सरलीकरण, घातांक और करणी

{"kind": "quant", "intro_hi": "यह अध्याय SSC CGL, CHSL और CPO (Tier-1 और Tier-2 दोनों) में प्रत्येक वर्ष 2 से 4 प्रश्नों के साथ पूछा जाता है। बुनियादी नियमों (VBODMAS और घातांक) की स्पष्ट समझ होने पर यह खंड परीक्षा में 100% सटीक और त्वरित अंक दिलाता है।", "intro_en": "This chapter is a core component of SSC CGL, CHSL, and CPO (both Tier-1 and Tier-2), consistently carrying 2 to 4 questions. With a solid grasp of VBODMAS and laws of indices, it offers high-scoring and fully predictable marks in minimum time.", "subtopics": [{"name_hi": "VBODMAS नियम और भिन्नों का सरलीकरण", "name_en": "VBODMAS Rule and Fraction Simplification", "explain_hi": "VBODMAS नियम गणितीय संक्रियाओं को हल करने का सही क्रम बताता है ताकि उत्तर में कोई भ्रम न रहे। V (Vinculum) का अर्थ है रेखा कोष्ठक, जिसे सबसे पहले हल किया जाता है। इसके बाद B (Brackets) में सबसे पहले छोटा (), फिर मँझला {} और अंत में बड़ा [] कोष्ठक हल होता है। O (Of/का) का अर्थ गुणा है लेकिन इसे भाग (D) से पहले हल करना अनिवार्य है। इसके बाद गुणा (M), जोड़ (A) और घटाव (S) का क्रम आता है। भिन्नों के सरलीकरण में मिश्रित भिन्नों को पहले अनुचित भिन्नों में बदलना चाहिए।", "explain_en": "The VBODMAS rule defines the correct sequence for solving mathematical operations to avoid ambiguity. V (Vinculum) stands for the bar bracket, which is solved first. Then B (Brackets) are solved in the order: small (), curly {}, and big []. O (Of) represents multiplication but must be performed before Division (D). This is followed by Multiplication (M), Addition (A), and Subtraction (S). In fraction simplification, always convert mixed fractions into improper fractions first.", "formulas": [{"formula": "V -> B -> O -> D -> M -> A -> S", "when_hi": "जब एक ही प्रश्न में कई कोष्ठक और संक्रियाएँ (जैसे +, -, ×, ÷) दी गई हों।", "examples": [{"q": "24 ÷ 4 का 3 + 5 का मान क्या है?", "sol": "4 का 3 = 12 | 24 ÷ 12 = 2 | 2 + 5 = 7", "ans": "7"}, {"q": "5 + (10 - 2 × 3) का मान क्या है?", "sol": "2 × 3 = 6 | 10 - 6 = 4 | 5 + 4 = 9", "ans": "9"}], "when_en": "When multiple brackets and operations (like +, -, ×, ÷) are given in a single expression."}, {"formula": "(a/b) ÷ (c/d) = (a/b) × (d/c)", "when_hi": "जब भिन्नों को आपस में भाग करना हो।", "examples": [{"q": "3/4 ÷ 9/8 का मान क्या है?", "sol": "3/4 × 8/9 = (3×8)/(4×9) = 24/36 = 2/3", "ans": "2/3"}, {"q": "5 ÷ 1/2 का मान क्या है?", "sol": "5 × 2/1 = 10", "ans": "10"}], "when_en": "When you need to divide one fraction by another."}], "variations": ["साधारण VBODMAS नियम (Basic VBODMAS)", "कोष्ठकों का क्रमिक हल (Nested Brackets)", "'का' (Of) और भाग की प्राथमिकता (Priority of 'Of' and Division)", "मिश्रित भिन्नों का सरलीकरण (Simplification of Mixed Fractions)", "रेखा कोष्ठक (Bar/Vinculum) वाले प्रश्न", "जटिल भिन्नों का सरलीकरण (Complex Fractions)", "समीकरण में अज्ञात मान (x) ज्ञात करना (Finding Missing Value)"], "examples": [{"variation": "साधारण VBODMAS नियम (Basic VBODMAS)", "q": "18 - [6 + {4 - (8 - 5)}] का मान क्या है?", "sol": "8 - 5 = 3 | 4 - 3 = 1 | 6 + 1 = 7 | 18 - 7 = 11", "ans": "11"}, {"variation": "'का' (Of) और भाग की प्राथमिकता (Priority of 'Of' and Division)", "q": "60 ÷ 5 का 3 + 2 का मान क्या है?", "sol": "5 का 3 = 15 | 60 ÷ 15 = 4 | 4 + 2 = 6", "ans": "6"}, {"variation": "रेखा कोष्ठक (Bar/Vinculum) वाले प्रश्न", "q": "10 - [6 - {7 - (6 - 8 - 5)}] का मान क्या है? (यहाँ 8 - 5 पर रेखा कोष्ठक है)", "sol": "8 - 5 = 3 | 6 - 3 = 3 | 7 - 3 = 4 | 6 - 4 = 2 | 10 - 2 = 8", "ans": "8"}, {"variation": "मिश्रित भिन्नों का सरलीकरण (Simplification of Mixed Fractions)", "q": "5 1/3 ÷ 1 1/3 का 1/4 का मान क्या है?", "sol": "5 1/3 = 16/3 | 1 1/3 = 4/3 | 4/3 का 1/4 = 1/3 | 16/3 ÷ 1/3 = 16/3 × 3 = 16", "ans": "16"}, {"variation": "कोष्ठकों का क्रमिक हल (Nested Brackets)", "q": "1 + [1 ÷ {1 + 1 ÷ (1 + 1/3)}] का मान क्या है?", "sol": "1 + 1/3 = 4/3 | 1 ÷ 4/3 = 3/4 | 1 + 3/4 = 7/4 | 1 ÷ 7/4 = 4/7 | 1 + 4/7 = 11/7", "ans": "11/7"}, {"variation": "जटिल