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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

नाव-धारा और दौड़ (Boats & Streams, Races)

Boats & Streams, Races

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

SSC CGL, CHSL और CPO परीक्षा के Tier-1 और Tier-2 दोनों में 'नाव-धारा और दौड़' से 1 से 2 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। यह अध्याय फॉर्मूला-आधारित और अत्यधिक स्कोरिंग है, जहाँ सही अवधारणाओं और शॉर्टकट विधियों का उपयोग करके आप कम समय में पूरे अंक प्राप्त कर सकते हैं।

धारा के अनुकूल (u + v), प्रतिकूल (u - v) तथा नाव एवं धारा की चाल ज्ञात करना

जब नाव धारा की दिशा में चलती है, तो इसे अनुकूल या अनुप्रवाह (Downstream) कहते हैं, जहाँ पानी नाव को आगे धकेलता है इसलिए प्रभावी चाल बढ़ जाती है (D = u + v)। जब नाव धारा की विपरीत दिशा में चलती है, तो इसे प्रतिकूल या ऊर्ध्वप्रवाह (Upstream) कहते हैं, जहाँ पानी नाव का विरोध करता है इसलिए चाल घट जाती है (U = u - v)। यहाँ 'u' शांत जल में नाव की चाल (Speed of boat in still water) और 'v' धारा या पानी की चाल (Speed of stream) है। जब भी प्रश्न में धारा की दिशा या विपरीत दिशा में गति का उल्लेख हो, तो सीधे चालों को जोड़कर या घटाकर समीकरण बनाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 D = u + v और U = u - v — जब शांत जल में नाव की चाल (u) और धारा की चाल (v) दी गई हो और अनुकूल/प्रतिकूल चाल निकालनी हो।

धारा के अनुकूल चाल (D) = u + v

D = 12 + 3 = 15 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल चाल (U) = u - v

U = 12 - 3 = 9 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल (U) = u - v

u = 9 किमी/घंटा, v = 2.5 किमी/घंटा

U = 9 - 2.5 = 6.5 किमी/घंटा

📐 u = (D + U) / 2 तथा v = (D - U) / 2 — जब धारा के अनुकूल चाल (D) और धारा के प्रतिकूल चाल (U) ज्ञात हों और नाव (u) या धारा (v) की चाल निकालनी हो।

नाव की चाल (u) = (D + U) / 2

u = (16 + 10) / 2 = 26 / 2 = 13 किमी/घंटा

धारा का वेग (v) = (D - U) / 2

v = (16 - 10) / 2 = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा

धारा की गति (v) = (D - U) / 2

v = (24 - 18) / 2

v = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

अनुप्रवाह चाल (D) = 15 किमी/घंटा

ऊर्ध्वप्रवाह चाल (U) = 9 किमी/घंटा

शांत जल में चाल (u) = (D + U) / 2

u = (15 + 9) / 2 = 24 / 2

u = 12 किमी/घंटा

अनुकूल चाल (D) = दूरी / समय = 32 / 4 = 8 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल (U) = दूरी / समय = 24 / 6 = 4 किमी/घंटा

धारा की चाल (v) = (D - U) / 2

v = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2 किमी/घंटा

अनुकूल चाल (D) = 45 / 3 = 15 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल (U) = 25 / 5 = 5 किमी/घंटा

शांत जल में व्यक्ति की चाल (u) = (D + U) / 2

u = (15 + 5) / 2 = 20 / 2 = 10 किमी/घंटा

नाव की चाल u = 14 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 2 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल U = u - v = 14 - 2 = 12 किमी/घंटा

दूरी = 48 किमी

समय = दूरी / चाल = 48 / 12 = 4 घंटे

D : U = 7 : 5

u = (D + U) / 2 = (7 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6 इकाई

v = (D - U) / 2 = (7 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1 इकाई

नाव की गति और धारा की गति का अनुपात = u : v = 6 : 1

माना धारा की चाल v = x किमी/घंटा

नाव की चाल u = x + 300% of x = 4x किमी/घंटा

अनुकूल चाल D = u + v = 4x + x = 5x

प्रश्नानुसार, अनुकूल चाल D = 60 / 3 = 20 किमी/घंटा

5x = 20 ⇒ x = 4 किमी/घंटा

U = 1 किमी / (10/60 घंटा) = 6 किमी/घंटा

D = 1 किमी / (6/60 घंटा) = 10 किमी/घंटा

u = (10 + 6) / 2 = 8 किमी/घंटा

v = (10 - 6) / 2 = 2 किमी/घंटा

अंतर (u - v) = 8 - 2 = 6 किमी/घंटा (जो कि वास्तव में U ही है)

परीक्षा में कैसे आता है

यह उप-विषय SSC CGL, CHSL, MTS और GD में प्रायः हर पाली में 1 प्रश्न के रूप में पूछा जाता है। कभी सीधा u और v पूछा जाता है, तो कभी समय या दूरी की सहायता से चाल निकलवाई जाती है।

आम गलतियाँ

💡 नाव की चाल हमेशा बड़ी होगी, इसलिए u = (D + U)/2 (जोड़कर आधा) और धारा की चाल हमेशा छोटी होगी, इसलिए v = (D - U)/2 (घटाकर आधा) याद रखें। Componendo-Dividendo (C&D) से u/v = (D + U)/(D - U) सीधे मौखिक आ जाता है। u/v = (अनुप्रवाह चाल + ऊर्ध्वप्रवाह चाल) / (अनुप्रवाह चाल - ऊर्ध्वप्रवाह चाल)।

समान दूरी के लिए समय और अनुपात वाले प्रश्न

जब नाव समान दूरी अनुप्रवाह (Downstream) और प्रतिप्रवाह (Upstream) तय करती है, तो दूरी स्थिर (Constant) रहती है। चाल और समय में व्युत्क्रमानुपाती (Inverse) संबंध होता है, अर्थात चाल का अनुपात समय के अनुपात का उल्टा होता है। अनुप्रवाह चाल x = u + v और प्रतिप्रवाह चाल y = u - v होती है। यदि धारा के प्रतिकूल लिया गया समय धारा के अनुकूल लिए गए समय का n गुना हो, तो नाव और धारा की चाल का अनुपात u/v = (n+1)/(n-1) होता है। परीक्षा में यह पैटर्न समय और चालों के अनुपात के रूप में बार-बार पूछा जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 चाल का अनुपात (x : y) = t_up : t_down — जब दूरी समान हो और चाल या समय का अनुपात ज्ञात/पूछा गया हो।

समय का अनुपात (अनुप्रवाह : प्रतिप्रवाह) = 4 : 6 = 2 : 3

दूरी समान होने पर चाल का अनुपात समय के अनुपात का उल्टा होता है

अनुप्रवाह चाल (x) : प्रतिप्रवाह चाल (y) = 3 : 2

चाल का अनुपात (x : y) = 5 : 3

दूरी स्थिर रहने पर समय का अनुपात चाल के अनुपात का व्युत्क्रम होता है

समय का अनुपात (t_down : t_up) = 3 : 5

📐 u / v = (t_up + t_down) / (t_up - t_down) = (n + 1) / (n - 1) — जब प्रतिकूल प्रवाह में लगा समय, अनुकूल प्रवाह में लगे समय का n गुना हो।

समय का गुणांक n = 3

सूत्र: u / v = (n + 1) / (n - 1)

u / 4 = (3 + 1) / (3 - 1)

u / 4 = 4 / 2 = 2

u = 4 × 2 = 8 किमी/घंटा

समय का गुणांक n = 2

सूत्र: u / v = (n + 1) / (n - 1)

u / v = (2 + 1) / (2 - 1)

u / v = 3 / 1 = 3 : 1

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

t_down = 3 घंटे, t_up = 5 घंटे

चाल का अनुपात x : y = 5 : 3

u = (x + y) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4

v = (x - y) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

u : v = 4 : 1

n = 4

u / v = (n + 1) / (n - 1)

