होम › नोट्स › SSC CGL › गणित (Quantitative Aptitude)

SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

त्रिकोणमिति: सरलीकरण और अधिकतम-न्यूनतम मान

Trigonometry: Simplification and Maximum-Minimum Values

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

एसएससी CGL और CHSL की टियर-1 परीक्षा में त्रिकोणमिति से लगभग 2 से 3 प्रश्न और टियर-2 में 3 से 4 प्रश्न पूछे जाते हैं। यह अध्याय अत्यधिक स्कोरिंग है क्योंकि इसमें सीधे सर्वसमिकाएँ और मान रखने की विधि (Value Putting Method) लागू होती है, जिससे कठिन प्रश्न भी 20-30 सेकंड में हल हो जाते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके सरलीकरण

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Identities) वे समीकरण हैं जो कोण के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं। इनका उपयोग जटिल त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाने के लिए किया जाता है। मुख्य रूप से तीन सर्वसमिकाएँ हैं: sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, और 1 + cot²θ = csc²θ। परीक्षा में जब भी आपको वर्गों (squares) का योग या अंतर दिखे, तो समझ जाइये कि यहाँ सर्वसमिकाओं का उपयोग होगा।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 sin²θ + cos²θ = 1 — जब sin और cos के वर्गों का योग दिया हो

sin 65° = cos(90° - 65°) = cos 25° | sin² 25° + cos² 25° | सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर | उत्तर = 1

1 - sin²θ = cos²θ | cos²θ × sec²θ | cos²θ × (1/cos²θ) | उत्तर = 1

📐 sec²θ - tan²θ = 1 — जब sec और tan के वर्गों का अंतर निकालना हो

(a-b)(a+b) = a² - b² का उपयोग करने पर | sec²θ - tan²θ | सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से | उत्तर = 1

1 / cot²θ = tan²θ | sec²θ - tan²θ | सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से | उत्तर = 1

📐 csc²θ - cot²θ = 1 — जब csc और cot के संबंधों को सरल करना हो

1 / tan²θ = cot²θ | csc²θ - cot²θ | सर्वसमिका csc²θ - cot²θ = 1 से | उत्तर = 1

1 + cot²θ = csc²θ | csc²θ × sin²θ | (1/sin²θ) × sin²θ | उत्तर = 1

📐 tanθ = sinθ/cosθ, cotθ = cosθ/sinθ — जब व्यंजक को sin और cos के पदों में बदलना हो

tan θ = sin θ / cos θ | (sin θ / cos θ) × cos θ | cos θ से cos θ कट गया | उत्तर = sin θ

cot θ = cos θ / sin θ | (cos θ / sin θ) × sin θ | sin θ से sin θ कट गया | उत्तर = cos θ

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

1 + cot²θ = csc²θ | cos²θ + 1/csc²θ | 1/csc²θ = sin²θ | cos²θ + sin²θ = 1

(sinθ/cosθ + cosθ/sinθ) sinθ cosθ | [(sin²θ + cos²θ) / (sinθ cosθ)] sinθ cosθ | (1 / (sinθ cosθ)) sinθ cosθ | उत्तर = 1

(sec²θ - tan²θ)(sec²θ + tan²θ) - 2tan²θ | 1(sec²θ + tan²θ) - 2tan²θ | sec²θ + tan²θ - 2tan²θ | sec²θ - tan²θ = 1

√[(1-sinθ)(1-sinθ) / (1+sinθ)(1-sinθ)] | √[(1-sinθ)² / (1-sin²θ)] | √[(1-sinθ)² / cos²θ] | (1-sinθ)/cosθ | 1/cosθ - sinθ/cosθ | secθ - tanθ

(sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3sin²θ cos²θ(sin²θ + cos²θ) | (sin²θ + cos²θ)³ | (1)³ = 1

(1/sin - sin)(1/cos - cos)(sin/cos + cos/sin) | (cos²/sin)(sin²/cos)(1/(sin cos)) | (cos² sin²) / (sin² cos²) | 1

sec²θ / csc²θ | (1/cos²θ) / (1/sin²θ) | sin²θ / cos²θ | tan²θ

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और MTS परीक्षाओं में इस उप-विषय से हर साल 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। यह त्रिकोणमिति का आधार है।

आम गलतियाँ

💡 यदि प्रश्न में केवल sin, cos, tan आदि हों और कोई निश्चित मान न पूछा जाए, तो सभी पदों को sin और cos में बदल लेना सबसे सुरक्षित तरीका है।

त्रिकोणमिति में मान रखकर हल करना (Value Putting Method)

जब त्रिकोणमिति के किसी व्यंजक (expression) का मान पूछा जाए और विकल्प स्वतंत्र संख्या (जैसे 0, 1, 2) या त्रिकोणमितीय अनुपात में हों, तो कोण (Angle) का कोई उपयुक्त मान रखकर प्रश्न को बहुत जल्दी हल किया जा सकता है। सबसे सुरक्षित और आसान मान सामान्यतः 0°, 45° या 30°/60° होते हैं। मान ऐसा चुनना चाहिए जिससे व्यंजक में किसी भी पद के हर (denominator) में शून्य न बने, अर्थात 1/0 (अपरिभाषित या indeterminate form) न आए। यदि विकल्प में भी θ मौजूद हो, तो वही मान विकल्पों में भी रखकर सही विकल्प की पहचान की जाती है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 जब प्रश्न में sin θ और cos θ हों: θ = 0° या θ = 90° रखें। — जब प्रश्न और विकल्पों में केवल sin और cos के पद हों तथा कोई हर (denominator) शून्य न बन रहा हो।

θ = 0° रखने पर:

sin 0° = 0 और cos 0° = 1

व्यंजक = 2(0⁶ + 1⁶) - 3(0⁴ + 1⁴)

= 2(1) - 3(1)

= 2 - 3 = -1

📐 जब प्रश्न में tan θ, cot θ, sec θ, cosec θ हों: θ = 45° रखें। — जब प्रश्न में tan, cot, sec या cosec शामिल हों क्योंकि 45° पर tan 45° = 1 और cot 45° = 1 होता है, जो गणना को सरल बनाता है।

θ = 45° रखने पर:

tan 45° = 1, cot 45° = 1, sec 45° = √2, cosec 45° = √2

पहला पद = (1 + 1 - √2) = (2 - √2)

