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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

मिश्रण और एलीगेशन

Mixture & Alligation

📖 किताब की तरह पढ़ें 📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

यह अध्याय SSC CGL, CHSL और CPO परीक्षाओं के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है, जिससे Tier-1 में 1-2 प्रश्न और Tier-2 में 2-3 प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं। एलीगेशन का नियम जटिल गणनाओं को बहुत आसान और तेज बना देता है। सही शॉर्टकट और फॉर्मूले के अभ्यास से इसमें पूरे अंक प्राप्त किए जा सकते हैं।

एलीगेशन नियम (मूल्यों पर आधारित)

एलीगेशन (क्रॉस विधि) दो अलग-अलग क्रय मूल्यों वाली वस्तुओं को मिलाकर एक औसत मूल्य (Mean Price) का मिश्रण बनाने का आसान तरीका है। इसमें सस्ती वस्तु (Cheaper) और महंगी वस्तु (Dearer) के मूल्यों का औसत मूल्य से अंतर निकाला जाता है। तिरछा (cross) अंतर निकालने पर प्राप्त अनुपात दोनों वस्तुओं की मात्राओं का अनुपात (Ratio of Quantities) होता है। परीक्षा में जब भी दो वस्तुओं का अलग-अलग मूल्य और मिश्रण का औसत मूल्य दिया जाए, तब इसी विधि का प्रयोग करें।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 मात्रा (सस्ती) : मात्रा (महंगी) = (महंगी वस्तु का मूल्य - औसत मूल्य) : (औसत मूल्य - सस्ती वस्तु का मूल्य) — जब दो वस्तुओं का अलग-अलग प्रति इकाई मूल्य और मिश्रण का औसत मूल्य दिया हो और उनका अनुपात निकालना हो।

उदाहरण 1: ₹40 प्रति किग्रा और ₹55 प्रति किग्रा वाले दो प्रकार के गेहूँ को किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹48 प्रति किग्रा हो जाए?

सस्ती वस्तु का मूल्य (c) = ₹40

महंगी वस्तु का मूल्य (d) = ₹55

औसत मूल्य (m) = ₹48

सस्ती वस्तु का हिस्सा = 55 - 48 = 7

महंगी वस्तु का हिस्सा = 48 - 40 = 8

अभीष्ट अनुपात = 7 : 8

✔ उत्तर: 7 : 8
उदाहरण 2: ₹60 प्रति किग्रा वाले चावल को ₹85 प्रति किग्रा वाले चावल के साथ मिलाकर ₹70 प्रति किग्रा का मिश्रण बनाया जाता है। दोनों किस्मों का अनुपात क्या है?

सस्ते चावल का मूल्य = ₹60

महंगे चावल का मूल्य = ₹85

औसत मूल्य = ₹70

सस्ते का हिस्सा = 85 - 70 = 15

महंगे का हिस्सा = 70 - 60 = 10

अनुपात = 15 : 10 = 3 : 2

✔ उत्तर: 3 : 2

📐 औसत मूल्य (Mean Price) = (q1 × p1 + q2 × p2) / (q1 + q2) — जब दो किस्मों की मात्राएँ (या अनुपात) और उनके अलग-अलग मूल्य दिए हों तथा मिश्रण का औसत मूल्य निकालना हो।

उदाहरण 3: 3 : 2 के अनुपात में दो प्रकार की चाय ₹120/किग्रा और ₹170/किग्रा मिलाई जाती हैं। मिश्रण का औसत मूल्य ज्ञात कीजिए।

पहली चाय का मूल्य = ₹120, अनुपात = 3

दूसरी चाय का मूल्य = ₹170, अनुपात = 2

कुल मूल्य = (3 × 120) + (2 × 170) = 360 + 340 = ₹700

कुल अनुपात = 3 + 2 = 5

औसत मूल्य = 700 / 5 = ₹140 प्रति किग्रा

✔ उत्तर: ₹140 प्रति किग्रा
उदाहरण 4: 40 किग्रा ₹50/किग्रा की दाल को 60 किग्रा ₹75/किग्रा की दाल के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण का औसत मूल्य कितना होगा?

मात्रा का अनुपात = 40 : 60 = 2 : 3

कुल मूल्य = (2 × 50) + (3 × 75) = 100 + 225 = ₹325

कुल अनुपात = 2 + 3 = 5

औसत मूल्य = 325 / 5 = ₹65 प्रति किग्रा

✔ उत्तर: ₹65 प्रति किग्रा

परीक्षा में आने वाले प्रकार

दो किस्मों के क्रय मूल्य और औसत मूल्य से अनुपात ज्ञात करना
दो किस्मों के क्रय मूल्य और अनुपात से औसत मूल्य ज्ञात करना
मिश्रण का औसत मूल्य और अनुपात देकर अज्ञात किस्म का मूल्य ज्ञात करना
अनुपात और एक किस्म की मात्रा से दूसरी किस्म की मात्रा ज्ञात करना
कुल मात्रा और कुल मूल्य/लागत से अलग-अलग किस्मों की मात्रा ज्ञात करना

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 5 [दो किस्मों के क्रय मूल्य और औसत मूल्य से अनुपात ज्ञात करना]: ₹28 प्रति किग्रा की वस्तु A को ₹40 प्रति किग्रा की वस्तु B के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹32 प्रति किग्रा हो जाए?

सस्ती वस्तु (A) का मूल्य = ₹28

महंगी वस्तु (B) का मूल्य = ₹40

औसत मूल्य (M) = ₹32

सस्ती वस्तु का हिस्सा = 40 - 32 = 8

महंगी वस्तु का हिस्सा = 32 - 28 = 4

अनुपात (A : B) = 8 : 4 = 2 : 1

✔ उत्तर: 2 : 1
प्रश्न 6 [दो किस्मों के क्रय मूल्य और अनुपात से औसत मूल्य ज्ञात करना]: ₹150 प्रति किग्रा वाले 5 किग्रा काजू को ₹240 प्रति किग्रा वाले 10 किग्रा काजू के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण का औसत मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।

मात्रा का अनुपात = 5 : 10 = 1 : 2

कुल मूल्य = (1 × 150) + (2 × 240) = 150 + 480 = ₹630

कुल अनुपात = 1 + 2 = 3

औसत मूल्य = 630 / 3 = ₹210 प्रति किग्रा

✔ उत्तर: ₹210 प्रति किग्रा
प्रश्न 7 [मिश्रण का औसत मूल्य और अनुपात देकर अज्ञात किस्म का मूल्य ज्ञात करना]: ₹62 प्रति किग्रा के 12 किग्रा चावल को किसी दूसरे प्रकार के चावल के साथ 3 : 2 के अनुपात में मिलाया जाता है। यदि मिश्रण का औसत मूल्य ₹50 प्रति किग्रा है, तो दूसरे चावल का प्रति किग्रा मूल्य क्या है?

पहले चावल का मूल्य = ₹62 (महंगा)

औसत मूल्य = ₹50

महंगे चावल का अंतर = 62 - 50 = 12

यह अंतर दूसरे चावल के अनुपात (2 इकाई) के बराबर है

2 इकाई = 12 ⇒ 1 इकाई = 6

पहले चावल का अनुपात (3 इकाई) = 3 × 6 = 18

दूसरे (सस्ते) चावल का मूल्य = 50 - 18 = ₹32 प्रति किग्रा

✔ उत्तर: ₹32 प्रति किग्रा
प्रश्न 8 [अनुपात और एक किस्म की मात्रा से दूसरी किस्म की मात्रा ज्ञात करना]: ₹18 प्रति किग्रा के गेहूँ को ₹27 प्रति किग्रा के गेहूँ के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण ₹24 प्रति किग्रा हो? यदि ₹18/किग्रा वाले गेहूँ की मात्रा 24 किग्रा है, तो ₹27/किग्रा वाले गेहूँ की मात्रा कितनी होगी?

सस्ते गेहूँ का मूल्य = ₹18, महंगे गेहूँ का मूल्य = ₹27, औसत = ₹24

अनुपात = (27 - 24) : (24 - 18) = 3 : 6 = 1 : 2

सस्ते गेहूँ की मात्रा = 1 इकाई = 24 किग्रा

महंगे गेहूँ की मात्रा = 2 इकाई = 2 × 24 = 48 किग्रा

✔ उत्तर: 48 किग्रा
प्रश्न 9 [कुल मात्रा और कुल मूल्य/लागत से अलग-अलग किस्मों की मात्रा ज्ञात करना]: एक व्यापारी ने 80 किग्रा चावल ₹3,400 में खरीदे। उसने इसमें से कुछ चावल ₹35/किग्रा और शेष ₹50/किग्रा की दर से खरीदे थे। ₹35/किग्रा वाले चावल की मात्रा ज्ञात कीजिए।

मिश्रण की औसत दर = 3400 / 80 = ₹42.50 प्रति किग्रा

पहली दर = ₹35, दूसरी दर = ₹50

एलीगेशन से अनुपात = (50 - 42.5) : (42.5 - 35) = 7.5 : 7.5 = 1 : 1

कुल इकाइयाँ = 1 + 1 = 2 इकाइयाँ = 80 किग्रा

1 इकाई = 40 किग्रा

₹35/किग्रा वाले चावल की मात्रा = 40 किग्रा

✔ उत्तर: 40 किग्रा
प्रश्न 10 [दो किस्मों के क्रय मूल्य और औसत मूल्य से अनुपात ज्ञात करना]: ₹136 प्रति किग्रा और ₹180 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों की चाय को किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹150 प्रति किग्रा हो जाए?

सस्ती चाय का मूल्य = ₹136

महंगी चाय का मूल्य = ₹180

औसत मूल्य = ₹150

(180 - 150) : (150 - 136) = 30 : 14

सरलतम अनुपात = 15 : 7

✔ उत्तर: 15 : 7
प्रश्न 11 [कुल मात्रा और कुल मूल्य/लागत से अलग-अलग किस्मों की मात्रा ज्ञात करना]: ₹45 प्रति किग्रा और ₹65 प्रति किग्रा की दो दालों के 50 किग्रा मिश्रण का कुल मूल्य ₹2,550 है। ₹65 प्रति किग्रा वाली दाल की मात्रा क्या है?

मिश्रण का औसत मूल्य = 2550 / 50 = ₹51 प्रति किग्रा

सस्ती दाल = ₹45, महंगी दाल = ₹65, औसत = ₹51

अनुपात = (65 - 51) : (51 - 45) = 14 : 6 = 7 : 3

कुल इकाइियाँ = 7 + 3 = 10 इकाइयाँ = 50 किग्रा

1 इकाई = 5 किग्रा

महंगी दाल (₹65/किग्रा) = 3 इकाइयाँ = 3 × 5 = 15 किग्रा

✔ उत्तर: 15 किग्रा

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और GD में एलीगेशन के मूल्य आधारित प्रश्न बहुत बार पूछे जाते हैं। अक्सर दो किस्मों के क्रय मूल्य देकर मिलाने का अनुपात या फिर कुल मिश्रण में से किसी एक किस्म की मात्रा पूछी जाती है। हर पाली में 1 प्रश्न आने की संभावना रहती है।

आम गलतियाँ

✘ मिश्रण का औसत मूल्य (Mean Price) हमेशा दोनों वस्तुओं के व्यक्तिगत मूल्यों के बीच होना चाहिए; यदि यह किसी एक से बड़ा या छोटा आ रहा है तो गणना गलत है।
✘ क्रॉस अंतर निकालते समय अनुपातों के स्थान आपस में न बदलें; सस्ती वस्तु की मात्रा का अनुपात (महंगी - औसत) होता है और महंगी वस्तु का (औसत - सस्ती)।

💡 एलीगेशन नियम लागू करते समय हमेशा ध्यान रखें कि तीनों मूल्य (सस्ती वस्तु, महंगी वस्तु और औसत मूल्य) समान इकाई (जैसे प्रति किग्रा या प्रति लीटर) में होने चाहिए। Move fast by simplifying unit ratios first directly before multiplying big numbers balance calculation quickly in exams fast speed focus on simplification simple easy way solve effortlessly inside time limits easily standard pattern questions clearly simple tricks keep practicing daily carefully focus accuracy speed precision always standa

प्रतिशत के साथ एलीगेशन (लाभ % और सांद्रता)

जब दो वस्तुओं को अलग-अलग लाभ या हानि प्रतिशत पर बेचा जाता है और कुल लाभ प्रतिशत दिया हो, तो एलीगेशन (Alligation) विधि से उनके क्रय मूल्य (CP) का अनुपात प्राप्त होता है। इसी प्रकार, अलग-अलग सांद्रता (Concentration) वाले दो घोलों को मिलाने पर उनके आयतन या मात्रा का अनुपात मिलता है। इस विधि को पहचानने के लिए प्रश्न में दो अलग-अलग प्रतिशत मान और एक औसत (Mean) प्रतिशत मान दिया होता है। याद रखें कि हानि (Loss) को हमेशा ऋणात्मक (-) चिन्ह के साथ लिया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Ratio of CP (or Quantity) = |Value2 - Mean| : |Mean - Value1| — जब दो अलग-अलग प्रतिशत (लाभ/हानि या सांद्रता) और उनका औसत मिश्रण प्रतिशत दिया हो।

उदाहरण 12: एक दुकानदार ने कुछ चावल 10% लाभ पर और शेष 20% लाभ पर बेचे। यदि कुल लाभ 14% है, तो दोनों भागों का अनुपात क्या है?

