply to give the original number."}], "variations": ["कुल गुणनखंडों की संख्या (Total number of factors)", "विषम और सम गुणनखंडों की संख्या (Number of odd and even factors)", "गुणनखंडों का योग (Sum of factors)", "दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना (Expressing as product of two factors)", "अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (Number of prime factors)", "विशिष्ट संख्या से विभाज्य गुणनखंड (Factors divisible by a specific number)", "सम गुणनखंडों का योग (Sum of even factors)"], "examples": [{"variation": "कुल गुणनखंडों की संख्या (Total number of factors)", "q": "संख्या 1080 के कुल कितने गुणनखंड हैं?", "sol": "1080 = 2^3 × 3^3 × 5^1\\nकुल गुणनखंड = (3+1)(3+1)(1+1)\\nकुल गुणनखंड = 4 × 4 × 2 = 32", "ans": "32"}, {"variation": "विषम और सम गुणनखंडों की संख्या (Number of odd and even factors)", "q": "240 के सम गुणनखंडों की संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "240 = 2^4 × 3^1 × 5^1\\nसम गुणनखंड = 4 × (1+1) × (1+1)\\nसम गुणनखंड = 4 × 2 × 2 = 16", "ans": "16"}, {"variation": "गुणनखंडों का योग (Sum of factors)", "q": "संख्या 60 के सभी गुणनखंडों का योगफल क्या है?", "sol": "60 = 2^2 × 3^1 × 5^1\\nयोग = (2^0+2^1+2^2) × (3^0+3^1) × (5^0+5^1)\\nयोग = (1+2+4) × (1+3) × (1+5)\\nयोग = 7 × 4 × 6 = 168", "ans": "168"}, {"variation": "दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करना (Expressing as product of two factors)", "q": "एक पूर्ण वर्ग संख्या 400 को दो भिन्न गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में कितने तरीकों से लिखा जा सकता है?", "sol": "400 = 2^4 × 5^2\\nकुल गुणनखंड = (4+1)(2+1) = 15\\nभिन्न गुणनखंडों के तरीके = (15-1) / 2 = 7", "ans": "7"}, {"variation": "अभाज्य गुणनखंडों की संख्या (Number of prime factors)", "q": "(30)^15 × (22)^11 × (15)^24 में अभाज्य गुणनखंडों की कुल संख्या ज्ञात करें।", "sol": "(2×3×5)^15 × (2×11)^11 × (3×5)^24\\n= 2^15 × 3^15 × 5^15 × 2^11 × 11^11 × 3^24 × 5^24\\n= 2^26 × 3^39 × 5^39 × 11^11\\nअभाज्य गुणनखंडों की संख्या = 26 + 39 + 39 + 11 = 115", "ans": "115"}, {"variation": "विशिष्ट संख्या से विभाज्य गुणनखंड (Factors divisible by a specific number)", "q": "720 के ऐसे कितने गुणनखंड हैं जो 12 से विभाज्य हैं?", "sol": "720 = 2^4 × 3^2 × 5^1\\n12 = 2^2 × 3^1 को बाहर लेने पर\\n720 = (2^2 × 3^1) × (2^2 × 3^1 × 5^1)\\nशेष भाग के गुणनखंड = (2+1)(1+1)(1+1) = 12", "ans": "12"}, {"variation": "सम गुणनखंडों का योग (Sum of even factors)", "q": "संख्या 40 के सभी सम गुणनखंडों का योग ज्ञात करें।", "sol": "40 = 2^3 × 5^1\\nसम योग = (2^1+2^2+2^3) × (5^0+5^1)\\nसम योग = (2+4+8) × (1+5)\\nसम योग = 14 × 6 = 84", "ans": "84"}], "asked_hi": "SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से अक्सर 1 प्रश्न पूछा जाता है। मुख्य रूप से 'कुल गुणनखंड' और 'अभाज्य गुणनखंडों की संख्या' पर आधारित प्रश्न अधिक आते हैं।", "asked_en": "One question is frequently asked in SSC CGL and CHSL. Questions are mostly based on 'Total Factors' and 'Number of Prime Factors'.", "mistakes_hi": ["विषम गुणनखंड निकालते समय 2 की घात (2^0) को जोड़ देना, जबकि उसे पूरी तरह छोड़ना चाहिए।", "अभाज्य गुणनखंडों की संख्या और कुल गुणनखंडों की संख्या के बीच भ्रमित होना।", "पूर्ण वर्ग संख्या के मामले में दो गुणनखंडों के जोड़ों की गणना में +1 करना भूल जाना।"], "tip_en": "To find even factors quickly, just take the power of 2 as it is (don't add 1) and multiply it by (power+1) of all other prime bases.", "tip_hi": "सम गुणनखंड जल्दी निकालने के लिए, 2 की घात में 1 न जोड़ें (उसे वैसा ही रहने दें) और बाकी सभी अभाज्य आधारों की घातों में 1 जोड़कर गुणा कर दें।"}, {"name_hi": "पूर्ण वर्ग और गुणा/भाग द्वारा पूर्ण वर्ग बनाना", "name_en": "Perfect Squares and Making them by Multiply/Divide", "explain_hi": "पूर्ण वर्ग (Perfect Square) वह संख्या है जिसका वर्गमूल एक पूर्णांक होता है। अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) करने पर, एक पूर्ण वर्ग संख्या के सभी अभाज्य गुणनखंडों की घातें (Powers) हमेशा सम (Even) होती हैं। यदि किसी संख्या की घात विषम (Odd) है, तो उसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए उसी संख्या से गुणा या भाग किया जाता है। परीक्षा में अक्सर वह छोटी से छोटी संख्या पूछी जाती है जिसे गुणा या भाग करने पर संख्या पूर्ण वर्ग बन जाए।", "explain_en": "A perfect square is a number whose square root is an integer. In prime factorization, all prime factors of a perfect square must have even exponents. If a factor has an odd exponent, we multiply or divide by that factor to make the exponent even. This sub-topic focuses on finding the smallest multiplier or divisor to convert a given number into a perfect square.", "formulas": [{"formula": "N = a^p * b^q * c^r... (p, q, r = even)", "when_hi": "पूर्ण वर्ग की पहचान करने के लिए", "examples": [{"q": "क्या 180 एक पूर्ण वर्ग है? यदि नहीं, तो इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए किस छोटी संख्या से गुणा करें?", "sol": "180 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर: 180 = 2² × 3² × 5¹\\nयहाँ 5 की घात 1 (विषम) है\\nअतः 180 पूर्ण वर्ग नहीं है\\nइसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 5 से गुणा करना होगा\\n180 × 5 = 900 (30²)\\nउत्तर = 5", "ans": "5"}, {"q": "क्या 147 एक पूर्ण वर्ग है? यदि नहीं, तो इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए किस छोटी संख्या से भाग दें?", "sol": "147 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर: 147 = 3¹ × 7²\\nयहाँ 3 की घात 1 (विषम) है\\nअतः 147 पूर्ण वर्ग नहीं है\\nइसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए 3 से भाग देना होगा\\n147 / 3 = 49 (7²)\\nउत्तर = 3", "ans": "3"}], "when_en": "To identify a perfect square"}, {"formula": "Multiplier/Divisor = Product of factors with odd powers", "when_hi": "न्यूनतम गुणांक या भाजक ज्ञात करने के लिए", "examples": [{"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1008 को गुणा करने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए।", "sol": "1008 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर: 1008 = 2⁴ × 3² × 7¹\\nविषम घात वाला गुणनखंड 7 है\\nअतः गुणा की जाने वाली संख्या = 7\\n1008 × 7 = 7056\\n7056 = 84²\\nउत्तर = 