15 / v = (4 + 1) / (4 - 1)

15 / v = 5 / 3

v = (15 × 3) / 5 = 9 किमी/घंटा

n = 2.5

सूत्र: u / v = (n + 1) / (n - 1)

u / 6 = (2.5 + 1) / (2.5 - 1)

u / 6 = 3.5 / 1.5 = 7 / 3

u = (6 × 7) / 3 = 14 किमी/घंटा

मान लें u = 7r, v = 3r

अनुप्रवाह चाल x = 7r + 3r = 10r

प्रतिप्रवाह चाल y = 7r - 3r = 4r

दूरी समान है: x × t_down = y × t_up

10r × 4 = 4r × t_up

t_up = 40r / 4r = 10 घंटे

n = 2

u / v = (2 + 1) / (2 - 1) = 3 / 1

12 / v = 3 / 1 ⇒ v = 4 किमी/घंटा

अनुप्रवाह चाल (x) = 12 + 4 = 16 किमी/घंटा

दूरी = अनुप्रवाह चाल × अनुप्रवाह समय

दूरी = 16 × 2 = 32 किमी

x = 9 + 3 = 12 किमी/घंटा

y = 9 - 3 = 6 किमी/घंटा

समय का अंतर = (D / 6) - (D / 12) = 3

(2D - D) / 12 = 3

D / 12 = 3

D = 36 किमी

मान लें धारा की चाल v = r, तब नाव की चाल u = 3r

अनुप्रवाह चाल x = 3r + r = 4r

प्रतिप्रवाह चाल y = 3r - r = 2r

कुल समय: (36 / 4r) + (24 / 2r) = 9

(9 / r) + (12 / r) = 9

21 / r = 9

r = 21 / 9 = 2.33 किमी/घंटा

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier 1 & 2), CHSL और GD परीक्षाओं में यह उप-विषय बहुत लोकप्रिय है। लगभग हर 2 में से 1 शिफ्ट में समान दूरी या 'n-गुना समय' वाला प्रश्न पूछा जाता है।

आम गलतियाँ

💡 जब भी प्रश्न में 'प्रतिकूल समय, अनुकूल समय का n गुना है' दिया हो, तो बिना किसी समीकरण के सीधे u/v = (n+1)/(n-1) लगाएँ। इससे उत्तर 10 सेकंड में आ जाएगा।| translate_hint: keep exact formula intact inside Hindi tip text if clear formatting is desired. (Hindi: जब भी प्रश्न में प्रतिकूल समय अनुकूल समय का n गुना हो, u/v = (n+1)/(n-1) का उपयोग करें। इससे 10 सेकंड में उत्तर आएगा।)

गोल यात्रा का समय और नाव की औसत चाल

जब कोई नाव किसी निश्चित बिंदु तक धारा के अनुकूल (Downstream) जाती है और उसी बिंदु से धारा के प्रतिकूल (Upstream) वापस आती है, तो इसे गोल यात्रा (Round Trip) कहते हैं। अनुकूल जाते समय चाल (u + v) और प्रतिकूल लौटते समय चाल (u - v) होती है। पूरी यात्रा का कुल समय दोनों दिशाओं में लगे समय का योग होता है: T = D/(u + v) + D/(u - v) = 2Du / (u² - v²)। पूरी यात्रा की औसत चाल हमेशा कुल दूरी (2D) को कुल समय (T) से भाग देकर निकाली जाती है, जिसका मान (u² - v²)/u होता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 एक तरफ की दूरी D = T × (u² - v²) / (2u) — जब शांत जल में नाव की चाल (u), धारा की चाल (v) और जाकर वापस आने का कुल समय (T) दिया हो तथा एक तरफ की दूरी (D) ज्ञात करनी हो।

नाव की चाल u = 9 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 3 किमी/घंटा

कुल समय T = 3 घंटे

सूत्र: D = T × (u² - v²) / (2u)

D = 3 × (9² - 3²) / (2 × 9)

D = 3 × (81 - 9) / 18

D = 3 × 72 / 18

D = 3 × 4 = 12 किमी

तैराक की चाल u = 10 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 2 किमी/घंटा

कुल समय T = 5 घंटे

दूरी D = T × (u² - v²) / (2u)

D = 5 × (10² - 2²) / (2 × 10)

D = 5 × (100 - 4) / 20

D = 5 × 96 / 20

D = 96 / 4 = 24 किमी

📐 गोल यात्रा की औसत चाल (Average Speed) = (u² - v²) / u = 2 × S_down × S_up / (S_down + S_up) — जब नाव धारा के अनुकूल जाकर उसी मार्ग से प्रतिकूल वापस आए और पूरी यात्रा की औसत चाल पूछी जाए।

धारा के अनुकूल चाल S_down = 12 + 4 = 16 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल चाल S_up = 12 - 4 = 8 किमी/घंटा

औसत चाल = 2 × S_down × S_up / (S_down + S_up)

औसत चाल = 2 × 16 × 8 / (16 + 8)

औसत चाल = 256 / 24

औसत चाल = 32/3 = 10.67 किमी/घंटा

u = 15 किमी/घंटा, v = 5 किमी/घंटा

औसत चाल = (u² - v²) / u

औसत चाल = (15² - 5²) / 15

औसत चाल = (225 - 25) / 15

औसत चाल = 200 / 15

औसत चाल = 40/3 किमी/घंटा

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

नाव की चाल u = 6 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 2 किमी/घंटा

अनुकूल चाल S_down = 6 + 2 = 8 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल S_up = 6 - 2 = 4 किमी/घंटा

कुल समय T = D/8 + D/4 = 3 घंटे

(D + 2D) / 8 = 3

3D / 8 = 3

3D = 24

D = 8 किमी

u = 8 किमी/घंटा, v = 4 किमी/घंटा, T = 8 घंटे

दूरी सूत्र D = T × (u² - v²) / (2u)

D = 8 × (8² - 4²) / (2 × 8)

D = 8 × (64 - 16) / 16

D = 8 × 48 / 16

D = 8 × 3 = 24 किमी

D = 24 किमी, v = 2 किमी/घंटा, कुल समय T = 5 घंटे

24 / (u + 2) + 24 / (u - 2) = 5

24 × [(u - 2) + (u + 2)] / (u² - 4) = 5

24 × 2u / (u² - 4) = 5

48u = 5u² - 20

5u² - 48u - 20 = 0

(5u + 2)(u - 10) = 0

u = 10 किमी/घंटा (चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)

u = 10 किमी/घंटा, D = 36 किमी, T = 15/2 घंटे

सूत्र: D = T × (u² - v²) / (2u)

36 = (15/2) × (10² - v²) / (2 × 10)

36 = 15 × (100 - v²) / 40

36 × 40 / 15 = 100 - v²

1440 / 15 = 100 - v²

96 = 100 - v²

v² = 100 - 96 = 4

v = 2 किमी/घंटा

u = 20 किमी/घंटा, v = 5 किमी/घंटा

धारा के अनुकूल चाल = 20 + 5 = 25 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल चाल = 20 - 5 = 15 किमी/घंटा

औसत चाल = (u² - v²) / u

औसत चाल = (20² - 5²) / 20

औसत चाल = (400 - 25) / 20

औसत चाल = 375 / 20 = 18.75 किमी/घंटा

अनुकूल चाल S_down = 18 + 6 = 24 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल S_up = 18 - 6 = 12 किमी/घंटा

औसत चाल = 2 × S_down × S_up / (S_down + S_up)

औसत चाल = 2 × 24 × 12 / (24 + 12)

औसत चाल = 576 / 36

औसत चाल = 16 किमी/घंटा

u = 7.5 किमी/घंटा, v = 1.5 किमी/घंटा

कुल समय T = 50/60 = 5/6 घंटा

एक तरफ की दूरी D = T × (u² - v²) / (2u)

D = (5/6) × (7.5² - 1.5²) / (2 × 7.5)