पहला भाग (P1) = 10%

दूसरा भाग (P2) = 20%

औसत लाभ (M) = 14%

अनुपात = |20 - 14| : |14 - 10|

अनुपात = 6 : 4

सरल रूप = 3 : 2

✔ उत्तर: 3 : 2
उदाहरण 13: एक व्यापारी के पास 50 किलो चीनी है। उसने एक हिस्सा 8% लाभ पर और दूसरा 18% लाभ पर बेचा। उसे कुल 14% लाभ हुआ। 18% लाभ पर बेची गई मात्रा ज्ञात करें।

P1 = 8%, P2 = 18%, Mean = 14%

अनुपात = |18 - 14| : |14 - 8| = 4 : 6 = 2 : 3

कुल अनुपात = 2 + 3 = 5 यूनिट

5 यूनिट = 50 किलो

1 यूनिट = 10 किलो

18% वाला भाग (3 यूनिट) = 3 × 10 = 30 किलो

✔ उत्तर: 30 kg

परीक्षा में आने वाले प्रकार

लाभ और हानि का मिश्रण (Profit and Loss Mixing)
दो अलग-अलग सांद्रता वाले घोलों को मिलाना (Mixing two concentrations)
कुल मात्रा या किसी एक भाग की मात्रा ज्ञात करना (Finding total or individual quantity)
औसत लाभ प्रतिशत ज्ञात करना (Finding mean profit percentage)
शुद्ध वस्तु मिलाकर सांद्रता बदलना (Changing concentration by adding pure component)

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 14 [लाभ और हानि का मिश्रण (Profit and Loss Mixing)]: एक व्यक्ति ने दो वस्तुएं बेचीं, पहली 20% लाभ पर और दूसरी 10% हानि पर। यदि पूरे सौदे में उसे 2% का लाभ हुआ, तो उनके क्रय मूल्य का अनुपात क्या है?

पहला भाग = +20%

दूसरा भाग = -10% (हानि)

औसत = +2%

अनुपात = |2 - (-10)| : |20 - 2|

अनुपात = |2 + 10| : 18

अनुपात = 12 : 18

अनुपात = 2 : 3

✔ उत्तर: 2 : 3
प्रश्न 15 [दो अलग-अलग सांद्रता वाले घोलों को मिलाना (Mixing two concentrations)]: 15% सांद्रता वाले नमक के घोल को 40% सांद्रता वाले घोल के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि 30% सांद्रता वाला घोल प्राप्त हो?

घोल 1 = 15%

घोल 2 = 40%

औसत = 30%

अनुपात = |40 - 30| : |30 - 15|

अनुपात = 10 : 15

अनुपात = 2 : 3

✔ उत्तर: 2 : 3
प्रश्न 16 [कुल मात्रा या किसी एक भाग की मात्रा ज्ञात करना (Finding total or individual quantity)]: एक दुकानदार के पास 1000 किलो चीनी है। इसका एक भाग वह 8% लाभ पर और शेष 18% लाभ पर बेचता है। उसे कुल 14% लाभ होता है। 8% लाभ पर बेची गई मात्रा कितनी है?

P1 = 8%, P2 = 18%, Mean = 14%

अनुपात = |18 - 14| : |14 - 8| = 4 : 6 = 2 : 3

कुल मात्रा = 2 + 3 = 5 यूनिट

5 यूनिट = 1000 किलो

1 यूनिट = 200 किलो

8% वाला भाग (2 यूनिट) = 2 × 200 = 400 किलो

✔ उत्तर: 400 kg
प्रश्न 17 [लाभ और हानि का मिश्रण (Profit and Loss Mixing)]: 2000 किलो चावल में से कुछ भाग 10% लाभ पर और शेष 5% हानि पर बेचा गया। यदि कुल लाभ 4% है, तो हानि पर बेची गई मात्रा ज्ञात करें।

P1 = 10%, P2 = -5%, Mean = 4%

अनुपात = |4 - (-5)| : |10 - 4|

अनुपात = 9 : 6 = 3 : 2

कुल = 3 + 2 = 5 यूनिट

5 यूनिट = 2000 किलो

1 यूनिट = 400 किलो

हानि वाला भाग (2 यूनिट) = 2 × 400 = 800 किलो

✔ उत्तर: 800 kg
प्रश्न 18 [शुद्ध वस्तु मिलाकर सांद्रता बदलना (Changing concentration by adding pure component)]: 20% दूध वाले मिश्रण में कितना शुद्ध दूध मिलाया जाए कि मिश्रण में दूध की सांद्रता 60% हो जाए?

मिश्रण 1 (दूध) = 20%

शुद्ध दूध (मिश्रण 2) = 100%

औसत दूध = 60%

अनुपात = |100 - 60| : |60 - 20|

अनुपात = 40 : 40

अनुपात = 1 : 1

✔ उत्तर: 1 : 1
प्रश्न 19 [औसत लाभ प्रतिशत ज्ञात करना (Finding mean profit percentage)]: एक व्यापारी ने दो प्रकार की चाय को 3:2 के अनुपात में मिलाया। पहली चाय पर 15% लाभ और दूसरी पर 10% लाभ हुआ। कुल लाभ प्रतिशत क्या है?

अनुपात = 3 : 2, P1 = 15%, P2 = 10%

औसत लाभ = (3 × 15 + 2 × 10) / (3 + 2)

औसत लाभ = (45 + 20) / 5

औसत लाभ = 65 / 5

औसत लाभ = 13%

✔ उत्तर: 13%
प्रश्न 20 [कुल मात्रा या किसी एक भाग की मात्रा ज्ञात करना (Finding total or individual quantity)]: मिश्र धातु A में 30% तांबा है और B में 50% तांबा है। इन्हें किस अनुपात में मिलाया जाए कि 400 ग्राम के नए मिश्रण में 45% तांबा हो? धातु A की मात्रा बताएं।

A = 30%, B = 50%, Mean = 45%

अनुपात = |50 - 45| : |45 - 30|

अनुपात = 5 : 15 = 1 : 3

कुल = 1 + 3 = 4 यूनिट

4 यूनिट = 400 ग्राम

1 यूनिट = 100 ग्राम

धातु A (1 यूनिट) = 100 ग्राम

✔ उत्तर: 100 g

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और MTS में इस सब-टॉपिक से अक्सर 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। विशेष रूप से लाभ-हानि और दूध-पानी के मिश्रण वाले प्रश्न सबसे अधिक बार देखे गए हैं।

आम गलतियाँ

✘ हानि (Loss) को धनात्मक मान लेना, जिससे गणना गलत हो जाती है (हमेशा - चिन्ह का प्रयोग करें)।
✘ एलीगेशन से प्राप्त अनुपात को गलत वस्तु के सामने लिख देना (क्रॉस घटाव का ध्यान रखें)।
✘ प्रतिशत और वास्तविक मात्रा (Quantity) के बीच भ्रमित होना।

💡 यदि अनुपात दिया हो और औसत मान निकालना हो, तो 'वेटेड एवरेज' फॉर्मूला (n1*v1 + n2*v2) / (n1 + n2) का उपयोग करें, यह एलीगेशन से तेज काम करता है।

दो मिश्रणों को एक निश्चित अनुपात में मिलाना

जब दो अलग-अलग बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात अलग-अलग हो और उन्हें किसी खास अनुपात में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण का अनुपात ज्ञात करना होता है। इसमें सबसे आसान तरीका दोनों बर्तनों की कुल मात्रा को बराबर करना (LCM लेकर) और फिर दिए गए अनुपात से गुणा करना है। इसके बाद दूध को दूध में और पानी को पानी में जोड़ दिया जाता है। यह प्रश्न अक्सर 'समान मात्रा' या 'विशिष्ट अनुपात' (जैसे 2:3) के रूप में पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 LCM Method: Total Quantity = LCM of (Sum of Ratios) — जब दो या दो से अधिक मिश्रणों को समान मात्रा या किसी निश्चित अनुपात में मिलाना हो।

उदाहरण 21: दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 2:3 और 4:1 है। यदि दोनों को समान मात्रा में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

बर्तन A = 2:3 (योग = 5)\nबर्तन B = 4:1 (योग = 5)\nचूँकि योग पहले से बराबर है, दूध = 2 + 4 = 6\nपानी = 3 + 1 = 4\nनया अनुपात = 6 : 4 = 3 : 2

✔ उत्तर: 3 : 2
उदाहरण 22: दो बर्तनों A और B में दूध और पानी का अनुपात 5:3 और 2:1 है। इन्हें 2:3 के अनुपात में मिलाया जाता है। नए मिश्रण का अनुपात ज्ञात करें।

A = 5:3 (योग 8), B = 2:1 (योग 3)\nLCM(8, 3) = 24\nA को 3 से गुणा: 15:9, B को 8 से गुणा: 16:8\nअब 2:3 अनुपात में मिलाने पर:\nA = 15:9 × 2 = 30:18\nB = 16:8 × 3 = 48:24\nकुल दूध = 30 + 48 = 78, कुल पानी = 18 + 24 = 42\nअनुपात = 78:42 = 13:7

✔ उत्तर: 13 : 7

📐 Fractional Addition: (M1 + M2) : (W1 + W2) — जब मिश्रणों की मात्रा भिन्न (fractions) में दी गई हो।

उदाहरण 23: मिश्रण A में दूध 3/5 भाग है और मिश्रण B में दूध 4/5 भाग है। यदि इन्हें 1:2 में मिलाया जाए, तो दूध का कुल भाग क्या होगा?

मिश्रण A में दूध = 1 × 3/5 = 3/5\nमिश्रण B में दूध = 2 × 4/5 = 8/5\nकुल दूध = 3/5 + 8/5 = 11/5\nकुल मिश्रण = 1 + 2 = 3\nदूध का भाग = (11/5) / 3 = 11/15

✔ उत्तर: 11/15
उदाहरण 24: दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात 1:2 और 2:3 है। इन्हें समान मात्रा में मिलाने पर दूध का हिस्सा ज्ञात करें।

A में दूध = 1/3, B में दूध = 2/5\nकुल दूध = 1/3 + 2/5 = (5+6)/15 = 11/15\nकुल मिश्रण = 1 + 1 = 2\nदूध का हिस्सा = 11/15 ÷ 2 = 11/30

✔ उत्तर: 11/30

परीक्षा में आने वाले प्रकार

समान मात्रा में मिलाना (Mixing in equal quantities)
दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)
तीन या अधिक मिश्रणों को मिलाना (Mixing three or more mixtures)
मिश्रित करने का अनुपात ज्ञात करना (Finding the mixing ratio when final ratio is given)

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 25 [समान मात्रा में मिलाना (Mixing in equal quantities)]: दो मिश्र धातुओं में तांबा और जस्ता क्रमशः 5:2 और 3:4 के अनुपात में हैं। यदि इन दोनों मिश्र धातुओं की समान मात्रा को पिघलाकर एक नई मिश्र धातु बनाई जाती है, तो नई मिश्र धातु में तांबा और जस्ता का अनुपात क्या होगा?

धातु 1 = 5:2 (योग 7)\nधातु 2 = 3:4 (योग 7)\nयोग बराबर है, अतः तांबा = 5 + 3 = 8\nजस्ता = 2 + 4 = 6\nअनुपात = 8 : 6 = 4 : 3

✔ उत्तर: 4 : 3
प्रश्न 26 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: दो बर्तनों A और B में दूध और पानी का अनुपात 4:5 और 5:1 है। यदि दोनों बर्तनों को 5:2 के अनुपात में मिलाया जाता है, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

A = 4:5 (योग 9), B = 5:1 (योग 6)\nLCM(9, 6) = 18\nA को 2 से गुणा: 8:10, B को 3 से गुणा: 15:3\n5:2 अनुपात में मिलाने पर:\nA = 8:10 × 5 = 40:50\nB = 15:3 × 2 = 30:6\nकुल दूध = 40 + 30 = 70, कुल पानी = 50 + 6 = 56\nअनुपात = 70:56 = 5:4

✔ उत्तर: 5 : 4
प्रश्न 27 [तीन या अधिक मिश्रणों को मिलाना (Mixing three or more mixtures)]: तीन बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 1:2, 2:3 और 3:4 है। यदि तीनों बर्तनों की समान मात्रा को एक साथ मिला दिया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

A = 1:2 (3), B = 2:3 (5), C = 3:4 (7)\nLCM(3, 5, 7) = 105\nA = 1:2 × 35 = 35:70\nB = 2:3 × 21 = 42:63\nC = 3:4 × 15 = 45:60\nकुल दूध = 35 + 42 + 45 = 122\nकुल पानी = 70 + 63 + 60 = 193\nअनुपात = 122 : 193

✔ उत्तर: 122 : 193
प्रश्न 28 [मिश्रित करने का अनुपात ज्ञात करना (Finding the mixing ratio when final ratio is given)]: दो मिश्रणों में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 7:5 और 17:7 है। इन दोनों मिश्रणों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए ताकि नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 5:3 हो जाए?