भिन्नों का सरलीकरण (Complex Fractions)", "q": "(1/2 ÷ 1/2 का 1/2) / (1/2 + 1/2 का 1/2) का मान क्या है?", "sol": "अंश = 1/2 ÷ 1/4 = 2 | हर = 1/2 + 1/4 = 3/4 | मान = 2 / (3/4) = 2 × 4/3 = 8/3", "ans": "8/3"}, {"variation": "समीकरण में अज्ञात मान (x) ज्ञात करना (Finding Missing Value)", "q": "यदि 48 ÷ 12 × (x/3) का 4 = 32 है, तो x का मान ज्ञात करें।", "sol": "(x/3) का 4 = 4x/3 | 48 ÷ 12 = 4 | 4 × 4x/3 = 32 | 16x/3 = 32 | 16x = 96 | x = 6", "ans": "6"}], "asked_hi": "SSC CGL, CHSL और MTS परीक्षाओं में इस टॉपिक से हर शिफ्ट में 1-2 सवाल पूछे जाते हैं। यह सरलीकरण का आधार है और गणना की गति बढ़ाने के लिए महत्वपूर्ण है।", "asked_en": "This sub-topic is a staple in SSC exams like CGL, CHSL, and MTS, with 1-2 questions appearing in almost every shift. It forms the foundation of simplification and is crucial for calculation speed.", "mistakes_hi": ["'का' (Of) से पहले भाग (Division) कर देना।", "रेखा कोष्ठक (Bar) के बाहर वाले माइनस चिह्न को संख्या के साथ शामिल कर लेना।", "कोष्ठकों को खोलने के क्रम (छोटा > मँझला > बड़ा) का पालन न करना।"], "tip_en": "In complex expressions, treat 'Of' as multiplication but mentally group it to ensure it is solved before any division.", "tip_hi": "जटिल प्रश्नों में 'का' (Of) को तुरंत गुणा के चिह्न में बदलें लेकिन उसे भाग से पहले हल करने के लिए मन में कोष्ठक मान लें।"}, {"name_hi": "घातांक के नियम और x का मान ज्ञात करना", "name_en": "Laws of Indices and Solving for x", "explain_hi": "घातांक (Indices) का अर्थ है किसी संख्या का बार-बार गुणा करना। यदि आधार (Base) समान हो, तो गुणा करते समय घातें (Powers) जुड़ जाती हैं और भाग करते समय घट जाती हैं। परीक्षा में अक्सर a^x = a^y के रूप में प्रश्न पूछे जाते हैं, जहाँ हमें दोनों पक्षों के आधार को समान बनाकर घातों की तुलना करनी होती है। यह नियम तब बहुत उपयोगी होता है जब हमें किसी अज्ञात चर (Unknown variable) x का मान निकालना हो।", "explain_en": "Indices represent repeated multiplication of a number. When bases are identical, powers are added during multiplication and subtracted during division. In exams, questions often present equations like a^x = a^y, requiring us to equate bases to solve for the unknown variable x. This principle is essential for simplifying exponential expressions and solving algebraic equations efficiently.", "formulas": [{"formula": "a^m × a^n = a^{m+n}", "when_hi": "जब आधार समान हो और संख्याओं का गुणा करना हो।", "examples": [{"q": "2^3 × 2^5 का मान क्या होगा?", "sol": "2^3 × 2^5 = 2^{3+5}\n2^8 = 256", "ans": "256"}, {"q": "यदि 3^x × 3^2 = 27 हो, तो x का मान क्या है?", "sol": "3^{x+2} = 3^3\nx+2 = 3\nx = 1", "ans": "1"}], "when_en": "When bases are the same and numbers are being multiplied."}, {"formula": "a^m ÷ a^n = a^{m-n}", "when_hi": "जब आधार समान हो और संख्याओं का भाग करना हो।", "examples": [{"q": "5^7 ÷ 5^4 का मान ज्ञात करें।", "sol": "5^7 ÷ 5^4 = 5^{7-4}\n5^3 = 125", "ans": "125"}, {"q": "यदि 10^{12} ÷ 10^x = 1000 हो, तो x का मान क्या होगा?", "sol": "10^{12-x} = 10^3\n12-x = 3\nx = 9", "ans": "9"}], "when_en": "When bases are the same and numbers are being divided."}, {"formula": "(a^m)^n = a^{mn}", "when_hi": "जब किसी घात वाली संख्या की भी घात दी गई हो।", "examples": [{"q": "(2^3)^2 का मान क्या है?", "sol": "(2^3)^2 = 2^{3 × 2}\n2^6 = 64", "ans": "64"}, {"q": "यदि (4^2)^x = 256 हो, तो x का मान ज्ञात करें।", "sol": "4^{2x} = 4^4\n2x = 4\nx = 2", "ans": "2"}], "when_en": "When a power is raised to another power."}, {"formula": "यदि a^x = a^y, तो x = y", "when_hi": "जब समीकरण के दोनों पक्षों के आधार समान हों।", "examples": [{"q": "यदि 2^x = 32 हो, तो x का मान क्या होगा?", "sol": "2^x = 2^5\nx = 5", "ans": "5"}, {"q": "यदि 3^{x-1} = 27 हो, तो x का मान क्या है?", "sol": "3^{x-1} = 3^3\nx-1 = 3\nx = 4", "ans": "4"}], "when_en": "When the bases on both sides of an equation are the same."