7.5² - 1.5² = (7.5 + 1.5)(7.5 - 1.5) = 9 × 6 = 54

D = (5/6) × 54 / 15

D = 45 / 15 = 3 किमी

कुल तय की गई दूरी = 2 × D = 2 × 3 = 6 किमी

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 व 2), CHSL और MTS में हर साल इस पैटर्न पर 1 प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछा जाता है। सामान्यतः कुल समय देकर एक तरफ की दूरी या धारा की चाल (v) ज्ञात करने को कहा जाता है।

आम गलतियाँ

💡 जब गोल यात्रा का समय दिया हो और धारा या नाव की चाल निकालनी हो, तो द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) बनाने के बजाय दिए गए विकल्पों (Options) से मान रखकर समीकरण D/(u+v) + D/(u-v) = T को संतुष्ट कराएं, इससे 30 सेकंड में उत्तर आ जाता है। औसत चाल के लिए सीधा याद रखें: Average Speed = (u² - v²) / u। धारा जितनी तेज होगी, औसत चाल नाव की वास्तविक चाल से उतनी ही कम होगी। यदि दूरी समान हो, तो समय का अनुपात चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: T_up / T_down = (u + v) / (u - v)। Round trip में हमेशा T_up > T_

दौड़: A, B को हराता है तथा शुरुआती बढ़त (Head Start)

दौड़ (Races) के प्रश्नों में मुख्य रूप से नियत समय (constant time) या नियत दूरी (constant distance) का सिद्धांत लागू होता है। जब A, B को x मीटर से हराता है, तो इसका अर्थ है कि समान समय में A पूरी दूरी (D) दौड़ता है और B (D - x) दूरी दौड़ता है। जब A, B को t सेकेंड से हराता है, तो A द्वारा लिया गया समय T है और B का समय (T + t) है। शुरुआती बढ़त (Head Start) में, कमजोर धावक को कुछ मीटर आगे खड़ा किया जाता है या कुछ सेकेंड पहले दौड़ने दिया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 B की चाल = हराई गई दूरी / हराया गया समय = x / t — जब प्रश्न में दिया हो कि A, B को x मीटर या t सेकेंड दोनों से हराता है।

B द्वारा 2 सेकंड में तय दूरी = 10 m

B की चाल = 10 / 2 = 5 m/s

B की चाल = 100 / 20 = 5 m/s

B का कुल समय = 1000 / 5 = 200 sec

A का समय = 200 - 20 = 180 sec

📐 चाल का अनुपात (Sp_A / Sp_B) = समान समय में तय दूरी का अनुपात (D_A / D_B) — जब दो धावक समान समय के लिए दौड़ते हैं और उनके द्वारा तय दूरियाँ या अंतर दिया गया हो।

दूरियों का अनुपात = 5 : 4

जब A दौड़ता है = 500 m

समान समय में B दौड़ता है = 500 × (4 / 5) = 400 m

A, B को हराता है = 500 - 400 = 100 m

A द्वारा तय दूरी = 100 m

समान समय में B द्वारा तय दूरी = 100 - 20 = 80 m

चालों का अनुपात A : B = 100 : 80 = 5 : 4

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

A की चाल = 9 × 5/18 = 2.5 m/s

A को 1000 m दौड़ने में लगा समय = 1000 / 2.5 = 400 sec

इतने समय में B द्वारा तय दूरी = 1000 - 100 = 900 m

B की चाल = 900 / 400 = 2.25 m/s

B की चाल (किमी/घंटे में) = 2.25 × 18/5 = 8.1 km/h

दौड़ की कुल दूरी = 1000 m

A द्वारा लिया गया समय = 1000 / 5 = 200 sec

A, B को 40 सेकेंड से हराता है, अर्थात B 40 सेकेंड अधिक लेता है

B का समय = 200 + 40 = 240 sec

B की चाल = 40 / 8 = 5 m/s

B को 800 m दौड़ने में लगा समय = 800 / 5 = 160 sec

A, B से 8 सेकेंड पहले पहुँचता है

A का समय = 160 - 8 = 152 sec

B को दौड़नी है दूरी = 500 - 50 = 450 m

A को पूरी दूरी तय करने में लगा समय = 500 / 10 = 50 sec

50 सेकेंड में B द्वारा तय दूरी = 50 × 8 = 400 m

B फिनिश लाइन से कितना पीछे रह गया = 450 - 400 = 50 m

A जीतता है और B को 50 मीटर से हराता है

जब A = 100 m, तब B = 90 m

जब B = 100 m, तब C = 90 m

C / A = (C / B) × (B / A) = (90 / 100) × (90 / 100) = 81 / 100

जब A = 100 m दौड़ता है, तो C = 81 m दौड़ता है

A, C को हराता है = 100 - 81 = 19 m

A की चाल : B की चाल = 1.75 : 1 = 7 : 4

समान समय में दूरियों का अनुपात = 7 : 4

दूरी का अंतर (बढ़त) = 7 - 4 = 3 इकाई

3 इकाई = 60 m ⇒ 1 इकाई = 20 m

A द्वारा तय कुल दूरी (दौड़ की लंबाई) = 7 × 20 = 140 m

जब A = 1000 m, B = 900 m और C = 850 m

B और C द्वारा तय दूरी का अनुपात = 900 : 850 = 18 : 17

900 m की दौड़ में B जब 900 m दौड़ता है, तो C दौड़ता है = 850 m

B, C को हराएगा = 900 - 850 = 50 m

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और CPO परीक्षाओं में दौड़ के प्रश्नों में मुख्य रूप से 3 धावकों की तुलना (A, B, C) और शुरुआती बढ़त (Head Start) वाले प्रश्न सर्वाधिक पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

💡 जब A और B की दौड़ का समय समान हो, तो उनकी चालों का अनुपात (Speed Ratio) सीधे उनके द्वारा तय की गई दूरियों के अनुपात (Distance Ratio) के बराबर होता है। भरम से बचने के लिए A:B और B:C का अनुपात बनाकर C/A निकालें।連結 (Chain ratio style). पद का प्रयोग करें। धावक A की दूरी से C की दूरी आसानी से प्राप्त हो जाती है। समय बचता है। चाल = दूरी जब समय समान हो। अंतर से उत्तर तुरंत आ जाएगा। प्रश्न में अगर A और B की बढ़त दी गई हो, तो सूत्र चाल = अंतर / समय से त्वरित गणना करें। प्रश्नों को हल करने में बेहद सहायक

वृत्ताकार ट्रैक: पहली बार और प्रारंभिक बिंदु पर मिलना

वृत्ताकार ट्रैक (Circular Track) पर जब दो या तीन धावक दौड़ते हैं, तो उनके मिलने की दो मुख्य स्थितियाँ होती हैं: ट्रैक पर कहीं भी पहली बार मिलना और प्रारंभिक बिंदु (Starting Point) पर पुनः मिलना। ट्रैक पर पहली बार मिलने के लिए सापेक्ष चाल (Relative Speed) का उपयोग होता है—समान दिशा में चालों का अंतर और विपरीत दिशा में चालों का योग लिया जाता है। प्रारंभिक बिंदु पर मिलने के लिए दिशा का कोई प्रभाव नहीं पड़ता, प्रत्येक धावक द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने में लिए गए समय का ल.स. (LCM) निकाला जाता है। परीक्षा में जब प्रश्न में 'पहली बार कब मिलेंगे' या 'आरंभिक स्थान पर कब मिलेंगे' लिखा हो, तो इस विधि की पहचान होती है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 पहली बार कहीं भी मिलने का समय = L / Relative Speed (समान दिशा: L / |u - v|, विपरीत दिशा: L / (u + v)) — जब दो धावक एक ही बिंदु से दौड़ना शुरू करें और पूछा जाए कि वे ट्रैक पर पहली बार कब मिलेंगे।