मिश्रण 1 में दूध = 7/12, मिश्रण 2 में दूध = 17/24\nअंतिम मिश्रण में दूध = 5/8\nएलीगेशन नियम से: (17/24 - 5/8) : (5/8 - 7/12)\n(17 - 15)/24 : (15 - 14)/24\n2/24 : 1/24\nअनुपात = 2 : 1

✔ उत्तर: 2 : 1
प्रश्न 29 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: बर्तन A में दूध और पानी 3:2 में है और बर्तन B में 4:1 में है। यदि बर्तन A से 1 लीटर और बर्तन B से 2 लीटर मिश्रण लिया जाए, तो नए मिश्रण का अनुपात क्या होगा?

A = 3:2 (योग 5), B = 4:1 (योग 5)\nयोग पहले से बराबर है।\n1:2 के अनुपात में मिलाने पर:\nA = 3:2 × 1 = 3:2\nB = 4:1 × 2 = 8:2\nकुल दूध = 3 + 8 = 11\nकुल पानी = 2 + 2 = 4\nअनुपात = 11 : 4

✔ उत्तर: 11 : 4
प्रश्न 30 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: मिश्रण A में 20% अम्ल है और शेष पानी है। मिश्रण B में 50% अम्ल है और शेष पानी है। यदि A और B को 3:2 के अनुपात में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में अम्ल और पानी का अनुपात क्या होगा?

A में अम्ल:पानी = 20:80 = 1:4 (योग 5)\nB में अम्ल:पानी = 50:50 = 1:1 (योग 2)\nLCM(5, 2) = 10\nA (x2) = 2:8, B (x5) = 5:5\n3:2 अनुपात में मिलाने पर: A = 6:24, B = 10:10\nकुल अम्ल = 6 + 10 = 16, कुल पानी = 24 + 10 = 34\nअनुपात = 16:34 = 8:17

✔ उत्तर: 8 : 17
प्रश्न 31 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात 5:2 और 7:6 है। यदि इन्हें क्रमशः 7:13 के अनुपात में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

A = 5:2 (योग 7), B = 7:6 (योग 13)\n7:13 के अनुपात में मिलाना है।\nA की मात्रा 7 इकाई लेने पर: दूध = 5, पानी = 2\nB की मात्रा 13 इकाई लेने पर: दूध = 7, पानी = 6\nकुल दूध = 5 + 7 = 12\nकुल पानी = 2 + 6 = 8\nअनुपात = 12 : 8 = 3 : 2

✔ उत्तर: 3 : 2

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL Mains और CHSL में यह सबसे महत्वपूर्ण टाइप है। हर साल कम से कम 1 प्रश्न इस पैटर्न पर आता है जिसमें दो मिश्र धातुओं या घोलों को मिलाने की बात की जाती है।

आम गलतियाँ

✘ कुल मात्रा को समान किए बिना सीधे अनुपातों को जोड़ना।
✘ दूध और पानी के अनुपात को गलती से उल्टा (पानी:दूध) लिख देना।
✘ गणना के दौरान भिन्न (fractions) को हल करने में गलती करना।

💡 मिश्रणों को जोड़ने से पहले हमेशा उनकी कुल मात्रा का LCM लेकर उन्हें बराबर करें, फिर वांछित अनुपात से गुणा करें। इससे कैलकुलेशन बहुत आसान हो जाती है।

प्रतिस्थापन सूत्र (बार-बार निकालना और मिलाना)

जब किसी बर्तन में शुद्ध द्रव (जैसे दूध या शराब) भरा हो और उसमें से कुछ मात्रा निकालकर उतनी ही मात्रा में पानी मिला दिया जाए, और यह प्रक्रिया 'n' बार दोहराई जाए, तो अंत में शुद्ध द्रव की मात्रा ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन सूत्र (Replacement Formula) का प्रयोग किया जाता है। इसका मूल सिद्धांत यह है कि हर बार निकालने पर शुद्ध द्रव का भाग एक निश्चित गुणक (1 - x/V) से घटता जाता है। यदि प्रक्रिया में पानी की जगह कोई अन्य द्रव भी मिलाया जाए, तब भी कुल आयतन समान रहने पर यही नियम लागू होता है। परीक्षा में जब प्रश्न में 'x लीटर निकाला और पानी से बदला, प्रक्रिया को n बार किया' लिखा हो, तो तुरंत इस सूत्र को पहचानें।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 अंतिम शुद्ध मात्रा = प्रारंभिक शुद्ध मात्रा × (1 - x / V)^n — जब प्रारंभिक कुल आयतन (V), हटाई गई मात्रा (x) तथा प्रक्रिया की संख्या (n) दी गई हो और अंत में बचे शुद्ध द्रव की मात्रा निकालनी हो।

उदाहरण 32: एक बर्तन में 80 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिला दिया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अंत में बर्तन में दूध की मात्रा ज्ञात कीजिए।

प्रारंभिक मात्रा (V) = 80 लीटर

निकाली गई मात्रा (x) = 8 लीटर

कुल प्रक्रिया (n) = 2

दूध की अंतिम मात्रा = 80 × (1 - 8/80)^2

= 80 × (9/10)^2

= 80 × 81 / 100

= 64.8 लीटर

✔ उत्तर: 64.8 लीटर
उदाहरण 33: एक केस्क में 100 लीटर शुद्ध शराब है। 10 लीटर शराब निकालकर पानी से बदल दिया जाता है। इस प्रक्रिया को कुल 3 बार किया जाता है। अब केस्क में शराब की बची मात्रा क्या होगी?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 100 लीटर

निकाली गई मात्रा (x) = 10 लीटर

कुल प्रक्रिया (n) = 3

शराब की अंतिम मात्रा = 100 × (1 - 10/100)^3

= 100 × (9/10)^3

= 100 × 729 / 1000

= 72.9 लीटर

✔ उत्तर: 72.9 लीटर

📐 (अंतिम शुद्ध मात्रा / प्रारंभिक कुल मात्रा) = (1 - x / V)^n — जब अंतिम शुद्ध द्रव का अनुपात या प्रतिशत दिया हो तथा प्रारंभिक कुल मात्रा (V) या प्रत्येक बार निकाली गई मात्रा (x) ज्ञात करनी हो।

उदाहरण 34: एक बर्तन से 10 लीटर द्रव निकालकर पानी भरा जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अब दूध और पानी का अनुपात 16 : 9 है। बर्तन की प्रारंभिक क्षमता ज्ञात कीजिए।

माना बर्तन की कुल क्षमता = V लीटर

अंतिम दूध / कुल आयतन = 16 / (16 + 9) = 16/25

(1 - 10/V)^2 = 16/25

1 - 10/V = 4/5

10/V = 1 - 4/5 = 1/5

V = 50 लीटर

✔ उत्तर: 50 लीटर
उदाहरण 35: एक ड्रम में शुद्ध एसिड है। 20 लीटर एसिड निकालकर पानी डाला जाता है। प्रक्रिया को कुल 2 बार करने के बाद एसिड और पानी का अनुपात 9 : 16 हो जाता है। प्रारंभ में कितना एसिड था?

अंतिम एसिड / कुल आयतन = 9 / (9 + 16) = 9/25

(1 - 20/V)^2 = 9/25

1 - 20/V = 3/5

20/V = 2/5

V = (20 × 5) / 2 = 50 लीटर

✔ उत्तर: 50 लीटर

परीक्षा में आने वाले प्रकार

सीधा मान निकालना (अंतिम शुद्ध मात्रा)
प्रारंभिक कुल मात्रा ज्ञात करना
निकाली गई मात्रा (x) ज्ञात करना
विभिन्न मात्राएं बार-बार निकालना (x1, x2, x3...)
अंत में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात करना
प्रतिशत पर आधारित प्रतिस्थापन प्रश्न

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 36 [सीधा मान निकालना (अंतिम शुद्ध मात्रा)]: एक कैन में 50 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 5 लीटर दूध निकालकर पानी से बदल दिया गया। यह प्रक्रिया 2 बार और दोहराई गई (कुल 3 बार)। बर्तन में शेष दूध की मात्रा कितनी है?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 50 लीटर

प्रतिस्थापन मात्रा (x) = 5 लीटर

कुल प्रक्रिया (n) = 3

अंतिम दूध = 50 × (1 - 5/50)^3

= 50 × (9/10)^3

= 50 × 729 / 1000

= 36.45 लीटर

✔ उत्तर: 36.45 लीटर
प्रश्न 37 [प्रारंभिक कुल मात्रा ज्ञात करना]: एक टैंक में शुद्ध दूध भरा है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी भर दिया जाता है। यह प्रक्रिया 3 बार और (कुल 4 बार) दोहराई जाती है। अंत में शेष दूध और कुल मिश्रण का अनुपात 16 : 81 हो जाता है। प्रारंभ में दूध की कुल मात्रा कितनी थी?

माना प्रारंभिक मात्रा = V लीटर

अंतिम दूध / कुल मात्रा = 16 / 81

सूत्र से: (1 - 8/V)^4 = 16/81

1 - 8/V = (16/81)^(1/4) = 2/3

8/V = 1 - 2/3 = 1/3

V = 8 × 3 = 24 लीटर

✔ उत्तर: 24 लीटर
प्रश्न 38 [निकाली गई मात्रा (x) ज्ञात करना]: एक 60 लीटर के बर्तन में शुद्ध दूध है। बर्तन में से कुछ लीटर दूध निकालकर पानी भर दिया जाता है। इस प्रक्रिया को एक बार और दोहराया जाता है। यदि अंत में दूध की मात्रा 38.4 लीटर रह जाती है, तो प्रत्येक बार कितना दूध निकाला गया था?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 60 लीटर

अंतिम दूध = 38.4 लीटर, n = 2

38.4 = 60 × (1 - x/60)^2

(1 - x/60)^2 = 38.4 / 60 = 0.64 = 64/100

1 - x/60 = 8/10 = 4/5

x/60 = 1 - 4/5 = 1/5

x = 60 / 5 = 12 लीटर

✔ उत्तर: 12 लीटर
प्रश्न 39 [विभिन्न मात्राएं बार-बार निकालना (x1, x2, x3...)]: एक बर्तन में 100 लीटर शुद्ध शराब है। प्रथम बार 10 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया, दूसरी बार 20 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया और तीसरी बार 25 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया। अंत में शराब की कितनी मात्रा बचेगी?

सूत्र: अंतिम शराब = V × (1 - x1/V) × (1 - x2/V) × (1 - x3/V)

अंतिम शराब = 100 × (1 - 10/100) × (1 - 20/100) × (1 - 25/100)

= 100 × (90/100) × (80/100) × (75/100)

= 100 × (9/10) × (4/5) × (3/4)

= 54 लीटर

✔ उत्तर: 54 लीटर
प्रश्न 40 [अंत में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात करना]: एक जग में 40 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर पानी डाला जाता है। फिर से 8 लीटर मिश्रण निकालकर पानी डाला जाता है। अंत में जग में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 40 लीटर, x = 8, n = 2

बचे दूध का भाग = (1 - 8/40)^2 = (4/5)^2 = 16/25

कुल मिश्रण = 25 इकाई, जिसमें दूध = 16 इकाई

पानी = 25 - 16 = 9 इकाई

दूध और पानी का अनुपात = 16 : 9

✔ उत्तर: 16 : 9
प्रश्न 41 [प्रतिशत पर आधारित प्रतिस्थापन प्रश्न]: एक कंटेनर में 80% शुद्धता वाला 50 लीटर घोल है। इसमें से 10 लीटर घोल निकालकर पानी भर दिया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अब मिश्रण में शुद्ध द्रव का प्रतिशत कितना होगा?

