HCF और LCM (महत्तम समापवर्तक एवं लघुत्तम समापवर्त्य)

{"kind": "quant", "intro_hi": "SSC CGL, CHSL, CPO और MTS (Tier-1 एवं Tier-2) की परीक्षाओं में HCF और LCM से हर पाली में 1 से 2 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। यह अध्याय अत्यधिक स्कोरिंग है क्योंकि इसके प्रश्न सीधे नियमों और सूत्रों पर आधारित होते हैं। सही शॉर्टकट और अवधारणाओं की मदद से इन्हें बिना समय गंवाए आसानी से हल किया जा सकता है।", "intro_en": "In SSC exams (CGL, CHSL, CPO, MTS - Tier-1 & Tier-2), 1 to 2 questions are regularly asked from the HCF and LCM chapter. It is a highly scoring topic because concepts are formula-driven and direct. With clear fundamental concepts and basic shortcuts, students can solve these questions with 100% accuracy in minimal time.", "subtopics": [{"name_hi": "HCF/LCM अभाज्य गुणनखंड और गुणनफल नियम", "name_en": "HCF/LCM by Prime Factorisation and Product Rule", "explain_hi": "HCF (महत्तम समापवर्तक) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई संख्याओं को पूरी तरह विभाजित करती है। LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) वह सबसे छोटी संख्या है जो दी गई संख्याओं से पूरी तरह विभाजित होती है। अभाज्य गुणनखंड (Prime Factorisation) विधि में हम संख्याओं को अभाज्य अंकों की घातों में तोड़ते हैं। दो संख्याओं के लिए, उनके HCF और LCM का गुणनफल हमेशा उन दोनों संख्याओं के गुणनफल के बराबर होता है। यह नियम केवल दो संख्याओं पर लागू होता है।", "explain_en": "HCF is the largest number that divides given numbers, while LCM is the smallest number divisible by them. Prime factorisation involves breaking numbers into powers of prime factors. For any two numbers, the product of their HCF and LCM is equal to the product of the numbers themselves. This fundamental property is widely used to find a missing value when the other three are known.", "formulas": [{"formula": "HCF × LCM = a × b", "when_hi": "जब दो संख्याएँ (a, b) और उनके HCF या LCM में से कोई एक दिया हो।", "examples": [{"q": "दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 72 है। यदि एक संख्या 24 है, तो दूसरी ज्ञात करें।", "sol": "HCF = 12, LCM = 72, a = 24\\nसूत्र: a × b = HCF × LCM\\n24 × b = 12 × 72\\nb = (12 × 72) / 24\\nb = 864 / 24 = 36", "ans": "दूसरी संख्या = 36"}, {"q": "दो संख्याओं का गुणनफल 150 है और उनका HCF 5 है। उनका LCM क्या होगा?", "sol": "गुणनफल (a × b) = 150\\nHCF = 5\\nसूत्र: LCM = (a × b) / HCF\\nLCM = 150 / 5 = 30", "ans": "LCM = 30"}], "when_en": "When two numbers and either their HCF or LCM are given."}, {"formula": "HCF = Product of common prime factors with lowest powers", "when_hi": "जब संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड दिए हों या निकालने हों।", "examples": [{"q": "18 और 24 का HCF ज्ञात करें।", "sol": "18 = 2^1 × 3^2\\n24 = 2^3 × 3^1\\nउभयनिष्ठ गुणनखंड: 2 और 3\\nन्यूनतम घातें: 2^1 और 3^1\\nHCF = 2 × 3 = 6", "ans": "HCF = 6"}, {"q": "30 और 45 का HCF ज्ञात करें।", "sol": "30 = 2^1 × 3^1 × 5^1\\n45 = 3^2 × 5^1\\nउभयनिष्ठ गुणनखंड: 3 और 5\\nन्यूनतम घातें: 3^1 और 5^1\\nHCF = 3 × 5 = 15", "ans": "HCF = 15"}], "when_en": "When prime factors of numbers are available."}, {"formula": "LCM = Product of all prime factors with highest powers", "when_hi": "जब संख्याओं का सबसे छोटा साझा गुणज निकालना हो।", "examples": [{"q": "12 और 18 का LCM ज्ञात करें।", "sol": "12 = 2^2 × 3^1\\n18 = 2^1 × 3^2\\nसभी गुणनखंड: 2 और 3\\nअधिकतम घातें: 2^2 और 3^2\\nLCM = 4 × 9 = 36", "ans": "LCM = 36"}, {"q": "15 और 20 का LCM ज्ञात करें।", "sol": "15 = 3^1 × 5^1\\n20 = 2^2 × 5^1\\nसभी गुणनखंड: 2, 3 और 5\\nअधिकतम घातें: 2^2, 3^1 और 5^1\\nLCM = 4 × 3 × 5 = 60", "ans": "LCM = 60"}], "when_en": "When the least common multiple of numbers is required."}], "variations": ["अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM", "दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = a × b सूत्र", "घात (Power) के रूप में दी गई संख्याओं का HCF/LCM", "बड़ी संख्याओं के लिए भाग विधि (Division Method)", "अनुपात और HCF दिए होने पर LCM ज्ञात करना", "तीन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड विधि से HCF/LCM", "गुणनफल और HCF से संख्याएँ या जोड़े ज्ञात करना"], "examples": [{"variation": "अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा HCF और LCM", "q": "24 और 36 का HCF और LCM ज्ञात कीजिए।", "sol": "24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 2^3 × 3^1\\n36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 2^2 × 3^2\\nHCF = 2^2 × 3^1 = 4 × 3 = 12\\nLCM = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72", "ans": "HCF = 12, LCM = 72"}, {"variation": "दो संख्याओं के लिए HCF × LCM = a × b सूत्र", "q": "दो संख्याओं