दूसरा पद = (1 + 1 + √2) = (2 + √2)

गुणनफल = (2 - √2)(2 + √2) = 2² - (√2)²

= 4 - 2 = 2

θ = 45° रखने पर:

sec 45° = √2, tan 45° = 1

पहला कोष्ठक = (√2 + 1 - 1) = √2

दूसरा कोष्ठक = (√2 - 1 + 1) = √2

व्यंजक = (√2)(√2) - 2(1)

= 2 - 2 = 0

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

α = 0° रखने पर:

sin 0° = 0 और cos 0° = 1

व्यंजक = 3(0⁴ + 1⁴) - 2(0⁶ + 1⁶)

= 3(1) - 2(1)

= 3 - 2 = 1

θ = 45° रखने पर:

sin 45° = 1/√2, cosec 45° = √2 ⇒ l = √2 - 1/√2 = 1/√2

cos 45° = 1/√2, sec 45° = √2 ⇒ m = √2 - 1/√2 = 1/√2

l² = 1/2 और m² = 1/2

व्यंजक = (1/2)(1/2)[1/2 + 1/2 + 3]

= (1/4)[1 + 3] = (1/4) × 4 = 1

θ = 90° रखने पर (जिससे हर 0 न बने):

sin 90° = 1, cos 90° = 0

प्रश्न का मान = (1 / (1 + 0)) + ((1 + 0) / 1) = 1 + 1 = 2

विकल्पों की जाँच θ = 90° पर:

(a) 2 sin 90° = 2(1) = 2

(b) 2 cosec 90° = 2(1) = 2

यहाँ दो विकल्प टकरा गए, अतः θ = 30° रखते हैं:

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2

प्रश्न = (1/2)/(1 + √3/2) + (1 + √3/2)/(1/2) = (2 - √3) + (2 + √3) = 4

विकल्प (b): 2 cosec 30° = 2 × 2 = 4 (संतुष्ट)

दिया है: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) = 1

अर्थात A + B = 45°

मान लेते हैं A = 45° और B = 0°:

tan A = tan 45° = 1

tan B = tan 0° = 0

व्यंजक = (1 + 1)(1 + 0)

= 2 × 1 = 2

सुविधा के लिए x = 1, y = 0 रखते हैं:

समीकरण 1: 1·cos θ - 0 = √(1 + 0) = 1 ⇒ cos θ = 1, अतः θ = 0°

θ = 0° रखने पर sin θ = 0

समीकरण 2 में मान रखने पर:

cos² 0° / a² + sin² 0° / b² = 1 / (1² + 0²)

1 / a² + 0 = 1 / 1 ⇒ a² = 1 = x²

इसी प्रकार y के लिए b² = y² संबंध देता है

अतः संबंध: x²/a² + y²/b² = 1

यदि θ = 45° रखें, तो tan² 45° = cot² 45° = 1 (विकल्प c और d टकरा जाएँगे)

अतः θ = 30° रखते हैं:

tan 30° = 1/√3, cot 30° = √3

प्रश्न का मान = (1 + (√3)²) / (1 + (1/√3)²)

= (1 + 3) / (1 + 1/3) = 4 / (4/3) = 3

विकल्पों की जाँच θ = 30° पर:

(c) tan² 30° = (1/√3)² = 1/3

(d) cot² 30° = (√3)² = 3 (संतुष्ट)

θ = 45° रखने पर:

sec 45° = √2, cos 45° = 1/√2 ⇒ sec - cos = 1/√2

cosec 45° = √2, sin 45° = 1/√2 ⇒ cosec - sin = 1/√2

cot 45° = 1, tan 45° = 1 ⇒ cot - tan = 0

व्यंजक = (1/√2)² + (1/√2)² - (0)²

= 1/2 + 1/2 - 0 = 1

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 और Tier-2), CHSL तथा CPO में प्रत्येक पाली में त्रिकोणमिति सरलीकरण के 1-2 प्रश्न सीधे मान रखने की विधि (Value Putting Method) से 15-20 सेकंड में हल किए जा सकते हैं।

आम गलतियाँ

💡 जब भी केवल sin और cos दिखें तो θ = 0° या 90° रखें, और जब tan, cot, sec, cosec दिखें तो सबसे पहले θ = 45° आजमाएँ; बस ध्यान रहे कि हर (denominator) कभी 0 न बने। यदि दो विकल्प समान मान दें, तो तुरंत θ = 30° रखें। SSC प्रश्नों को तेजी से हल करने के लिए यह सबसे अचूक तकनीक है। कम से कम पेन चलाकर सीधे मान मन में रखें। समय की भारी बचत होगी। विकल्पों को हमेशा साथ में चेक करें। गलत विकल्प तुरंत एलिमिनेट हो जाते हैं। हमेशा सतर्क रहें कि 1/0 न बने। अभ्यास से यह तरीका स्वतः सिद्ध हो जाता है। परीक्षा में पूरे

sin A + cos A = k रूप (Identities और Relations)

यह त्रिकोणमिति का एक बेहद महत्वपूर्ण पैटर्न है जहाँ sin और cos का योग (sum) या अंतर (difference) किसी संख्या k के बराबर दिया जाता है। चूँकि sin²θ + cos²θ = 1 होता है, इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग (squaring both sides) करने पर हमें 2sinθ·cosθ का मान सीधे मिल जाता है। इसी अवधारणा का उपयोग करके हम sinθ - cosθ, tanθ + cotθ, या sin³θ + cos³θ का मान आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। परीक्षा में जब भी sinθ और cosθ रैखिक रूप (linear form) में दिखें, तो तुरंत दोनों पक्षों का वर्ग करने या संबंधित सर्वसमिका (identity) लगाने का विचार आना चाहिए।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 (sinθ + cosθ)² + (sinθ - cosθ)² = 2 ⟹ sinθ - cosθ = ±√(2 - k²) — जब sinθ + cosθ = k दिया हो और sinθ - cosθ का मान ज्ञात करना हो (या इसका उल्टा)।

सूत्र: sinθ - cosθ = √(2 - k²)

k² = (17/13)² = 289/169

sinθ - cosθ = √(2 - 289/169)

= √((338 - 289)/169)

= √(49/169) = 7/13

सूत्र: sinθ - cosθ = ±√(2 - k²)

k = √2 रखने पर:

sinθ - cosθ = ±√(2 - (√2)²)