ट्रैक की लंबाई (L) = 400 मीटर

विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 15 + 25 = 40 m/s

मिलने का समय = L / सापेक्ष चाल

समय = 400 / 40 = 10 सेकंड

चाल A = 54 × 5/18 = 15 m/s

चाल B = 72 × 5/18 = 20 m/s

समान दिशा में सापेक्ष चाल = 20 - 15 = 5 m/s

समय = 720 / 5 = 144 सेकंड

📐 प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय = LCM(T1, T2, T3, ...) जहाँ T = L / Speed — जब पूछा जाए कि धावक पुनः उसी बिंदु (प्रारंभिक बिंदु) पर पहली बार कब मिलेंगे (दिशा समान हो या विपरीत)।

A का 1 चक्कर का समय (T1) = 600 / 15 = 40 सेकंड

B का 1 चक्कर का समय (T2) = 600 / 20 = 30 सेकंड

प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय = LCM(40, 30)

40 और 30 का LCM = 120 सेकंड

A का 1 चक्कर का समय = 1000 / 10 = 100 सेकंड

B का 1 चक्कर का समय = 1000 / 20 = 50 सेकंड

C का 1 चक्कर का समय = 1000 / 25 = 40 सेकंड

LCM(100, 50, 40) = 200 सेकंड

📐 अलग-अलग मिलने वाले बिंदुओं की संख्या: चाल का सरलतम अनुपात = a : b; विपरीत दिशा में = (a + b), समान दिशा में = |a - b| — जब पूछा जाए कि दो धावक वृत्ताकार ट्रैक पर कुल कितने अलग-अलग (Distinct) बिंदुओं पर मिलते हैं।

चाल का सरल अनुपात a : b = 3 : 5 (सह-अभाज्य हैं)

विपरीत दिशा में बिंदुओं की संख्या = a + b

कुल बिंदु = 3 + 5 = 8

चालों का अनुपात = 18 : 30 = 3 : 5

यहाँ a = 3 और b = 5

समान दिशा में बिंदुओं की संख्या = |b - a|

कुल बिंदु = 5 - 3 = 2

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

चाल A = 18 × 5/18 = 5 m/s

चाल B = 27 × 5/18 = 7.5 m/s

विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 5 + 7.5 = 12.5 m/s

समय = दूरी / सापेक्ष चाल

समय = 800 / 12.5 = 64 सेकंड

चाल X = 36 × 5/18 = 10 m/s

चाल Y = 54 × 5/18 = 15 m/s

समान दिशा में सापेक्ष चाल = 15 - 10 = 5 m/s

मिलने का समय = 1500 / 5 = 300 सेकंड

300 सेकंड = 300 / 60 = 5 मिनट

P द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने का समय = 1200 / 12 = 100 सेकंड

Q द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने का समय = 1200 / 8 = 150 सेकंड

प्रारंभिक बिंदु पर मिलने के लिए दिशा से कोई फर्क नहीं पड़ता

अभिष्ट समय = LCM(100, 150) = 300 सेकंड

A का समय = 900 / 15 = 60 सेकंड

B का समय = 900 / 18 = 50 सेकंड

C का समय = 900 / 25 = 36 सेकंड

शुरुआती बिंदु पर समय = LCM(60, 50, 36)

60, 50, 36 का LCM = 900 सेकंड (15 मिनट)

A और B के बीच सापेक्ष चाल = 4 - 2 = 2 m/s

A और B के मिलने का समय (T1) = 1200 / 2 = 600 सेकंड

A और C के बीच सापेक्ष चाल = 6 - 2 = 4 m/s

A और C के मिलने का समय (T2) = 1200 / 4 = 300 सेकंड

तीनों के एक साथ मिलने का समय = LCM(T1, T2) = LCM(600, 300) = 600 सेकंड

चालों का अनुपात = 42 : 28 = 3 : 2

यहाँ a = 3 और b = 2 (सह-अभाज्य)

(i) समान दिशा में बिंदुओं की संख्या = |3 - 2| = 1 बिंदु

(ii) विपरीत दिशा में बिंदुओं की संख्या = 3 + 2 = 5 बिंदु

विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 5 + 3 = 8 m/s

एक बार मिलने में लगा समय = 400 / 8 = 50 सेकंड

दौड़ का कुल समय = 40 × 60 = 2400 सेकंड

कुल मुलाकातों की संख्या = कुल समय / एक बार मिलने का समय

संख्या = 2400 / 50 = 48 बार

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 और Tier-2), CHSL और Railway NTPC में वृत्ताकार दौड़ (Circular Race) से 1 प्रश्न अक्सर पूछा जाता है। मुख्य रूप से 'पहली बार मिलना' या 'आरंभिक बिंदु पर मिलना' का सीधा सवाल आता है।

आम गलतियाँ

💡 याद रखें: ट्रैक पर कहीं भी मिलने के लिए Relative Speed और Starting Point पर मिलने के लिए Individual Times का LCM लिया जाता है, चाहे दिशा कोई भी हो। चाल का अनुपात सरलतम रूप (a:b) बनाकर समान दिशा में |a-b| और विपरीत में a+b से बिंदु सीधे आते हैं। ट्रैक पर कहीं भी मिलने के लिए Relative Speed और Starting Point पर मिलने के लिए Individual Times का LCM लिया जाता है, चाहे दिशा कोई भी हो। चाल का अनुपात सरलतम रूप (a:b) बनाकर समान दिशा में |a-b| और विपरीत में a+b से बिंदु सीधे आते हैं।

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. शांत जल में एक नाव की चाल 15 किमी/घंटा है और धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। यदि नाव धारा के अनुकूल 4 घंटे और धारा के प्रतिकूल 3 घंटे चलती है, तो तय की गई कुल दूरी कितनी है?

  1. (क) 90 किमी
  2. (ख) 96 किमी
  3. (ग) 108 किमी
  4. (घ) 120 किमी
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 108 किमी

धारा के अनुकूल चाल = 15 + 3 = 18 किमी/घंटा। अनुकूल दूरी = 18 × 4 = 72 किमी। धारा के प्रतिकूल चाल = 15 - 3 = 12 किमी/घंटा। प्रतिकूल दूरी = 12 × 3 = 36 किमी। कुल दूरी = 72 + 36 = 108 किमी।

2. एक नाव की धारा के अनुकूल चाल 18 किमी/घंटा और धारा के प्रतिकूल चाल 10 किमी/घंटा है। धारा की चाल ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 2 किमी/घंटा
  2. (ख) 4 किमी/घंटा
  3. (ग) 8 किमी/घंटा
  4. (घ) 14 किमी/घंटा
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 4 किमी/घंटा

धारा की चाल = (धारा के अनुकूल चाल - धारा के प्रतिकूल चाल) / 2 = (18 - 10) / 2 = 4 किमी/घंटा।

3. 1000 मीटर की दौड़ में, A, B को 100 मीटर या 10 सेकंड से हराता है। A द्वारा दौड़ पूरी करने में लिया गया समय ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 80 सेकंड
  2. (ख) 90 सेकंड
  3. (ग) 100 सेकंड
  4. (घ) 110 सेकंड
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 90 सेकंड

B की चाल = 100 / 10 = 10 मीटर/सेकंड। B द्वारा 1000 मीटर में लिया गया समय = 1000 / 10 = 100 सेकंड। चूँकि A, B को 10 सेकंड से हराता है, A द्वारा लिया गया समय = 100 - 10 = 90 सेकंड।

4. एक नाव धारा के अनुकूल एक निश्चित दूरी 4 घंटे में तय करती है और धारा के प्रतिकूल वही दूरी 6 घंटे में तय करती है। यदि धारा की चाल 3 किमी/घंटा है, तो शांत जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 12 किमी/घंटा
  2. (ख) 15 किमी/घंटा
  3. (ग) 18 किमी/घंटा
  4. (घ) 21 किमी/घंटा
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 15 किमी/घंटा