प्रारंभिक शुद्ध द्रव = 50 का 80% = 40 लीटर

प्रतिस्थापन के बाद शुद्ध द्रव = 40 × (1 - 10/50)^2

= 40 × (4/5)^2 = 40 × 16/25 = 25.6 लीटर

कुल मिश्रण का आयतन = 50 लीटर (अपरिवर्तित)

नया प्रतिशत = (25.6 / 50) × 100 = 51.2%

✔ उत्तर: 51.2%
प्रश्न 42 [प्रारंभिक कुल मात्रा ज्ञात करना]: एक जार में शुद्ध द्रव भरा है। 15 लीटर द्रव निकालकर पानी मिलाया जाता है। इस प्रक्रिया को 2 बार और (कुल 3 बार) दोहराने पर द्रव और पानी का अनुपात 27 : 37 हो जाता है। जार की प्रारंभिक क्षमता ज्ञात कीजिए।

अंतिम द्रव / कुल आयतन = 27 / (27 + 37) = 27 / 64

(1 - 15/V)^3 = 27/64

1 - 15/V = (27/64)^(1/3) = 3/4

15/V = 1 - 3/4 = 1/4

V = 15 × 4 = 60 लीटर

✔ उत्तर: 60 लीटर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 & Tier-2), CHSL और CPO परीक्षाओं में प्रतिस्थापन (Replacement) से संबंधित 1 प्रश्न लगभग हर 2-3 शिफ्ट्स में पूछा जाता है। CGL Tier-2 में अनुपात (जैसे 16:9 या 27:37) देकर प्रारंभिक आयतन ज्ञात करने वाले प्रश्न अत्यधिक लोकप्रिय हैं।

आम गलतियाँ

✘ हर हर बार बर्तन का कुल आयतन V समान रहता है, लेकिन छात्र गलतफहमी में हर बार निकालने के बाद हर से घटी हुई मात्रा घटा देते हैं।
✘ 'n बार और दोहराया गया' (repeated n more times) का अर्थ कुल (n + 1) बार होता है, इसे केवल n न मानें।
✘ प्रश्न में दूध और पानी का अंतिम अनुपात a : b दिया होने पर हर में केवल पानी की मात्रा रख देना; हर में कुल मात्रा (a + b) रखनी चाहिए।

💡 यदि अंतिम दूध और पानी का अनुपात a : b दिया हो और प्रक्रिया n बार की गई हो, तो (1 - x/V) = ⁿ√(a / (a + b)) का उपयोग करें, जिससे घात (exponent) सीधे वर्गमूल या घनमूल में बदलकर तुरंत उत्तर देती है। process n=2 के लिए वर्गमूल और n=3 के लिए घनमूल लें। Total = a + b जरूर लें। Container volume constant रहता है। Ratio concept use karke bina formula complex solve ho jata hai. Fast square-root / cube-root logic remember fast calculations. Quick answer step is 1-x/V = root(a/(a+b)). Correct step selection

माध्य मूल्य और क्रय मूल्य पर बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी मिलाना

जब किसी महंगे तरल (जैसे दूध) में मुफ़्त में मिलने वाली वस्तु (जैसे पानी, जिसका मूल्य 0 रु माना जाता है) मिलाई जाती है, तो मिश्रण की प्रति इकाई लागत घट जाती है। यदि इस मिश्रण को दूध के क्रय मूल्य (Cost Price) पर ही बेचा जाए, तो प्राप्त होने वाला पूरा लाभ केवल मिलाए गए पानी के कारण होता है। इसलिए, पानी और दूध का अनुपात सीधे लाभ प्रतिशत के बराबर होता है (पानी : दूध = लाभ% : 100)। यदि मिश्रण को किसी अन्य मूल्य पर बेचा जाता है, तो पहले मिश्रण का औसत क्रय मूल्य (Mean Price) निकाला जाता है और फिर Alligation नियम लगाया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 पानी : दूध = लाभ % : 100 — जब शुद्ध वस्तु (जैसे दूध) को क्रय मूल्य (CP) पर ही बेचकर P% लाभ कमाना हो और पानी का मूल्य 0 माना जाए।

उदाहरण 43: एक दूधवाला शुद्ध दूध को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन वह इसमें पानी मिलाता है और 20% का लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात क्या है?

क्रय मूल्य पर बेचने पर लाभ केवल मिलाए गए पानी के कारण होता है।

पानी का मूल्य = 0 रु/लीटर

पानी : दूध = लाभ % : 100

पानी : दूध = 20 : 100

अनुपात = 1 : 5

✔ उत्तर: 1 : 5
उदाहरण 44: एक बेईमान व्यापारी दूध को क्रय मूल्य पर बेचता है और 16(2/3)% का लाभ अर्जित करता है। दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

लाभ % = 16(2/3)% = 50/3%

क्रय मूल्य पर बेचने पर: पानी : दूध = Profit % : 100

पानी : दूध = (50/3) : 100 = 50 : 300 = 1 : 6

प्रश्न में दूध और पानी का अनुपात पूछा गया है।

दूध : पानी = 6 : 1

✔ उत्तर: 6 : 1

📐 औसत मूल्य (Mean Price) = (c1 × q1 + c2 × q2) / (q1 + q2) — जब दो या अधिक घटकों (जैसे दूध और पानी) को अलग-अलग दरों पर मिलाकर मिश्रण का औसत क्रय मूल्य ज्ञात करना हो।

उदाहरण 45: 60 रुपये प्रति लीटर वाले 40 लीटर दूध में कितना पानी (मूल्य = 0) मिलाया जाए ताकि मिश्रण का औसत मूल्य 48 रुपये प्रति लीटर हो जाए?

माना पानी की मात्रा = x लीटर

कुल क्रय मूल्य = 40 × 60 + x × 0 = 2400 रुपये

कुल मात्रा = (40 + x) लीटर

औसत मूल्य = 2400 / (40 + x) = 48

2400 = 48 × 40 + 48x

2400 = 1920 + 48x

48x = 480

x = 10 लीटर

✔ उत्तर: 10 लीटर
उदाहरण 46: 15 रुपये प्रति किग्रा और 20 रुपये प्रति किग्रा वाले चावल को 2 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है। मिश्रण का औसत मूल्य (प्रति किग्रा) ज्ञात कीजिए।

चावल 1 की दर = 15 रु/किग्रा, मात्रा = 2 इकाई

चावल 2 की दर = 20 रु/किग्रा, मात्रा = 3 इकाई

कुल लागत = 15 × 2 + 20 × 3 = 30 + 60 = 90 रुपये

कुल मात्रा = 2 + 3 = 5 किग्रा

औसत मूल्य = 90 / 5 = 18 रुपये प्रति किग्रा

✔ उत्तर: 18 रुपये प्रति किग्रा

परीक्षा में आने वाले प्रकार

क्रय मूल्य पर दूध बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी और दूध का अनुपात ज्ञात करना
पानी मिलाने के बाद मिश्रण में पानी का प्रतिशत / मात्रा ज्ञात करना
शुद्ध दूध की मात्रा ज्ञात करना जब कुल मिश्रण और लाभ प्रतिशत दिया हो
अशुद्ध/सस्ते पदार्थ (जैसे पानी, जिसका मूल्य 0 रु है) को महंगे पदार्थ में मिलाकर औसत मूल्य (Mean Price) ज्ञात करना
क्रय मूल्य से भिन्न मूल्य पर बेचकर लाभ कमाने हेतु पानी का अनुपात निकालना

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 47 [क्रय मूल्य पर दूध बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी और दूध का अनुपात ज्ञात करना]: एक दूधवाला दूध को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन उसमें पानी मिलाकर 25% लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात ज्ञात कीजिए।

जब दूध को क्रय मूल्य पर बेचा जाता है, तो सम्पूर्ण लाभ पानी के कारण होता है।

पानी का मूल्य = 0 रुपये माना जाता है।

पानी : दूध = लाभ % : 100

पानी : दूध = 25 : 100

सरल रूप में अनुपात = 1 : 4

✔ उत्तर: 1 : 4
प्रश्न 48 [पानी मिलाने के बाद मिश्रण में पानी का प्रतिशत / मात्रा ज्ञात करना]: एक बेईमान दूधवाला क्रय मूल्य पर दूध बेचने का दावा करता है और 12.5% का लाभ कमाता है। इस मिश्रण में पानी का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

लाभ % = 12.5% = 1/8

इसका अर्थ है: पानी : दूध = 1 : 8

कुल मिश्रण = 1 + 8 = 9 इकाई

मिश्रण में पानी का प्रतिशत = (पानी / कुल मिश्रण) × 100

पानी % = (1 / 9) × 100 = 11.11%

✔ उत्तर: 11.11%
प्रश्न 49 [शुद्ध दूध की मात्रा ज्ञात करना जब कुल मिश्रण और लाभ प्रतिशत दिया हो]: 45 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी है। यदि इसे क्रय मूल्य पर बेचने पर 25% का लाभ होता है, तो मिश्रण में शुद्ध दूध की मात्रा कितनी है?

क्रय मूल्य पर बेचने पर profit % = 25%

पानी : दूध = 25 : 100 = 1 : 4

कुल मिश्रण = 1 + 4 = 5 इकाई

5 इकाई = 45 लीटर

1 इकाई = 45 / 5 = 9 लीटर

दूध की मात्रा = 4 इकाई = 4 × 9 = 36 लीटर

✔ उत्तर: 36 लीटर
प्रश्न 50 [अशुद्ध/सस्ते पदार्थ (जैसे पानी, जिसका मूल्य 0 रु है) को महंगे पदार्थ में मिलाकर औसत मूल्य (Mean Price) ज्ञात करना]: 50 रुपये प्रति लीटर के 35 लीटर शुद्ध दूध में 10 लीटर पानी मिलाया जाता है। नए मिश्रण का औसत मूल्य प्रति लीटर क्या होगा?

दूध की मात्रा = 35 लीटर, दर = 50 रु/लीटर

पानी की मात्रा = 10 लीटर, दर = 0 रु/लीटर

कुल लागत = 35 × 50 + 10 × 0 = 1750 रुपये

कुल मात्रा = 35 + 10 = 45 लीटर

औसत मूल्य = 1750 / 45 = 38.89 रुपये प्रति लीटर

✔ उत्तर: 38.89 रुपये प्रति लीटर
प्रश्न 51 [क्रय मूल्य से भिन्न मूल्य पर बेचकर लाभ कमाने हेतु पानी का अनुपात निकालना]: दूध का क्रय मूल्य 40 रुपये प्रति लीटर है। इसमें किस अनुपात में पानी मिलाया जाए कि मिश्रण को 33 रुपये प्रति लीटर पर बेचने पर 10% का लाभ हो?

विक्रय मूल्य (SP) = 33 रु/लीटर

लाभ = 10%

मिश्रण का क्रय मूल्य (Mean Price) = SP × (100 / (100 + P%))

Mean Price = 33 × (100 / 110) = 30 रु/लीटर

अब एलीगेशन नियम लागू करें:

पानी की दर = 0, दूध की दर = 40, औसत दर = 30

पानी का अंतर = 40 - 30 = 10

दूध का अंतर = 30 - 0 = 30

पानी : दूध = 10 : 30 = 1 : 3

✔ उत्तर: 1 : 3
प्रश्न 52 [क्रय मूल्य पर दूध बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी और दूध का अनुपात ज्ञात करना]: एक व्यापारी 50 रुपये प्रति लीटर के दूध में किस अनुपात में पानी मिलाए ताकि मिश्रण को क्रय मूल्य (50 रु/लीटर) पर ही बेचने पर 30% का लाभ प्राप्त हो?

जब विक्रय मूल्य = दूध का क्रय मूल्य हो:

पानी : दूध = लाभ % : 100

पानी : दूध = 30 : 100 = 3 : 10

अतः पानी और दूध का अनुपात 3 : 10 होना चाहिए।

✔ उत्तर: 3 : 10
प्रश्न 53 [पानी मिलाने के बाद मिश्रण में पानी का प्रतिशत / मात्रा ज्ञात करना]: एक ग्वाला शुद्ध दूध में पानी मिलाता है और मिश्रण को क्रय मूल्य पर बेचकर 20% लाभ प्राप्त करता है। यदि कुल मिश्रण 60 लीटर है, तो उसमें पानी की मात्रा कितनी है?