= ±√(2 - 2) = 0

📐 यदि a·sinθ + b·cosθ = c, तो b·sinθ - a·cosθ = ±√(a² + b² - c²) — जब sinθ और cosθ के गुणांक (coefficients) परस्पर बदल जाएं और बीच का चिह्न (+ से - या - से +) हो जाए।

सूत्र: b·sinθ - a·cosθ = ±√(a² + b² - c²)

यहाँ a = 3, b = 4, c = 5

मान = ±√(3² + 4² - 5²)

= ±√(9 + 16 - 25)

= ±√0 = 0

यहाँ a = 5, b = 12, c = 13

मान = ±√(5² + 12² - 13²)

= ±√(25 + 144 - 169)

= ±√0 = 0

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

हम जानते हैं: (sinθ - cosθ)² = 2 - (sinθ + cosθ)²

(sinθ - cosθ)² = 2 - (7/5)²

= 2 - 49/25

= (50 - 49)/25 = 1/25

sinθ - cosθ = √(1/25) = 1/5

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(sinθ + cosθ)² = (√7/2)²

sin²θ + cos²θ + 2sinθ·cosθ = 7/4

1 + 2sinθ·cosθ = 7/4

2sinθ·cosθ = 7/4 - 1 = 3/4

sinθ·cosθ = 3/8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 1 + 2sinθ·cosθ = 16/9

2sinθ·cosθ = 16/9 - 1 = 7/9

sinθ·cosθ = 7/18

tanθ + cotθ = (sin/cos) + (cos/sin) = (sin²θ + cos²θ)/(sinθ·cosθ)

= 1/(sinθ·cosθ) = 1/(7/18) = 18/7

सूत्र: x = √(a² + b² - c²)

यहाँ a = 3, b = 5, c = 5

x = √(3² + 5² - 5²)

x = √(9 + 25 - 25)

x = √9 = 3

माना a·sinθ + b·cosθ = x

दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:

(a·cosθ - b·sinθ)² + (a·sinθ + b·cosθ)² = c² + x²

a²(cos²θ + sin²θ) + b²(sin²θ + cos²θ) = c² + x²

a² + b² = c² + x²

x = ±√(a² + b² - c²)

दोनों पक्षों का वर्ग: 1 + 2sinθ·cosθ = 25/16

sinθ·cosθ = (25/16 - 1)/2 = 9/32

सूत्र: a³ + b³ = (a + b)(1 - ab)

sin³θ + cos³θ = (sinθ + cosθ)(1 - sinθ·cosθ)

= (5/4) × (1 - 9/32)

= (5/4) × (23/32) = 115/128

सूत्र: (sinθ + cosθ)² + (sinθ - cosθ)² = 2

(sinθ + cosθ)² + (1/3)² = 2

(sinθ + cosθ)² + 1/9 = 2

(sinθ + cosθ)² = 2 - 1/9 = 17/9

sinθ + cosθ = √(17/9) = √17/3

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 व Tier-2) और CHSL में इस पैटर्न से हर 2-3 शिफ्ट में 1 प्रश्न निश्चित रूप से पूछा जाता है। मुख्य रूप से गुणांक बदलने (a·sinθ + b·cosθ = c) या tanθ + cotθ निकालने के प्रश्न सबसे ज्यादा आते हैं।

आम गलतियाँ

💡 यदि a·sinθ + b·cosθ = c में a, b, c एक पाइथागोरियन ट्रिपलेट (जैसे 3, 4, 5 या 5, 12, 13) हों, तो sinθ = a/c और cosθ = b/c सीधे मान लें। इससे प्रश्न 2 सेकंड में हल हो जाएगा। टैली करने पर b·sinθ - a·cosθ का मान हमेशा 0 आता है। भाषा-सटीक ट्रिक याद रखें। - Trick: (tanθ + cotθ) = 2/(k² - 1) सीधे लगाएं जब sinθ + cosθ = k हो। - Tip: Check if Pythagorean triplet holds directly on coefficients to save all squaring steps instantly.

त्रिकोणमितीय व्यंजकों का अधिकतम और न्यूनतम मान

त्रिकोणमिति के प्रश्नों में किसी व्यंजक (expression) का सबसे बड़ा (Maximum) या सबसे छोटा (Minimum) मान पूछा जाता है। sin x और cos x का मान सदैव -1 से +1 के बीच रहता है, जबकि sin²x और cos²x का मान 0 से 1 के बीच रहता है। व्यंजक के रूप के आधार पर अलग-अलग सूत्र और नियम लागू होते हैं जैसे a sin x + b cos x के लिए पाइथागोरस त्रिक (Pythagorean triplet) आधारित सूत्र काम करता है। a sin²x + b cos²x में जो गुणांक बड़ा होता है वही अधिकतम मान देता है। व्युत्क्रमी अनुपातों (Reciprocal Ratios) जैसे tan²x + cot²x में AM-GM अवधारणा से न्यूनतम मान 2√(ab) प्राप्त होता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 a sin x ± b cos x + c => Max = c + √(a² + b²), Min = c - √(a² + b²) — जब व्यंजक a sin x + b cos x + c या a sin x - b cos x + c के रूप में हो।

a = 5, b = 12

√(a² + b²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

अधिकतम मान = +√(a² + b²)

अधिकतम मान = 13

a = 7, b = -24, c = -5

√(a² + b²) = √(7² + (-24)²) = √(49 + 576) = √625 = 25

न्यूनतम मान = c - √(a² + b²)

न्यूनतम मान = -5 - 25 = -30

📐 a sin²x + b cos²x => Max = max(a, b), Min = min(a, b) — जब व्यंजक a sin²x + b cos²x के रूप में दिया गया हो।

व्यंजक a sin² x + b cos² x रूप में है।

a = 10, b = 6

अधिकतम मान = max(10, 6) = 10

व्यंजक a sin² θ + b cos² θ रूप में है।

a = 5, b = 12

न्यूनतम मान = min(5, 12) = 5

📐 a tan²x + b cot²x (या a sin²x + b csc²x, a cos²x + b sec²x) => Min = 2√(ab) — जब व्यंजक पारस्परिक अनुपातों (reciprocal ratios) के वर्गों के योग के रूप में हो (a, b > 0)।

a = 4, b = 9

न्यूनतम मान = 2√(a × b)

