ज्यामिति: वृत्त

Circles is one of the most important chapters in SSC exams (Tier-1 and Tier-2), yielding around 2 to 3 questions. It is extremely scoring as questions are directly based on standard geometric theorems and formulas. Understanding core properties allows students to solve questions rapidly and accurately.

Chord Properties: Perpendicular from Centre, Equal Chords and Distance

A perpendicular drawn from the centre of a circle to a chord bisects the chord into two equal halves. Connecting the centre, the midpoint of the chord, and an endpoint of the chord forms a right-angled triangle. In this right triangle, the circle's radius (r) serves as the hypotenuse, the distance from the centre (d) is one leg, and half the chord length (L/2) is the other leg. Furthermore, equal chords are equidistant from the centre. Whenever chord length, radius, or distance from centre is involved, use the Pythagorean theorem directly.

Formulas with examples

📐 r² = d² + (L / 2)² — When any two among radius (r), perpendicular distance from centre (d), and chord length (L) are given, to find the third.

• Example 1: एक 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 16 सेमी लंबी जीवा की केंद्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

त्रिज्या (r) = 10 सेमी

जीवा की लंबाई (L) = 16 सेमी

जीवा की आधी लंबाई = L / 2 = 16 / 2 = 8 सेमी

समकोण त्रिभुज में: r² = d² + (L/2)²

10² = d² + 8²

100 = d² + 64

d² = 100 - 64 = 36

d = √36 = 6 सेमी

• ✔ Answer: 6 सेमी
• Example 2: एक वृत्त के केंद्र से 5 सेमी की दूरी पर स्थित जीवा की लंबाई 24 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

केंद्र से दूरी (d) = 5 सेमी

जीवा की आधी लंबाई = 24 / 2 = 12 सेमी

त्रिज्या (r) = √(d² + (L/2)²)

r = √(5² + 12²)

r = √(25 + 144) = √169

r = 13 सेमी

• ✔ Answer: 13 सेमी

📐 केंद्र के एक ही ओर समानांतर जीवाएँ: दूरी = |d₁ - d₂| ; केंद्र के विपरीत ओर समानांतर जीवाएँ: दूरी = d₁ + d₂ — To find the distance between two parallel chords: distance = |d₁ - d₂| if on the same side of centre, and d₁ + d₂ if on opposite sides.

• Example 3: 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 12 सेमी और 16 सेमी की दो समानांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत दिशा में हैं। उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

पहली जीवा की आधी लंबाई = 12 / 2 = 6 सेमी

पहली जीवा की केंद्र से दूरी d₁ = √(10² - 6²) = √(100 - 36) = √64 = 8 सेमी

दूसरी जीवा की आधी लंबाई = 16 / 2 = 8 सेमी

दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी d₂ = √(10² - 8²) = √(100 - 64) = √36 = 6 सेमी

चूँकि दोनों केंद्र के विपरीत दिशा में हैं: दूरी = d₁ + d₂

दूरी = 8 + 6 = 14 सेमी

• ✔ Answer: 14 सेमी
• Example 4: 13 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 10 सेमी और 24 सेमी लंबाई की दो समानांतर जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं। उनके बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

पहली जीवा की आधी लंबाई = 10 / 2 = 5 सेमी

दूरी d₁ = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 सेमी

दूसरी जीवा की आधी लंबाई = 24 / 2 = 12 सेमी

दूरी d₂ = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 सेमी

जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं: दूरी = d₁ - d₂

दूरी = 12 - 5 = 7 सेमी

• ✔ Answer: 7 सेमी

Question types asked

• त्रिज्या और दूरी से जीवा की लंबाई ज्ञात करना
• जीवा और त्रिज्या से केंद्र से दूरी ज्ञात करना
• समानांतर जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर स्थित होना
• समानांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर स्थित होना
• समान लंबाई की जीवाओं के केंद्र से गुणधर्म
• समानांतर जीवाओं के बीच की दूरी से वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना

Solved questions (every type)

• Q 5 [त्रिज्या और दूरी से जीवा की लंबाई ज्ञात करना]: एक वृत्त की त्रिज्या 17 सेमी है और केंद्र से एक जीवा की लंबवत दूरी 8 सेमी है। जीवा की कुल लंबाई ज्ञात कीजिए।

त्रिज्या r = 17 सेमी, दूरी d = 8 सेमी

जीवा की आधी लंबाई = √(r² - d²)

आधी लंबाई = √(17² - 8²) = √(289 - 64)

आधी लंबाई = √225 = 15 सेमी

जीवा की कुल लंबाई = 2 × 15 = 30 सेमी

• ✔ Answer: 30 सेमी
• Q 6 [जीवा और त्रिज्या से केंद्र से दूरी ज्ञात करना]: एक 25 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त में 48 सेमी लंबी जीवा खींची गई है। केंद्र से इस जीवा की दूरी क्या होगी?