}], "variations": ["समान आधार वाले सरल प्रश्न", "आधार को समान बनाना", "घात के ऊपर घात", "ऋणात्मक और शून्य घात", "समीकरणों में x का मान ज्ञात करना", "भिन्नात्मक आधार", "करणी और घातांक का मिश्रण"], "examples": [{"variation": "समान आधार वाले सरल प्रश्न", "q": "यदि 2^{x+4} = 32 हो, तो x का मान ज्ञात करें।", "sol": "2^{x+4} = 2^5\nx+4 = 5\nx = 5 - 4\nx = 1", "ans": "1"}, {"variation": "आधार को समान बनाना", "q": "यदि 3^{x+1} = 81^{x-2} हो, तो x का मान क्या होगा?", "sol": "3^{x+1} = (3^4)^{x-2}\n3^{x+1} = 3^{4x-8}\nx+1 = 4x-8\n9 = 3x\nx = 3", "ans": "3"}, {"variation": "घात के ऊपर घात", "q": "यदि (5^2)^{x+1} = 125^x हो, तो x का मान ज्ञात करें।", "sol": "5^{2x+2} = (5^3)^x\n5^{2x+2} = 5^{3x}\n2x+2 = 3x\nx = 2", "ans": "2"}, {"variation": "ऋणात्मक और शून्य घात", "q": "यदि (3/4)^x = (16/9) हो, तो x का मान क्या है?", "sol": "(3/4)^x = (4/3)^2\n(3/4)^x = (3/4)^{-2}\nx = -2", "ans": "-2"}, {"variation": "समीकरणों में x का मान ज्ञात करना", "q": "यदि 2^{x-1} + 2^{x+1} = 80 हो, तो x का मान ज्ञात करें।", "sol": "2^x(2^{-1} + 2^1) = 80\n2^x(1/2 + 2) = 80\n2^x(5/2) = 80\n2^x = 32\n2^x = 2^5\nx = 5", "ans": "5"}, {"variation": "भिन्नात्मक आधार", "q": "यदि (0.04)^x = 0.008 हो, तो x का मान क्या होगा?", "sol": "(4/100)^x = 8/1000\n(1/25)^x = 1/125\n(5^{-2})^x = 5^{-3}\n-2x = -3\nx = 1.5", "ans": "1.5"}, {"variation": "करणी और घातांक का मिश्रण", "q": "यदि sqrt(2^x) = 16 हो, तो x का मान ज्ञात करें।", "sol": "(2^x)^{1/2} = 2^4\n2^{x/2} = 2^4\nx/2 = 4\nx = 8", "ans": "8"}], "asked_hi": "SSC CGL, CHSL और MTS परीक्षाओं में इस उप-विषय से अक्सर 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। आमतौर पर आधार को समान बनाकर x का मान निकालने वाले प्रश्न अधिक आते हैं।", "asked_en": "This sub-topic is frequently asked in SSC CGL, CHSL, and MTS exams, usually appearing as 1-2 questions. The most common pattern involves equating bases to solve for an unknown variable.", "mistakes_hi": ["आधार अलग होने पर भी घातों को जोड़ देना।", "(a^m)^n और a^{m^n} के बीच के अंतर को न समझना।", "ऋणात्मक घात (Negative power) को हल करते समय आधार का व्युत्क्रम (Reciprocal) न करना।"], "tip_en": "If the base is a large number, always express it as a power of the smallest possible prime number (like 2, 3, or 5) to simplify comparison.", "tip_hi": "यदि आधार बड़ी संख्या हो, तो उसे हमेशा सबसे छोटी अभाज्य संख्या (जैसे 2, 3, 5) की घात के रूप में लिखें।"}, {"name_hi": "करणी: परिमेयकरण, तुलना और वर्गमूल", "name_en": "Surds: Rationalising, Comparing and Square Root", "explain_hi": "करणी (Surds) वे संख्याएँ हैं जिनका पूर्ण वर्गमूल या घनमूल नहीं निकाला जा सकता, जैसे √2 या √3। परिमेयकरण (Rationalising) का अर्थ है हर (Denominator) से करणी को हटाना, इसके लिए हम संयुग्मी (Conjugate) से गुणा करते हैं। करणी की तुलना करने के लिए उनकी घातों (Powers) को समान बनाया जाता है। √(a + √b) जैसे व्यंजकों का वर्गमूल निकालने के लिए हम उसे (x + y)² के रूप में बदलते हैं ताकि बाहरी वर्गमूल हट सके।", "explain_en": "Surds are irrational numbers like √2 or √3 whose exact root cannot be determined. Rationalising means removing the radical sign from the denominator by multiplying with its conjugate. To compare surds, we equalize their indices using the LCM of their powers. Finding the square root of expressions like √(a + √b) involves transforming the inner term into a perfect square (x + y)² to cancel the outer root.", "formulas": [{"formula": "1 / (√a ± √b) = (√a ∓ √b) / (a - b)", "when_hi": "जब हर (denominator) में दो करणी पदों का योग या अंतर हो और उसे सरल करना हो।", "examples": [{"q": "1 / (√7 - √6) का मान क्या होगा?", "sol": "संयुग्मी (√7 + √6) से अंश और हर में गुणा करने पर\n(1 × (√7 + √6)) / ((√7 - √6)(√7 + √6))\n(√7 + √6) / ( (√7)² - (√6)² )\n(√7 + √6) / (7 - 6)\n(√7 + √6) / 1", "ans": "√7 + √6"}, {"q": "1 / (3 + √8) को सरल करें।", "sol": "संयुग्मी (3 - √8) से गुणा करने पर\n(3 - √8) / (3² - (√8)²)\n(3 - √8) / (9 - 8)\n(3 - √8) / 1", "ans": "3 - √8"}], "when_en": "When the denominator contains the sum or difference of two surds and needs simplification."