न्यूनतम मान = 2 × √(4 × 9) = 2 × √36 = 2 × 6 = 12

a = 1, b = 1

न्यूनतम मान = 2√(1 × 1) = 2 × 1 = 2

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

a = 3, b = 4, c = 7

√(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

अधिकतम मान = c + √(a² + b²) = 7 + 5 = 12

न्यूनतम मान = c - √(a² + b²) = 7 - 5 = 2

a = 12, b = -5

√(a² + b²) = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13

न्यूनतम मान = -√(a² + b²)

न्यूनतम मान = -13

व्यंजक a sin² x + b cos² x रूप का है।

यहाँ a = 8 और b = 15

अधिकतम मान = max(8, 15) = 15

न्यूनतम मान = min(8, 15) = 8

व्यंजक a tan² θ + b cot² θ रूप का है, जहाँ a = 9, b = 4

न्यूनतम मान = 2√(ab)

न्यूनतम मान = 2 × √(9 × 4)

न्यूनतम मान = 2 × √36 = 2 × 6 = 12

sin⁴ x · cos⁴ x = (sin x · cos x)⁴

हम जानते हैं: sin x · cos x = (sin 2x) / 2

व्यंजक = (sin 2x / 2)⁴ = (sin⁴ 2x) / 16

sin⁴ 2x का अधिकतम मान 1 होता है।

अधिकतम मान = 1 / 16

sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² - 2 sin² x cos² x

sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - 2 sin² x cos² x

sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - (1/2) (2 sin x cos x)²

sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - (1/2) sin² 2x

न्यूनतम मान के लिए sin² 2x = 1 (अधिकतम मान) रखें।

न्यूनतम मान = 1 - (1/2)(1) = 1 - 1/2 = 1/2

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Pre & Mains), CHSL और CPO में इस उप-विषय से 1 प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछा जाता है। सबसे अधिक 3 sin x + 4 cos x प्रकार और 9 tan²x + 4 cot²x के न्यूनतम मान वाले प्रश्न आते हैं।

आम गलतियाँ

💡 a sin x ± b cos x के लिए सीधे ट्रिपलेट (जैसे 3,4,5 या 5,12,13) पहचानें, √(a²+b²) हल करने की आवश्यकता नहीं होगी। व्युत्क्रम अनुपातों (reciprocal ratios) में हमेशा 2√(ab) का प्रयोग करें।", "tip_en": "For a sin x ± b cos x, directly recognize Pythagorean triplets (like 3,4,5 or 5,12,13) to save time instead of calculating √(a²+b²). For reciprocal terms, always apply 2√(ab)."

डिग्री-रेडियन रूपांतरण और सरल त्रिकोणमितीय समीकरण (0°-90°)

इस उप-विषय में कोणों को डिग्री (Degree) से रेडियन (Radian) और रेडियन से डिग्री में बदलना, तथा 0° से 90° (न्यूनकोण) के बीच त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करके अज्ञात कोण θ का मान निकालना सीखा जाता है। π रेडियन का मान 180° के बराबर होता है, इसलिए डिग्री को रेडियन में बदलने के लिए π/180 से और रेडियन को डिग्री में बदलने के लिए 180/π से गुणा करते हैं। त्रिकोणमितीय समीकरणों में मूल सर्वसमिकाओं (Identities) का प्रयोग करके या द्विघात समीकरण (Quadratic equation) बनाकर sin θ, cos θ या tan θ का मान ज्ञात किया जाता है। परीक्षा में जब '0° < θ < 90°' या 'θ एक न्यूनकोण है' दिया हो, तो विकल्पों से मान रखकर (Hit and Trial) भी कोण सीधे पहचाना जा सकता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 रेडियन = डिग्री × (π / 180°), डिग्री = रेडियन × (180° / π) — जब किसी कोण को डिग्री से रेडियन में या रेडियन से डिग्री में बदलना हो।

रेडियन = डिग्री × (π / 180°)

रेडियन = 150° × (π / 180°)

30 से अंश और हर को काटने पर

रेडियन = 5π / 6

डिग्री = रेडियन × (180° / π)

डिग्री = (7π / 12) × (180° / π)

π से π कट जाएगा

डिग्री = 7 × (180° / 12) = 7 × 15° = 105°

📐 sin²θ + cos²θ = 1 ⇒ cos²θ = 1 - sin²θ या sin²θ = 1 - cos²θ; sec²θ - tan²θ = 1 — जब समीकरण में अलग-अलग त्रिकोणमितीय अनुपात दिए हों और उन्हें एक ही अनुपात (द्विघात समीकरण) में बदलना हो।

sin²θ = 1 - cos²θ रखने पर

2(1 - cos²θ) + 3 cos θ - 3 = 0

2 - 2 cos²θ + 3 cos θ - 3 = 0

2 cos²θ - 3 cos θ + 1 = 0

(2 cos θ - 1)(cos θ - 1) = 0

cos θ = 1/2 (क्योंकि θ < 90°, cos θ ≠ 1)

θ = 60°

sec²θ = 1 + tan²θ रखने पर

3(1 + tan²θ) - tan θ - 7 = 0

3 tan²θ - tan θ - 4 = 0

(3 tan θ - 4)(tan θ + 1) = 0

0° < θ < 90° में tan θ > 0, अतः tan θ = 4/3

θ = tan⁻¹(4/3)

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°

तीसरा कोण = 180° - (45° + 75°) = 180° - 120° = 60°

रेडियन में मान = 60° × (π / 180°)

सरल करने पर = π / 3

डिग्री मान = रेडियन × (180° / π)

डिग्री = (2π / 5) × (180° / π)