माना शांत जल में नाव की चाल u है। दूरी = (u + 3) × 4 = (u - 3) × 6 => 4u + 12 = 6u - 18 => 2u = 30 => u = 15 किमी/घंटा।

5. एक नाव धारा के अनुकूल 36 किमी और धारा के प्रतिकूल 36 किमी की दूरी तय करके प्रारंभिक बिंदु पर वापस 9 घंटे में आती है। यदि धारा की चाल 3 किमी/घंटा है, तो शांत जल में नाव की चाल ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 6 किमी/घंटा
  2. (ख) 8 किमी/घंटा
  3. (ग) 9 किमी/घंटा
  4. (घ) 12 किमी/घंटा
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 9 किमी/घंटा

36/(u+3) + 36/(u-3) = 9 => 4/(u+3) + 4/(u-3) = 1 => 4(2u)/(u² - 9) = 1 => u² - 8u - 9 = 0 => (u - 9)(u + 1) = 0 => u = 9 किमी/घंटा।

6. 500 मीटर की दौड़ में, दो प्रतियोगियों A और B की चाल का अनुपात 4 : 5 है। यदि A को 140 मीटर की शुरुआती बढ़त (head start) मिलती है, तो दौड़ कौन और कितने मीटर से जीतता है?

  1. (क) A, 40 मीटर से जीतता है
  2. (ख) A, 50 मीटर से जीतता है
  3. (ग) B, 20 मीटर से जीतता है
  4. (घ) B, 50 मीटर से जीतता है
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) A, 50 मीटर से जीतता है

A को तय करनी है दूरी = 500 - 140 = 360 मीटर। A द्वारा लिया गया समय = 360 / 4 = 90 इकाई। इस 90 इकाई समय में B तय करेगा = 90 × 5 = 450 मीटर। चूँकि B केवल 450 मीटर पहुँच पाता है जब A फिनिश लाइन (500 मीटर) पर पहुँच जाता है, A, B को 500 - 450 = 50 मीटर से हराता है।

7. दो धावक A और B 1200 मीटर लंबे वृत्ताकार पथ पर एक ही दिशा में क्रमशः 10 मीटर/सेकंड और 6 मीटर/सेकंड की चाल से दौड़ना शुरू करते हैं। ट्रैक पर पहली बार कहीं भी मिलने के समय और पहली बार आरंभिक बिंदु पर मिलने के समय का अनुपात ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 1 : 1
  2. (ख) 1 : 2
  3. (ग) 2 : 3
  4. (घ) 1 : 3
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 1 : 2

पहली मुलाकात (कहीं भी) = 1200 / (10 - 6) = 300 सेकंड। A का 1 चक्कर समय = 1200/10 = 120 सेकंड, B का 1 चक्कर समय = 1200/6 = 200 सेकंड। आरंभिक बिंदु पर मुलाकात = LCM(120, 200) = 600 सेकंड। अनुपात = 300 : 600 = 1 : 2।

8. एक व्यक्ति शांत जल में 6 किमी/घंटा की चाल से तैर सकता है। उसे समान दूरी के लिए धारा के प्रतिकूल तैरने में धारा के अनुकूल तैरने की तुलना में दुगना समय लगता है। यदि वह कुल 16 किमी (8 किमी अनुकूल और 8 किमी प्रतिकूल) तैरता है, तो यात्रा में लगा कुल समय ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 2.5 घंटे
  2. (ख) 3 घंटे
  3. (ग) 4 घंटे
  4. (घ) 4.5 घंटे
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 3 घंटे

(u + v) / (u - v) = 2 / 1 => 6 + v = 2(6 - v) => 3v = 6 => v = 2 किमी/घंटा। अनुकूल चाल = 8 किमी/घंटा, प्रतिकूल चाल = 4 किमी/घंटा। कुल समय = 8/8 + 8/4 = 1 + 2 = 3 घंटे।

9. 1000 मीटर की दौड़ में, A, B को 100 मीटर से हराता है और A, C को 190 मीटर से हराता है। 1800 मीटर की दौड़ में B, C को कितने मीटर से हराएगा?

  1. (क) 150 मीटर
  2. (ख) 160 मीटर
  3. (ग) 180 मीटर
  4. (घ) 200 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 180 मीटर

जब A = 1000 मीटर, B = 900 मीटर और C = 810 मीटर। B और C की चालों का अनुपात = 900 : 810 = 10 : 9। 1800 मीटर की दौड़ में, जब B = 1800 मीटर, तो C = 1800 × (9/10) = 1620 मीटर। B, C को 1800 - 1620 = 180 मीटर से हराएगा।

10. दो मित्र P और Q 900 मीटर लंबे वृत्ताकार पथ पर एक ही बिंदु से विपरीत दिशाओं में क्रमशः 15 मीटर/सेकंड और 10 मीटर/सेकंड की चाल से दौड़ना शुरू करते हैं। हर बार मिलने पर, P अपनी चाल 20% घटाता है और Q अपनी चाल 20% बढ़ाता है। पहली मुलाकात और दूसरी मुलाकात के बीच कितना समय बीतेगा?

  1. (क) 30 सेकंड
  2. (ख) 36 सेकंड
  3. (ग) 37.5 सेकंड
  4. (घ) 40 सेकंड
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 37.5 सेकंड

पहली मुलाकात के बाद P की नई चाल = 15 का 80% = 12 मीटर/सेकंड। Q की नई चाल = 10 का 120% = 12 मीटर/सेकंड। विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 12 + 12 = 24 मीटर/सेकंड। दूसरी मुलाकात में लगा समय = 900 / 24 = 37.5 सेकंड।

English version — Boats & Streams, Races

In SSC exams (CGL, CHSL, CPO Tier-1 and Tier-2), 1 to 2 questions are regularly asked from Boats & Streams and Races. This chapter is highly scoring and formula-driven, allowing students to score full marks in minimal time with proper concepts.

Downstream (u + v), Upstream (u - v) and Finding Speed of Boat and Stream

When a boat moves in the direction of the stream, it is called downstream, where the water assists the boat, making effective speed D = u + v. When it moves against the stream, it is called upstream, where water opposes the motion, making effective speed U = u - v. Here 'u' is the speed of the boat in still water and 'v' is the speed of the stream. Recognizing words like 'along the stream' (downstream) or 'against the stream' (upstream) immediately signals setting up (u + v) and (u - v).

Formulas with examples

📐 D = u + v और U = u - v — Used when the speed of the boat in still water (u) and speed of stream (v) are given, and downstream or upstream speed is needed.

धारा के अनुकूल चाल (D) = u + v

D = 12 + 3 = 15 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल चाल (U) = u - v

U = 12 - 3 = 9 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल (U) = u - v

u = 9 किमी/घंटा, v = 2.5 किमी/घंटा

U = 9 - 2.5 = 6.5 किमी/घंटा

📐 u = (D + U) / 2 तथा v = (D - U) / 2 — Used when downstream speed (D) and upstream speed (U) are known to directly find the boat's speed (u) and stream's speed (v).