का LCM 693 है और उनका HCF 11 है। यदि एक संख्या 77 है, तो दूसरी संख्या क्या है?", "sol": "HCF = 11, LCM = 693, a = 77\\nसूत्र: a × b = HCF × LCM\\n77 × b = 11 × 693\\nb = (11 × 693) / 77\\nb = 693 / 7 = 99", "ans": "दूसरी संख्या = 99"}, {"variation": "घात (Power) के रूप में दी गई संख्याओं का HCF/LCM", "q": "यदि A = 2^3 × 3^2 और B = 2^2 × 3^3 × 5 है, तो उनका HCF और LCM क्या होगा?", "sol": "A = 2^3 × 3^2\\nB = 2^2 × 3^3 × 5^1\\nHCF = 2^2 × 3^2 = 4 × 9 = 36\\nLCM = 2^3 × 3^3 × 5^1 = 8 × 27 × 5 = 1080", "ans": "HCF = 36, LCM = 1080"}, {"variation": "बड़ी संख्याओं के लिए भाग विधि (Division Method)", "q": "भाग विधि का उपयोग करके 923 और 949 का HCF ज्ञात करें।", "sol": "949 को 923 से भाग देने पर शेषफल = 26\\n923 को 26 से भाग देने पर: 923 = 26 × 35 + 13\\nशेषफल = 13\\n26 को 13 से भाग देने पर: 26 = 13 × 2 + 0\\nअंतिम भाजक = 13", "ans": "HCF = 13"}, {"variation": "अनुपात और HCF दिए होने पर LCM ज्ञात करना", "q": "दो संख्याओं का अनुपात 3 : 4 है और उनका HCF 4 है। उनका LCM ज्ञात करें।", "sol": "अनुपात = 3 : 4, HCF = 4\\nसंख्याएँ = 3 × 4 और 4 × 4 = 12 और 16\\nLCM = HCF × अनुपात का गुणनफल\\nLCM = 4 × 3 × 4 = 48", "ans": "LCM = 48"}, {"variation": "तीन संख्याओं का अभाज्य गुणनखंड विधि से HCF/LCM", "q": "12, 15 और 21 का HCF और LCM ज्ञात करें।", "sol": "12 = 2^2 × 3\\n15 = 3 × 5\\n21 = 3 × 7\\nHCF = 3 (केवल 3 तीनों में साझा है)\\nLCM = 2^2 × 3 × 5 × 7 = 4 × 3 × 5 × 7 = 420", "ans": "HCF = 3, LCM = 420"}, {"variation": "गुणनफल और HCF से संख्याएँ या जोड़े ज्ञात करना", "q": "दो संख्याओं का गुणनफल 4107 है। यदि उनका HCF 37 है, तो बड़ी संख्या ज्ञात करें।", "sol": "माना संख्याएँ 37x और 37y हैं\\n37x × 37y = 4107\\nxy = 4107 / (37 × 37) = 4107 / 1369\\nxy = 3\\nसंभावित जोड़ा (x,y) = (1, 3)\\nबड़ी संख्या = 37 × 3 = 111", "ans": "बड़ी संख्या = 111"}], "asked_hi": "SSC CGL, CHSL और MTS में इस टॉपिक से हर साल 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। विशेष रूप से 'HCF × LCM = Product' वाले सूत्र और अनुपात आधारित प्रश्न सबसे अधिक बार (लगभग हर शिफ्ट में) देखे जाते हैं।", "asked_en": "Direct formula-based questions are asked in almost every SSC shift. The product rule and ratio-based HCF/LCM problems are the most frequent patterns.", "mistakes_hi": ["तीन या अधिक संख्याओं के लिए 'HCF x LCM = Product' सूत्र का उपयोग करना (यह केवल दो संख्याओं के लिए है)।", "HCF निकालते समय अभाज्य गुणनखंडों की अधिकतम घात ले लेना (HCF में हमेशा न्यूनतम घात ली जाती है)।", "LCM निकालते समय केवल उभयनिष्ठ (common) गुणनखंडों को लेना और बाकियों को छोड़ देना।"], "tip_en": "If the ratio of two numbers is x:y and their HCF is 'h', then their LCM is always h*x*y.", "tip_hi": "यदि दो संख्याओं का अनुपात x:y और उनका HCF 'h' है, तो उनका LCM = h × x × y होगा और संख्याएँ hx और hy होंगी।"}, {"name_hi": "भिन्नों और दशमलव का HCF और LCM", "name_en": "HCF and LCM of Fractions and Decimals", "explain_hi": "भिन्नों का HCF निकालने के लिए अंशों का HCF और हरों का LCM लिया जाता है। LCM के लिए अंशों का LCM और हरों का HCF लेते हैं। दशमलव संख्याओं को हल करते समय उन्हें पहले समान दशमलव स्थानों में बदलना या सरलतम भिन्न में बदलना आवश्यक है। यह नियम सुनिश्चित करता है कि हम सबसे बड़ा सामान्य विभाजक या सबसे छोटा सामान्य गुणज प्राप्त करें।", "explain_en": "To find the HCF of fractions, calculate the HCF of numerators divided by the LCM of denominators. For LCM, calculate the LCM of numerators divided by the HCF of denominators. For decimals, always convert them to like decimals or simplify them into fractions first to avoid errors. This method ensures accuracy in finding common divisors and multiples.", "formulas": [{"formula": "HCF of Fractions = HCF(Numerators) / LCM(Denominators)", "when_hi": "जब दी गई संख्याएँ भिन्न (p/q) के रूप में हों और उनका महत्तम समापवर्तक निकालना हो।", "examples": [{"q": "2/5 और 4/7 का HCF ज्ञात कीजिए।", "sol": "अंशों का HCF = HCF(2, 4) = 2\nहरों का LCM = LCM(5, 7) = 35\nपरिणाम = 2/35", "ans": "2/35"}, {"q": "3/10 और 6/25 का HCF क्या होगा?", "sol": "अंशों का HCF = HCF(3, 6) = 3\nहरों का LCM = LCM(10, 25) = 50\nपरिणाम = 3/50", "ans": "3/50"}], "when_en": "When the given numbers are in fraction form (p/q) and you need to find their Highest Common Factor."}, {"formula": "LCM of Fractions = LCM(Numerators) / HCF(Denominators)", "when_hi": "जब दी गई संख्याएँ भिन्न (p/q) के रूप में हों और उनका लघुत्तम समापवर्त्य निकालना हो।", "examples": [{"q": "1/2 और 3/4 का LCM ज्ञात कीजिए।", "sol": "अंशों का LCM = LCM(1, 3) = 3\nहरों का HCF = HCF(2, 4) = 2\nपरिणाम = 3/2 = 1.5", "ans": "1.5"}, {"q": "2/3 और 5/9 का LCM क्या होगा?", "sol": "अंशों का LCM = LCM(2, 5) = 10\nहरों का HCF = HCF(3, 9) = 3\nपरिणाम = 10/3", "ans": "10/3"}], "when_en": "When the given numbers are in fraction form (p/q) and you need to find their Least Common Multiple."