}, {"formula": "√(a ± 2√b) = √x ± √y (जहाँ x + y = a और xy = b)", "when_hi": "जब किसी करणी व्यंजक का वर्गमूल निकालना हो और अंदर वाले पद के साथ 2 गुणा में हो।", "examples": [{"q": "√(8 + 2√15) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "ऐसी दो संख्याएँ ढूँढें जिनका योग 8 और गुणनफल 15 हो\nसंख्याएँ 5 और 3 हैं (5 + 3 = 8, 5 × 3 = 15)\n√(5 + 3 + 2√(5×3))\n√((√5)² + (√3)² + 2√5√3)\n√(√5 + √3)²", "ans": "√5 + √3"}, {"q": "√(7 - 4√3) का मान क्या है?", "sol": "इसे √(a - 2√b) के रूप में लिखें\n√(7 - 2 × 2√3) = √(7 - 2√12)\nयोग 7 और गुणनफल 12 वाली संख्याएँ 4 और 3 हैं\n√(4 + 3 - 2√12) = √(√4 - √3)²\n2 - √3", "ans": "2 - √3"}], "when_en": "When finding the square root of a surd expression where the inner root has a coefficient of 2."}], "variations": ["हर का परिमेयकरण (Rationalising the denominator)", "करणी की तुलना: सबसे बड़ी/छोटी संख्या (Comparing surds: Largest/Smallest)", "√(a + √b) का मान ज्ञात करना (Finding square root of a surd)", "जटिल करणी व्यंजकों का सरलीकरण (Simplifying complex surd expressions)", "यदि x दिया हो, तो x + 1/x का मान (Finding x + 1/x if x is a surd)"], "examples": [{"variation": "हर का परिमेयकरण (Rationalising the denominator)", "q": "1 / (√5 + √3) का मान ज्ञात करें।", "sol": "संयुग्मी (√5 - √3) से गुणा करने पर\n(√5 - √3) / ((√5)² - (√3)²)\n(√5 - √3) / (5 - 3)\n(√5 - √3) / 2", "ans": "(√5 - √3) / 2"}, {"variation": "करणी की तुलना: सबसे बड़ी/छोटी संख्या (Comparing surds: Largest/Smallest)", "q": "∛4 और ∜6 में से कौन सी संख्या बड़ी है?", "sol": "घातों 3 और 4 का LCM = 12\n∛4 = 4^(1/3) = 4^(4/12) = (4⁴)^(1/12) = (256)^(1/12)\n∜6 = 6^(1/4) = 6^(3/12) = (6³)^(1/12) = (216)^(1/12)\nचूँकि 256 > 216", "ans": "∛4"}, {"variation": "√(a + √b) का मान ज्ञात करना (Finding square root of a surd)", "q": "√(10 + √84) का मान क्या है?", "sol": "√84 को 2√21 लिखें\n√(10 + 2√21)\nयोग 10 और गुणनफल 21 वाली संख्याएँ 7 और 3 हैं\n√(7 + 3 + 2√21) = √(√7 + √3)²", "ans": "√7 + √3"}, {"variation": "जटिल करणी व्यंजकों का सरलीकरण (Simplifying complex surd expressions)", "q": "1/(√2+1) + 1/(√3+√2) + 1/(√4+√3) का मान क्या होगा?", "sol": "प्रत्येक पद का परिमेयकरण करने पर\n(√2-1)/(2-1) + (√3-√2)/(3-2) + (√4-√3)/(4-3)\n(√2 - 1) + (√3 - √2) + (√4 - √3)\nपदों को काटने पर: -1 + √4\n-1 + 2 = 1", "ans": "1"}, {"variation": "यदि x दिया हो, तो x + 1/x का मान (Finding x + 1/x if x is a surd)", "q": "यदि x = 3 + 2√2 है, तो x + 1/x का मान ज्ञात करें।", "sol": "x = 3 + 2√2\n1/x = 1 / (3 + 2√2)\nपरिमेयकरण करने पर: 1/x = (3 - 2√2) / (3² - (2√2)²)\n1/x = (3 - 2√2) / (9 - 8) = 3 - 2√2\nx + 1/x = (3 + 2√2) + (3 - 2√2)\n3 + 3 = 6", "ans": "6"}, {"variation": "करणी की तुलना: सबसे बड़ी/छोटी संख्या (Comparing surds: Largest/Smallest)", "q": "(√8 + √5) और (√7 + √6) में से कौन बड़ा है?", "sol": "दोनों का वर्ग करने पर\n(√8 + √5)² = 8 + 5 + 2√40 = 13 + 2√40\n(√7 + √6)² = 7 + 6 + 2√42 = 13 + 2√42\nचूँकि 42 > 40, इसलिए 13 + 2√42 बड़ा है", "ans": "√7 + √6"}, {"variation": "√(a + √b) का मान ज्ञात करना (Finding square root of a surd)", "q": "√(12 - √140) का मान ज्ञात करें।", "sol": "√140 = √(4 × 35) = 2√35\n√(12 - 2√35)\nयोग 12 और गुणनफल 35 वाली संख्याएँ 7 और 5 हैं\n√(7 + 5 - 2√35) = √(√7 - √5)²", "ans": "√7 - √5"}], "asked_hi": "SSC परीक्षाओं (CGL, CHSL) में इस उप-विषय से अक्सर 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। तुलना वाले प्रश्न और 'x + 1/x' वाले प्रारूप सबसे अधिक लोकप्रिय हैं।", "asked_en": "This sub-topic frequently appears in SSC exams (CGL, CHSL) with 1-2 questions. Comparison-based questions and 'x + 1/x' formats are the most common patterns.", "mistakes_hi": ["परिमेयकरण करते समय संयुग्मी (Conjugate) का चिन्ह बदलना भूल जाना।", "√(a + √b) निकालते समय अंदर वाली करणी के बाहर '2' न होने पर भी सीधे हल करने की कोशिश करना।"], "tip_en": "If the difference between the squares of two terms in the denominator is 1, the rationalized value is simply the conjugate (e.g., 1/(√7-√6) = √7+√6).", "tip_hi": "यदि हर के दोनों पदों के वर्गों का अंतर 1 है, तो परिमेयकरण करने पर केवल चिन्ह बदल जाता है (जैसे 1/(√7-√6) = √7+√6)।"