नाव की चाल (u) = (D + U) / 2

u = (16 + 10) / 2 = 26 / 2 = 13 किमी/घंटा

धारा का वेग (v) = (D - U) / 2

v = (16 - 10) / 2 = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा

धारा की गति (v) = (D - U) / 2

v = (24 - 18) / 2

v = 6 / 2 = 3 किमी/घंटा

Question types asked

Solved questions (every type)

अनुप्रवाह चाल (D) = 15 किमी/घंटा

ऊर्ध्वप्रवाह चाल (U) = 9 किमी/घंटा

शांत जल में चाल (u) = (D + U) / 2

u = (15 + 9) / 2 = 24 / 2

u = 12 किमी/घंटा

अनुकूल चाल (D) = दूरी / समय = 32 / 4 = 8 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल (U) = दूरी / समय = 24 / 6 = 4 किमी/घंटा

धारा की चाल (v) = (D - U) / 2

v = (8 - 4) / 2 = 4 / 2 = 2 किमी/घंटा

अनुकूल चाल (D) = 45 / 3 = 15 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल (U) = 25 / 5 = 5 किमी/घंटा

शांत जल में व्यक्ति की चाल (u) = (D + U) / 2

u = (15 + 5) / 2 = 20 / 2 = 10 किमी/घंटा

नाव की चाल u = 14 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 2 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल U = u - v = 14 - 2 = 12 किमी/घंटा

दूरी = 48 किमी

समय = दूरी / चाल = 48 / 12 = 4 घंटे

D : U = 7 : 5

u = (D + U) / 2 = (7 + 5) / 2 = 12 / 2 = 6 इकाई

v = (D - U) / 2 = (7 - 5) / 2 = 2 / 2 = 1 इकाई

नाव की गति और धारा की गति का अनुपात = u : v = 6 : 1

माना धारा की चाल v = x किमी/घंटा

नाव की चाल u = x + 300% of x = 4x किमी/घंटा

अनुकूल चाल D = u + v = 4x + x = 5x

प्रश्नानुसार, अनुकूल चाल D = 60 / 3 = 20 किमी/घंटा

5x = 20 ⇒ x = 4 किमी/घंटा

U = 1 किमी / (10/60 घंटा) = 6 किमी/घंटा

D = 1 किमी / (6/60 घंटा) = 10 किमी/घंटा

u = (10 + 6) / 2 = 8 किमी/घंटा

v = (10 - 6) / 2 = 2 किमी/घंटा

अंतर (u - v) = 8 - 2 = 6 किमी/घंटा (जो कि वास्तव में U ही है)

How it is asked

This sub-topic is tested in almost every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, and GD as 1 direct question. Questions usually ask for boat/stream speed given downstream/upstream data or time/distance.

Common mistakes

💡 नाव की चाल हमेशा बड़ी होगी, इसलिए u = (D + U)/2 (जोड़कर आधा) और धारा की चाल हमेशा छोटी होगी, इसलिए v = (D - U)/2 (घटाकर आधा) याद रखें। Componendo-Dividendo (C&D) से u/v = (D + U)/(D - U) सीधे मौखिक आ जाता है। u/v = (अनुप्रवाह चाल + ऊर्ध्वप्रवाह चाल) / (अनुप्रवाह चाल - ऊर्ध्वप्रवाह चाल)।

Time and Ratio Questions for Same Distance

When a boat travels the same distance downstream and upstream, distance remains constant. Since distance is constant, speed is inversely proportional to time. The ratio of downstream speed (u+v) to upstream speed (u-v) is the inverse of their time ratio. Using componendo and dividendo, if upstream time is n times downstream time, the ratio of boat speed in still water to stream speed is u/v = (n+1)/(n-1). This relationship helps solve SSC questions rapidly without long algebraic equations.

Formulas with examples

📐 चाल का अनुपात (x : y) = t_up : t_down — When distance is constant and ratio of speed or time is given/asked.

समय का अनुपात (अनुप्रवाह : प्रतिप्रवाह) = 4 : 6 = 2 : 3

दूरी समान होने पर चाल का अनुपात समय के अनुपात का उल्टा होता है

अनुप्रवाह चाल (x) : प्रतिप्रवाह चाल (y) = 3 : 2

चाल का अनुपात (x : y) = 5 : 3

दूरी स्थिर रहने पर समय का अनुपात चाल के अनुपात का व्युत्क्रम होता है

समय का अनुपात (t_down : t_up) = 3 : 5

📐 u / v = (t_up + t_down) / (t_up - t_down) = (n + 1) / (n - 1) — When time taken upstream is n times the time taken downstream for the same distance.

समय का गुणांक n = 3

सूत्र: u / v = (n + 1) / (n - 1)

u / 4 = (3 + 1) / (3 - 1)

u / 4 = 4 / 2 = 2

u = 4 × 2 = 8 किमी/घंटा

समय का गुणांक n = 2

सूत्र: u / v = (n + 1) / (n - 1)

u / v = (2 + 1) / (2 - 1)

u / v = 3 / 1 = 3 : 1

Question types asked

Solved questions (every type)

t_down = 3 घंटे, t_up = 5 घंटे

चाल का अनुपात x : y = 5 : 3

u = (x + y) / 2 = (5 + 3) / 2 = 4

v = (x - y) / 2 = (5 - 3) / 2 = 1

u : v = 4 : 1

n = 4

u / v = (n + 1) / (n - 1)

15 / v = (4 + 1) / (4 - 1)

15 / v = 5 / 3

v = (15 × 3) / 5 = 9 किमी/घंटा

n = 2.5

सूत्र: u / v = (n + 1) / (n - 1)

u / 6 = (2.5 + 1) / (2.5 - 1)

u / 6 = 3.5 / 1.5 = 7 / 3

u = (6 × 7) / 3 = 14 किमी/घंटा

मान लें u = 7r, v = 3r

अनुप्रवाह चाल x = 7r + 3r = 10r

प्रतिप्रवाह चाल y = 7r - 3r = 4r

दूरी समान है: x × t_down = y × t_up

10r × 4 = 4r × t_up

t_up = 40r / 4r = 10 घंटे

n = 2

u / v = (2 + 1) / (2 - 1) = 3 / 1

12 / v = 3 / 1 ⇒ v = 4 किमी/घंटा

अनुप्रवाह चाल (x) = 12 + 4 = 16 किमी/घंटा

दूरी = अनुप्रवाह चाल × अनुप्रवाह समय

दूरी = 16 × 2 = 32 किमी

x = 9 + 3 = 12 किमी/घंटा

y = 9 - 3 = 6 किमी/घंटा

समय का अंतर = (D / 6) - (D / 12) = 3

(2D - D) / 12 = 3

D / 12 = 3

D = 36 किमी

मान लें धारा की चाल v = r, तब नाव की चाल u = 3r

अनुप्रवाह चाल x = 3r + r = 4r

प्रतिप्रवाह चाल y = 3r - r = 2r

कुल समय: (36 / 4r) + (24 / 2r) = 9

(9 / r) + (12 / r) = 9

21 / r = 9

r = 21 / 9 = 2.33 किमी/घंटा

How it is asked

Very popular in SSC CGL, CHSL, and GD exams. Asked in nearly 1 out of every 2 shifts.

Common mistakes

💡 जब भी प्रश्न में 'प्रतिकूल समय, अनुकूल समय का n गुना है' दिया हो, तो बिना किसी समीकरण के सीधे u/v = (n+1)/(n-1) लगाएँ। इससे उत्तर 10 सेकंड में आ जाएगा।| translate_hint: keep exact formula intact inside Hindi tip text if clear formatting is desired. (Hindi: जब भी प्रश्न में प्रतिकूल समय अनुकूल समय का n गुना हो, u/v = (n+1)/(n-1) का उपयोग करें। इससे 10 सेकंड में उत्तर आएगा।)

Round Trip Time and Average Speed of the Boat

When a boat travels to a certain destination downstream and returns to the starting point upstream, it completes a round trip. Downstream speed is (u + v) and upstream speed is (u - v). Total round trip time is the sum of both times: T = D/(u + v) + D/(u - v) = 2Du / (u² - v²). The average speed for the round trip is Total Distance (2D) divided by Total Time (T), which simplifies to (u² - v²)/u.

Formulas with examples

📐 एक तरफ की दूरी D = T × (u² - v²) / (2u) — Used to find one-way distance when boat speed (u), stream speed (v), and total round-trip time (T) are given.