7", "ans": "7"}, {"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 540 को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए।", "sol": "540 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर: 540 = 2² × 3³ × 5¹\\nविषम घात वाले गुणनखंड 3 और 5 हैं\\nअतः भाग दी जाने वाली संख्या = 3¹ × 5¹\\n3 × 5 = 15\\n540 / 15 = 36 (6²)\\nउत्तर = 15", "ans": "15"}], "when_en": "To find the minimum multiplier or divisor"}], "variations": ["न्यूनतम संख्या जिससे गुणा करने पर पूर्ण वर्ग बने", "न्यूनतम संख्या जिससे भाग देने पर पूर्ण वर्ग बने", "पूर्ण वर्ग संख्या की पहचान", "बड़ी संख्याओं का गुणनखंडन", "दी गई संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए आवश्यक गुणनखंड"], "examples": [{"variation": "न्यूनतम संख्या जिससे गुणा करने पर पूर्ण वर्ग बने", "q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1008 को गुणा करने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए।", "sol": "1008 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:\\n1008 = 2⁴ × 3² × 7¹\\nयहाँ 7 की घात 1 (विषम) है\\nइसे सम बनाने के लिए 7 से गुणा करना होगा\\n7¹ × 7 = 7² (सम घात)\\nअतः न्यूनतम संख्या 7 है\\nउत्तर = 7", "ans": "7"}, {"variation": "न्यूनतम संख्या जिससे भाग देने पर पूर्ण वर्ग बने", "q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 540 को भाग देने पर वह एक पूर्ण वर्ग बन जाए।", "sol": "540 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:\\n540 = 2² × 3³ × 5¹\\nयहाँ 3 की घात 3 और 5 की घात 1 विषम हैं\\nपूर्ण वर्ग बनाने के लिए 3¹ × 5¹ से भाग देना होगा\\n3 × 5 = 15\\nअतः 15 से भाग देना होगा\\nउत्तर = 15", "ans": "15"}, {"variation": "पूर्ण वर्ग संख्या की पहचान", "q": "निम्नलिखित में से कौन सी संख्या एक पूर्ण वर्ग है? (A) 2307 (B) 2303 (C) 2302 (D) 2304", "sol": "नियम: पूर्ण वर्ग का इकाई अंक 2, 3, 7, 8 नहीं हो सकता\\nविकल्प A, B, C के इकाई अंक 7, 3, 2 हैं\\nअतः ये पूर्ण वर्ग नहीं हो सकते\\n2304 का इकाई अंक 4 है\\n48 × 48 = 2304\\nअतः 2304 एक पूर्ण वर्ग है\\nउत्तर = 2304", "ans": "2304"}, {"variation": "बड़ी संख्याओं का गुणनखंडन", "q": "7776 को किस न्यूनतम संख्या से गुणा किया जाए कि यह एक पूर्ण वर्ग बन जाए?", "sol": "7776 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:\\n7776 = 2⁵ × 3⁵\\nयहाँ 2 और 3 दोनों की घातें विषम हैं\\nपूर्ण वर्ग के लिए घातें सम होनी चाहिए\\nअतः 2¹ × 3¹ = 6 से गुणा करना होगा\\n7776 × 6 = 46656\\nउत्तर = 6", "ans": "6"}, {"variation": "न्यूनतम संख्या जिससे गुणा करने पर पूर्ण वर्ग बने", "q": "1323 को किस छोटी से छोटी संख्या से गुणा करें कि प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग हो?", "sol": "1323 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:\\n1323 = 3³ × 7²\\nयहाँ 3 की घात 3 (विषम) है\\nइसे सम बनाने के लिए एक और 3 चाहिए\\n1323 × 3 = 3969\\n3969 = 63²\\nउत्तर = 3", "ans": "3"}, {"variation": "न्यूनतम संख्या जिससे भाग देने पर पूर्ण वर्ग बने", "q": "2940 को किस छोटी से छोटी संख्या से भाग दें कि प्राप्त संख्या पूर्ण वर्ग हो?", "sol": "2940 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:\\n2940 = 2² × 3¹ × 5¹ × 7²\\nयहाँ 3 और 5 की घातें विषम हैं\\nपूर्ण