}, {"name_hi": "वर्गमूल, घनमूल और सतत करणी श्रृंखलाएं", "name_en": "Square Roots, Cube Roots and Infinite Surd Series", "explain_hi": "वर्गमूल (Square Root) वह संख्या है जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है, और घनमूल (Cube Root) वह संख्या है जिसे तीन बार गुणा करने पर मूल संख्या मिलती है। दशमलव वाली संख्याओं में वर्गमूल निकालते समय दशमलव के बाद अंकों की संख्या आधी (half) हो जाती है और घनमूल में एक-तिहाई (one-third)। सतत करणी श्रृंखलाओं जैसे √(x + √(x + ... ∞)) में यदि x के लगातार दो गुणनखण्ड n और (n+1) हों, तो '+' वाले में बड़ा मान (n+1) और '-' वाले में छोटा मान (n) उत्तर होता है। यदि गुणनखण्ड संभव न हों, तो सामान्य द्विघात सूत्र (Quadratic Formula) आधारित सूत्र का उपयोग करते हैं।", "explain_en": "Square root is the value that gives the original number when multiplied by itself, and cube root is the value that gives the original number when multiplied three times. For decimals, the number of decimal places becomes half in square root and one-third in cube root. In infinite series like √(x + √(x + ... ∞)), if x can be factored into two consecutive integers n and (n+1), the answer is (n+1) for '+' and n for '-'. If consecutive factors are not possible, we use the standard quadratic formula.", "formulas": [{"formula": "√(x ± √(x ± √(x ... ∞))) = (√(4x + 1) ± 1) / 2", "when_hi": "जब अनंत पदों तक जोड़ या घटाव के साथ करणी दोहराई जा रही हो। (यदि x = n(n+1) हो, तो '+' के लिए उत्तर n+1 तथा '-' के लिए n होता है)", "examples": [{"q": "√(12 + √(12 + √(12 + ... ∞))) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "संख्या 12 = 3 × 4 (दो क्रमागत संख्याएं)\nश्रृंखला में '+' चिह्न का प्रयोग है\nअतः उत्तर बड़ा गुणनखण्ड होगा = 4", "ans": "4"}, {"q": "√(7 - √(7 - √(7 - ... ∞))) का मान क्या होगा?", "sol": "यहाँ x = 7 है और चिह्न '-' है\nसूत्र = (√(4x + 1) - 1) / 2\nमान रखने पर = (√(4×7 + 1) - 1) / 2\n= (√(28 + 1) - 1) / 2\n= (√29 - 1) / 2", "ans": "(√29 - 1) / 2"}], "when_en": "Used for infinite nested radical series with addition or subtraction."}, {"formula": "√(x · √(x · √(x ... n बार))) = x^(1 - 1/2^n) तथा अनंत के लिए √(x · √(x ... ∞)) = x", "when_hi": "जब करणी के अंदर संख्याएं गुणा में हों (सीमित n पदों तक या अनंत पदों तक)।", "examples": [{"q": "√(5√(5√(5 ... ∞))) का मान क्या होगा?", "sol": "यह अनंत पदों तक गुणा की श्रृंखला है: √(x√(x ... ∞))\nमाना y = √(5√(5 ... ∞))\ny = √(5y)\nदोनों तरफ वर्ग करने पर: y² = 5y ⇒ y = 5", "ans": "5"}, {"q": "√(3√(3√(3√(3)))) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "यहाँ x = 3 और मूल चिह्नों की संख्या n = 4 है\nघात = (2⁴ - 1) / 2⁴ = (16 - 1) / 16 = 15/16\nअतः मान = 3^(15/16)", "ans": "3^(15/16)"}], "when_en": "Used when nested radical series has multiplication up to n terms or infinite terms."}, {"formula": "दशमलव नियम: √(0.00...a) = दशमलव के अंक आधे; ∛(0.00...a) = दशमलव के अंक एक-तिहाई", "when_hi": "दशमलव संख्याओं के वर्गमूल और घनमूल का मान निकालते समय दशमलव स्थान तय करने के लिए।", "examples": [{"q": "√(0.000081) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "81 का वर्गमूल = 9 होता है\nदी गई संख्या में दशमलव के बाद कुल 6 अंक हैं\nवर्गमूल में दशमलव के बाद अंक = 6 / 2 = 3 अंक होंगे\nअतः √(0.000081) = 0.009", "ans": "0.009"}, {"q": "∛(0.000216) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "216 का घनमूल = 6 होता है\nदशमलव के बाद कुल 6 अंक हैं\nघनमूल में दशमलव के बाद अंक = 6 / 3 = 2 अंक होंगे\nअतः ∛(0.000216) = 0.06", "ans": "0.06"}], "when_en": "Used to find square root and cube root of decimal numbers by counting decimal places."