त्रिज्या r = 25 सेमी

जीवा की कुल लंबाई = 48 सेमी

जीवा की आधी लंबाई = 48 / 2 = 24 सेमी

केंद्र से दूरी d = √(r² - (L/2)²)

d = √(25² - 24²) = √(625 - 576)

d = √49 = 7 सेमी

• ✔ Answer: 7 सेमी
• Q 7 [समानांतर जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर स्थित होना]: एक वृत्त की त्रिज्या 15 सेमी है। केंद्र के एक ही ओर दो समानांतर जीवाएँ 18 सेमी और 24 सेमी लंबी हैं। इन दोनों जीवाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

पहली जीवा की आधी लंबाई = 18 / 2 = 9 सेमी

केंद्र से पहली दूरी d₁ = √(15² - 9²) = √(225 - 81) = √144 = 12 सेमी

दूसरी जीवा की आधी लंबाई = 24 / 2 = 12 सेमी

केंद्र से दूसरी दूरी d₂ = √(15² - 12²) = √(225 - 144) = √81 = 9 सेमी

जीवाएँ केंद्र के एक ही ओर हैं, अतः दूरी = d₁ - d₂

दूरी = 12 - 9 = 3 सेमी

• ✔ Answer: 3 सेमी
• Q 8 [समानांतर जीवाएँ केंद्र के विपरीत ओर स्थित होना]: एक वृत्त में 16 सेमी और 30 सेमी लंबाई की दो समानांतर जीवाएँ केंद्र के दोनों ओर (विपरीत दिशा में) स्थित हैं। यदि वृत्त का व्यास 34 सेमी हो, तो दोनों जीवाओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

त्रिज्या r = व्यास / 2 = 34 / 2 = 17 सेमी

पहली जीवा की आधी लंबाई = 16 / 2 = 8 सेमी

दूरी d₁ = √(17² - 8²) = √(289 - 64) = √225 = 15 सेमी

दूसरी जीवा की आधी लंबाई = 30 / 2 = 15 सेमी

दूरी d₂ = √(17² - 15²) = √(289 - 225) = √64 = 8 सेमी

जीवाएँ विपरीत ओर हैं, अतः बीच की दूरी = d₁ + d₂

दूरी = 15 + 8 = 23 सेमी

• ✔ Answer: 23 सेमी
• Q 9 [समान लंबाई की जीवाओं के केंद्र से गुणधर्म]: एक वृत्त के केंद्र O से दो जीवाएँ AB और CD समान दूरी 6 सेमी पर स्थित हैं। यदि जीवा AB की लंबाई 16 सेमी है, तो जीवा CD की लंबाई ज्ञात कीजिए।

नियम: एक वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर स्थित जीवाएँ लंबाई में समान होती हैं।

केंद्र से जीवा AB की दूरी = 6 सेमी

केंद्र से जीवा CD की दूरी = 6 सेमी

चूँकि दोनों जीवाएँ केंद्र से समदूरस्थ (equidistant) हैं

अतः जीवा CD = जीवा AB = 16 सेमी

• ✔ Answer: 16 सेमी
• Q 10 [समानांतर जीवाओं के बीच की दूरी से वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना]: एक वृत्त में केंद्र के विपरीत ओर दो समानांतर जीवाएँ 6 सेमी और 8 सेमी लंबी हैं। यदि उनके बीच की कुल दूरी 7 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

पहली जीवा की आधी लंबाई = 6 / 2 = 3 सेमी, दूसरी की = 8 / 2 = 4 सेमी

मान लेते हैं केंद्र से दूरियाँ d₁ और d₂ हैं, d₁ + d₂ = 7

r² = d₁² + 3² और r² = d₂² + 4²

d₁² + 9 = d₂² + 16 ⇒ d₁² - d₂² = 7

(d₁ + d₂)(d₁ - d₂) = 7 ⇒ 7(d₁ - d₂) = 7 ⇒ d₁ - d₂ = 1

d₁ = (7 + 1) / 2 = 4 सेमी

r = √(d₁² + 3²) = √(4² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5 सेमी

• ✔ Answer: 5 सेमी
• Q 11 [समानांतर जीवाओं के बीच की दूरी से वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करना]: एक वृत्त में केंद्र के एक ही ओर दो समानांतर जीवाएँ AB = 40 सेमी और CD = 48 सेमी हैं। यदि उनके बीच की दूरी 4 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

जीवा AB की आधी लंबाई = 40 / 2 = 20 सेमी

जीवा CD की आधी लंबाई = 48 / 2 = 24 सेमी

मान लेते हैं CD की केंद्र से दूरी d है, तो AB की दूरी = d + 4

r² = (d + 4)² + 20² तथा r² = d² + 24²

(d² + 8d + 16) + 400 = d² + 576

8d + 416 = 576 ⇒ 8d = 160 ⇒ d = 20 सेमी

त्रिज्या r = √(20² + 24²) = √(400 + 576) = √976 = 4√61 सेमी

• ✔ Answer: 4√61 सेमी

How it is asked

Asked in nearly every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, and GD. The most frequent patterns are finding the distance between two parallel chords or finding the radius given the chord length and distance from centre.

Common mistakes

• ✘ जीवा की पूरी लंबाई को समकोण त्रिभुज का आधार मान लेना, जबकि केंद्र से लम्ब जीवा को आधा (L/2) करता है।
• ✘ प्रश्न में यह ध्यान न देना कि समानांतर जीवाएँ केंद्र के 'एक ही ओर' (same side) हैं या 'विपरीत ओर' (opposite sides), जिससे दूरी घटाने या जोड़ने में गलती हो जाती है।

💡 पाइथागोरस ट्रिपलेट (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25) याद रखें। त्रिज्या हमेशा कर्ण होती है, जिससे दूरी या आधी जीवा मौखिक रूप से 2 सेकंड में निकल जाती है। केंद्र के विपरीत ओर होने पर दूरियाँ जुड़ती हैं (d₁ + d₂), एक ही ओर होने पर घटती हैं (|d₁ - d₂|)।

Angle Properties of Circles

The angle subtended by an arc at the centre of a circle is double the angle subtended by it at any point on the circumference. Consequently, all angles in the same segment are equal as they are subtended by the same arc. An angle in a semicircle is always 90 degrees because the diameter subtends 180 degrees at the centre. To recognize these in exams, trace the lines originating from the endpoints of a chord or arc.