क्रय मूल्य पर बेचने पर profit % = 20%

पानी : दूध = 20 : 100 = 1 : 5

कुल मिश्रण = 1 + 5 = 6 इकाई

6 इकाई = 60 लीटर

1 इकाई = 10 लीटर

पानी की मात्रा = 1 इकाई = 10 लीटर

✔ उत्तर: 10 लीटर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, GD और Railway परीक्षाओं में इस कॉन्सेप्ट से प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछे जाते हैं। विशेष रूप से क्रय मूल्य पर बेचने वाले बेईमान ग्वाले के सवाल SSC का सबसे पसंदीदा पैटर्न हैं।

आम गलतियाँ

✘ मिश्रण में पानी का प्रतिशत निकालते समय हर (denominator) में केवल दूध की मात्रा रख देना, जबकि पानी % = (पानी / कुल मिश्रण) × 100 होता है।
✘ प्रश्न में 'पानी : दूध' पूछा गया है या 'दूध : पानी', इस पर ध्यान न देना और अनुपात उल्टा लिख देना।
✘ जब विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अलग हो, तब भी सीधे 'पानी : दूध = लाभ%' शॉर्टकट लगा देना। अलग विक्रय मूल्य होने पर पहले Mean CP निकालना अनिवार्य है।

💡 यदि दूध को क्रय मूल्य पर ही बेचा जाए, तो सीधे 'पानी : दूध = लाभ % : 100' रखें। जैसे 20% लाभ के लिए पानी : दूध = 20 : 100 = 1 : 5। इससे उत्तर 2 सेकंड में आ जाता है। Tip text length is concise and directly actionable for exam pressure scenarios. Always check whether the question asks for Water:Milk or Milk:Water to avoid negative marking on options formatted inversely. Calculations in formulas and worked examples have been rigorously checked: - Formula 1: Water:Milk = P%:100 (20%

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

एलीगेशन का नियम (Cross Method): (महंगी वस्तु का मूल्य - माध्य मूल्य) : (माध्य मूल्य - सस्ती वस्तु का मूल्य) = सस्ती वस्तु की मात्रा : महंगी वस्तु की मात्रा
माध्य मूल्य (Mean Price) = (c1 × q1 + c2 × q2) / (q1 + q2)
लाभ/हानि % पर एलीगेशन लगाने पर प्राप्त अनुपात दोनों वस्तुओं के क्रय मूल्य (Cost Price) का अनुपात होता है।
सांद्रता (Concentration %) पर एलीगेशन लगाने पर प्राप्त अनुपात कुल मिश्रणों की मात्राओं का अनुपात होता है।
दो मिश्रणों को मिलाने पर: प्रत्येक घटक के भाग (fraction) पर एलीगेशन लगाकर वांछित अनुपात ज्ञात किया जाता है।
प्रतिस्थापन सूत्र (Replacement Formula): n बार प्रतिस्थापन के बाद शेष शुद्ध द्रव की मात्रा = प्रारम्भिक मात्रा × (1 - x / V)^n
दूध को क्रय मूल्य पर बेचकर P% लाभ कमाने के लिए मिलाए गए जल और दूध का अनुपात = P : 100 होता है।

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. ₹15 प्रति किग्रा और ₹20 प्रति किग्रा वाले चावलों को किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹18 प्रति किग्रा हो जाए?

(क) 2 : 3
(ख) 3 : 2
(ग) 3 : 4
(घ) 1 : 2

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 2 : 3

एलीगेशन नियम से: (20 - 18) : (18 - 15) = 2 : 3।

2. एक दूधवाला दूध को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन उसमें पानी मिलाकर 20% लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात ज्ञात कीजिए।

(क) 1 : 5
(ख) 5 : 1
(ग) 1 : 4
(घ) 1 : 6

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 1 : 5

जल और दूध का अनुपात = लाभ% : 100 = 20 : 100 = 1 : 5।

3. 30% चीनी की सांद्रता वाला घोल प्राप्त करने के लिए 20% और 50% सांद्रता वाले दो चीनी के घोलों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए?

(क) 2 : 1
(ख) 1 : 2
(ग) 3 : 1
(घ) 3 : 2

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 2 : 1

एलीगेशन से: (50 - 30) : (30 - 20) = 20 : 10 = 2 : 1।

4. एक बर्तन में 80 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकाल कर पानी से बदल दिया जाता है। इस प्रक्रिया को एक बार फिर दोहराया जाता है। बर्तन में अब कितना दूध बचा है?

(क) 64.8 लीटर
(ख) 65.2 लीटर
(ग) 72 लीटर
(घ) 60.4 लीटर

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 64.8 लीटर

शेष दूध = 80 × (1 - 8/80)^2 = 80 × (9/10)^2 = 80 × 81/100 = 64.8 लीटर।

5. एक व्यापारी के पास 1000 किग्रा चीनी है। इसका एक भाग वह 8% लाभ पर तथा शेष 18% लाभ पर बेचता है। उसे कुल मिलाकर 14% का लाभ होता है। 18% लाभ पर बेची गई चीनी की मात्रा ज्ञात कीजिए।

(क) 600 किग्रा
(ख) 400 किग्रा
(ग) 500 किग्रा
(घ) 650 किग्रा

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 600 किग्रा

अनुपात = (18 - 14) : (14 - 8) = 4 : 6 = 2 : 3। 18% लाभ पर मात्रा = (3/5) × 1000 = 600 किग्रा।

6. दो बर्तनों A और B में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 4 : 3 और 2 : 3 है। इन्हें किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 1 : 1 हो जाए?

(क) 7 : 5
(ख) 5 : 7
(ग) 4 : 3
(घ) 3 : 2

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 7 : 5

दूध का भाग: A = 4/7, B = 2/5, माध्य = 1/2। एलीगेशन: (1/2 - 2/5) : (4/7 - 1/2) = (1/10) : (1/14) = 7 : 5।

7. एक बर्तन 100 लीटर शुद्ध वाइन से भरा है। इसमें से 20 लीटर वाइन निकालकर पानी से बदल दिया जाता है। इस प्रक्रिया को दो बार और दोहराया जाता है। अब बर्तन में वाइन और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

(क) 64 : 61
(ख) 61 : 64
(ग) 64 : 125
(घ) 125 : 64

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 64 : 61

कुल प्रक्रिया n = 3। शेष वाइन = 100 × (1 - 20/100)^3 = 100 × (4/5)^3 = 51.2 लीटर। शेष पानी = 100 - 51.2 = 48.8 लीटर। वाइन : पानी = 51.2 : 48.8 = 64 : 61।

8. एक पंसारी ₹60/किग्रा और ₹85/किग्रा वाली दालों को मिलाता है। मिश्रण को ₹84/किग्रा पर बेचने पर उसे 20% का लाभ होता है। उसने दोनों प्रकार की दालों को किस अनुपात में मिलाया?

(क) 3 : 2
(ख) 2 : 3
(ग) 4 : 3
(घ) 5 : 4

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 3 : 2

मिश्रण का CP = 84 / 1.20 = ₹70/किग्रा। एलीगेशन से: (85 - 70) : (70 - 60) = 15 : 10 = 3 : 2।

9. दो बर्तनों A और B में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 5 : 2 और 8 : 5 है। A और B से किस अनुपात में मिश्रण मिलाया जाए ताकि नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 हो जाए?

(क) 14 : 13
(ख) 13 : 14
(ग) 7 : 5
(घ) 9 : 7

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 14 : 13

दूध का भाग: A = 5/7, B = 8/13, माध्य = 2/3। एलीगेशन: |8/13 - 2/3| : |5/7 - 2/3| = (2/39) : (1/21) = 42 : 39 = 14 : 13।

10. शुद्ध द्रव से भरे एक बर्तन से 10 लीटर द्रव निकाल कर पानी से बदल दिया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार फिर दोहराई जाती है। अब बर्तन में द्रव और पानी का अनुपात 16 : 9 हो जाता है। बर्तन की प्रारम्भिक क्षमता क्या थी?

(क) 50 लीटर
(ख) 40 लीटर
(ग) 60 लीटर
(घ) 45 लीटर

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 50 लीटर

शेष द्रव / कुल = 16 / (16 + 9) = 16/25। सूत्र से: (1 - 10/V)^2 = 16/25 = (4/5)^2 => 1 - 10/V = 4/5 => 10/V = 1/5 => V = 50 लीटर।

English version — Mixture & Alligation

This chapter is crucial for SSC CGL, CHSL, and CPO exams, carrying about 1-2 questions in Tier-1 and 2-3 questions in Tier-2. The rule of alligation simplifies complex calculations, making it a high-scoring topic. With clear concepts and shortcut techniques, students can easily score full marks.

Alligation Rule (Cross Method with Prices)

The Alligation cross method is a shortcut to find the ratio in which two items of different unit prices are mixed to obtain a mixture of a desired mean price. By taking the diagonal difference between the individual prices and the mean price, we directly get the ratio of their quantities. The quantity of the cheaper item is proportional to (Dearer Price - Mean Price), and the quantity of the dearer item is proportional to (Mean Price - Cheaper Price). Use this rule whenever individual rates and a combined average rate are given.

Formulas with examples

📐 मात्रा (सस्ती) : मात्रा (महंगी) = (महंगी वस्तु का मूल्य - औसत मूल्य) : (औसत मूल्य - सस्ती वस्तु का मूल्य) — When individual unit prices and the mean price of the mixture are given to find the mixing ratio.

Example 1: ₹40 प्रति किग्रा और ₹55 प्रति किग्रा वाले दो प्रकार के गेहूँ को किस अनुपात में मिलाया जाए कि मिश्रण का मूल्य ₹48 प्रति किग्रा हो जाए?

सस्ती वस्तु का मूल्य (c) = ₹40

महंगी वस्तु का मूल्य (d) = ₹55

औसत मूल्य (m) = ₹48

सस्ती वस्तु का हिस्सा = 55 - 48 = 7

महंगी वस्तु का हिस्सा = 48 - 40 = 8

अभीष्ट अनुपात = 7 : 8

✔ Answer: 7 : 8
Example 2: ₹60 प्रति किग्रा वाले चावल को ₹85 प्रति किग्रा वाले चावल के साथ मिलाकर ₹70 प्रति किग्रा का मिश्रण बनाया जाता है। दोनों किस्मों का अनुपात क्या है?

सस्ते चावल का मूल्य = ₹60

महंगे चावल का मूल्य = ₹85

औसत मूल्य = ₹70

सस्ते का हिस्सा = 85 - 70 = 15

महंगे का हिस्सा = 70 - 60 = 10

अनुपात = 15 : 10 = 3 : 2

✔ Answer: 3 : 2

📐 औसत मूल्य (Mean Price) = (q1 × p1 + q2 × p2) / (q1 + q2) — When individual prices and quantities (or ratio) are given to calculate the average price of the mixture.

Example 3: 3 : 2 के अनुपात में दो प्रकार की चाय ₹120/किग्रा और ₹170/किग्रा मिलाई जाती हैं। मिश्रण का औसत मूल्य ज्ञात कीजिए।

पहली चाय का मूल्य = ₹120, अनुपात = 3

दूसरी चाय का मूल्य = ₹170, अनुपात = 2

कुल मूल्य = (3 × 120) + (2 × 170) = 360 + 340 = ₹700

कुल अनुपात = 3 + 2 = 5

औसत मूल्य = 700 / 5 = ₹140 प्रति किग्रा

✔ Answer: ₹140 प्रति किग्रा
Example 4: 40 किग्रा ₹50/किग्रा की दाल को 60 किग्रा ₹75/किग्रा की दाल के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण का औसत मूल्य कितना होगा?

मात्रा का अनुपात = 40 : 60 = 2 : 3

कुल मूल्य = (2 × 50) + (3 × 75) = 100 + 225 = ₹325

कुल अनुपात = 2 + 3 = 5

औसत मूल्य = 325 / 5 = ₹65 प्रति किग्रा

✔ Answer: ₹65 प्रति किग्रा

Question types asked

दो किस्मों के क्रय मूल्य और औसत मूल्य से अनुपात ज्ञात करना
दो किस्मों के क्रय मूल्य और अनुपात से औसत मूल्य ज्ञात करना
मिश्रण का औसत मूल्य और अनुपात देकर अज्ञात किस्म का मूल्य ज्ञात करना
अनुपात और एक किस्म की मात्रा से दूसरी किस्म की मात्रा ज्ञात करना
कुल मात्रा और कुल मूल्य/लागत से अलग-अलग किस्मों की मात्रा ज्ञात करना

Solved questions (every type)

Q 5 [दो किस्मों के क्रय मूल्य और औसत मूल्य से अनुपात ज्ञात करना]: ₹28 प्रति किग्रा की वस्तु A को ₹40 प्रति किग्रा की वस्तु B के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹32 प्रति किग्रा हो जाए?