}], "variations": ["दशमलव संख्याओं का वर्गमूल और घनमूल", "क्रमागत गुणनखण्ड वाली अनंत योग/घटाव श्रृंखला", "अभाज्य संख्याओं की अनंत योग/घटाव श्रृंखला", "गुणा वाली अनंत तथा सीमित करणी श्रृंखलाएं", "वर्गमूलों का क्रमिक सरलीकरण (Nested Square Roots)", "समीकरण के रूप में वर्गमूल से अज्ञात (x) का मान ज्ञात करना", "वैकल्पिक (+ और -) अनंत करणी श्रृंखला"], "examples": [{"variation": "दशमलव संख्याओं का वर्गमूल और घनमूल", "q": "यदि √4096 = 64 है, तो √(40.96) + √(0.4096) + √(0.004096) का मान क्या होगा?", "sol": "√(40.96) = 6.4 (2 दशमलव स्थान का आधा = 1)\n√(0.4096) = 0.64 (4 दशमलव स्थान का आधा = 2)\n√(0.004096) = 0.064 (6 दशमलव स्थान का आधा = 3)\nतीनों को जोड़ने पर:\n6.4 + 0.64 + 0.064 = 7.104", "ans": "7.104"}, {"variation": "क्रमागत गुणनखण्ड वाली अनंत योग/घटाव श्रृंखला", "q": "√(42 - √(42 - √(42 - ... ∞))) का मान क्या होगा?", "sol": "संख्या 42 के दो क्रमागत गुणनखण्ड ज्ञात करते हैं\n42 = 6 × 7\nश्रृंखला में '-' का चिह्न है\nऋणात्मक चिह्न होने पर छोटा गुणनखण्ड उत्तर होता है\nअतः मान = 6", "ans": "6"}, {"variation": "अभाज्य संख्याओं की अनंत योग/घटाव श्रृंखला", "q": "यदि P = √(11 + √(11 + √(11 + ... ∞))) है, तो P का मान किन दो पूर्णांकों के बीच स्थित है?", "sol": "सूत्र: P = (√(4x + 1) + 1) / 2\nx = 11 रखने पर: P = (√(4×11 + 1) + 1) / 2\nP = (√45 + 1) / 2\nचूंकि √36 < √45 < √49, अतः 6 < √45 < 7\n(6 + 1)/2 < P < (7 + 1)/2 ⇒ 3.5 < P < 4\nअतः P का मान 3 और 4 के बीच स्थित है।", "ans": "3 और 4 के बीच"}, {"variation": "गुणा वाली अनंत तथा सीमित करणी श्रृंखलाएं", "q": "√(7√(7√(7√(7√(7))))) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "यहाँ संख्या x = 7 है\nवर्गमूल के चिह्नों की कुल संख्या n = 5 है\nघात = (2⁵ - 1) / 2⁵\n2⁵ = 32, अतः घात = (32 - 1) / 32 = 31/32\nपरिणाम = 7^(31/32)", "ans": "7^(31/32)"}, {"variation": "वर्गमूलों का क्रमिक सरलीकरण (Nested Square Roots)", "q": "√(10 + √(25 + √(108 + √(154 + √225)))) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "सबसे अंदर से हल करना प्रारंभ करते हैं:\n√225 = 15\n√(154 + 15) = √169 = 13\n√(108 + 13) = √121 = 11\n√(25 + 11) = √36 = 6\n√(10 + 6) = √16 = 4", "ans": "4"}, {"variation": "समीकरण के रूप में वर्गमूल से अज्ञात (x) का मान ज्ञात करना", "q": "यदि √(1 + x/144) = 13/12 है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:\n1 + x/144 = (13/12)²\n1 + x/144 = 169/144\nx/144 = 169/144 - 1\nx/144 = (169 - 144)/144\nx/144 = 25/144\nx = 25", "ans": "25"}, {"variation": "वैकल्पिक (+ और -) अनंत करणी श्रृंखला", "q": "√(6 + √(6 - √(6 + √(6 - ... ∞)))) का मान क्या होगा?", "sol": "एकांतर (+ और -) श्रृंखला का सूत्र = (√(4x - 3) + 1) / 2\nयहाँ x = 6 है (शुरुआत '+' से हो रही है)\nमान रखने पर = (√(4×6 - 3) + 1) / 2\n= (√(24 - 3) + 1) / 2\n= (√21 + 1) / 2", "ans": "(√21 + 1) / 2"}], "asked_hi": "SSC CGL, CHSL, MTS और GD में इस सब-टॉपिक से 1 से 2 प्रश्न लगभग प्रत्येक शिफ्ट के सरलीकरण (Simplification) भाग में पूछे जाते हैं। विशेषकर नेस्टेड वर्गमूल और अनंत श्रृंखला वाले प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं।", "asked_en": "In SSC CGL, CHSL, MTS, and GD exams, 1 to 2 questions from this sub-topic appear frequently in almost every shift under Simplification, especially nested radicals and infinite surds.", "mistakes_hi": ["दशमलव के वर्गमूल में दशमलव अंकों की गिनती गलत करना (जैसे √0.4 को 0.2 मान लेना, जबकि √0.4 = 0.632 होता है क्योंकि 0.40 का वर्गमूल निकलता है)।", "सीमित पदों वाली गुणा श्रृंखला √(x√(x...)) में सीधे उत्तर x लिख देना, जबकि सीमित पदों के लिए घात (2ⁿ - 1)/2ⁿ होती है।", "वैकल्पिक श्रृंखला (+ फिर -) में साधारण (4x + 1) वाला सूत्र लगा देना, जबकि वहाँ (4x - 3) का प्रयोग होता है।"], "tip_hi": "यदि संख्या दो क्रमागत संख्याओं n(n+1) का गुणनफल है, तो '+' श्रृंखला में सीधे बड़ी संख्या और '-' में छोटी संख्या बिना पेन उठाए टिक करें। सीमित गुणा में हर में 2^n और अंश में उससे 1 कम घात लिखें।濁 \"tip_en\": \"If x factors into n(n+1), pick the larger factor for '+' and smaller for '-' instantly. For finite products, base has power (2^n - 1)/2^n without using quadratic equations.\"濁}\n```"}, {"name_hi": "आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलना", "name_en": "Recurring Decimals to Fractions", "explain_hi": "जब दशमलव के बाद कोई अंक या अंकों का समूह बार-बार दोहराया जाता है, तो उसे आवर्त दशमलव (Recurring Decimal) कहते हैं। इसे अंक के ऊपर रेखा यानी 'बार' (—) लगाकर लिखा जाता है, जैसे 0.333... = 0.