नाव की चाल u = 9 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 3 किमी/घंटा

कुल समय T = 3 घंटे

सूत्र: D = T × (u² - v²) / (2u)

D = 3 × (9² - 3²) / (2 × 9)

D = 3 × (81 - 9) / 18

D = 3 × 72 / 18

D = 3 × 4 = 12 किमी

तैराक की चाल u = 10 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 2 किमी/घंटा

कुल समय T = 5 घंटे

दूरी D = T × (u² - v²) / (2u)

D = 5 × (10² - 2²) / (2 × 10)

D = 5 × (100 - 4) / 20

D = 5 × 96 / 20

D = 96 / 4 = 24 किमी

📐 गोल यात्रा की औसत चाल (Average Speed) = (u² - v²) / u = 2 × S_down × S_up / (S_down + S_up) — Used to find average speed for a complete round trip upstream and downstream.

धारा के अनुकूल चाल S_down = 12 + 4 = 16 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल चाल S_up = 12 - 4 = 8 किमी/घंटा

औसत चाल = 2 × S_down × S_up / (S_down + S_up)

औसत चाल = 2 × 16 × 8 / (16 + 8)

औसत चाल = 256 / 24

औसत चाल = 32/3 = 10.67 किमी/घंटा

u = 15 किमी/घंटा, v = 5 किमी/घंटा

औसत चाल = (u² - v²) / u

औसत चाल = (15² - 5²) / 15

औसत चाल = (225 - 25) / 15

औसत चाल = 200 / 15

औसत चाल = 40/3 किमी/घंटा

Question types asked

Solved questions (every type)

नाव की चाल u = 6 किमी/घंटा, धारा की चाल v = 2 किमी/घंटा

अनुकूल चाल S_down = 6 + 2 = 8 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल S_up = 6 - 2 = 4 किमी/घंटा

कुल समय T = D/8 + D/4 = 3 घंटे

(D + 2D) / 8 = 3

3D / 8 = 3

3D = 24

D = 8 किमी

u = 8 किमी/घंटा, v = 4 किमी/घंटा, T = 8 घंटे

दूरी सूत्र D = T × (u² - v²) / (2u)

D = 8 × (8² - 4²) / (2 × 8)

D = 8 × (64 - 16) / 16

D = 8 × 48 / 16

D = 8 × 3 = 24 किमी

D = 24 किमी, v = 2 किमी/घंटा, कुल समय T = 5 घंटे

24 / (u + 2) + 24 / (u - 2) = 5

24 × [(u - 2) + (u + 2)] / (u² - 4) = 5

24 × 2u / (u² - 4) = 5

48u = 5u² - 20

5u² - 48u - 20 = 0

(5u + 2)(u - 10) = 0

u = 10 किमी/घंटा (चूँकि चाल ऋणात्मक नहीं हो सकती)

u = 10 किमी/घंटा, D = 36 किमी, T = 15/2 घंटे

सूत्र: D = T × (u² - v²) / (2u)

36 = (15/2) × (10² - v²) / (2 × 10)

36 = 15 × (100 - v²) / 40

36 × 40 / 15 = 100 - v²

1440 / 15 = 100 - v²

96 = 100 - v²

v² = 100 - 96 = 4

v = 2 किमी/घंटा

u = 20 किमी/घंटा, v = 5 किमी/घंटा

धारा के अनुकूल चाल = 20 + 5 = 25 किमी/घंटा

धारा के प्रतिकूल चाल = 20 - 5 = 15 किमी/घंटा

औसत चाल = (u² - v²) / u

औसत चाल = (20² - 5²) / 20

औसत चाल = (400 - 25) / 20

औसत चाल = 375 / 20 = 18.75 किमी/घंटा

अनुकूल चाल S_down = 18 + 6 = 24 किमी/घंटा

प्रतिकूल चाल S_up = 18 - 6 = 12 किमी/घंटा

औसत चाल = 2 × S_down × S_up / (S_down + S_up)

औसत चाल = 2 × 24 × 12 / (24 + 12)

औसत चाल = 576 / 36

औसत चाल = 16 किमी/घंटा

u = 7.5 किमी/घंटा, v = 1.5 किमी/घंटा

कुल समय T = 50/60 = 5/6 घंटा

एक तरफ की दूरी D = T × (u² - v²) / (2u)

D = (5/6) × (7.5² - 1.5²) / (2 × 7.5)

7.5² - 1.5² = (7.5 + 1.5)(7.5 - 1.5) = 9 × 6 = 54

D = (5/6) × 54 / 15

D = 45 / 15 = 3 किमी

कुल तय की गई दूरी = 2 × D = 2 × 3 = 6 किमी

How it is asked

Asked frequently in SSC CGL, CHSL, and MTS exams. Typical questions ask for one-way distance, total distance traveled, or stream speed when round-trip time is given.

Common mistakes

💡 जब गोल यात्रा का समय दिया हो और धारा या नाव की चाल निकालनी हो, तो द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) बनाने के बजाय दिए गए विकल्पों (Options) से मान रखकर समीकरण D/(u+v) + D/(u-v) = T को संतुष्ट कराएं, इससे 30 सेकंड में उत्तर आ जाता है। औसत चाल के लिए सीधा याद रखें: Average Speed = (u² - v²) / u। धारा जितनी तेज होगी, औसत चाल नाव की वास्तविक चाल से उतनी ही कम होगी। यदि दूरी समान हो, तो समय का अनुपात चाल के व्युत्क्रमानुपाती होता है: T_up / T_down = (u + v) / (u - v)। Round trip में हमेशा T_up > T_

Races: A beats B by distance/time and Head Start

Race problems are based on the concepts of constant time and constant distance. When A beats B by x meters, it means in the same time duration, A runs the full race distance D while B runs (D - x) meters. When A beats B by t seconds, A takes T seconds while B takes (T + t) seconds for the same distance. Head start means giving the slower runner a distance advantage ahead of the start line or a time advantage before starting.

Formulas with examples

📐 B की चाल = हराई गई दूरी / हराया गया समय = x / t — Used when A beats B by both distance x and time t to find B's speed.

B द्वारा 2 सेकंड में तय दूरी = 10 m

B की चाल = 10 / 2 = 5 m/s

B की चाल = 100 / 20 = 5 m/s

B का कुल समय = 1000 / 5 = 200 sec

A का समय = 200 - 20 = 180 sec

📐 चाल का अनुपात (Sp_A / Sp_B) = समान समय में तय दूरी का अनुपात (D_A / D_B) — Used when two runners run for the same time duration to find speed or distance ratio.

दूरियों का अनुपात = 5 : 4

जब A दौड़ता है = 500 m

समान समय में B दौड़ता है = 500 × (4 / 5) = 400 m

A, B को हराता है = 500 - 400 = 100 m

A द्वारा तय दूरी = 100 m

समान समय में B द्वारा तय दूरी = 100 - 20 = 80 m

चालों का अनुपात A : B = 100 : 80 = 5 : 4

Question types asked

Solved questions (every type)

A की चाल = 9 × 5/18 = 2.5 m/s

A को 1000 m दौड़ने में लगा समय = 1000 / 2.5 = 400 sec

इतने समय में B द्वारा तय दूरी = 1000 - 100 = 900 m

B की चाल = 900 / 400 = 2.25 m/s

B की चाल (किमी/घंटे में) = 2.25 × 18/5 = 8.1 km/h

दौड़ की कुल दूरी = 1000 m

A द्वारा लिया गया समय = 1000 / 5 = 200 sec

A, B को 40 सेकेंड से हराता है, अर्थात B 40 सेकेंड अधिक लेता है

B का समय = 200 + 40 = 240 sec

B की चाल = 40 / 8 = 5 m/s

B को 800 m दौड़ने में लगा समय = 800 / 5 = 160 sec

A, B से 8 सेकेंड पहले पहुँचता है

A का समय = 160 - 8 = 152 sec

B को दौड़नी है दूरी = 500 - 50 = 450 m

A को पूरी दूरी तय करने में लगा समय = 500 / 10 = 50 sec

50 सेकेंड में B द्वारा तय दूरी = 50 × 8 = 400 m

B फिनिश लाइन से कितना पीछे रह गया = 450 - 400 = 50 m

A जीतता है और B को 50 मीटर से हराता है

जब A = 100 m, तब B = 90 m

जब B = 100 m, तब C = 90 m

C / A = (C / B) × (B / A) = (90 / 100) × (90 / 100) = 81 / 100

जब A = 100 m दौड़ता है, तो C = 81 m दौड़ता है

A, C को हराता है = 100 - 81 = 19 m

A की चाल : B की चाल = 1.75 : 1 = 7 : 4

समान समय में दूरियों का अनुपात = 7 : 4

दूरी का अंतर (बढ़त) = 7 - 4 = 3 इकाई

3 इकाई = 60 m ⇒ 1 इकाई = 20 m

A द्वारा तय कुल दूरी (दौड़ की लंबाई) = 7 × 20 = 140 m

जब A = 1000 m, B = 900 m और C = 850 m

B और C द्वारा तय दूरी का अनुपात = 900 : 850 = 18 : 17

900 m की दौड़ में B जब 900 m दौड़ता है, तो C दौड़ता है = 850 m

B, C को हराएगा = 900 - 850 = 50 m

How it is asked

Race concepts are frequently asked in SSC CGL, CHSL, MTS, and CPO exams, particularly 3-runner comparisons and head start problems.