π से π कट जाएगा

मान = 2 × 36° = 72°

ल.स. लेने पर: cos θ [(1 + sin θ) + (1 - sin θ)] / (1 - sin²θ) = 4

cos θ [2] / cos²θ = 4

2 / cos θ = 4

cos θ = 2 / 4 = 1/2

0° < θ < 90° के लिए θ = 60°

sin²θ = 1 - cos²θ रखने पर

4 - 2(1 - cos²θ) - 5 cos θ = 0

4 - 2 + 2 cos²θ - 5 cos θ = 0

2 cos²θ - 5 cos θ + 2 = 0

(2 cos θ - 1)(cos θ - 2) = 0

cos θ कभी 2 नहीं हो सकता, अतः 2 cos θ - 1 = 0

cos θ = 1/2

cos²θ = 1 - sin²θ रखने पर: 2 sin θ - 8(1 - sin²θ) + 5 = 0

8 sin²θ + 2 sin θ - 3 = 0

(2 sin θ - 1)(4 sin θ + 3) = 0

चूँकि θ न्यूनकोण है, sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30°

अब 2θ = 60°

tan 60° + cosec 60° = √3 + 2/√3 = (3 + 2)/√3 = 5/√3

मान लीजिए tan θ = x, तो 3x² - 4√3 x + 3 = 0

3x² - 3√3 x - √3 x + 3 = 0

3x(x - √3) - √3(x - √3) = 0 ⇒ (3x - √3)(x - √3) = 0

x = √3 या x = √3/3 = 1/√3

यदि tan θ = √3 ⇒ θ = 60°, sin 60° + cos 60° = √3/2 + 1/2 = (√3 + 1)/2

यदि tan θ = 1/√3 ⇒ θ = 30°, sin 30° + cos 30° = 1/2 + √3/2 = (√3 + 1)/2

sin (A + B) = 1 ⇒ A + B = 90°

cos (A - B) = √3/2 ⇒ A - B = 30°

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2A = 120° ⇒ A = 60°

A का मान रखने पर: 60° + B = 90° ⇒ B = 30°

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और CPO की प्रत्येक पाली में इस उप-विषय से 1 से 2 प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। विशेष रूप से द्विघात समीकरण देकर θ का मान निकालना और फिर किसी व्यंजक का मान पूछना टीयर-1 और टीयर-2 दोनों का सबसे पसंदीदा पैटर्न है।

आम गलतियाँ

💡 जब भी 0° < θ < 90° के लिए समीकरण दिया हो, तो पूरा द्विघात समीकरण हल करने के बजाय मानक मान θ = 30°, 45°, 60° सीधे समीकरण में रखकर जांचें; अधिकांशतः उत्तर 5 सेकंड में मिल जाता है। यदि समीकरण में √3 दिखे तो प्रायः θ = 30° या 60° ही सही उत्तर होता है। रुचि अनुसार ऑप्शन से मान रखना सबसे तेज होता है। (Max 2 sentences). To avoid long factorization, directly substitute standard angles 30°, 45°, 60° into the equation. If √3 appears, test 30° and 60° first to solve within seconds.

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. यदि 2 sin θ - √3 = 0 और 0° ≤ θ ≤ 90° है, तो θ का मान रेडियन में क्या होगा?

  1. (क) π/6
  2. (ख) π/4
  3. (ग) π/3
  4. (घ) π/2
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) π/3

2 sin θ = √3 ⇒ sin θ = √3/2 ⇒ θ = 60°। रेडियन में बदलने पर: 60 × (π/180) = π/3।

2. व्यंजक 3 sin θ + 4 cos θ का अधिकतम मान क्या है?

  1. (क) 7
  2. (ख) 5
  3. (ग) 1
  4. (घ) 25
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 5

a sin θ + b cos θ का अधिकतम मान √(a² + b²) होता है। यहाँ √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5।

3. व्यंजक (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) + (cos²θ + sin²θ) का सरलीकृत मान क्या है?

  1. (क) 1
  2. (ख) 2
  3. (ग) 0
  4. (घ) 4
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 2

(sec²θ - tan²θ) + (cos²θ + sin²θ) = 1 + 1 = 2।

4. व्यंजक (cos θ / (1 - tan θ)) + (sin θ / (1 - cot θ)) किसके बराबर है?

  1. (क) sin θ - cos θ
  2. (ख) cos θ + sin θ
  3. (ग) sec θ cosec θ
  4. (घ) 1
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) cos θ + sin θ

व्यंजक = cos²θ/(cos θ - sin θ) - sin²θ/(cos θ - sin θ) = (cos²θ - sin²θ)/(cos θ - sin θ) = cos θ + sin θ।

5. यदि sin θ + cos θ = 7/5 है, तो sin θ · cos θ का मान क्या होगा?

  1. (क) 12/25
  2. (ख) 24/25
  3. (ग) 7/25
  4. (घ) 6/25
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 12/25

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (sin θ + cos θ)² = 1 + 2 sin θ cos θ = 49/25 ⇒ 2 sin θ cos θ = 24/25 ⇒ sin θ cos θ = 12/25।

6. 4 tan²θ + 9 cot²θ का न्यूनतम मान क्या है?

  1. (क) 13
  2. (ख) 12
  3. (ग) 6
  4. (घ) 36
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 12

a tan²θ + b cot²θ का न्यूनतम मान 2√(ab) होता है। अतः न्यूनतम मान = 2√(4 × 9) = 2 × 6 = 12।

7. यदि 3 sin θ + 5 cos θ = 5 है (जहाँ 0° < θ < 90°), तो 5 sin θ - 3 cos θ का मान क्या होगा?

  1. (क) 4
  2. (ख) 5
  3. (ग) 3
  4. (घ) 1
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 3

सूत्र: यदि a sin θ + b cos θ = c, तो b sin θ - a cos θ = √(a² + b² - c²)। यहाँ मान = √(3² + 5² - 5²) = √9 = 3।

8. व्यंजक (tan θ / (1 - cot θ)) + (cot θ / (1 - tan θ)) का मान क्या है?

  1. (क) 1 - sec θ cosec θ
  2. (ख) 1 + sin θ cos θ
  3. (ग) sec θ cosec θ
  4. (घ) 1 + sec θ cosec θ
उत्तर देखें

उत्तर: (घ) 1 + sec θ cosec θ

tan θ/(1 - 1/tan θ) + (1/tan θ)/(1 - tan θ) = (tan³θ - 1)/(tan θ(tan θ - 1)) = (tan²θ + tan θ + 1)/tan θ = 1 + tan θ + cot θ = 1 + sec θ cosec θ।

9. व्यंजक 16^(sin x) × 8^(cos x) का न्यूनतम मान क्या होगा?

  1. (क) 1/16
  2. (ख) 1/32
  3. (ग) 32
  4. (घ) 1/64
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 1/32

16^(sin x) × 8^(cos x) = 2^(4 sin x + 3 cos x)। 4 sin x + 3 cos x का न्यूनतम मान -√(4² + 3²) = -5 है। अतः न्यूनतम मान = 2^(-5) = 1/32।

10. यदि 2 cos²θ = 3 sin θ है, जहाँ 0° < θ < 90°, तो (sec θ + tan θ)² का मान क्या होगा?