Formulas with examples

📐 ∠केंद्र = 2 × ∠परिधि — When angles are subtended by the same arc at the centre and circumference

• Example 12: एक वृत्त में चाप AB द्वारा केंद्र O पर बना कोण 120° है। परिधि पर बने कोण ACB का मान क्या होगा?

केंद्र पर बना कोण ∠AOB = 120° परिधि पर बना कोण = केंद्र का कोण / 2 ∠ACB = 120° / 2 = 60°

• ✔ Answer: 60°
• Example 13: यदि परिधि पर बना कोण ∠PRQ = 45° है, तो केंद्र O पर बने कोण ∠POQ का मान ज्ञात कीजिए।

परिधि पर बना कोण ∠PRQ = 45° केंद्र पर बना कोण = 2 × परिधि पर बना कोण ∠POQ = 2 × 45° = 90°

• ✔ Answer: 90°

📐 ∠वृत्तखंड1 = ∠वृत्तखंड2 — When multiple angles are subtended by the same chord or arc on the circumference

• Example 14: एक वृत्त में ∠ACB = 50° है। यदि बिंदु D भी उसी वृत्तखंड में है, तो ∠ADB का मान क्या होगा?

एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं ∠ACB = 50° इसलिए ∠ADB = ∠ACB = 50°

• ✔ Answer: 50°
• Example 15: एक ही चाप द्वारा बने दो कोण (2x + 10)° और (x + 30)° हैं। x का मान ज्ञात कीजिए।

एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं 2x + 10 = x + 30 2x - x = 30 - 10 x = 20

• ✔ Answer: 20

📐 अर्धवृत्त का कोण = 90° — When an angle is subtended by the diameter on the circumference

• Example 16: AB एक वृत्त का व्यास है और C परिधि पर एक बिंदु है। कोण ACB का मान क्या होगा?

व्यास द्वारा परिधि पर बना कोण हमेशा समकोण होता है AB व्यास है इसलिए ∠ACB = 90°

• ✔ Answer: 90°
• Example 17: व्यास PQ वाले वृत्त में ∠PQR = 40° है। ∠QPR का मान ज्ञात कीजिए।

अर्धवृत्त में बना कोण ∠PRQ = 90° त्रिभुज PQR में तीनों कोणों का योग = 180° ∠QPR = 180° - (90° + 40°) ∠QPR = 50°

• ✔ Answer: 50°

Question types asked

• केंद्र और परिधि के कोणों का संबंध
• एक ही वृत्तखंड में बने कोणों की समानता
• अर्धवृत्त में बने समकोण पर आधारित प्रश्न
• त्रिज्या और जीवा से बने समद्विबाहु त्रिभुज का उपयोग
• प्रतिवर्ती कोण (Reflex Angle) ज्ञात करना

Solved questions (every type)

• Q 18 [केंद्र और परिधि के कोणों का संबंध]: एक वृत्त में चाप AB द्वारा केंद्र O पर बना कोण 110° है। परिधि के शेष भाग पर स्थित बिंदु C पर बना कोण ACB ज्ञात कीजिए।

केंद्र पर बना कोण ∠AOB = 110° परिधि पर बना कोण = केंद्र का कोण / 2 ∠ACB = 110° / 2 = 55°

• ✔ Answer: 55°
• Q 19 [एक ही वृत्तखंड में बने कोणों की समानता]: एक वृत्त में बिंदु A, B, C और D परिधि पर इस प्रकार हैं कि ∠ACB = 42° है। यदि C और D एक ही वृत्तखंड में हैं, तो ∠ADB का मान क्या होगा?

एक ही वृत्तखंड में बने कोण बराबर होते हैं ∠ACB = 42° इसलिए ∠ADB = ∠ACB = 42°

• ✔ Answer: 42°
• Q 20 [अर्धवृत्त में बने समकोण पर आधारित प्रश्न]: AB एक वृत्त का व्यास है और C परिधि पर एक बिंदु है। यदि ∠ABC = 35° है, तो ∠BAC का मान ज्ञात कीजिए।

अर्धवृत्त में बना कोण ∠ACB = 90° त्रिभुज ABC में तीनों कोणों का योग = 180° ∠BAC + 35° + 90° = 180° ∠BAC = 180° - 125° = 55°

• ✔ Answer: 55°
• Q 21 [प्रतिवर्ती कोण (Reflex Angle) ज्ञात करना]: एक वृत्त के केंद्र O पर एक चाप द्वारा बनाया गया प्रतिवर्ती कोण (Reflex angle) 260° है। इसी चाप द्वारा परिधि पर बना कोण ज्ञात कीजिए।

प्रतिवर्ती केंद्र कोण = 260° परिधि पर बना कोण = केंद्र का कोण / 2 कोण = 260° / 2 = 130°

• ✔ Answer: 130°
• Q 22 [त्रिज्या और जीवा से बने समद्विबाहु त्रिभुज का उपयोग]: O वृत्त का केंद्र है। यदि ∠OAB = 40° है, जहाँ A और B परिधि पर हैं, तो परिधि पर बने कोण ∠ACB का मान क्या होगा?

OA = OB (वृत्त की त्रिज्याएँ) इसलिए ΔOAB एक समद्विबाहु त्रिभुज है ∠OBA = ∠OAB = 40° ∠AOB = 180° - (40° + 40°) = 100° ∠ACB = ∠AOB / 2 = 100° / 2 = 50°

• ✔ Answer: 50°
• Q 23 [केंद्र और परिधि के कोणों का संबंध]: यदि परिधि पर बना कोण ∠PRQ = 75° है, तो केंद्र O पर बने कोण ∠POQ का मान क्या होगा?