\bar{3}। शुद्ध आवर्त में दशमलव के तुरंत बाद सभी अंक दोहराते हैं, जबकि मिश्रित आवर्त में कुछ अंक स्थिर रहकर बाद वाले अंक दोहराते हैं। इसे भिन्न में बदलते समय जितने अंकों पर बार होता है, हर (denominator) में उतने '9' आते हैं, और दशमलव के बाद जिन अंकों पर बार नहीं होता, उनके लिए '0' आते हैं। परीक्षा में सीधे मान निकालने या इनके जोड़-घटाव पर प्रश्न आते हैं।", "explain_en": "A recurring decimal is a decimal representation of a number where one or more digits repeat infinitely after the decimal point, denoted by a bar over the repeating digits. In pure recurring decimals, all digits after the decimal repeat; in mixed recurring decimals, some digits repeat while others do not. To convert into a vulgar fraction (p/q form), put as many 9s in the denominator as there are repeating digits, followed by as many 0s as non-repeating digits after decimal. SSC exams regularly ask direct conversion or arithmetic operations involving them.", "formulas": [{"formula": "शुद्ध आवर्त: 0.ā = a/9, 0.ab̄ = ab/99, 0.abc̄ = abc/999", "when_hi": "जब दशमलव के बाद के सभी अंक दोहराए जा रहे हों (शुद्ध आवर्त दशमलव)।", "examples": [{"q": "0.777... या 0.7̄ को भिन्न के रूप में व्यक्त कीजिए।", "sol": "दशमलव के बाद एक ही अंक (7) बार-बार दोहराया जा रहा है।\nअंश में दोहराया जाने वाला अंक = 7\nहर में एक अंक के लिए एक बार 9 आएगा = 9\nअतः 0.7̄ = 7/9", "ans": "7/9"}, {"q": "0.393939... यानी 0.39̄ का सरलतम भिन्न रूप क्या होगा?", "sol": "दशमलव के बाद दो अंक (39) दोहराए जा रहे हैं।\nअंश = 39\nदो अंकों के ऊपर बार है, अतः हर = 99\nभिन्न = 39/99 = 13/33 (3 से काटने पर)", "ans": "13/33"}], "when_en": "When all digits after the decimal point repeat continuously (Pure recurring decimal)."}, {"formula": "मिश्रित आवर्त: 0.a b̄ = (ab - a) / 90 एवं 0.ab cd̄ = (abcd - ab) / 9900", "when_hi": "जब दशमलव के बाद कुछ अंकों पर बार न हो और बाद के अंकों पर बार हो।", "examples": [{"q": "0.23̄ को साधारण भिन्न में बदलिए। (यहाँ केवल 3 पर बार है)", "sol": "दशमलव के बाद की पूरी संख्या = 23\nबिना बार वाला अंक = 2\nअंश = 23 - 2 = 21\nबार वाला अंक 1 है तो एक 9, बिना बार का 1 अंक है तो एक 0 -> हर = 90\nभिन्न = 21/90 = 7/30 (3 से विभाजित करने पर)", "ans": "7/30"}, {"q": "0.142̄ का मान p/q के रूप में क्या होगा? (यहाँ केवल 2 पर बार है)", "sol": "दशमलव के बाद पूरी संख्या = 142\nबिना बार वाले अंक = 14\nअंश = 142 - 14 = 128\nएक अंक पर बार है (9) और दो अंकों पर बार नहीं है (00) -> हर = 900\nभिन्न = 128/900 = 32/225 (4 से विभाजित करने पर)", "ans": "32/225"}], "when_en": "When some digits after decimal are non-repeating and subsequent digits repeat (Mixed recurring decimal)."}, {"formula": "पूर्णांक सहित आवर्त: N.ā = N + 0.ā = N + a/9", "when_hi": "जब दशमलव से पहले कोई गैर-शून्य पूर्णांक (Whole Number) उपस्थित हो।", "examples": [{"q": "3.4̄ को विषम भिन्न (improper fraction) के रूप में लिखें।", "sol": "3.4̄ = 3 + 0.4̄\n3 + 4/9\n= (3 × 9 + 4) / 9\n= (27 + 4) / 9 = 31/9", "ans": "31/9"}, {"q": "2.13̄ का साधारण भिन्न मान क्या होगा? (यहाँ केवल 3 पर बार है)", "sol": "2.13̄ = 2 + 0.13̄\n0.13̄ = (13 - 1)/90 = 12/90 = 2/15\nमान = 2 + 2/15\n= (30 + 2) / 15 = 32/15", "ans": "32/15"}], "when_en": "When there is a non-zero whole number before the decimal point."}], "variations": ["शुद्ध आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलना", "मिश्रित आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलना", "पूर्णांक सहित आवर्त दशमलव का रूपांतरण", "आवर्त दशमलवों का योग एवं अंतर", "आवर्त दशमलवों का गुणनफल एवं भाग", "आवर्त दशमलव का वर्गमूल ज्ञात करना"], "examples": [{"variation": "शुद्ध आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलना", "q": "0.57̄ का मान भिन्न के रूप में ज्ञात कीजिए।", "sol": "यहाँ दशमलव के बाद दो अंकों (57) पर बार है।