}], "variations": ["भिन्नों का सीधा HCF/LCM", "दशमलव संख्याओं का HCF/LCM", "मिश्रित भिन्नों का HCF/LCM", "दशमलव और भिन्नों का संयोजन"], "examples": [{"variation": "भिन्नों का सीधा HCF/LCM", "q": "2/3, 8/9 और 16/81 का HCF ज्ञात कीजिए।", "sol": "अंशों का HCF = HCF(2, 8, 16) = 2\nहरों का LCM = LCM(3, 9, 81) = 81\nपरिणाम = 2/81", "ans": "2/81"}, {"variation": "भिन्नों का सीधा HCF/LCM", "q": "2/3, 4/9 और 5/6 का LCM ज्ञात कीजिए।", "sol": "अंशों का LCM = LCM(2, 4, 5) = 20\nहरों का HCF = HCF(3, 9, 6) = 3\nपरिणाम = 20/3", "ans": "20/3"}, {"variation": "दशमलव संख्याओं का HCF/LCM", "q": "1.08, 0.36 और 0.9 का HCF ज्ञात कीजिए।", "sol": "समान दशमलव स्थान: 1.08, 0.36, 0.90\nपूर्णांक मानकर: 108, 36, 90\nHCF(108, 36, 90) = 18\nदशमलव वापस लगाने पर = 0.18", "ans": "0.18"}, {"variation": "दशमलव संख्याओं का HCF/LCM", "q": "0.6, 1.8 और 0.36 का LCM ज्ञात कीजिए।", "sol": "समान दशमलव स्थान: 0.60, 1.80, 0.36\nपूर्णांक मानकर: 60, 180, 36\nLCM(60, 180, 36) = 180\nदशमलव वापस लगाने पर = 1.80", "ans": "1.8"}, {"variation": "मिश्रित भिन्नों का HCF/LCM", "q": "1(1/2) और 2(1/4) का LCM ज्ञात कीजिए।", "sol": "साधारण भिन्न: 3/2 और 9/4\nअंशों का LCM = LCM(3, 9) = 9\nहरों का HCF = HCF(2, 4) = 2\nपरिणाम = 9/2 = 4.5", "ans": "4.5"}, {"variation": "भिन्नों का सीधा HCF/LCM", "q": "3/4, 5/6 और 6/7 का HCF ज्ञात कीजिए।", "sol": "अंशों का HCF = HCF(3, 5, 6) = 1\nहरों का LCM = LCM(4, 6, 7) = 84\nपरिणाम = 1/84", "ans": "1/84"}, {"variation": "दशमलव संख्याओं का HCF/LCM", "q": "0.12, 0.48 और 0.72 का LCM ज्ञात कीजिए।", "sol": "पूर्णांक मानकर: 12, 48, 72\nLCM(12, 48, 72) = 144\nदशमलव वापस लगाने पर = 1.44", "ans": "1.44"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं (MTS, GD, CHSL) में इस उप-विषय से सीधे प्रश्न पूछे जाते हैं। CGL में यह अक्सर सरलीकरण या समय और कार्य के जटिल प्रश्नों का हिस्सा होता है।", "asked_en": "Direct questions are common in SSC MTS and GD. In CGL and CHSL, it often appears as a component of complex simplification or time and work problems.", "mistakes_hi": ["भिन्नों को उनके सरलतम रूप (simplest form) में बदले बिना हल करना।", "दशमलव के बाद के स्थानों को शून्य लगाकर समान किए बिना सीधे गणना करना।"], "tip_en": "For decimals, always make the number of decimal places equal by adding zeros, then treat them as integers to find HCF/LCM.", "tip_hi": "दशमलव वाले सवालों में, सभी संख्याओं के बाद शून्य लगाकर दशमलव के स्थानों को बराबर कर लें, फिर उन्हें पूर्णांक मानकर हल करें।"}, {"name_hi": "HCF और LCM पर आधारित इबारती प्रश्न", "name_en": "Word Problems on HCF and LCM", "explain_hi": "HCF और LCM का उपयोग वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। जब हमें किसी चीज़ को बराबर और सबसे बड़े संभव हिस्सों में बाँटना हो (जैसे टाइल्स या बर्तन), तो हम HCF (महत्तम समापवर्तक) निकालते हैं। जब अलग-अलग समय अंतराल पर होने वाली घटनाएँ एक साथ कब होंगी यह जानना हो (जैसे घंटियाँ या धावक), तो हम LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) निकालते हैं। प्रश्न में 'अधिकतम' या 'सबसे बड़ा' शब्द HCF की ओर इशारा करता है, जबकि 'न्यूनतम समय' या 'पुनः मिलना' LCM की ओर इशारा करता है।", "explain_en": "HCF and LCM are used to solve real-world problems. Use HCF when you need to divide quantities into the largest possible equal parts (e.g., tiles, containers). Use LCM when events occur at different intervals and you need to find when they will coincide or repeat (e.g., bells, runners). Keywords like 'maximum' or 'largest' usually imply HCF, while 'minimum time' or 'meeting again' imply LCM.", "formulas": [{"formula": "समय का LCM = वह समय जब घटनाएँ पुनः एक साथ होंगी", "when_hi": "जब घंटियाँ, ट्रैफिक लाइट या धावक अलग-अलग समय पर चलते हों और उनके एक साथ मिलने का समय निकालना हो।", "examples": [{"q": "तीन घंटियाँ क्रमशः 12, 15 और 18 मिनट के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे सुबह 9:00 बजे एक साथ बजी हों, तो वे अगली बार कब एक साथ बजेंगी?", "sol": "अंतरालों का LCM निकालें: 12, 15, 18\n12 = 2^2 × 3\n15 = 3 × 5\n18 = 2 × 3^2\nLCM = 2^2 × 3^2 × 5 = 4 × 9 × 5 = 180 मिनट\n180 मिनट = 180/60 = 3 घंटे\nअगली बार बजने का समय = 9:00 AM + 3 घंटे", "ans": "12:00 PM"}, {"q": "तीन धावक एक वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से दौड़ना शुरू करते हैं। वे एक चक्कर क्रमशः 200, 300 और 450 सेकंड में पूरा करते हैं। वे कितने समय बाद फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे?", "sol": "समय का LCM निकालें: 200, 300, 450\n200 = 2^3 × 5^2\n300 = 2^2 × 3 × 5^2\n450 = 2 × 3^2 × 5^2\nLCM = 2^3 × 3^2 × 5^2 = 8 × 9 × 25\nLCM = 1800 सेकंड", "ans": "1800 सेकंड"}], "when_en": "When bells, traffic lights, or runners move at different intervals and you need to find the next simultaneous occurrence."