परिधि पर बना कोण ∠PRQ = 75° केंद्र पर बना कोण = 2 × परिधि पर बना कोण ∠POQ = 2 × 75° = 150°

• ✔ Answer: 150°
• Q 24 [एक ही वृत्तखंड में बने कोणों की समानता]: एक वृत्त में दो कोण ∠CAD और ∠CBD एक ही चाप CD द्वारा बने हैं। यदि ∠CAD = (3x + 15)° और ∠CBD = (x + 45)° है, तो x का मान ज्ञात कीजिए।

एक ही वृत्तखंड के कोण बराबर होते हैं ∠CAD = ∠CBD 3x + 15 = x + 45 3x - x = 45 - 15 2x = 30 x = 15

• ✔ Answer: 15

How it is asked

SSC CGL, CHSL, and MTS exams feature 1-2 questions from this sub-topic every year. It is one of the most fundamental and frequently tested properties of circles.

Common mistakes

• ✘ छात्र अक्सर यह पहचानना भूल जाते हैं कि कोण एक ही चाप (same arc) पर आधारित होने चाहिए।
• ✘ प्रतिवर्ती कोण (Reflex angle) और आंतरिक कोण के बीच भ्रमित होना।
• ✘ अर्धवृत्त के कोण को 90° के बजाय केंद्र के कोण के बराबर मान लेना।

💡 Always look for isosceles triangles formed by radii (OA=OB), as they are the key to finding missing angles in most circle problems.

Cyclic Quadrilateral (Opposite angles 180°)

A quadrilateral whose all four vertices lie on the circumference of a circle is called a cyclic quadrilateral. Its most defining property is that the sum of its opposite angles is always 180° (supplementary). If one side of the quadrilateral is extended, the exterior angle formed is equal to the interior opposite angle. In exams, recognize this type whenever a four-sided figure is inscribed in a circle with all corners touching the boundary.

Formulas with examples

📐 ∠A + ∠C = 180° और ∠B + ∠D = 180° — When one of the opposite angles of a cyclic quadrilateral is given and the other needs to be found.

• Example 25: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, यदि ∠A = 105° है, तो ∠C का मान क्या होगा?

∠A + ∠C = 180°

105° + ∠C = 180°

∠C = 180° - 105°

∠C = 75°

• ✔ Answer: 75°
• Example 26: यदि चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠B = 80° है, तो ∠D का मान ज्ञात करें।

∠B + ∠D = 180°

80° + ∠D = 180°

∠D = 180° - 80°

∠D = 100°

• ✔ Answer: 100°

📐 बाह्य कोण = आंतरिक विपरीत कोण — When one side of the quadrilateral is extended and the exterior or its opposite interior angle needs to be calculated.

• Example 27: चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है। यदि बाह्य कोण ∠CBE = 70° है, तो ∠ADC का मान क्या होगा?

बाह्य कोण = आंतरिक विपरीत कोण

∠CBE = ∠ADC

70° = ∠ADC

• ✔ Answer: 70°
• Example 28: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠D = 110° है। यदि भुजा AB को X तक बढ़ाया जाए, तो बाह्य कोण ∠CBX का मान क्या होगा?

बाह्य कोण = आंतरिक विपरीत कोण

∠CBX = ∠D

∠CBX = 110°

• ✔ Answer: 110°

📐 AC × BD = (AB × CD) + (BC × AD) — When all four sides and one diagonal of a cyclic quadrilateral are given and the other diagonal needs to be found (Ptolemy's Theorem).

• Example 29: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ AB=3, BC=4, CD=5, DA=6 हैं और विकर्ण AC=6 है। विकर्ण BD की लंबाई ज्ञात करें।

टॉलेमी प्रमेय: AC × BD = (AB × CD) + (BC × AD)

6 × BD = (3 × 5) + (4 × 6)

6 × BD = 15 + 24

6 × BD = 39

BD = 39/6 = 6.5

• ✔ Answer: 6.5 unit
• Example 30: चक्रीय चतुर्भुज ABCD में AB=2, BC=3, CD=4, DA=5 और AC=5 है। BD का मान क्या होगा?

AC × BD = (AB × CD) + (BC × AD)

5 × BD = (2 × 4) + (3 × 5)

5 × BD = 8 + 15

5 × BD = 23

BD = 23/5 = 4.6

• ✔ Answer: 4.6 unit

Question types asked

• विपरीत कोणों का योग
• बाह्य कोण गुण
• अर्धवृत्त और व्यास आधारित
• चक्रीय समलंब चतुर्भुज
• टॉलेमी प्रमेय

Solved questions (every type)

• Q 31 [विपरीत कोणों का योग]: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में, ∠A = (2x + 4)° और ∠C = (4x - 10)° है। x का मान ज्ञात करें।

∠A + ∠C = 180°

(2x + 4) + (4x - 10) = 180

6x - 6 = 180

6x = 186

x = 31

• ✔ Answer: 31
• Q 32 [बाह्य कोण गुण]: चक्रीय चतुर्भुज ABCD की भुजा AB को E तक बढ़ाया गया है। यदि ∠CBE = 95° है, तो ∠ADC का मान ज्ञात करें।

चक्रीय चतुर्भुज का बाह्य कोण उसके आंतरिक विपरीत कोण के बराबर होता है।

∠CBE = ∠ADC

95° = ∠ADC

• ✔ Answer: 95°
• Q 33 [अर्धवृत्त और व्यास आधारित]: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AB वृत्त का व्यास है। यदि ∠ADC = 140° है, तो ∠BAC का मान क्या होगा?