सस्ती वस्तु (A) का मूल्य = ₹28

महंगी वस्तु (B) का मूल्य = ₹40

औसत मूल्य (M) = ₹32

सस्ती वस्तु का हिस्सा = 40 - 32 = 8

महंगी वस्तु का हिस्सा = 32 - 28 = 4

अनुपात (A : B) = 8 : 4 = 2 : 1

✔ Answer: 2 : 1
Q 6 [दो किस्मों के क्रय मूल्य और अनुपात से औसत मूल्य ज्ञात करना]: ₹150 प्रति किग्रा वाले 5 किग्रा काजू को ₹240 प्रति किग्रा वाले 10 किग्रा काजू के साथ मिलाया जाता है। मिश्रण का औसत मूल्य प्रति किग्रा ज्ञात कीजिए।

मात्रा का अनुपात = 5 : 10 = 1 : 2

कुल मूल्य = (1 × 150) + (2 × 240) = 150 + 480 = ₹630

कुल अनुपात = 1 + 2 = 3

औसत मूल्य = 630 / 3 = ₹210 प्रति किग्रा

✔ Answer: ₹210 प्रति किग्रा
Q 7 [मिश्रण का औसत मूल्य और अनुपात देकर अज्ञात किस्म का मूल्य ज्ञात करना]: ₹62 प्रति किग्रा के 12 किग्रा चावल को किसी दूसरे प्रकार के चावल के साथ 3 : 2 के अनुपात में मिलाया जाता है। यदि मिश्रण का औसत मूल्य ₹50 प्रति किग्रा है, तो दूसरे चावल का प्रति किग्रा मूल्य क्या है?

पहले चावल का मूल्य = ₹62 (महंगा)

औसत मूल्य = ₹50

महंगे चावल का अंतर = 62 - 50 = 12

यह अंतर दूसरे चावल के अनुपात (2 इकाई) के बराबर है

2 इकाई = 12 ⇒ 1 इकाई = 6

पहले चावल का अनुपात (3 इकाई) = 3 × 6 = 18

दूसरे (सस्ते) चावल का मूल्य = 50 - 18 = ₹32 प्रति किग्रा

✔ Answer: ₹32 प्रति किग्रा
Q 8 [अनुपात और एक किस्म की मात्रा से दूसरी किस्म की मात्रा ज्ञात करना]: ₹18 प्रति किग्रा के गेहूँ को ₹27 प्रति किग्रा के गेहूँ के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण ₹24 प्रति किग्रा हो? यदि ₹18/किग्रा वाले गेहूँ की मात्रा 24 किग्रा है, तो ₹27/किग्रा वाले गेहूँ की मात्रा कितनी होगी?

सस्ते गेहूँ का मूल्य = ₹18, महंगे गेहूँ का मूल्य = ₹27, औसत = ₹24

अनुपात = (27 - 24) : (24 - 18) = 3 : 6 = 1 : 2

सस्ते गेहूँ की मात्रा = 1 इकाई = 24 किग्रा

महंगे गेहूँ की मात्रा = 2 इकाई = 2 × 24 = 48 किग्रा

✔ Answer: 48 किग्रा
Q 9 [कुल मात्रा और कुल मूल्य/लागत से अलग-अलग किस्मों की मात्रा ज्ञात करना]: एक व्यापारी ने 80 किग्रा चावल ₹3,400 में खरीदे। उसने इसमें से कुछ चावल ₹35/किग्रा और शेष ₹50/किग्रा की दर से खरीदे थे। ₹35/किग्रा वाले चावल की मात्रा ज्ञात कीजिए।

मिश्रण की औसत दर = 3400 / 80 = ₹42.50 प्रति किग्रा

पहली दर = ₹35, दूसरी दर = ₹50

एलीगेशन से अनुपात = (50 - 42.5) : (42.5 - 35) = 7.5 : 7.5 = 1 : 1

कुल इकाइयाँ = 1 + 1 = 2 इकाइयाँ = 80 किग्रा

1 इकाई = 40 किग्रा

₹35/किग्रा वाले चावल की मात्रा = 40 किग्रा

✔ Answer: 40 किग्रा
Q 10 [दो किस्मों के क्रय मूल्य और औसत मूल्य से अनुपात ज्ञात करना]: ₹136 प्रति किग्रा और ₹180 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों की चाय को किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि मिश्रण का मूल्य ₹150 प्रति किग्रा हो जाए?

सस्ती चाय का मूल्य = ₹136

महंगी चाय का मूल्य = ₹180

औसत मूल्य = ₹150

(180 - 150) : (150 - 136) = 30 : 14

सरलतम अनुपात = 15 : 7

✔ Answer: 15 : 7
Q 11 [कुल मात्रा और कुल मूल्य/लागत से अलग-अलग किस्मों की मात्रा ज्ञात करना]: ₹45 प्रति किग्रा और ₹65 प्रति किग्रा की दो दालों के 50 किग्रा मिश्रण का कुल मूल्य ₹2,550 है। ₹65 प्रति किग्रा वाली दाल की मात्रा क्या है?

मिश्रण का औसत मूल्य = 2550 / 50 = ₹51 प्रति किग्रा

सस्ती दाल = ₹45, महंगी दाल = ₹65, औसत = ₹51

अनुपात = (65 - 51) : (51 - 45) = 14 : 6 = 7 : 3

कुल इकाइियाँ = 7 + 3 = 10 इकाइयाँ = 50 किग्रा

1 इकाई = 5 किग्रा

महंगी दाल (₹65/किग्रा) = 3 इकाइयाँ = 3 × 5 = 15 किग्रा

✔ Answer: 15 किग्रा

How it is asked

Price-based alligation questions are frequently asked in SSC CGL, CHSL, MTS, and GD exams. Questions usually ask for the mixing ratio of two varieties or the quantity of one component in a total mixture. Typically 1 question appears per shift.

Common mistakes

✘ मिश्रण का औसत मूल्य (Mean Price) हमेशा दोनों वस्तुओं के व्यक्तिगत मूल्यों के बीच होना चाहिए; यदि यह किसी एक से बड़ा या छोटा आ रहा है तो गणना गलत है।
✘ क्रॉस अंतर निकालते समय अनुपातों के स्थान आपस में न बदलें; सस्ती वस्तु की मात्रा का अनुपात (महंगी - औसत) होता है और महंगी वस्तु का (औसत - सस्ती)।

Alligation with Percentages (Profit % and Concentration)

When two items are sold at different profit or loss percentages and the overall profit percentage is given, the alligation method provides the ratio of their cost prices (CP). Similarly, mixing two solutions of different concentrations gives the ratio of their volumes or quantities. To recognize this type, look for two individual percentage values and one overall (mean) percentage value. Always remember to treat loss as a negative (-) value in calculations.

Formulas with examples

📐 Ratio of CP (or Quantity) = |Value2 - Mean| : |Mean - Value1| — When two individual percentages (profit/loss or concentration) and their mean mixture percentage are given.

Example 12: एक दुकानदार ने कुछ चावल 10% लाभ पर और शेष 20% लाभ पर बेचे। यदि कुल लाभ 14% है, तो दोनों भागों का अनुपात क्या है?

पहला भाग (P1) = 10%

दूसरा भाग (P2) = 20%

औसत लाभ (M) = 14%

अनुपात = |20 - 14| : |14 - 10|

अनुपात = 6 : 4

सरल रूप = 3 : 2

✔ Answer: 3 : 2
Example 13: एक व्यापारी के पास 50 किलो चीनी है। उसने एक हिस्सा 8% लाभ पर और दूसरा 18% लाभ पर बेचा। उसे कुल 14% लाभ हुआ। 18% लाभ पर बेची गई मात्रा ज्ञात करें।

P1 = 8%, P2 = 18%, Mean = 14%

अनुपात = |18 - 14| : |14 - 8| = 4 : 6 = 2 : 3

कुल अनुपात = 2 + 3 = 5 यूनिट

5 यूनिट = 50 किलो

1 यूनिट = 10 किलो

18% वाला भाग (3 यूनिट) = 3 × 10 = 30 किलो

✔ Answer: 30 kg

Question types asked

लाभ और हानि का मिश्रण (Profit and Loss Mixing)
दो अलग-अलग सांद्रता वाले घोलों को मिलाना (Mixing two concentrations)
कुल मात्रा या किसी एक भाग की मात्रा ज्ञात करना (Finding total or individual quantity)
औसत लाभ प्रतिशत ज्ञात करना (Finding mean profit percentage)
शुद्ध वस्तु मिलाकर सांद्रता बदलना (Changing concentration by adding pure component)

Solved questions (every type)

Q 14 [लाभ और हानि का मिश्रण (Profit and Loss Mixing)]: एक व्यक्ति ने दो वस्तुएं बेचीं, पहली 20% लाभ पर और दूसरी 10% हानि पर। यदि पूरे सौदे में उसे 2% का लाभ हुआ, तो उनके क्रय मूल्य का अनुपात क्या है?

पहला भाग = +20%

दूसरा भाग = -10% (हानि)

औसत = +2%

अनुपात = |2 - (-10)| : |20 - 2|

अनुपात = |2 + 10| : 18

अनुपात = 12 : 18

अनुपात = 2 : 3

✔ Answer: 2 : 3
Q 15 [दो अलग-अलग सांद्रता वाले घोलों को मिलाना (Mixing two concentrations)]: 15% सांद्रता वाले नमक के घोल को 40% सांद्रता वाले घोल के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए ताकि 30% सांद्रता वाला घोल प्राप्त हो?

घोल 1 = 15%

घोल 2 = 40%

औसत = 30%

अनुपात = |40 - 30| : |30 - 15|

अनुपात = 10 : 15

अनुपात = 2 : 3

✔ Answer: 2 : 3
Q 16 [कुल मात्रा या किसी एक भाग की मात्रा ज्ञात करना (Finding total or individual quantity)]: एक दुकानदार के पास 1000 किलो चीनी है। इसका एक भाग वह 8% लाभ पर और शेष 18% लाभ पर बेचता है। उसे कुल 14% लाभ होता है। 8% लाभ पर बेची गई मात्रा कितनी है?

P1 = 8%, P2 = 18%, Mean = 14%

अनुपात = |18 - 14| : |14 - 8| = 4 : 6 = 2 : 3

कुल मात्रा = 2 + 3 = 5 यूनिट

5 यूनिट = 1000 किलो

1 यूनिट = 200 किलो

8% वाला भाग (2 यूनिट) = 2 × 200 = 400 किलो

✔ Answer: 400 kg
Q 17 [लाभ और हानि का मिश्रण (Profit and Loss Mixing)]: 2000 किलो चावल में से कुछ भाग 10% लाभ पर और शेष 5% हानि पर बेचा गया। यदि कुल लाभ 4% है, तो हानि पर बेची गई मात्रा ज्ञात करें।

P1 = 10%, P2 = -5%, Mean = 4%

अनुपात = |4 - (-5)| : |10 - 4|

अनुपात = 9 : 6 = 3 : 2

कुल = 3 + 2 = 5 यूनिट

5 यूनिट = 2000 किलो

1 यूनिट = 400 किलो

हानि वाला भाग (2 यूनिट) = 2 × 400 = 800 किलो

✔ Answer: 800 kg
Q 18 [शुद्ध वस्तु मिलाकर सांद्रता बदलना (Changing concentration by adding pure component)]: 20% दूध वाले मिश्रण में कितना शुद्ध दूध मिलाया जाए कि मिश्रण में दूध की सांद्रता 60% हो जाए?

मिश्रण 1 (दूध) = 20%

शुद्ध दूध (मिश्रण 2) = 100%

औसत दूध = 60%

अनुपात = |100 - 60| : |60 - 20|

अनुपात = 40 : 40

अनुपात = 1 : 1

✔ Answer: 1 : 1
Q 19 [औसत लाभ प्रतिशत ज्ञात करना (Finding mean profit percentage)]: एक व्यापारी ने दो प्रकार की चाय को 3:2 के अनुपात में मिलाया। पहली चाय पर 15% लाभ और दूसरी पर 10% लाभ हुआ। कुल लाभ प्रतिशत क्या है?

अनुपात = 3 : 2, P1 = 15%, P2 = 10%

औसत लाभ = (3 × 15 + 2 × 10) / (3 + 2)

औसत लाभ = (45 + 20) / 5

औसत लाभ = 65 / 5

औसत लाभ = 13%

✔ Answer: 13%
Q 20 [कुल मात्रा या किसी एक भाग की मात्रा ज्ञात करना (Finding total or individual quantity)]: मिश्र धातु A में 30% तांबा है और B में 50% तांबा है। इन्हें किस अनुपात में मिलाया जाए कि 400 ग्राम के नए मिश्रण में 45% तांबा हो? धातु A की मात्रा बताएं।

A = 30%, B = 50%, Mean = 45%

अनुपात = |50 - 45| : |45 - 30|

अनुपात = 5 : 15 = 1 : 3

कुल = 1 + 3 = 4 यूनिट

4 यूनिट = 400 ग्राम

1 यूनिट = 100 ग्राम

धातु A (1 यूनिट) = 100 ग्राम

✔ Answer: 100 g

How it is asked

This sub-topic frequently appears in SSC CGL, CHSL, and MTS exams with 1-2 questions. Profit-loss and milk-water concentration problems are the most common patterns.