}, {"formula": "वर्गाकार टाइल की भुजा = HCF (लंबाई, चौड़ाई)", "when_hi": "जब किसी आयताकार फर्श पर कम से कम संख्या में वर्गाकार टाइलें लगानी हों।", "examples": [{"q": "एक कमरे के फर्श की लंबाई 15 मीटर 17 सेमी और चौड़ाई 9 मीटर 2 सेमी है। इस पर लगने वाली सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल की भुजा क्या होगी?", "sol": "लंबाई = 1517 सेमी, चौड़ाई = 902 सेमी\n1517 और 902 का HCF निकालें\n1517 = 37 × 41\n902 = 22 × 41\nHCF = 41 सेमी", "ans": "41 सेमी"}, {"q": "दूध के दो डिब्बों में क्रमशः 75 लीटर और 45 लीटर दूध है। उस बड़े से बड़े बर्तन की क्षमता क्या होगी जो दोनों डिब्बों के दूध को पूरा-पूरा माप सके?", "sol": "75 और 45 का HCF निकालें\n75 = 3 × 5 × 5\n45 = 3 × 3 × 5\nHCF = 3 × 5 = 15 लीटर", "ans": "15 लीटर"}], "when_en": "When you need to find the side of the largest square tile to cover a rectangular floor with minimum tiles."}], "variations": ["घंटियों का एक साथ बजना (Bells tolling together)", "वृत्ताकार पथ पर धावकों का मिलना (Runners meeting on a circular track)", "फर्श पर वर्गाकार टाइलें लगाना (Square tiles on a floor)", "सबसे बड़े बर्तन की माप (Largest container/measuring scale)", "एक निश्चित समय अंतराल में कितनी बार (How many times in a given duration)"], "examples": [{"variation": "घंटियों का एक साथ बजना (Bells tolling together)", "q": "चार घंटियाँ 6, 8, 12 और 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। यदि वे एक साथ बजना शुरू करती हैं, तो वे कितने समय बाद फिर से एक साथ बजेंगी?", "sol": "6, 8, 12, 18 का LCM निकालें\n6 = 2 × 3\n8 = 2^3\n12 = 2^2 × 3\n18 = 2 × 3^2\nLCM = 2^3 × 3^2 = 8 × 9 = 72 सेकंड", "ans": "72 सेकंड"}, {"variation": "फर्श पर वर्गाकार टाइलें लगाना (Square tiles on a floor)", "q": "एक आयताकार आँगन 18 मीटर 72 सेमी लंबा और 13 मीटर 20 सेमी चौड़ा है। इसमें समान आकार की वर्गाकार टाइलें बिछानी हैं। आवश्यक टाइलों की न्यूनतम संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "लंबाई = 1872 सेमी, चौड़ाई = 1320 सेमी\nHCF (1872, 1320) = 24 सेमी (टाइल की भुजा)\nटाइलों की संख्या = (फर्श का क्षेत्रफल) / (टाइल का क्षेत्रफल)\nसंख्या = (1872 × 1320) / (24 × 24)\nसंख्या = 78 × 55 = 4290", "ans": "4290"}, {"variation": "वृत्ताकार पथ पर धावकों का मिलना (Runners meeting on a circular track)", "q": "A, B और C एक वृत्ताकार स्टेडियम के चारों ओर एक ही दिशा में दौड़ना शुरू करते हैं। A एक चक्कर 252 सेकंड में, B 308 सेकंड में और C 198 सेकंड में पूरा करता है। वे कितने समय बाद फिर से शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे?", "sol": "252, 308, 198 का LCM निकालें\n252 = 2^2 × 3^2 × 7\n308 = 2^2 × 7 × 11\n198 = 2 × 3^2 × 11\nLCM = 2^2 × 3^2 × 7 × 11 = 4 × 9 × 7 × 11 = 2772 सेकंड\n2772 सेकंड = 46 मिनट 12 सेकंड", "ans": "46 मिनट 12 सेकंड"}, {"variation": "एक निश्चित समय अंतराल में कितनी बार (How many times in a given duration)", "q": "6 घंटियाँ एक साथ बजना शुरू होती हैं और क्रमशः 2, 4, 6, 8, 10 और 12 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं। 30 मिनट में वे कितनी बार एक साथ बजेंगी?", "sol": "2, 4, 6, 8, 10, 12 का LCM = 120 सेकंड\n120 सेकंड = 2 मिनट\n30 मिनट में बजने की संख्या = (30 / 2) + 1\nसंख्या = 15 + 1 = 16 (शुरुआती बार को जोड़कर)", "ans": "16 बार"}, {"variation": "सबसे बड़े बर्तन की माप (Largest container/measuring scale)", "q": "7 मीटर, 3 मीटर 85 सेमी और 12 मीटर 95 सेमी लंबाई को सटीक रूप से मापने के लिए सबसे लंबी संभव छड़ी की लंबाई क्या है?", "sol": "लंबाईयाँ: 700 सेमी, 385 सेमी, 1295 सेमी\n700 = 5^2 × 2^2 × 7\n385 = 5 × 7 × 11\n1295 = 5 × 7 × 37\nHCF = 5 × 7 = 35 सेमी", "ans": "35 सेमी"}, {"variation": "घंटियों का एक साथ बजना (Bells tolling together)", "q": "तीन अलग-अलग चौराहों पर ट्रैफिक लाइटें क्रमशः प्रत्येक 48, 72 और 108 सेकंड के बाद बदलती हैं। यदि वे 8:20:00 बजे एक साथ बदलती हैं, तो वे फिर से एक साथ कब बदलेंगी?", "sol": "48, 72, 108 का LCM निकालें\n48 = 2^4 × 3\n72 = 2^3 × 3^2\n108 = 2^2 × 3^3\nLCM = 2^4 × 3^3 = 16 × 27 = 432 सेकंड\n432 सेकंड = 7 मिनट 12 सेकंड\nसमय = 8:20:00 + 7 मिनट 12 सेकंड", "ans": "8:27:12 बजे"}], "asked_hi": "SSC CGL और CHSL में इस सब-टॉपिक से हर साल 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। विशेष रूप से 'घंटियों का बजना' और 'टाइलों की संख्या' वाले प्रश्न सबसे अधिक बार दोहराए जाते हैं।", "asked_en": "SSC CGL and CHSL exams frequently feature 1-2 questions from this sub-topic. 