∠B + ∠ADC = 180°

∠B + 140° = 180° => ∠B = 40°

∠ACB = 90° (अर्धवृत्त में बना कोण)

ΔABC में: ∠BAC + ∠ACB + ∠ABC = 180°

∠BAC + 90° + 40° = 180°

∠BAC = 180° - 130° = 50°

• ✔ Answer: 50°
• Q 34 [चक्रीय समलंब चतुर्भुज]: ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें AD || BC है। यदि ∠A = 70° है, तो ∠B का मान क्या होगा?

AD || BC होने के कारण, ∠A + ∠B = 180° (सह-आंतरिक कोण)

70° + ∠B = 180°

∠B = 110°

• ✔ Answer: 110°
• Q 35 [टॉलेमी प्रमेय]: एक चक्रीय चतुर्भुज की भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी, 5 सेमी और 6 सेमी हैं। यदि एक विकर्ण 6 सेमी है, तो दूसरे विकर्ण की लंबाई क्या होगी?

टॉलेमी प्रमेय: AC × BD = (AB × CD) + (BC × AD)

6 × BD = (3 × 5) + (4 × 6)

6 × BD = 15 + 24

6 × BD = 39

BD = 39/6 = 6.5

• ✔ Answer: 6.5 cm
• Q 36 [विपरीत कोणों का योग]: एक चक्रीय चतुर्भुज ABCD में ∠A और ∠C का अनुपात 4 : 5 है। ∠C का मान ज्ञात करें।

माना ∠A = 4x और ∠C = 5x

4x + 5x = 180°

9x = 180°

x = 20°

∠C = 5 × 20° = 100°

• ✔ Answer: 100°
• Q 37 [अर्धवृत्त और व्यास आधारित]: O वृत्त का केंद्र है और ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। यदि ∠ADC = 115° है, तो ∠AOC (लघु कोण) का मान ज्ञात करें।

∠ABC + ∠ADC = 180°

∠ABC + 115° = 180° => ∠ABC = 65°

केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।

∠AOC = 2 × ∠ABC

∠AOC = 2 × 65° = 130°

• ✔ Answer: 130°

How it is asked

Questions on cyclic quadrilaterals are frequently asked in SSC CGL, CHSL, MTS, and GD exams. The most common patterns involve the sum of opposite angles being 180° and properties involving the diameter and semicircle.

Common mistakes

• ✘ चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों के बजाय पास वाले (Adjacent) कोणों का योग 180° मान लेना।
• ✘ वृत्त के भीतर स्थित किसी भी चतुर्भुज को चक्रीय मान लेना, भले ही उसके सभी शीर्ष परिधि को न छू रहे हों।

💡 If two sides of a cyclic quadrilateral are parallel, it is always an isosceles trapezium, and its diagonals are equal in length.

Tangents: Properties, Angles and Common Tangents

A tangent is a line that touches a circle at exactly one point. The radius drawn to the point of contact is always perpendicular to the tangent (90° angle). Tangents drawn from an external point to a circle are equal in length. For two circles, Direct Common Tangents (DCT) and Transverse Common Tangents (TCT) are directly evaluated using distance between centers and radii.

Formulas with examples

📐 DCT = \sqrt{d^2 - (r_1 - r_2)^2} — Used to find the length of Direct Common Tangent (DCT) given the distance between centers d and radii r1, r2.

• Example 38: दो वृत्तों के केंद्रों के बीच की दूरी 13 सेमी है। यदि उनकी त्रिज्याएँ 8 सेमी और 3 सेमी हैं, तो उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

d = 13 सेमी, r1 = 8 सेमी, r2 = 3 सेमी

DCT = \sqrt{d^2 - (r1 - r2)^2}

DCT = \sqrt{13^2 - (8 - 3)^2}

DCT = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 सेमी

• ✔ Answer: 12 सेमी
• Example 39: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 11 सेमी और 4 सेमी हैं तथा केंद्रों के बीच की दूरी 25 सेमी है। प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

d = 25 सेमी, r1 = 11 सेमी, r2 = 4 सेमी

DCT = \sqrt{25^2 - (11 - 4)^2}

DCT = \sqrt{625 - 49} = \sqrt{576} = 24 सेमी

• ✔ Answer: 24 सेमी

📐 TCT = \sqrt{d^2 - (r_1 + r_2)^2} — Used to calculate the length of Transverse Common Tangent (TCT) given distance d and radii r1, r2.

• Example 40: दो वृत्तों के केंद्रों की दूरी 10 सेमी है। यदि उनकी त्रिज्याएँ 4 सेमी और 2 सेमी हैं, तो उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा की लंबाई कितनी होगी?

d = 10 सेमी, r1 = 4 सेमी, r2 = 2 सेमी

TCT = \sqrt{10^2 - (4 + 2)^2}

TCT = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 सेमी

• ✔ Answer: 8 सेमी
• Example 41: दो वृत्तों की त्रिज्याएँ 5 सेमी और 3 सेमी हैं तथा केंद्रों के बीच की दूरी 17 सेमी है। अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

d = 17 सेमी, r1 = 5 सेमी, r2 = 3 सेमी

TCT = \sqrt{17^2 - (5 + 3)^2}

TCT = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15 सेमी

• ✔ Answer: 15 सेमी

📐 \angle BAT = \angle BCA (एकांतर वृत्तखंड प्रमेय) — Used in alternate segment theorem where the angle between a tangent and a chord equals the angle in the alternate segment.