वर्ग के लिए 3 × 5 को हटाना (भाग देना) होगा\\n3 × 5 = 15\\n2940 / 15 = 196 (14²)\\nउत्तर = 15", "ans": "15"}, {"variation": "दी गई संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए आवश्यक गुणनखंड", "q": "120 को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए आवश्यक न्यूनतम गुणांक क्या है?", "sol": "120 का अभाज्य गुणनखंडन करने पर:\\n120 = 2³ × 3¹ × 5¹\\nविषम घात वाले गुणनखंड: 2, 3, 5\\nपूर्ण वर्ग के लिए आवश्यक गुणांक = 2 × 3 × 5\\n2 × 3 × 5 = 30\\n120 × 30 = 3600 (60²)\\nउत्तर = 30", "ans": "30"}], "asked_hi": "यह उप-विषय SSC MTS, GD और CHSL में अक्सर पूछा जाता है। आमतौर पर 1 प्रश्न अभाज्य गुणनखंडन पर आधारित होता है।", "asked_en": "This sub-topic is frequently asked in SSC MTS, GD, and CHSL exams. Usually, one question is based on prime factorization to find the multiplier or divisor.", "mistakes_hi": ["अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization) में गलती करना।", "केवल एक विषम घात वाले गुणनखंड को देखना और बाकियों को भूल जाना।", "गुणा और भाग के नियमों में भ्रमित होना (हालांकि दोनों में उत्तर समान ही आता है)।"], "tip_en": "To make a number a perfect square, the smallest number to multiply or divide is the product of all prime factors that have odd powers.", "tip_hi": "किसी भी संख्या को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए गुणा या भाग की जाने वाली न्यूनतम संख्या वही होती है जिसके अभाज्य गुणनखंडों की घात विषम (Odd) होती है।"}], "summary_hi": ["इकाई अंक चक्रियता: {0,1,5,6} की घात कुछ भी हो, इकाई अंक वही रहता है।", "{4,9} की चक्रियता 2 है: 4^विषम=4, 4^सम=6; 9^विषम=9, 9^सम=1।", "{2,3,7,8} की चक्रियता 4 है: घात को 4 से भाग दें और शेषफल को नई घात मानें।", "शून्यों की संख्या: n! या गुणनफल में 2 और 5 के जोड़ों की संख्या (मुख्यतः 5 की घात)।", "n! में अभाज्य p की अधिकतम घात = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3]...", "कुल गुणनखंड: यदि N = a^p * b^q * c^r, तो कुल गुणनखंड = (p+1)(q+1)(r+1)।", "विषम गुणनखंड: केवल विषम अभाज्य आधारों की घातों का उपयोग करें (p+1)(q+1)...", "सम गुणनखंड = कुल गुणनखंड - विषम गुणनखंड।", "गुणनखंडों का योग = [(a^(p+1)-1)/(a-1)] * [(b^(q+1)-1)/(b-1)]...", "दो गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखने के तरीके = कुल गुणनखंड / 2 (यदि पूर्ण वर्ग नहीं है)।"], "summary_en": ["Unit Digit Cyclicity: {0,1,5,6} always result in the same unit digit regardless of power.", "{4,9} have cyclicity of 2: 4^odd=4, 4^even=6; 9^odd=9, 9^even=1.", "{2,3,7,8} have cyclicity of 4: Divide power by 4 and use remainder as new power.", "Number of Zeros: Number of (2, 5) pairs in n! or product (usually determined by power of 5).", "Highest power of prime p in n! = [n/p] + [n/p^2] + [n/p^3]...", "Total Factors: If N = a^p * b^q * c^r, then total factors = (p+1)(q+1)(r+1).", "Odd Factors: Use only powers of odd prime bases (p+1)(q+1)...", "Even Factors = Total Factors - Odd Factors.", "Sum of Factors = [(a^(p+1)-1)/(a-1)] * [(b^(q+1)-1)/(b-1)]...", "Ways to express as product of two factors = Total Factors / 2 (if not a perfect square)."]}