  1. (क) 2
  2. (ख) 4
  3. (ग) 1/3
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (घ) 3

2(1 - sin²θ) = 3 sin θ ⇒ 2 sin²θ + 3 sin θ - 2 = 0 ⇒ (2 sin θ - 1)(sin θ + 2) = 0 ⇒ sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30°। अतः (sec 30° + tan 30°)² = (2/√3 + 1/√3)² = (3/√3)² = (√3)² = 3।

English version — Trigonometry: Simplification and Maximum-Minimum Values

Trigonometry accounts for approximately 2 to 3 questions in SSC CGL/CHSL Tier-1 and 3 to 4 questions in Tier-2. It is one of the most scoring sections because algebraic identities and value-putting techniques allow aspirants to solve questions accurately within 20-30 seconds.

Simplifying expressions with identities

Trigonometric identities are equations that hold true for all values of the angle. They are used to simplify complex trigonometric expressions into simpler forms. The three primary identities are sin²θ + cos²θ = 1, 1 + tan²θ = sec²θ, and 1 + cot²θ = csc²θ. In exams, whenever you see sums or differences of squares of ratios, it is a sign to use these identities.

Formulas with examples

📐 sin²θ + cos²θ = 1 — When the sum of squares of sin and cos is given

sin 65° = cos(90° - 65°) = cos 25° | sin² 25° + cos² 25° | सर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 का उपयोग करने पर | उत्तर = 1

1 - sin²θ = cos²θ | cos²θ × sec²θ | cos²θ × (1/cos²θ) | उत्तर = 1

📐 sec²θ - tan²θ = 1 — When the difference of squares of sec and tan is needed

(a-b)(a+b) = a² - b² का उपयोग करने पर | sec²θ - tan²θ | सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से | उत्तर = 1

1 / cot²θ = tan²θ | sec²θ - tan²θ | सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 से | उत्तर = 1

📐 csc²θ - cot²θ = 1 — When simplifying relations between csc and cot

1 / tan²θ = cot²θ | csc²θ - cot²θ | सर्वसमिका csc²θ - cot²θ = 1 से | उत्तर = 1

1 + cot²θ = csc²θ | csc²θ × sin²θ | (1/sin²θ) × sin²θ | उत्तर = 1

📐 tanθ = sinθ/cosθ, cotθ = cosθ/sinθ — When converting expressions into sin and cos terms

tan θ = sin θ / cos θ | (sin θ / cos θ) × cos θ | cos θ से cos θ कट गया | उत्तर = sin θ

cot θ = cos θ / sin θ | (cos θ / sin θ) × sin θ | sin θ से sin θ कट गया | उत्तर = cos θ

Question types asked

Solved questions (every type)

1 + cot²θ = csc²θ | cos²θ + 1/csc²θ | 1/csc²θ = sin²θ | cos²θ + sin²θ = 1

(sinθ/cosθ + cosθ/sinθ) sinθ cosθ | [(sin²θ + cos²θ) / (sinθ cosθ)] sinθ cosθ | (1 / (sinθ cosθ)) sinθ cosθ | उत्तर = 1

(sec²θ - tan²θ)(sec²θ + tan²θ) - 2tan²θ | 1(sec²θ + tan²θ) - 2tan²θ | sec²θ + tan²θ - 2tan²θ | sec²θ - tan²θ = 1

√[(1-sinθ)(1-sinθ) / (1+sinθ)(1-sinθ)] | √[(1-sinθ)² / (1-sin²θ)] | √[(1-sinθ)² / cos²θ] | (1-sinθ)/cosθ | 1/cosθ - sinθ/cosθ | secθ - tanθ

(sin²θ)³ + (cos²θ)³ + 3sin²θ cos²θ(sin²θ + cos²θ) | (sin²θ + cos²θ)³ | (1)³ = 1

(1/sin - sin)(1/cos - cos)(sin/cos + cos/sin) | (cos²/sin)(sin²/cos)(1/(sin cos)) | (cos² sin²) / (sin² cos²) | 1

sec²θ / csc²θ | (1/cos²θ) / (1/sin²θ) | sin²θ / cos²θ | tan²θ

How it is asked

1-2 questions are asked in every shift of SSC CGL, CHSL, and MTS. This is the foundation of trigonometry.

Common mistakes

💡 If you are stuck, convert all trigonometric ratios into sin and cos terms to simplify the expression easily.

Value Putting Method in Trigonometry

When a trigonometric expression needs to be simplified and the options are numeric or trigonometric functions independent of specific conditions, we can substitute specific values like 0°, 30°, 45°, 60°, or 90° for the angles. The most critical rule is to avoid values that result in an undefined form (division by zero, like 1/0 or tan 90°). If options contain trigonometric functions of the angle, substitute the same angle into the options to match the evaluated result.

Formulas with examples

📐 जब प्रश्न में sin θ और cos θ हों: θ = 0° या θ = 90° रखें। — When expressions and options involve only sine and cosine functions without creating zero in the denominator.

θ = 0° रखने पर:

sin 0° = 0 और cos 0° = 1

व्यंजक = 2(0⁶ + 1⁶) - 3(0⁴ + 1⁴)

= 2(1) - 3(1)

= 2 - 3 = -1

📐 जब प्रश्न में tan θ, cot θ, sec θ, cosec θ हों: θ = 45° रखें। — When tan, cot, sec, or cosec are present, θ = 45° simplifies calculation as tan 45° = cot 45° = 1.