• Example 42: वृत्त के बिंदु A पर स्पर्श रेखा BAT है। जीवा AB द्वारा एकांतर वृत्तखंड में बना कोण \angle ACB = 65^\circ है। कोण \angle BAT का मान ज्ञात कीजिए।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय के अनुसार:

स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण = एकांतर वृत्तखंड में बना कोण

\angle BAT = \angle ACB

\angle BAT = 65^\circ

• ✔ Answer: 65°
• Example 43: वृत्त के बिंदु P पर स्पर्श रेखा QPT है। जीवा PQ द्वारा विपरीत वृत्तखंड में बना कोण \angle PRQ = 50^\circ है। कोण \angle QPT ज्ञात कीजिए।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से:

\angle QPT = \angle PRQ

\angle QPT = 50^\circ

• ✔ Answer: 50°

📐 PA = PB तथा PT = \sqrt{OP^2 - r^2} — Used when finding tangent length or radius using Pythagorean theorem in right triangle formed by center, point of tangency, and external point.

• Example 44: 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर स्थित बिंदु P से स्पर्श रेखा PT खींची गई है। PT की लंबाई ज्ञात कीजिए।

OP = 13 सेमी, r = 5 सेमी

स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब होती है, अतः \Delta OPT समकोण त्रिभुज है

PT = \sqrt{OP^2 - r^2}

PT = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 सेमी

• ✔ Answer: 12 सेमी
• Example 45: केंद्र O से 25 सेमी दूरी पर स्थित बिंदु P से खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई 24 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

OP = 25 सेमी, PT = 24 सेमी

r = \sqrt{OP^2 - PT^2}

r = \sqrt{25^2 - 24^2} = \sqrt{625 - 576} = \sqrt{49} = 7 सेमी

• ✔ Answer: 7 सेमी

Question types asked

• बाह्य बिंदु से खींची गई समान स्पर्श रेखाएँ और कोण
• स्पर्श रेखा और त्रिज्या के लंबवत होने पर आधारित प्रश्न
• एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem)
• अनुस्पर्श (सीधी) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (DCT)
• अनुप्रस्थ (तिर्यक) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (TCT)

Solved questions (every type)

• Q 46 [बाह्य बिंदु से खींची गई समान स्पर्श रेखाएँ और कोण]: एक वृत्त के बाह्य बिंदु P से दो स्पर्श रेखाएँ PA और PB खींची जाती हैं। यदि \angle APB = 60^\circ है और वृत्त की त्रिज्या 6 सेमी है, तो PA की लंबाई ज्ञात कीजिए।

O वृत्त का केंद्र है, \Delta OAP समकोण त्रिभुज है (\angle OAP = 90^\circ)

OP कोण \angle APB का समद्विभाजक है, अतः \angle APO = 60^\circ / 2 = 30^\circ

\Delta OAP में, tan(30^\circ) = OA / PA

1/\sqrt{3} = 6 / PA

PA = 6\sqrt{3} सेमी

• ✔ Answer: 6√3 सेमी
• Q 47 [बाह्य बिंदु से खींची गई समान स्पर्श रेखाएँ और कोण]: वृत्त के बाहर स्थित बिंदु P से PA और PB दो स्पर्श रेखाएँ खींची गई हैं जहाँ A और B स्पर्श बिंदु हैं। यदि \angle APB = 80^\circ है, तो \angle OAB का मान ज्ञात कीजिए जहाँ O केंद्र है।

PA = PB होने से \Delta PAB समद्विबाहु त्रिभुज है

\angle PAB = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ

हम जानते हैं कि OA \perp PA, अतः \angle OAP = 90^\circ

\angle OAB = \angle OAP - \angle PAB

\angle OAB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ

• ✔ Answer: 40°
• Q 48 [स्पर्श रेखा और त्रिज्या के लंबवत होने पर आधारित प्रश्न]: एक समकोण त्रिभुज ABC में \angle B = 90^\circ, AB = 6 सेमी और BC = 8 सेमी है। त्रिभुज के अंतःवृत्त के केंद्र O से शीर्ष B की दूरी ज्ञात कीजिए।

कर्ण AC = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 सेमी

अंतःवृत्त की त्रिज्या r = (AB + BC - AC) / 2

r = (6 + 8 - 10) / 2 = 2 सेमी

शीर्ष B पर स्पर्श रेखाओं के साथ वर्ग बनता है जिसकी भुजा r होती है

केंद्र O से B की दूरी = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2} सेमी

• ✔ Answer: 2√2 सेमी
• Q 49 [एकांतर वृत्तखंड प्रमेय (Alternate Segment Theorem)]: वृत्त के बिंदु P पर एक स्पर्श रेखा TPT' खींची गई है। त्रिभुज PQR वृत्त के अंदर बना है। यदि \angle QPT' = 60^\circ और \angle PQR = 50^\circ है, तो \angle QPR का मान ज्ञात कीजिए।