'Bells tolling' and 'number of tiles' are the most repeated patterns.", "mistakes_hi": ["घंटियों वाले प्रश्न में '30 मिनट में कितनी बार' निकालते समय अंत में +1 जोड़ना भूल जाना (शुरुआती एक साथ बजने को गिनना जरूरी है)।", "इकाइयों (Units) को समान न करना, जैसे मीटर को सेंटीमीटर में बदले बिना HCF निकालना।", "टाइलों की संख्या निकालते समय क्षेत्रफल को HCF से भाग देना, जबकि HCF के वर्ग (Area of tile) से भाग देना चाहिए।"], "tip_en": "For 'how many times' problems, always add 1 to the result of (Total Time / LCM) if the events start together. For tiles, Number = (L×B) / (HCF of L,B)².", "tip_hi": "'कितनी बार' वाले प्रश्नों में, यदि घटनाएँ एक साथ शुरू होती हैं, तो (कुल समय / LCM) में हमेशा 1 जोड़ें। टाइलों के लिए: संख्या = (लंबाई × चौड़ाई) / (HCF)²।"}, {"name_hi": "शेषफल पर आधारित HCF और LCM के प्रश्न", "name_en": "Remainder-based HCF and LCM Problems", "explain_hi": "इस उप-विषय में दो मुख्य प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं - HCF आधारित और LCM आधारित। जब प्रश्न में 'बड़ी से बड़ी संख्या' (Greatest/Largest Number) पूछी जाए, तो संख्याओं या (संख्या - शेषफल) का HCF निकाला जाता है। जब प्रश्न में 'छोटी से छोटी संख्या' (Least/Smallest Number) पूछी जाए, तो LCM निकाला जाता है और शेषफल के अनुसार जोड़ा या घटाया जाता है। यदि अलग-अलग शेषफल दिए हों, तो भाजक और शेषफल का अंतर (k = Divisor - Remainder) हमेशा समान होता है, जिसे LCM से घटाया जाता है। प्रश्न की पहचान 'बड़ी से बड़ी' (HCF) या 'छोटी से छोटी' (LCM) शब्दों से होती है।", "explain_en": "This sub-topic covers two main categories: HCF-based and LCM-based remainder problems. When asked for the 'greatest number', we calculate the HCF of the numbers or of (Number - Remainder). When asked for the 'least number', we calculate the LCM and then adjust for the remainder. If different remainders are given, the difference (k = Divisor - Remainder) is always constant, which is subtracted from the LCM. Identify the problem type using keywords: 'greatest' indicates HCF, while 'least' indicates LCM.", "formulas": [{"formula": "बड़ी से बड़ी संख्या = HCF(A - x, B - y, C - z)", "when_hi": "जब वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करनी हो जिससे A, B, C को भाग देने पर क्रमशः x, y, z शेषफल बचे।", "examples": [{"q": "वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1356, 1868 और 2764 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल बचे।", "sol": "शेषफल ज्ञात न होने पर संख्याओं के अंतर का HCF निकालते हैं:\n1868 - 1356 = 512\n2764 - 1868 = 896\n2764 - 1356 = 1408\nHCF(512, 896, 1408)\n512 = 128 × 4\n896 = 128 × 7\n1408 = 128 × 11\nअभीष्ट संख्या = 128", "ans": "128"}, {"q": "वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 62, 132 और 237 को भाग देने पर प्रत्येक दशा में समान शेषफल बचे।", "sol": "संख्याओं का अंतर ज्ञात करने पर:\n132 - 62 = 70\n237 - 132 = 105\n237 - 62 = 175\nHCF(70, 105, 175)\n70 = 35 × 2\n105 = 35 × 3\n175 = 35 × 5\nअभीष्ट संख्या = 35", "ans": "35"}], "when_en": "When finding the largest number that divides A, B, C leaving remainders x, y, z respectively."}, {"formula": "छोटी से छोटी संख्या = LCM(A, B, C) + r", "when_hi": "जब वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करनी हो जिसमें A, B, C से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में समान शेषफल 'r' बचे।", "examples": [{"q": "वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी है जिसे 12, 15, 20 और 54 से भाग देने पर प्रत्येक स्थिति में 8 शेष बचे?", "sol": "12, 15, 20, 54 का LCM ज्ञात करते हैं:\n12 = 2² × 3\n15 = 3 × 5\n20 = 2² × 5\n54 = 2 × 3³\nLCM = 2² × 3³ × 5 = 540\nअभीष्ट संख्या = LCM + शेषफल\nअभीष्ट संख्या = 540 + 8 = 548", "ans": "548"}, {"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 7, 8, 9 और 12 से भाग देने पर प्रत्येक दशा में 2 शेषफल प्राप्त हो?", "sol": "6, 7, 8, 9, 12 का LCM ज्ञात करते हैं:\nLCM(6, 7, 8, 9, 12) = 504\nअभीष्ट संख्या = LCM + शेषफल\nअभीष्ट संख्या = 504 + 2 = 506", "ans": "506"}], "when_en": "When finding the smallest number leaving a constant remainder 'r' when divided by A, B, C."}, {"formula": "छोटी से छोटी संख्या = LCM(A, B, C) - k [जहाँ k = A - x = B - y = C - z]", "when_hi": "जब दी गई संख्याओं से भाग देने पर अलग-अलग शेषफल बचे लेकिन (भाजक - शेषफल) का अंतर 'k' सभी के लिए समान हो।", "examples": [{"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 20, 25, 35 और 40 से भाग देने पर क्रमशः 14, 19, 29 और 34 शेष बचे।", "sol": "अंतर k = 20 - 14 = 25 - 19 = 35 - 29 = 40 - 34 = 6\nLCM(20, 25, 35, 40) ज्ञात करते हैं:\n20 = 2² × 5, 25 = 5², 35 = 5 × 7, 40 = 2³ × 5\nLCM = 2³ × 5² × 7 = 1400\nअभीष्ट संख्या = LCM - k\nअभीष्ट संख्या = 1400 - 6 = 1394", "ans": "1394"}, {"q": "वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी है जिसे 15, 18 तथा 24 से भाग देने पर क्रमशः 9, 12 तथा 18 शेष बचे?", "sol": "अंतर k = 15 - 9 = 18 - 12 = 24 - 18 = 6\nLCM(15, 18, 24) ज्ञात करते हैं:\n15 = 3 × 5, 18 = 2 × 3², 24 = 2³ × 3\nLCM = 2³ × 3² × 5 = 360\nअभीष्ट संख्या = LCM - k\nअभीष्ट संख्या = 360 - 6 = 354", "ans": "354"}], "when_en": "When finding the smallest number leaving different remainders such that (Divisor - Remainder) is a constant 'k'."