θ = 45° रखने पर:

tan 45° = 1, cot 45° = 1, sec 45° = √2, cosec 45° = √2

पहला पद = (1 + 1 - √2) = (2 - √2)

दूसरा पद = (1 + 1 + √2) = (2 + √2)

गुणनफल = (2 - √2)(2 + √2) = 2² - (√2)²

= 4 - 2 = 2

θ = 45° रखने पर:

sec 45° = √2, tan 45° = 1

पहला कोष्ठक = (√2 + 1 - 1) = √2

दूसरा कोष्ठक = (√2 - 1 + 1) = √2

व्यंजक = (√2)(√2) - 2(1)

= 2 - 2 = 0

Question types asked

Solved questions (every type)

α = 0° रखने पर:

sin 0° = 0 और cos 0° = 1

व्यंजक = 3(0⁴ + 1⁴) - 2(0⁶ + 1⁶)

= 3(1) - 2(1)

= 3 - 2 = 1

θ = 45° रखने पर:

sin 45° = 1/√2, cosec 45° = √2 ⇒ l = √2 - 1/√2 = 1/√2

cos 45° = 1/√2, sec 45° = √2 ⇒ m = √2 - 1/√2 = 1/√2

l² = 1/2 और m² = 1/2

व्यंजक = (1/2)(1/2)[1/2 + 1/2 + 3]

= (1/4)[1 + 3] = (1/4) × 4 = 1

θ = 90° रखने पर (जिससे हर 0 न बने):

sin 90° = 1, cos 90° = 0

प्रश्न का मान = (1 / (1 + 0)) + ((1 + 0) / 1) = 1 + 1 = 2

विकल्पों की जाँच θ = 90° पर:

(a) 2 sin 90° = 2(1) = 2

(b) 2 cosec 90° = 2(1) = 2

यहाँ दो विकल्प टकरा गए, अतः θ = 30° रखते हैं:

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2

प्रश्न = (1/2)/(1 + √3/2) + (1 + √3/2)/(1/2) = (2 - √3) + (2 + √3) = 4

विकल्प (b): 2 cosec 30° = 2 × 2 = 4 (संतुष्ट)

दिया है: tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B) = 1

अर्थात A + B = 45°

मान लेते हैं A = 45° और B = 0°:

tan A = tan 45° = 1

tan B = tan 0° = 0

व्यंजक = (1 + 1)(1 + 0)

= 2 × 1 = 2

सुविधा के लिए x = 1, y = 0 रखते हैं:

समीकरण 1: 1·cos θ - 0 = √(1 + 0) = 1 ⇒ cos θ = 1, अतः θ = 0°

θ = 0° रखने पर sin θ = 0

समीकरण 2 में मान रखने पर:

cos² 0° / a² + sin² 0° / b² = 1 / (1² + 0²)

1 / a² + 0 = 1 / 1 ⇒ a² = 1 = x²

इसी प्रकार y के लिए b² = y² संबंध देता है

अतः संबंध: x²/a² + y²/b² = 1

यदि θ = 45° रखें, तो tan² 45° = cot² 45° = 1 (विकल्प c और d टकरा जाएँगे)

अतः θ = 30° रखते हैं:

tan 30° = 1/√3, cot 30° = √3

प्रश्न का मान = (1 + (√3)²) / (1 + (1/√3)²)

= (1 + 3) / (1 + 1/3) = 4 / (4/3) = 3

विकल्पों की जाँच θ = 30° पर:

(c) tan² 30° = (1/√3)² = 1/3

(d) cot² 30° = (√3)² = 3 (संतुष्ट)

θ = 45° रखने पर:

sec 45° = √2, cos 45° = 1/√2 ⇒ sec - cos = 1/√2

cosec 45° = √2, sin 45° = 1/√2 ⇒ cosec - sin = 1/√2

cot 45° = 1, tan 45° = 1 ⇒ cot - tan = 0

व्यंजक = (1/√2)² + (1/√2)² - (0)²

= 1/2 + 1/2 - 0 = 1

How it is asked

In SSC CGL, CHSL, and CPO, 1-2 simplification questions appear per shift that can be solved in 15-20 seconds directly using the value putting technique.

Common mistakes

💡 जब भी केवल sin और cos दिखें तो θ = 0° या 90° रखें, और जब tan, cot, sec, cosec दिखें तो सबसे पहले θ = 45° आजमाएँ; बस ध्यान रहे कि हर (denominator) कभी 0 न बने। यदि दो विकल्प समान मान दें, तो तुरंत θ = 30° रखें। SSC प्रश्नों को तेजी से हल करने के लिए यह सबसे अचूक तकनीक है। कम से कम पेन चलाकर सीधे मान मन में रखें। समय की भारी बचत होगी। विकल्पों को हमेशा साथ में चेक करें। गलत विकल्प तुरंत एलिमिनेट हो जाते हैं। हमेशा सतर्क रहें कि 1/0 न बने। अभ्यास से यह तरीका स्वतः सिद्ध हो जाता है। परीक्षा में पूरे

sin A + cos A = k Type

This is a standard trigonometry pattern where the sum or difference of sin and cos equals a constant k. Because sin²θ + cos²θ = 1, squaring both sides immediately yields the product 2sinθ·cosθ. Using this foundation, we can compute sinθ - cosθ, higher powers like sin³θ + cos³θ, and reciprocating forms like tanθ + cotθ. Whenever an algebraic linear sum of sine and cosine is given in exams, squaring or using standard conjugate coefficient identities is the quickest approach.

Formulas with examples

📐 (sinθ + cosθ)² + (sinθ - cosθ)² = 2 ⟹ sinθ - cosθ = ±√(2 - k²) — Used when sinθ + cosθ = k is given and you need to find sinθ - cosθ (or vice versa).

सूत्र: sinθ - cosθ = √(2 - k²)

k² = (17/13)² = 289/169

sinθ - cosθ = √(2 - 289/169)

= √((338 - 289)/169)

= √(49/169) = 7/13

सूत्र: sinθ - cosθ = ±√(2 - k²)

k = √2 रखने पर:

sinθ - cosθ = ±√(2 - (√2)²)

= ±√(2 - 2) = 0

📐 यदि a·sinθ + b·cosθ = c, तो b·sinθ - a·cosθ = ±√(a² + b² - c²) — Used when coefficients of sinθ and cosθ swap places and the sign between them flips.