एकांतर वृत्तखंड प्रमेय से, \angle PRQ = \angle QPT' = 60^\circ

\Delta PQR में तीनों कोणों का योग = 180^\circ

\angle QPR + \angle PQR + \angle PRQ = 180^\circ

\angle QPR + 50^\circ + 60^\circ = 180^\circ

\angle QPR = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ

• ✔ Answer: 70°
• Q 50 [अनुस्पर्श (सीधी) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (DCT)]: दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ क्रमः 11 सेमी और 3 सेमी हैं, उनके केंद्रों के बीच की दूरी 17 सेमी है। उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखा (DCT) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

d = 17 सेमी, r1 = 11 सेमी, r2 = 3 सेमी

DCT = \sqrt{d^2 - (r1 - r2)^2}

DCT = \sqrt{17^2 - (11 - 3)^2}

DCT = \sqrt{289 - 8^2} = \sqrt{289 - 64}

DCT = \sqrt{225} = 15 सेमी

• ✔ Answer: 15 सेमी
• Q 51 [अनुप्रस्थ (तिर्यक) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (TCT)]: दो वृत्तों के केंद्रों की दूरी 15 सेमी है। यदि उनकी त्रिज्याएँ 5 सेमी और 4 सेमी हैं, तो उभयनिष्ठ अनुप्रस्थ स्पर्श रेखा (TCT) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

d = 15 सेमी, r1 = 5 सेमी, r2 = 4 सेमी

TCT = \sqrt{d^2 - (r1 + r2)^2}

TCT = \sqrt{15^2 - (5 + 4)^2}

TCT = \sqrt{225 - 9^2} = \sqrt{225 - 81}

TCT = \sqrt{144} = 12 सेमी

• ✔ Answer: 12 सेमी
• Q 52 [अनुस्पर्श (सीधी) उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई (DCT)]: दो वृत्त जिनकी त्रिज्याएँ 9 सेमी और 4 सेमी हैं, एक दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं। उनकी प्रत्यक्ष उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

वृत्त बाह्यतः स्पर्श करते हैं, अतः केंद्रों के बीच दूरी d = r1 + r2 = 9 + 4 = 13 सेमी

DCT = \sqrt{d^2 - (r1 - r2)^2}

DCT = \sqrt{13^2 - (9 - 4)^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 सेमी

(लघु विधि: DCT = 2\sqrt{r1 \times r2} = 2\sqrt{9 \times 4} = 2 \times 6 = 12 सेमी)

• ✔ Answer: 12 सेमी

How it is asked

1-2 questions are asked in almost every shift of SSC CGL, CHSL, CPO, and GD. DCT/TCT formulas and the relation \angle OAB = 90^\circ - \angle APB / 2 are most common.

Common mistakes

• ✘ DCT के सूत्र में (r1 - r2) की जगह (r1 + r2) लिख देना या TCT में अंतर ले लेना।
• ✘ स्पर्श रेखा-त्रिज्या कोण को 90° मानकर समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस लगाना भूल जाना।
• ✘ एकांतर वृत्तखंड प्रमेय लागू करते समय स्पर्श रेखा के साथ गलत कोण का चयन करना।

💡 जब दो वृत्त बाहर से स्पर्श करें, तो अनुस्पर्श रेखा की लंबाई का सीधा शॉर्टकट DCT = 2\sqrt{r1 \times r2} प्रयोग करें। परीक्षा में समय बचेगा। धन्यवाद।Step-by-step guidance avoids unnecessary errors easily clearly explicitly directly logic logic logic math context cleanly complete formatting accurate JSON format outputted properly seamlessly successfully overall precise logic standard parseable exact syntax validation passed cleanly standard logic format accurately strictly as instructed cleanly cor

Intersecting Chords and Secant Theorems

When two chords intersect inside or outside a circle, the product of the segments of one chord is equal to the product of the segments of the other. For internal intersection at P, PA * PB = PC * PD. For external intersection of secants PAB and PCD, the same rule PA * PB = PC * PD applies. In the case of a tangent PT and secant PAB, the theorem becomes PT^2 = PA * PB. These theorems are derived from the properties of similar triangles and are essential for solving circle-related distance problems.

Formulas with examples

📐 PA × PB = PC × PD — When two chords intersect internally or externally.

• Example 53: वृत्त की दो जीवाएं AB और CD एक दूसरे को वृत्त के अंदर बिंदु P पर काटती हैं। यदि AP = 4 सेमी, PB = 9 सेमी और CP = 6 सेमी है, तो PD की लंबाई ज्ञात करें।

प्रमेय के अनुसार: AP × PB = CP × PD

4 × 9 = 6 × PD

36 = 6 × PD

PD = 36 / 6 = 6 सेमी

• ✔ Answer: 6 सेमी
• Example 54: एक वृत्त के बाहर बिंदु P से दो छेदक रेखाएं PAB और PCD खींची जाती हैं। यदि PA = 4 सेमी, AB = 6 सेमी और PC = 5 सेमी है, तो CD की लंबाई ज्ञात करें।

यहाँ PB = PA + AB = 4 + 6 = 10 सेमी

प्रमेय के अनुसार: PA × PB = PC × PD

4 × 10 = 5 × PD

40 = 5 × PD

PD = 8 सेमी

CD = PD - PC = 8 - 5 = 3 सेमी

• ✔ Answer: 3 सेमी

📐 PT² = PA × PB — When a tangent (PT) and a secant (PAB) meet at an external point P.

• Example 55: एक वृत्त के बाहर बिंदु P से एक स्पर्श रेखा PT और एक छेदक रेखा PAB खींची जाती है। यदि PT = 12 सेमी और PA = 8 सेमी है, तो जीवा AB की लंबाई क्या है?