Common mistakes

💡 जब A और B की दौड़ का समय समान हो, तो उनकी चालों का अनुपात (Speed Ratio) सीधे उनके द्वारा तय की गई दूरियों के अनुपात (Distance Ratio) के बराबर होता है। भरम से बचने के लिए A:B और B:C का अनुपात बनाकर C/A निकालें।連結 (Chain ratio style). पद का प्रयोग करें। धावक A की दूरी से C की दूरी आसानी से प्राप्त हो जाती है। समय बचता है। चाल = दूरी जब समय समान हो। अंतर से उत्तर तुरंत आ जाएगा। प्रश्न में अगर A और B की बढ़त दी गई हो, तो सूत्र चाल = अंतर / समय से त्वरित गणना करें। प्रश्नों को हल करने में बेहद सहायक

Circular Track: First Meeting & Meeting at Starting Point

In circular track races, two main meeting scenarios are tested: meeting for the first time anywhere on the track, and meeting specifically at the starting point. For the first meeting anywhere, relative speed is used (difference of speeds for same direction, sum of speeds for opposite direction). For meeting at the starting point, direction does not matter; it is simply the LCM of the individual lap times taken by each runner. Look for keywords like 'first meet anywhere' versus 'meet at the starting point' to identify the required approach.

Formulas with examples

📐 पहली बार कहीं भी मिलने का समय = L / Relative Speed (समान दिशा: L / |u - v|, विपरीत दिशा: L / (u + v)) — Used to find the time when two runners meet for the first time anywhere on the circular track.

ट्रैक की लंबाई (L) = 400 मीटर

विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 15 + 25 = 40 m/s

मिलने का समय = L / सापेक्ष चाल

समय = 400 / 40 = 10 सेकंड

चाल A = 54 × 5/18 = 15 m/s

चाल B = 72 × 5/18 = 20 m/s

समान दिशा में सापेक्ष चाल = 20 - 15 = 5 m/s

समय = 720 / 5 = 144 सेकंड

📐 प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय = LCM(T1, T2, T3, ...) जहाँ T = L / Speed — Used to find the time taken by runners to meet again at the starting point, irrespective of their directions.

A का 1 चक्कर का समय (T1) = 600 / 15 = 40 सेकंड

B का 1 चक्कर का समय (T2) = 600 / 20 = 30 सेकंड

प्रारंभिक बिंदु पर मिलने का समय = LCM(40, 30)

40 और 30 का LCM = 120 सेकंड

A का 1 चक्कर का समय = 1000 / 10 = 100 सेकंड

B का 1 चक्कर का समय = 1000 / 20 = 50 सेकंड

C का 1 चक्कर का समय = 1000 / 25 = 40 सेकंड

LCM(100, 50, 40) = 200 सेकंड

📐 अलग-अलग मिलने वाले बिंदुओं की संख्या: चाल का सरलतम अनुपात = a : b; विपरीत दिशा में = (a + b), समान दिशा में = |a - b| — Used to find the number of distinct meeting points on the circular track.

चाल का सरल अनुपात a : b = 3 : 5 (सह-अभाज्य हैं)

विपरीत दिशा में बिंदुओं की संख्या = a + b

कुल बिंदु = 3 + 5 = 8

चालों का अनुपात = 18 : 30 = 3 : 5

यहाँ a = 3 और b = 5

समान दिशा में बिंदुओं की संख्या = |b - a|

कुल बिंदु = 5 - 3 = 2

Question types asked

Solved questions (every type)

चाल A = 18 × 5/18 = 5 m/s

चाल B = 27 × 5/18 = 7.5 m/s

विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 5 + 7.5 = 12.5 m/s

समय = दूरी / सापेक्ष चाल

समय = 800 / 12.5 = 64 सेकंड

चाल X = 36 × 5/18 = 10 m/s

चाल Y = 54 × 5/18 = 15 m/s

समान दिशा में सापेक्ष चाल = 15 - 10 = 5 m/s

मिलने का समय = 1500 / 5 = 300 सेकंड

300 सेकंड = 300 / 60 = 5 मिनट

P द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने का समय = 1200 / 12 = 100 सेकंड

Q द्वारा एक पूरा चक्कर लगाने का समय = 1200 / 8 = 150 सेकंड

प्रारंभिक बिंदु पर मिलने के लिए दिशा से कोई फर्क नहीं पड़ता

अभिष्ट समय = LCM(100, 150) = 300 सेकंड

A का समय = 900 / 15 = 60 सेकंड

B का समय = 900 / 18 = 50 सेकंड

C का समय = 900 / 25 = 36 सेकंड

शुरुआती बिंदु पर समय = LCM(60, 50, 36)

60, 50, 36 का LCM = 900 सेकंड (15 मिनट)

A और B के बीच सापेक्ष चाल = 4 - 2 = 2 m/s

A और B के मिलने का समय (T1) = 1200 / 2 = 600 सेकंड

A और C के बीच सापेक्ष चाल = 6 - 2 = 4 m/s

A और C के मिलने का समय (T2) = 1200 / 4 = 300 सेकंड

तीनों के एक साथ मिलने का समय = LCM(T1, T2) = LCM(600, 300) = 600 सेकंड

चालों का अनुपात = 42 : 28 = 3 : 2

यहाँ a = 3 और b = 2 (सह-अभाज्य)

(i) समान दिशा में बिंदुओं की संख्या = |3 - 2| = 1 बिंदु

(ii) विपरीत दिशा में बिंदुओं की संख्या = 3 + 2 = 5 बिंदु

विपरीत दिशा में सापेक्ष चाल = 5 + 3 = 8 m/s

एक बार मिलने में लगा समय = 400 / 8 = 50 सेकंड

दौड़ का कुल समय = 40 × 60 = 2400 सेकंड

कुल मुलाकातों की संख्या = कुल समय / एक बार मिलने का समय

संख्या = 2400 / 50 = 48 बार

How it is asked

Asked in SSC CGL, CHSL, and Railway exams typically as 1 direct question testing relative speed on a loop or LCM of round completion times.

Common mistakes

💡 याद रखें: ट्रैक पर कहीं भी मिलने के लिए Relative Speed और Starting Point पर मिलने के लिए Individual Times का LCM लिया जाता है, चाहे दिशा कोई भी हो। चाल का अनुपात सरलतम रूप (a:b) बनाकर समान दिशा में |a-b| और विपरीत में a+b से बिंदु सीधे आते हैं। ट्रैक पर कहीं भी मिलने के लिए Relative Speed और Starting Point पर मिलने के लिए Individual Times का LCM लिया जाता है, चाहे दिशा कोई भी हो। चाल का अनुपात सरलतम रूप (a:b) बनाकर समान दिशा में |a-b| और विपरीत में a+b से बिंदु सीधे आते हैं।

All formulas at a glance

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