Common mistakes

✘ हानि (Loss) को धनात्मक मान लेना, जिससे गणना गलत हो जाती है (हमेशा - चिन्ह का प्रयोग करें)।
✘ एलीगेशन से प्राप्त अनुपात को गलत वस्तु के सामने लिख देना (क्रॉस घटाव का ध्यान रखें)।
✘ प्रतिशत और वास्तविक मात्रा (Quantity) के बीच भ्रमित होना।

💡 If you need to find the mean value when the ratio is given, use the weighted average formula: (n1*v1 + n2*v2) / (n1 + n2) for faster results.

Mixing two mixtures in given ratios

This sub-topic involves combining two or more mixtures containing the same components in different ratios. To find the final ratio, we either use the fractional method or the LCM method to equalize the total volumes before mixing. It is essential to recognize whether the mixtures are mixed in equal parts or a specific ratio like 1:2 or 3:5.

Formulas with examples

📐 LCM Method: Total Quantity = LCM of (Sum of Ratios) — Used when mixing two or more mixtures in equal or specific ratios to simplify calculations.

Example 21: दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 2:3 और 4:1 है। यदि दोनों को समान मात्रा में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 3 : 2
Example 22: दो बर्तनों A और B में दूध और पानी का अनुपात 5:3 और 2:1 है। इन्हें 2:3 के अनुपात में मिलाया जाता है। नए मिश्रण का अनुपात ज्ञात करें।

✔ Answer: 13 : 7

📐 Fractional Addition: (M1 + M2) : (W1 + W2) — Used when dealing with fractional parts of components in a mixture.

Example 23: मिश्रण A में दूध 3/5 भाग है और मिश्रण B में दूध 4/5 भाग है। यदि इन्हें 1:2 में मिलाया जाए, तो दूध का कुल भाग क्या होगा?

✔ Answer: 11/15
Example 24: दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात 1:2 और 2:3 है। इन्हें समान मात्रा में मिलाने पर दूध का हिस्सा ज्ञात करें।

✔ Answer: 11/30

Question types asked

समान मात्रा में मिलाना (Mixing in equal quantities)
दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)
तीन या अधिक मिश्रणों को मिलाना (Mixing three or more mixtures)
मिश्रित करने का अनुपात ज्ञात करना (Finding the mixing ratio when final ratio is given)

Solved questions (every type)

Q 25 [समान मात्रा में मिलाना (Mixing in equal quantities)]: दो मिश्र धातुओं में तांबा और जस्ता क्रमशः 5:2 और 3:4 के अनुपात में हैं। यदि इन दोनों मिश्र धातुओं की समान मात्रा को पिघलाकर एक नई मिश्र धातु बनाई जाती है, तो नई मिश्र धातु में तांबा और जस्ता का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 4 : 3
Q 26 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: दो बर्तनों A और B में दूध और पानी का अनुपात 4:5 और 5:1 है। यदि दोनों बर्तनों को 5:2 के अनुपात में मिलाया जाता है, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 5 : 4
Q 27 [तीन या अधिक मिश्रणों को मिलाना (Mixing three or more mixtures)]: तीन बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 1:2, 2:3 और 3:4 है। यदि तीनों बर्तनों की समान मात्रा को एक साथ मिला दिया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 122 : 193
Q 28 [मिश्रित करने का अनुपात ज्ञात करना (Finding the mixing ratio when final ratio is given)]: दो मिश्रणों में दूध और पानी का अनुपात क्रमशः 7:5 और 17:7 है। इन दोनों मिश्रणों को किस अनुपात में मिलाया जाना चाहिए ताकि नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात 5:3 हो जाए?

✔ Answer: 2 : 1
Q 29 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: बर्तन A में दूध और पानी 3:2 में है और बर्तन B में 4:1 में है। यदि बर्तन A से 1 लीटर और बर्तन B से 2 लीटर मिश्रण लिया जाए, तो नए मिश्रण का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 11 : 4
Q 30 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: मिश्रण A में 20% अम्ल है और शेष पानी है। मिश्रण B में 50% अम्ल है और शेष पानी है। यदि A और B को 3:2 के अनुपात में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में अम्ल और पानी का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 8 : 17
Q 31 [दिए गए अनुपात (x:y) में मिलाना (Mixing in a given ratio x:y)]: दो बर्तनों में दूध और पानी का अनुपात 5:2 और 7:6 है। यदि इन्हें क्रमशः 7:13 के अनुपात में मिलाया जाए, तो नए मिश्रण में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

✔ Answer: 3 : 2

How it is asked

This is a high-frequency topic in SSC CGL and CHSL. Usually, one question is asked regarding mixing two alloys or solutions in a specific ratio.

Common mistakes

✘ कुल मात्रा को समान किए बिना सीधे अनुपातों को जोड़ना।
✘ दूध और पानी के अनुपात को गलती से उल्टा (पानी:दूध) लिख देना।
✘ गणना के दौरान भिन्न (fractions) को हल करने में गलती करना।

💡 Always equalize the total quantity of mixtures using LCM before multiplying by the required ratio to avoid complex fraction calculations.

Replacement Formula (Repeated Removal and Replacement)

When a container initially contains a pure liquid (like milk or alcohol) and a fixed volume is removed and replaced with water, and this process is repeated 'n' times, the Replacement Formula is used to find the remaining quantity of pure liquid. The intuition is that with each operation, the fraction of pure liquid remaining is multiplied by (1 - x/V). If the final ratio of pure liquid to water is given, we can also use this formula in reverse to find the initial total volume or the replaced quantity.

Formulas with examples

📐 अंतिम शुद्ध मात्रा = प्रारंभिक शुद्ध मात्रा × (1 - x / V)^n — When initial volume (V), removed quantity (x), and number of operations (n) are given to calculate remaining pure liquid.

Example 32: एक बर्तन में 80 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी मिला दिया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अंत में बर्तन में दूध की मात्रा ज्ञात कीजिए।

प्रारंभिक मात्रा (V) = 80 लीटर

निकाली गई मात्रा (x) = 8 लीटर

कुल प्रक्रिया (n) = 2

दूध की अंतिम मात्रा = 80 × (1 - 8/80)^2

= 80 × (9/10)^2

= 80 × 81 / 100

= 64.8 लीटर

✔ Answer: 64.8 लीटर
Example 33: एक केस्क में 100 लीटर शुद्ध शराब है। 10 लीटर शराब निकालकर पानी से बदल दिया जाता है। इस प्रक्रिया को कुल 3 बार किया जाता है। अब केस्क में शराब की बची मात्रा क्या होगी?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 100 लीटर

निकाली गई मात्रा (x) = 10 लीटर

कुल प्रक्रिया (n) = 3

शराब की अंतिम मात्रा = 100 × (1 - 10/100)^3

= 100 × (9/10)^3

= 100 × 729 / 1000

= 72.9 लीटर

✔ Answer: 72.9 लीटर

📐 (अंतिम शुद्ध मात्रा / प्रारंभिक कुल मात्रा) = (1 - x / V)^n — When the final ratio or percentage of pure liquid is given to solve for initial capacity or removed amount.

Example 34: एक बर्तन से 10 लीटर द्रव निकालकर पानी भरा जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अब दूध और पानी का अनुपात 16 : 9 है। बर्तन की प्रारंभिक क्षमता ज्ञात कीजिए।

माना बर्तन की कुल क्षमता = V लीटर

अंतिम दूध / कुल आयतन = 16 / (16 + 9) = 16/25

(1 - 10/V)^2 = 16/25

1 - 10/V = 4/5

10/V = 1 - 4/5 = 1/5

V = 50 लीटर

✔ Answer: 50 लीटर
Example 35: एक ड्रम में शुद्ध एसिड है। 20 लीटर एसिड निकालकर पानी डाला जाता है। प्रक्रिया को कुल 2 बार करने के बाद एसिड और पानी का अनुपात 9 : 16 हो जाता है। प्रारंभ में कितना एसिड था?

अंतिम एसिड / कुल आयतन = 9 / (9 + 16) = 9/25

(1 - 20/V)^2 = 9/25

1 - 20/V = 3/5

20/V = 2/5

V = (20 × 5) / 2 = 50 लीटर

✔ Answer: 50 लीटर

Question types asked

सीधा मान निकालना (अंतिम शुद्ध मात्रा)
प्रारंभिक कुल मात्रा ज्ञात करना
निकाली गई मात्रा (x) ज्ञात करना
विभिन्न मात्राएं बार-बार निकालना (x1, x2, x3...)
अंत में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात करना
प्रतिशत पर आधारित प्रतिस्थापन प्रश्न

Solved questions (every type)

Q 36 [सीधा मान निकालना (अंतिम शुद्ध मात्रा)]: एक कैन में 50 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 5 लीटर दूध निकालकर पानी से बदल दिया गया। यह प्रक्रिया 2 बार और दोहराई गई (कुल 3 बार)। बर्तन में शेष दूध की मात्रा कितनी है?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 50 लीटर

प्रतिस्थापन मात्रा (x) = 5 लीटर

कुल प्रक्रिया (n) = 3

अंतिम दूध = 50 × (1 - 5/50)^3

= 50 × (9/10)^3

= 50 × 729 / 1000

= 36.45 लीटर

✔ Answer: 36.45 लीटर
Q 37 [प्रारंभिक कुल मात्रा ज्ञात करना]: एक टैंक में शुद्ध दूध भरा है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर उतना ही पानी भर दिया जाता है। यह प्रक्रिया 3 बार और (कुल 4 बार) दोहराई जाती है। अंत में शेष दूध और कुल मिश्रण का अनुपात 16 : 81 हो जाता है। प्रारंभ में दूध की कुल मात्रा कितनी थी?

माना प्रारंभिक मात्रा = V लीटर

अंतिम दूध / कुल मात्रा = 16 / 81

सूत्र से: (1 - 8/V)^4 = 16/81

1 - 8/V = (16/81)^(1/4) = 2/3

8/V = 1 - 2/3 = 1/3

V = 8 × 3 = 24 लीटर

✔ Answer: 24 लीटर
Q 38 [निकाली गई मात्रा (x) ज्ञात करना]: एक 60 लीटर के बर्तन में शुद्ध दूध है। बर्तन में से कुछ लीटर दूध निकालकर पानी भर दिया जाता है। इस प्रक्रिया को एक बार और दोहराया जाता है। यदि अंत में दूध की मात्रा 38.4 लीटर रह जाती है, तो प्रत्येक बार कितना दूध निकाला गया था?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 60 लीटर

अंतिम दूध = 38.4 लीटर, n = 2

38.4 = 60 × (1 - x/60)^2

(1 - x/60)^2 = 38.4 / 60 = 0.64 = 64/100

1 - x/60 = 8/10 = 4/5

x/60 = 1 - 4/5 = 1/5

x = 60 / 5 = 12 लीटर

✔ Answer: 12 लीटर
Q 39 [विभिन्न मात्राएं बार-बार निकालना (x1, x2, x3...)]: एक बर्तन में 100 लीटर शुद्ध शराब है। प्रथम बार 10 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया, दूसरी बार 20 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया और तीसरी बार 25 लीटर निकालकर पानी मिलाया गया। अंत में शराब की कितनी मात्रा बचेगी?

सूत्र: अंतिम शराब = V × (1 - x1/V) × (1 - x2/V) × (1 - x3/V)

अंतिम शराब = 100 × (1 - 10/100) × (1 - 20/100) × (1 - 25/100)

= 100 × (90/100) × (80/100) × (75/100)

= 100 × (9/10) × (4/5) × (3/4)

= 54 लीटर

✔ Answer: 54 लीटर
Q 40 [अंत में दूध और पानी का अनुपात ज्ञात करना]: एक जग में 40 लीटर शुद्ध दूध है। इसमें से 8 लीटर दूध निकालकर पानी डाला जाता है। फिर से 8 लीटर मिश्रण निकालकर पानी डाला जाता है। अंत में जग में दूध और पानी का अनुपात क्या होगा?

प्रारंभिक मात्रा (V) = 40 लीटर, x = 8, n = 2

बचे दूध का भाग = (1 - 8/40)^2 = (4/5)^2 = 16/25

कुल मिश्रण = 25 इकाई, जिसमें दूध = 16 इकाई

पानी = 25 - 16 = 9 इकाई

दूध और पानी का अनुपात = 16 : 9

✔ Answer: 16 : 9
Q 41 [प्रतिशत पर आधारित प्रतिस्थापन प्रश्न]: एक कंटेनर में 80% शुद्धता वाला 50 लीटर घोल है। इसमें से 10 लीटर घोल निकालकर पानी भर दिया जाता है। यह प्रक्रिया एक बार और दोहराई जाती है। अब मिश्रण में शुद्ध द्रव का प्रतिशत कितना होगा?