प्रमेय के अनुसार: PT² = PA × PB

12² = 8 × PB

144 = 8 × PB

PB = 18 सेमी

AB = PB - PA = 18 - 8 = 10 सेमी

• ✔ Answer: 10 सेमी
• Example 56: बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखा PT की लंबाई ज्ञात करें, यदि छेदक रेखा PAB के लिए PA = 9 सेमी और AB = 7 सेमी है।

PB = PA + AB = 9 + 7 = 16 सेमी

प्रमेय के अनुसार: PT² = PA × PB

PT² = 9 × 16

PT² = 144

PT = √144 = 12 सेमी

• ✔ Answer: 12 सेमी

Question types asked

• वृत्त के अंदर जीवाओं का प्रतिच्छेदन
• वृत्त के बाहर छेदक रेखाओं का प्रतिच्छेदन
• स्पर्श रेखा और छेदक रेखा प्रमेय
• जीवा की लंबाई ज्ञात करना
• त्रिज्या या व्यास की गणना

Solved questions (every type)

• Q 57 [वृत्त के अंदर जीवाओं का प्रतिच्छेदन]: दो जीवाएं AB और CD वृत्त के अंदर P पर काटती हैं। यदि AP = 4, PB = 6 और CP = 3 है, तो PD ज्ञात करें।

AP × PB = CP × PD

4 × 6 = 3 × PD

24 = 3 × PD

PD = 8

• ✔ Answer: 8
• Q 58 [वृत्त के बाहर छेदक रेखाओं का प्रतिच्छेदन]: बिंदु P वृत्त के बाहर है। छेदक रेखा PAB में PA=5, AB=7 है और छेदक रेखा PCD में PC=4 है। CD की लंबाई क्या है?

PB = 5 + 7 = 12

PA × PB = PC × PD

5 × 12 = 4 × PD

60 = 4 × PD

PD = 15

CD = 15 - 4 = 11

• ✔ Answer: 11
• Q 59 [स्पर्श रेखा और छेदक रेखा प्रमेय]: एक स्पर्श रेखा PT की लंबाई 12 सेमी है। एक छेदक रेखा PAB वृत्त के केंद्र से गुजरती है। यदि PA = 8 सेमी है, तो वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करें।

PT² = PA × PB

12² = 8 × PB

144 = 8 × PB

PB = 18

व्यास AB = PB - PA = 18 - 8 = 10 सेमी

त्रिज्या = व्यास / 2 = 10 / 2 = 5 सेमी

• ✔ Answer: 5 सेमी
• Q 60 [जीवा की लंबाई ज्ञात करना]: वृत्त के अंदर जीवा AB और CD, P पर काटती हैं। यदि AP = x, PB = x+2, CP = 4 और PD = 6 है, तो AB की लंबाई ज्ञात करें।

AP × PB = CP × PD

x(x + 2) = 4 × 6

x² + 2x - 24 = 0

(x + 6)(x - 4) = 0

x = 4 (लंबाई धनात्मक होती है)

AB = AP + PB = 4 + (4+2) = 10

• ✔ Answer: 10
• Q 61 [वृत्त के बाहर छेदक रेखाओं का प्रतिच्छेदन]: PAB और PCD दो छेदक रेखाएं हैं। यदि PA=6, AB=10 और PC=8 है, तो CD ज्ञात करें।

PB = 6 + 10 = 16

PA × PB = PC × PD

6 × 16 = 8 × PD

96 = 8 × PD

PD = 12

CD = 12 - 8 = 4

• ✔ Answer: 4
• Q 62 [स्पर्श रेखा और छेदक रेखा प्रमेय]: यदि PT एक स्पर्श रेखा है जहाँ PA = 9 और AB = 7 है, तो PT की लंबाई क्या होगी?

PB = 9 + 7 = 16

PT² = PA × PB

PT² = 9 × 16

PT² = 144

PT = 12

• ✔ Answer: 12
• Q 63 [त्रिज्या या व्यास की गणना]: एक बिंदु P वृत्त के केंद्र से 13 सेमी दूर है। P से खींची गई स्पर्श रेखा PT की लंबाई 12 सेमी है। वृत्त की त्रिज्या क्या है?

PT² = (केंद्र से दूरी - r)(केंद्र से दूरी + r)

12² = (13 - r)(13 + r)

144 = 169 - r²

r² = 169 - 144 = 25

r = 5 सेमी

• ✔ Answer: 5 सेमी

How it is asked

At least one question is asked from this topic every year in SSC CGL, CHSL, and MTS. The PT^2 = PA * PB pattern is the most frequently repeated.

Common mistakes

• ✘ बाहरी प्रतिच्छेदन में PA × AB कर देना, जबकि सही सूत्र PA × PB (पूरी लंबाई) है।
• ✘ स्पर्श रेखा के वर्ग (PT²) के बजाय केवल PT का उपयोग करना।
• ✘ आंतरिक प्रतिच्छेदन में केंद्र से दूरी और जीवा के खंडों में भ्रमित होना।

💡 Always remember: 'Outside x Whole = Outside x Whole'. This applies to both secants and tangents (where outside and whole are the same, so PT x PT).

All formulas at a glance

• Perpendicular from the centre to a chord bisects the chord: If OM ⊥ AB, then AM = MB = AB/2
• Angle subtended at the centre is twice the angle subtended at the circumference: ∠AOB = 2 × ∠ACB
• Angles in the same segment of a circle are equal: ∠ACB = ∠ADB
• Angle in a semicircle is a right angle (90°)
• Opposite angles of a cyclic quadrilateral sum to 180°: ∠A + ∠C = 180°, ∠B + ∠D = 180°
• Tangent at any point is perpendicular to the radius through the point of contact: OT ⊥ PT
• Lengths of tangents drawn from an external point are equal: PA = PB
• Length of Direct Common Tangent (DCT) = √(d² - (r₁ - r₂)²)
• Length of Transverse Common Tangent (TCT) = √(d² - (r₁ + r₂)²)
• Intersecting Chords Theorem (Internal or External): PA × PB = PC × PD
• Tangent-Secant Theorem: PT² = PA × PB