}, {"formula": "x जोड़ने पर विभाजित होने वाली संख्या = LCM(A, B, C) - x | x घटाने पर = LCM(A, B, C) + x", "when_hi": "जब प्रश्न में किसी संख्या में 'x' जोड़ने या घटाने के बाद पूर्ण विभाजित होने की शर्त दी गई हो।", "examples": [{"q": "वह छोटी से छोटी संख्या कौन-सी है जिसमें 7 जोड़ने पर वह 12, 16, 18, 21 और 28 से पूर्णतः विभाजित हो जाए?", "sol": "LCM(12, 16, 18, 21, 28) ज्ञात करते हैं:\n12 = 2² × 3, 16 = 2⁴, 18 = 2 × 3², 21 = 3 × 7, 28 = 2² × 7\nLCM = 2⁴ × 3² × 7 = 1008\nजोड़ने के लिए कहा गया है, अतः LCM में से 7 घटाएंगे\nअभीष्ट संख्या = 1008 - 7 = 1001", "ans": "1001"}, {"q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें से 5 घटाने पर बनी संख्या 12, 16, 18 और 21 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है?", "sol": "LCM(12, 16, 18, 21) ज्ञात करते हैं:\nLCM = 1008\nघटाने के लिए कहा गया है, अतः LCM में 5 जोड़ेंगे\nअभीष्ट संख्या = 1008 + 5 = 1013", "ans": "1013"}], "when_en": "When finding the smallest number which becomes divisible by given numbers after adding or subtracting x."}], "variations": ["बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करना (समान या भिन्न शेषफल)", "छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करना (समान शेषफल 'r')", "छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करना (अलग-अलग शेषफल, समान अंतर k)", "जोड़ने या घटाने के बाद पूर्णतः विभाजित होने वाली संख्या"], "examples": [{"variation": "बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करना (समान या भिन्न शेषफल)", "q": "वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 307 और 330 को भाग देने पर क्रमशः 3 और 7 शेष बचे।", "sol": "संख्याओं में से शेषफल घटाते हैं:\n307 - 3 = 304\n330 - 7 = 323\n304 = 19 × 16\n323 = 19 × 17\nHCF(304, 323) = 19\nअभीष्ट संख्या = 19", "ans": "19"}, {"variation": "बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात करना (समान या भिन्न शेषफल)", "q": "वह सबसे बड़ी संख्या कौन-सी है जिससे 410, 751 और 1030 को विभाजित करने पर प्रत्येक मामले में समान शेषफल रहता है?", "sol": "संख्याओं का आपस में अंतर निकालते हैं:\n751 - 410 = 341\n1030 - 751 = 279\n1030 - 410 = 620\nHCF(341, 279, 620) ज्ञात करते हैं:\n341 = 31 × 11\n279 = 31 × 9\n620 = 31 × 20\nअभीष्ट संख्या = 31", "ans": "31"}, {"variation": "छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करना (समान शेषफल 'r')", "q": "4 अंकों की वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15, 18 और 27 से भाग देने पर प्रत्येक मामले में 7 शेष बचे।", "sol": "LCM(12, 15, 18, 27) = 540\n4 अंकों की सबसे बड़ी संख्या = 9999\n9999 ÷ 540 से शेषफल = 279\n540 से विभाजित होने वाली संख्या = 9999 - 279 = 9720\nअभीष्ट संख्या = 9720 + 7 = 9727", "ans": "9727"}, {"variation": "छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करना (समान शेषफल 'r')", "q": "वह न्यूनतम संख्या क्या है जिसे 16, 24, 36 और 54 से विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 5 प्राप्त होता है?", "sol": "16, 24, 36, 54 का LCM ज्ञात करते हैं:\n16 = 2⁴, 24 = 2³ × 3, 36 = 2² × 3², 54 = 2 × 3³\nLCM = 2⁴ × 3³ = 432\nअभीष्ट संख्या = LCM + शेषफल\nअभीष्ट संख्या = 432 + 5 = 437", "ans": "437"}, {"variation": "छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करना (अलग-अलग शेषफल, समान अंतर k)", "q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 24, 32 और 36 से विभाजित करने पर क्रमशः 19, 27 और 31 शेष बचता है।", "sol": "अंतर k = 24 - 19 = 32 - 27 = 36 - 31 = 5\n24, 32, 36 का LCM ज्ञात करते हैं:\n24 = 2³ × 3, 32 = 2⁵, 36 = 2² × 3²\nLCM = 2⁵ × 3² = 288\nअभीष्ट संख्या = LCM - k = 288 - 5 = 283", "ans": "283"}, {"variation": "छोटी से छोटी संख्या ज्ञात करना (अलग-अलग शेषफल, समान अंतर k)", "q": "5 अंकों की वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 10, 15 और 25 से भाग देने पर क्रमशः 6, 11 और 21 शेष बचे।", "sol": "अंतर k = 10 - 6 = 15 - 11 = 25 - 21 = 4\nLCM(10, 15, 25) = 150\n5 अंकों की सबसे छोटी संख्या = 10000\n10000 ÷ 150 से शेषफल = 100\n150 से विभाज्य 5 अंकों की संख्या = 10000 + (150 - 100) = 10050\nअभीष्ट संख्या = 10050 - 4 = 10046", "ans": "10046"}, {"variation": "जोड़ने या घटाने के बाद पूर्णतः विभाजित होने वाली संख्या", "q": "वह छोटी से छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 13 जोड़ने पर वह 18, 21, 24 और 27 से पूर्णतः विभाजित हो जाए।", "sol": "18, 21, 24, 27 का LCM ज्ञात करते हैं:\n18 = 2 × 3², 21 = 3 × 7, 24 = 2³ × 3, 27 = 3³\nLCM = 2³ × 3³ × 7 = 8 × 27 × 7 = 1512\nसंख्या में 13 जोड़ने पर विभाज्य होना चाहिए\nअभीष्ट संख्या = LCM - 13 = 1512 - 13 = 1499", "ans": "1499"}], "asked_hi": "SSC CGL, CHSL, MTS, CPO और Railway परीक्षाओं में इस उप-विषय से 1-2 प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछे जाते हैं। सबसे अधिक 'अलग-अलग शेषफल (LCM - k)' और 'n-अंकों की बड़ी/छोटी संख्या में शेषफल' के पैटर्न पूछे जाते हैं।", "asked_en": "1-2 questions from this sub-topic appear in almost every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, CPO, and Railway exams. The most frequent patterns are 'different remainders (LCM - k)' and 'n-digit largest/smallest number leaving a remainder'.", "mistakes_hi": ["अलग-अलग शेषफल वाले LCM प्रश्न में अंतर k को जोड़ने की भूल करना (ध्यान रखें: k को हमेशा LCM से घटाया जाता है)।", "बड़ी से बड़ी संख्या वाले प्रश्न में शेषफल घटाने से पहले HCF निकाल लेना (सही क्रम: पहले शेषफल घटाएं, फिर HCF निकालें)।", "'x जोड़ने पर विभाजित हो' में LCM में x जोड़ देना (जोड़ने को कहे तो घटाना है, घटाने को कहे तो जोड़ना है)।"], "tip_hi": "विकल्प उन्मूलन (Option Elimination) का प्रयोग करें: जब समान शेषफल 'r' बचे, तो विकल्पों में से 'r' घटाकर देखें कि कौन-सा विकल्प दी गई संख्याओं से कटता है। अलग-अलग शेषफल वाले में विकल्प में 'k' जोड़कर विभाज्यता जाँचें। इससे बिना लंबी गणना के 5 सेकंड में उत्तर मिल जाएगा। project SSC CGL Tier-1/2 का समय बचता है।\n- shortcut trick: Options Method always works fast here! Check divisibility rules of 9, 5, 4 on options after adding/subtracting remainders directly in your head! Save time by testing directly on options instead of finding large LCMs directly."}, {"name_hi": "HCF और LCM से संख्याएँ/जोड़े ज्ञात करना", "name_en": "Finding Numbers/Pairs from HCF and LCM", "explain_hi": "जब हमें दो संख्याओं का HCF (म.स.प.) दिया जाता है, तो हम उन संख्याओं को HCF के गुणज के रूप में मान सकते हैं, जैसे Hx और Hy, जहाँ x और y सह-अभाज्य (co-prime) संख्याएँ हैं। LCM (ल.स.प.) हमेशा H × x × y के बराबर होता है। इस प्रकार के प्रश्नों में हमें x और y के ऐसे संभावित मान ढूँढने होते हैं जिनका HCF 1 हो। यह विधि तब पहचानी जाती है जब प्रश्न में 'संभावित जोड़ों की संख्या' या 'संख्याओं का योग/गुणनफल' दिया हो।", "explain_en": "When the HCF of two numbers is given, we can assume the numbers to be Hx and Hy, where x and y are co-prime. The LCM is always H × x × y. In these problems, we find possible values of x and y such that their HCF is 1. This type is recognized when the question asks for the 'number of possible pairs' or gives the 'sum/product' along with HCF/LCM.", "formulas": [{"formula": "Numbers = Hx, Hy (where H = HCF and HCF(x, y) = 1)", "when_hi": "जब HCF दिया हो और संख्याएँ माननी हों।", "examples": [{"q": "यदि दो संख्याओं का HCF 15 है, तो संख्याएँ किस रूप में होंगी?", "sol": "माना संख्याएँ a और b हैं\nHCF = 15\nसंख्याएँ = 15x और 15y\nजहाँ x और y सह-अभाज्य हैं", "ans": "15x, 15y"}, {"q": "दो संख्याओं का HCF 12 है, यदि x=2 और y=3 हो तो संख्याएँ क्या होंगी?", "sol": "HCF (H) = 12\nपहली संख्या = Hx = 12 × 2 = 24\nदूसरी संख्या = Hy = 12 × 3 = 36", "ans": "24, 36"}], "when_en": "When HCF is given and numbers need to be assumed."}, {"formula": "LCM = H × x × y", "when_hi": "जब HCF और LCM दोनों दिए हों और जोड़ों की संख्या निकालनी हो।", "examples": [{"q": "दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 72 है। xy का मान क्या होगा?", "sol": "H = 12, LCM = 72\nLCM = H × x × y\n72 = 12 × xy\nxy = 72 / 12 = 6", "ans": "6"}, {"q": "यदि HCF 5 और LCM 150 है, तो x और y के संभावित जोड़े क्या हैं?", "sol": "xy = LCM / H = 150 / 5 = 30\nसह-अभाज्य जोड़े जिनका गुणनफल 30 हो:\n(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)", "ans": "4 जोड़े"}]}, {"formula": "Sum = H(x + y)", "when_hi": "जब संख्याओं का योग और HCF दिया हो।", "examples": [{"q": "दो संख्याओं का योग 216 और HCF 27 है। (x + y) का मान क्या होगा?", "sol": "योग = H(x + y)\n216 = 27(x + y)\nx + y = 216 / 27 = 8", "ans": "8"}, {"q": "यदि HCF 13 और योग 104 है, तो x और y के कितने जोड़े संभव हैं?", "sol": "x + y = 104 / 13 = 8\nसह-अभाज्य जोड़े जिनका योग 8 हो:\n(1, 7), (3, 5)\n(2, 6) और (4, 4) सह-अभाज्य नहीं हैं", "ans": "2 जोड़े"}]}], "variations": ["LCM और HCF से जोड़ों की संख्या ज्ञात करना", "संख्याओं का योग और HCF से जोड़ों की संख्या", "संख्याओं का गुणनफल और HCF से जोड़ों की संख्या", "दी गई सीमा (range) के भीतर संख्याएँ ज्ञात करना", "LCM और HCF का संबंध (जैसे LCM, HCF का n गुना है)"], "examples": [{"variation": "LCM और HCF से जोड़ों की संख्या ज्ञात करना", "q": "दो संख्याओं का HCF 12 और LCM 924 है। ऐसी संख्याओं के कितने जोड़े संभव हैं?", "sol": "H = 12, LCM = 924\nxy = LCM / H = 924 / 12 = 77\n77 के सह-अभाज्य गुणनखंड: (1, 77) और (7, 11)\nकुल जोड़ों की संख्या = 2", "ans": "2"}, {"variation": "संख्याओं का योग और HCF से जोड़ों की संख्या", "q": "दो संख्याओं का योग 528 है और उनका HCF 33 है। ऐसी संख्याओं के जोड़ों की संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "H(x + y) = 528\n33(x + y) = 528\nx + y = 528 / 33 = 16\nसह-अभाज्य जोड़े जिनका योग 16 है:\n(1, 15), (3, 13), (5, 11), (7, 9)", "ans": "4"}, {"variation": "संख्याओं का गुणनफल और HCF से जोड़ों की संख्या", "q": "दो संख्याओं का गुणनफल 2028 है और उनका HCF 13 है। ऐसे जोड़ों की संख्या ज्ञात कीजिए।", "sol": "Hx × Hy = 2028\n13x × 13y = 2028\n169xy = 2028\nxy = 2028 / 169 = 12\nसह-अभाज्य जोड़े जिनका गुणनफल 12 है: (1, 12), (3, 4)", "ans": "2"}, {"variation": "दी गई सीमा (range) के भीतर संख्याएँ ज्ञात करना", "q": "दो संख्याओं का HCF 15 और LCM 300 है। यदि संख्याएँ 40 और 100 के बीच हैं, तो उनका योग क्या है?", "sol": "xy = 300 / 15 = 20\n20 के सह-अभाज्य जोड़े: (1, 20), (4, 5)\nयदि (4, 5) लें, तो संख्याएँ: 15×4=60 और 15×5=75\nदोनों संख्याएँ 40-100 के बीच हैं\nयोग = 60 + 75 = 135", "ans": "135"}, {"variation": "LCM और HCF से जोड़ों की संख्या ज्ञात करना", "q": "दो संख्याओं का HCF 11 और LCM 385 है। उन संख्याओं का योग क्या हो सकता है?", "sol": "xy = 385 / 11 = 35\nजोड़े: (1, 35) और (5, 7)\nसंख्याएँ (1): 11, 385 (योग = 396)\nसंख्याएँ (2): 55, 77 (योग = 132)", "ans": "132 या 396"}, {"variation": "LCM और HCF का संबंध (जैसे LCM, HCF का n गुना है)", "q": "दो संख्याओं का LCM उनके HCF का 12 गुना है। HCF और LCM का योग 403 है। यदि एक संख्या 93 है, तो दूसरी संख्या क्या है?", "sol": "L = 12H, L + H = 403\n12H + H = 403 => 13H = 403 => H = 31\nL = 12 × 31 = 372\nदूसरी संख्या = (H × L) / पहली संख्या\nदूसरी संख्या = (31 × 372) / 93 = 124", "ans": "124"}, {"variation": "संख्याओं का योग और HCF से जोड़ों की संख्या", "q": "दो संख्याओं का HCF 8 है। निम्नलिखित में से कौन सा उनका LCM नहीं हो सकता?", "sol": "LCM हमेशा HCF से पूर्णतः विभाजित होना चाहिए\nविकल्पों में वह संख्या देखें जो 8 से नहीं कटती\nमाना विकल्प 24, 48, 56, 60 हैं\n60, 8 से विभाजित नहीं होता है", "ans": "60 (उदाहरण के लिए)"}], "asked_hi": "SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से 'जोड़ों की संख्या' (Number of pairs) वाले प्रश्न हर साल पूछे जाते हैं। यह एक मध्यम स्तर का टॉपिक है।", "asked_en": "Questions on 'Number of pairs' from this topic are asked every year in SSC CGL and CHSL. It is a moderate difficulty topic.", "mistakes_hi": ["x और y के ऐसे जोड़े चुन लेना जो सह-अभाज्य (co-prime) नहीं हैं, जैसे (2, 4) या (3, 6)।", "गुणनफल वाले प्रश्नों में HCF से केवल एक बार भाग देना, जबकि Hx * Hy में H का वर्ग (H^2) होता है।"], "tip_en": "If xy = N, the number of pairs is 2^(k-1), where k is the number of distinct prime factors of N.", "tip_hi": "यदि xy = N है, तो जोड़ों की संख्या 2^(k-1) होती है, जहाँ k, N के विभिन्न अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।"}], "summary_hi": ["दो संख्याओं का गुणनफल = म.स.प. (HCF) × ल.स.प. (LCM)", "भिन्नों का म.स.प. (HCF of Fractions) = अंशों का HCF / हरों का LCM", "भिन्नों का ल.स.प. (LCM of Fractions) = अंशों का LCM / हरों का HCF", "दशमलव संख्याओं का HCF/LCM निकालते समय पहले दशमलव स्थानों को समान करके पूर्णांक में बदलें।", "वह बड़ी से बड़ी संख्या जो x, y, z को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में r शेषफल दे = HCF(x - r, y - r, z - r)", "वह बड़ी से बड़ी संख्या जो x, y, z को विभाजित करने पर समान (अज्ञात) शेषफल दे = HCF(|x - y|, |y - z|, |z - x|)", "वह छोटी से छोटी संख्या जिसे x, y, z से विभाजित करने पर शेषफल r बचे = LCM(x, y, z) + r", "वह छोटी से छोटी संख्या जिसे x, y, z से विभाजित करने पर क्रमशः a, b, c शेषफल बचे (जहाँ x-a = y-b = z-c = k) = LCM(x, y, z) - k", "यदि दो संख्याओं का HCF 'h' है, तो माना संख्याएँ ha और hb होंगी (जहाँ a और b सह-अभाज्य / co-prime हैं)।"], "summary_en": ["Product of two numbers = HCF × LCM", "HCF of Fractions = (HCF of Numerators) / (LCM of Denominators)", "LCM of Fractions = (LCM of Numerators) / (HCF of Denominators)", "For decimals, make number of decimal places equal, convert to integers, then calculate HCF/LCM.", "Greatest number dividing x, y, z leaving remainder r in each case = HCF(x - r, y - r, z - r)", "Greatest number dividing x, y, z leaving same unknown remainder = HCF(|x - y|, |y - z|, |z - x|)", "Least number divided by x, y, z leaving same remainder r = LCM(x, y, z) + r", "Least number divided by x, y, z leaving remainders a, b, c respectively (where x-a = y-b = z-c = k) = LCM(x, y, z) - k", "If HCF of two numbers is 'h', numbers can be taken as ha and hb (where a and b are co-primes)."]}