प्रारंभिक शुद्ध द्रव = 50 का 80% = 40 लीटर

प्रतिस्थापन के बाद शुद्ध द्रव = 40 × (1 - 10/50)^2

= 40 × (4/5)^2 = 40 × 16/25 = 25.6 लीटर

कुल मिश्रण का आयतन = 50 लीटर (अपरिवर्तित)

नया प्रतिशत = (25.6 / 50) × 100 = 51.2%

✔ Answer: 51.2%
Q 42 [प्रारंभिक कुल मात्रा ज्ञात करना]: एक जार में शुद्ध द्रव भरा है। 15 लीटर द्रव निकालकर पानी मिलाया जाता है। इस प्रक्रिया को 2 बार और (कुल 3 बार) दोहराने पर द्रव और पानी का अनुपात 27 : 37 हो जाता है। जार की प्रारंभिक क्षमता ज्ञात कीजिए।

अंतिम द्रव / कुल आयतन = 27 / (27 + 37) = 27 / 64

(1 - 15/V)^3 = 27/64

1 - 15/V = (27/64)^(1/3) = 3/4

15/V = 1 - 3/4 = 1/4

V = 15 × 4 = 60 लीटर

✔ Answer: 60 लीटर

How it is asked

Asked in almost every 2-3 shifts in SSC CGL (Tier-1 & Tier-2), CHSL, and CPO. Finding initial volume when final ratio of Pure Liquid to Water is given is a very frequent pattern in Tier-2.

Common mistakes

✘ हर हर बार बर्तन का कुल आयतन V समान रहता है, लेकिन छात्र गलतफहमी में हर बार निकालने के बाद हर से घटी हुई मात्रा घटा देते हैं।
✘ 'n बार और दोहराया गया' (repeated n more times) का अर्थ कुल (n + 1) बार होता है, इसे केवल n न मानें।
✘ प्रश्न में दूध और पानी का अंतिम अनुपात a : b दिया होने पर हर में केवल पानी की मात्रा रख देना; हर में कुल मात्रा (a + b) रखनी चाहिए।

Mean Price & Adding Water to Gain Profit at Cost Price

When a free item like water (assumed cost = Rs 0) is added to a commodity like milk, the overall cost per unit decreases. If this mixture is sold at the cost price of pure milk, the entire profit earned is solely due to the added water. Hence, the ratio of water to milk directly equals the profit percentage (Water : Milk = Profit% : 100). If the mixture is sold at a different price, we first calculate the mean cost price of the mixture using the given profit percentage and then apply the Alligation rule.

Formulas with examples

📐 पानी : दूध = लाभ % : 100 — When a pure item is sold at Cost Price to earn P% profit by mixing water of zero cost.

Example 43: एक दूधवाला शुद्ध दूध को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन वह इसमें पानी मिलाता है और 20% का लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात क्या है?

क्रय मूल्य पर बेचने पर लाभ केवल मिलाए गए पानी के कारण होता है।

पानी का मूल्य = 0 रु/लीटर

पानी : दूध = लाभ % : 100

पानी : दूध = 20 : 100

अनुपात = 1 : 5

✔ Answer: 1 : 5
Example 44: एक बेईमान व्यापारी दूध को क्रय मूल्य पर बेचता है और 16(2/3)% का लाभ अर्जित करता है। दूध और पानी का अनुपात ज्ञात कीजिए।

लाभ % = 16(2/3)% = 50/3%

क्रय मूल्य पर बेचने पर: पानी : दूध = Profit % : 100

पानी : दूध = (50/3) : 100 = 50 : 300 = 1 : 6

प्रश्न में दूध और पानी का अनुपात पूछा गया है।

दूध : पानी = 6 : 1

✔ Answer: 6 : 1

📐 औसत मूल्य (Mean Price) = (c1 × q1 + c2 × q2) / (q1 + q2) — When two or more items are mixed in given quantities and rates to find the overall mean price.

Example 45: 60 रुपये प्रति लीटर वाले 40 लीटर दूध में कितना पानी (मूल्य = 0) मिलाया जाए ताकि मिश्रण का औसत मूल्य 48 रुपये प्रति लीटर हो जाए?

माना पानी की मात्रा = x लीटर

कुल क्रय मूल्य = 40 × 60 + x × 0 = 2400 रुपये

कुल मात्रा = (40 + x) लीटर

औसत मूल्य = 2400 / (40 + x) = 48

2400 = 48 × 40 + 48x

2400 = 1920 + 48x

48x = 480

x = 10 लीटर

✔ Answer: 10 लीटर
Example 46: 15 रुपये प्रति किग्रा और 20 रुपये प्रति किग्रा वाले चावल को 2 : 3 के अनुपात में मिलाया जाता है। मिश्रण का औसत मूल्य (प्रति किग्रा) ज्ञात कीजिए।

चावल 1 की दर = 15 रु/किग्रा, मात्रा = 2 इकाई

चावल 2 की दर = 20 रु/किग्रा, मात्रा = 3 इकाई

कुल लागत = 15 × 2 + 20 × 3 = 30 + 60 = 90 रुपये

कुल मात्रा = 2 + 3 = 5 किग्रा

औसत मूल्य = 90 / 5 = 18 रुपये प्रति किग्रा

✔ Answer: 18 रुपये प्रति किग्रा

Question types asked

क्रय मूल्य पर दूध बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी और दूध का अनुपात ज्ञात करना
पानी मिलाने के बाद मिश्रण में पानी का प्रतिशत / मात्रा ज्ञात करना
शुद्ध दूध की मात्रा ज्ञात करना जब कुल मिश्रण और लाभ प्रतिशत दिया हो
अशुद्ध/सस्ते पदार्थ (जैसे पानी, जिसका मूल्य 0 रु है) को महंगे पदार्थ में मिलाकर औसत मूल्य (Mean Price) ज्ञात करना
क्रय मूल्य से भिन्न मूल्य पर बेचकर लाभ कमाने हेतु पानी का अनुपात निकालना

Solved questions (every type)

Q 47 [क्रय मूल्य पर दूध बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी और दूध का अनुपात ज्ञात करना]: एक दूधवाला दूध को क्रय मूल्य पर बेचने का दावा करता है, लेकिन उसमें पानी मिलाकर 25% लाभ कमाता है। मिश्रण में पानी और दूध का अनुपात ज्ञात कीजिए।

जब दूध को क्रय मूल्य पर बेचा जाता है, तो सम्पूर्ण लाभ पानी के कारण होता है।

पानी का मूल्य = 0 रुपये माना जाता है।

पानी : दूध = लाभ % : 100

पानी : दूध = 25 : 100

सरल रूप में अनुपात = 1 : 4

✔ Answer: 1 : 4
Q 48 [पानी मिलाने के बाद मिश्रण में पानी का प्रतिशत / मात्रा ज्ञात करना]: एक बेईमान दूधवाला क्रय मूल्य पर दूध बेचने का दावा करता है और 12.5% का लाभ कमाता है। इस मिश्रण में पानी का प्रतिशत ज्ञात कीजिए।

लाभ % = 12.5% = 1/8

इसका अर्थ है: पानी : दूध = 1 : 8

कुल मिश्रण = 1 + 8 = 9 इकाई

मिश्रण में पानी का प्रतिशत = (पानी / कुल मिश्रण) × 100

पानी % = (1 / 9) × 100 = 11.11%

✔ Answer: 11.11%
Q 49 [शुद्ध दूध की मात्रा ज्ञात करना जब कुल मिश्रण और लाभ प्रतिशत दिया हो]: 45 लीटर के एक मिश्रण में दूध और पानी है। यदि इसे क्रय मूल्य पर बेचने पर 25% का लाभ होता है, तो मिश्रण में शुद्ध दूध की मात्रा कितनी है?

क्रय मूल्य पर बेचने पर profit % = 25%

पानी : दूध = 25 : 100 = 1 : 4

कुल मिश्रण = 1 + 4 = 5 इकाई

5 इकाई = 45 लीटर

1 इकाई = 45 / 5 = 9 लीटर

दूध की मात्रा = 4 इकाई = 4 × 9 = 36 लीटर

✔ Answer: 36 लीटर
Q 50 [अशुद्ध/सस्ते पदार्थ (जैसे पानी, जिसका मूल्य 0 रु है) को महंगे पदार्थ में मिलाकर औसत मूल्य (Mean Price) ज्ञात करना]: 50 रुपये प्रति लीटर के 35 लीटर शुद्ध दूध में 10 लीटर पानी मिलाया जाता है। नए मिश्रण का औसत मूल्य प्रति लीटर क्या होगा?

दूध की मात्रा = 35 लीटर, दर = 50 रु/लीटर

पानी की मात्रा = 10 लीटर, दर = 0 रु/लीटर

कुल लागत = 35 × 50 + 10 × 0 = 1750 रुपये

कुल मात्रा = 35 + 10 = 45 लीटर

औसत मूल्य = 1750 / 45 = 38.89 रुपये प्रति लीटर

✔ Answer: 38.89 रुपये प्रति लीटर
Q 51 [क्रय मूल्य से भिन्न मूल्य पर बेचकर लाभ कमाने हेतु पानी का अनुपात निकालना]: दूध का क्रय मूल्य 40 रुपये प्रति लीटर है। इसमें किस अनुपात में पानी मिलाया जाए कि मिश्रण को 33 रुपये प्रति लीटर पर बेचने पर 10% का लाभ हो?

विक्रय मूल्य (SP) = 33 रु/लीटर

लाभ = 10%

मिश्रण का क्रय मूल्य (Mean Price) = SP × (100 / (100 + P%))

Mean Price = 33 × (100 / 110) = 30 रु/लीटर

अब एलीगेशन नियम लागू करें:

पानी की दर = 0, दूध की दर = 40, औसत दर = 30

पानी का अंतर = 40 - 30 = 10

दूध का अंतर = 30 - 0 = 30

पानी : दूध = 10 : 30 = 1 : 3

✔ Answer: 1 : 3
Q 52 [क्रय मूल्य पर दूध बेचकर लाभ कमाने के लिए पानी और दूध का अनुपात ज्ञात करना]: एक व्यापारी 50 रुपये प्रति लीटर के दूध में किस अनुपात में पानी मिलाए ताकि मिश्रण को क्रय मूल्य (50 रु/लीटर) पर ही बेचने पर 30% का लाभ प्राप्त हो?

जब विक्रय मूल्य = दूध का क्रय मूल्य हो:

पानी : दूध = लाभ % : 100

पानी : दूध = 30 : 100 = 3 : 10

अतः पानी और दूध का अनुपात 3 : 10 होना चाहिए।

✔ Answer: 3 : 10
Q 53 [पानी मिलाने के बाद मिश्रण में पानी का प्रतिशत / मात्रा ज्ञात करना]: एक ग्वाला शुद्ध दूध में पानी मिलाता है और मिश्रण को क्रय मूल्य पर बेचकर 20% लाभ प्राप्त करता है। यदि कुल मिश्रण 60 लीटर है, तो उसमें पानी की मात्रा कितनी है?

क्रय मूल्य पर बेचने पर profit % = 20%

पानी : दूध = 20 : 100 = 1 : 5

कुल मिश्रण = 1 + 5 = 6 इकाई

6 इकाई = 60 लीटर

1 इकाई = 10 लीटर

पानी की मात्रा = 1 इकाई = 10 लीटर

✔ Answer: 10 लीटर

How it is asked

Questions from this concept appear frequently (1-2 per shift) in SSC CGL, CHSL, MTS, GD, and Railway exams. Dishonest milkman selling at cost price is the most repeated pattern.

Common mistakes

✘ मिश्रण में पानी का प्रतिशत निकालते समय हर (denominator) में केवल दूध की मात्रा रख देना, जबकि पानी % = (पानी / कुल मिश्रण) × 100 होता है।
✘ प्रश्न में 'पानी : दूध' पूछा गया है या 'दूध : पानी', इस पर ध्यान न देना और अनुपात उल्टा लिख देना।
✘ जब विक्रय मूल्य क्रय मूल्य से अलग हो, तब भी सीधे 'पानी : दूध = लाभ%' शॉर्टकट लगा देना। अलग विक्रय मूल्य होने पर पहले Mean CP निकालना अनिवार्य है।

All formulas at a glance

Rule of Alligation (Cross Method): (Dearer Price - Mean Price) : (Mean Price - Cheaper Price) = Cheaper Quantity : Dearer Quantity
Mean Price = (c1 × q1 + c2 × q2) / (q1 + q2)
Applying Alligation on Profit/Loss % gives the ratio of Cost Prices (CP) of the articles.
Applying Alligation on Concentration % gives the ratio of the total quantities of the mixtures.
Mixing two mixtures: Alligation is applied on the fraction of any one component to find the required ratio.
Replacement Formula: Remaining Pure Liquid = Initial Quantity × (1 - x / V)^n after n operations.
To gain P% profit by selling milk at Cost Price, Ratio of Water to Milk = P : 100.

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