\nअंश = 57\nदो अंकों पर बार होने के कारण हर = 99\nभिन्न = 57/99\nअंश और हर को 3 से काटने पर = 19/33", "ans": "19/33"}, {"variation": "मिश्रित आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलना", "q": "0.47̄ का मान साधारण भिन्न में क्या होगा? (यहाँ केवल 7 पर बार है)", "sol": "दशमलव के बाद कुल संख्या = 47\nबिना बार वाला अंक = 4\nअंश = 47 - 4 = 43\nएक अंक पर बार है तो एक 9, एक बिना बार का अंक है तो एक 0 -> हर = 90\nभिन्न = 43/90", "ans": "43/90"}, {"variation": "मिश्रित आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलना", "q": "0.123̄ का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ केवल 3 पर बार है।", "sol": "पूरी संख्या = 123\nबिना बार वाली संख्या = 12\nअंश = 123 - 12 = 111\nएक अंक पर बार है (एक 9), दो बिना बार वाले अंक हैं (दो 0) -> हर = 900\nभिन्न = 111/900\n3 से विभाजित करने पर = 37/300", "ans": "37/300"}, {"variation": "पूर्णांक सहित आवर्त दशमलव का रूपांतरण", "q": "8.31̄ का सरलतम भिन्न रूप ज्ञात कीजिए। (केवल 1 पर बार है)", "sol": "8.31̄ = 8 + 0.31̄\n0.31̄ = (31 - 3)/90 = 28/90 = 14/45\n8 + 14/45 = (8 × 45 + 14) / 45\n= (360 + 14) / 45 = 374/45", "ans": "374/45"}, {"variation": "आवर्त दशमलवों का योग एवं अंतर", "q": "0.63̄ + 0.37̄ का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "0.63̄ = 63/99\n0.37̄ = 37/99\nयोग = 63/99 + 37/99\n= (63 + 37) / 99 = 100/99\nमिश्र भिन्न रूप = 1 सही 1/99 या 1.01̄", "ans": "100/99"}, {"variation": "आवर्त दशमलवों का गुणनफल एवं भाग", "q": "0.4̄ × 0.9̄ का मान क्या होगा?", "sol": "0.4̄ को भिन्न में बदलने पर = 4/9\n0.9̄ को भिन्न में बदलने पर = 9/9 = 1\nगुणनफल = (4/9) × 1\n= 4/9", "ans": "4/9"}, {"variation": "आवर्त दशमलव का वर्गमूल ज्ञात करना", "q": "√(0.4̄) का मान ज्ञात कीजिए।", "sol": "सर्वप्रथम आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलें: 0.4̄ = 4/9\nअब वर्गमूल लें: √(4/9)\n√4 / √9 = 2/3\n2/3 को दशमलव में बदलने पर = 0.666... = 0.6̄", "ans": "0.6̄ (या 2/3)"}], "asked_hi": "SSC CGL, CHSL, MTS और रेलवे परीक्षाओं में इस उपविषय से 1 प्रश्न प्रायः पूछा जाता है। प्रश्न मुख्य रूप से मिश्रित आवर्त दशमलव को भिन्न में बदलने या दो आवर्त संख्याओं के जोड़/घटाव पर आधारित होते हैं।", "asked_en": "Frequently asked in SSC (CGL, CHSL, MTS) and Railway exams, typically appearing as 1 question per shift focusing on conversion of mixed recurring decimals or arithmetic addition/subtraction.", "mistakes_hi": ["मिश्रित आवर्त दशमलव (0.ab̄) में बिना बार वाले अंक 'a' को अंश से घटाना भूल जाना और सीधे ab/90 लिख देना।", "हर में '0' और '9' की संख्या गलत लिख देना; जितने अंकों पर बार है उतने 9 आते हैं और जितने बिना बार के हैं उतने 0 आते हैं।", "0.4̄ का वर्गमूल निकालते समय छात्र सीधे 0.2̄ टिक कर देते हैं, जो गलत है; पहले भिन्न (4/9) में बदलकर √ निकालें।"], "tip_hi": "जोड़-घटाव करते समय यदि विकल्प दशमलव में हों, तो दशमलव प्रसार को 4-5 अंकों तक खोलकर (जैसे 0.3333 + 0.6666) सीधे जोड़ लें, भिन्न में बदलने की भी जरूरत नहीं पड़ेगी। ट्रिक: 0.9̄ का मान हमेशा ठीक 1 होता है। (9/9 = 1)।"}], "summary_hi": ["VBODMAS नियम: पहले रेखा कोष्ठक (Vinculum), फिर कोष्ठक (), {}, [], का (Of), भाग (÷), गुणा (×), जोड़ (+) और घटाव (-)।", "घातांक नियम (1): a^m × a^n = a^(m+n) तथा a^m ÷ a^n = a^(m-n)", "घातांक नियम (2): (a^m)^n = a^(mn) तथा a^0 = 1 (जहाँ a ≠ 0)", "समीकरण नियम: यदि a^x = a^y (a ≠ 0, 1, -1), तो x = y", "आवर्त दशमलव: 0.ā = a/9, 0.ab̄ = (ab - a)/90, 0.abc̄ = (abc - ab)/900", "परिमेयकरण (Rationalisation): 1/(√a ± √b) = (√a ∓ √b)/(a - b)", "करणी का वर्गमूल: √(a ± 2√b) = √x ± √y जहाँ x + y = a और xy = b", "अनंत करणी (योग): √(x + √(x + ...∞)) = (1 + √(1 + 4x))/2; यदि x = n(n+1), तो उत्तर = n + 1", "अनंत करणी (घटाव): √(x - √(x - ...∞)) = (-1 + √(1 + 4x))/2; यदि x = n(n+1), तो उत्तर = n"], "summary_en": ["VBODMAS Rule: Vinculum -> Brackets (), {}, [] -> Of -> Division -> Multiplication -> Addition -> Subtraction.", "Laws of Indices (1): a^m × a^n = a^(m+n) and a^m ÷ a^n = a^(m-n)", "Laws of Indices (2): (a^m)^n = a^(mn) and a^0 = 1 (where a ≠ 0)", "Base-Equality Rule: If a^x = a^y (where a ≠ 0, 1, -1), then x = y.", "Recurring Decimals: 0.ā = a/9, 0.ab̄ = (ab - a)/90, 0.abc̄ = (abc - ab)/900", "Rationalisation: 1/(√a ± √b) = (√a ∓ √b)/(a - b)", "Square Root of Surds: √(a ± 2√b) = √x ± √y where x + y = a and xy = b.", "Infinite Series (Addition): √(x + √(x + ...∞)) = (1 + √(1 + 4x))/2; if x = n(n+1), value = n + 1.", "Infinite Series (Subtraction): √(x - √(x - ...∞)) = (-1 + √(1 + 4x))/2; if x = n(n+1), value = n."]}