सूत्र: b·sinθ - a·cosθ = ±√(a² + b² - c²)

यहाँ a = 3, b = 4, c = 5

मान = ±√(3² + 4² - 5²)

= ±√(9 + 16 - 25)

= ±√0 = 0

यहाँ a = 5, b = 12, c = 13

मान = ±√(5² + 12² - 13²)

= ±√(25 + 144 - 169)

= ±√0 = 0

Question types asked

Solved questions (every type)

हम जानते हैं: (sinθ - cosθ)² = 2 - (sinθ + cosθ)²

(sinθ - cosθ)² = 2 - (7/5)²

= 2 - 49/25

= (50 - 49)/25 = 1/25

sinθ - cosθ = √(1/25) = 1/5

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:

(sinθ + cosθ)² = (√7/2)²

sin²θ + cos²θ + 2sinθ·cosθ = 7/4

1 + 2sinθ·cosθ = 7/4

2sinθ·cosθ = 7/4 - 1 = 3/4

sinθ·cosθ = 3/8

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: 1 + 2sinθ·cosθ = 16/9

2sinθ·cosθ = 16/9 - 1 = 7/9

sinθ·cosθ = 7/18

tanθ + cotθ = (sin/cos) + (cos/sin) = (sin²θ + cos²θ)/(sinθ·cosθ)

= 1/(sinθ·cosθ) = 1/(7/18) = 18/7

सूत्र: x = √(a² + b² - c²)

यहाँ a = 3, b = 5, c = 5

x = √(3² + 5² - 5²)

x = √(9 + 25 - 25)

x = √9 = 3

माना a·sinθ + b·cosθ = x

दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:

(a·cosθ - b·sinθ)² + (a·sinθ + b·cosθ)² = c² + x²

a²(cos²θ + sin²θ) + b²(sin²θ + cos²θ) = c² + x²

a² + b² = c² + x²

x = ±√(a² + b² - c²)

दोनों पक्षों का वर्ग: 1 + 2sinθ·cosθ = 25/16

sinθ·cosθ = (25/16 - 1)/2 = 9/32

सूत्र: a³ + b³ = (a + b)(1 - ab)

sin³θ + cos³θ = (sinθ + cosθ)(1 - sinθ·cosθ)

= (5/4) × (1 - 9/32)

= (5/4) × (23/32) = 115/128

सूत्र: (sinθ + cosθ)² + (sinθ - cosθ)² = 2

(sinθ + cosθ)² + (1/3)² = 2

(sinθ + cosθ)² + 1/9 = 2

(sinθ + cosθ)² = 2 - 1/9 = 17/9

sinθ + cosθ = √(17/9) = √17/3

How it is asked

In SSC CGL (Tier-1 and Tier-2) and CHSL, 1 question appears every 2-3 shifts on this pattern. Most frequent types are swapping coefficients (a·sinθ + b·cosθ = c) and deriving tanθ + cotθ.

Common mistakes

💡 यदि a·sinθ + b·cosθ = c में a, b, c एक पाइथागोरियन ट्रिपलेट (जैसे 3, 4, 5 या 5, 12, 13) हों, तो sinθ = a/c और cosθ = b/c सीधे मान लें। इससे प्रश्न 2 सेकंड में हल हो जाएगा। टैली करने पर b·sinθ - a·cosθ का मान हमेशा 0 आता है। भाषा-सटीक ट्रिक याद रखें। - Trick: (tanθ + cotθ) = 2/(k² - 1) सीधे लगाएं जब sinθ + cosθ = k हो। - Tip: Check if Pythagorean triplet holds directly on coefficients to save all squaring steps instantly.

Maximum and Minimum Values of Trigonometric Expressions

Maximum and minimum value problems ask for the extreme values a trigonometric expression can take. Since sin x and cos x range from -1 to +1, and sin²x and cos²x range from 0 to 1, specific rules apply based on the form. For a sin x + b cos x, the range is determined by √(a² + b²). For a sin²x + b cos²x, the maximum is simply the larger coefficient. For reciprocal pairs like a tan²x + b cot²x, the minimum value is derived using the AM-GM inequality as 2√(ab).

Formulas with examples

📐 a sin x ± b cos x + c => Max = c + √(a² + b²), Min = c - √(a² + b²) — When expression is in the form a sin x + b cos x + c or a sin x - b cos x + c.

a = 5, b = 12

√(a² + b²) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

अधिकतम मान = +√(a² + b²)

अधिकतम मान = 13

a = 7, b = -24, c = -5

√(a² + b²) = √(7² + (-24)²) = √(49 + 576) = √625 = 25

न्यूनतम मान = c - √(a² + b²)

न्यूनतम मान = -5 - 25 = -30

📐 a sin²x + b cos²x => Max = max(a, b), Min = min(a, b) — When expression is given in the form a sin²x + b cos²x.

व्यंजक a sin² x + b cos² x रूप में है।

a = 10, b = 6

अधिकतम मान = max(10, 6) = 10

व्यंजक a sin² θ + b cos² θ रूप में है।

a = 5, b = 12

न्यूनतम मान = min(5, 12) = 5

📐 a tan²x + b cot²x (या a sin²x + b csc²x, a cos²x + b sec²x) => Min = 2√(ab) — When expression is a sum of squares of reciprocal ratios like a tan²x + b cot²x where a, b > 0.

a = 4, b = 9

न्यूनतम मान = 2√(a × b)

न्यूनतम मान = 2 × √(4 × 9) = 2 × √36 = 2 × 6 = 12

a = 1, b = 1

न्यूनतम मान = 2√(1 × 1) = 2 × 1 = 2

Question types asked

Solved questions (every type)

a = 3, b = 4, c = 7

√(a² + b²) = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

अधिकतम मान = c + √(a² + b²) = 7 + 5 = 12

न्यूनतम मान = c - √(a² + b²) = 7 - 5 = 2

a = 12, b = -5

√(a² + b²) = √(12² + (-5)²) = √(144 + 25) = √169 = 13

न्यूनतम मान = -√(a² + b²)

न्यूनतम मान = -13

व्यंजक a sin² x + b cos² x रूप का है।

यहाँ a = 8 और b = 15

अधिकतम मान = max(8, 15) = 15

न्यूनतम मान = min(8, 15) = 8

व्यंजक a tan² θ + b cot² θ रूप का है, जहाँ a = 9, b = 4

न्यूनतम मान = 2√(ab)

न्यूनतम मान = 2 × √(9 × 4)

न्यूनतम मान = 2 × √36 = 2 × 6 = 12

sin⁴ x · cos⁴ x = (sin x · cos x)⁴

हम जानते हैं: sin x · cos x = (sin 2x) / 2

व्यंजक = (sin 2x / 2)⁴ = (sin⁴ 2x) / 16

sin⁴ 2x का अधिकतम मान 1 होता है।

अधिकतम मान = 1 / 16

sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² - 2 sin² x cos² x

sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - 2 sin² x cos² x

sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - (1/2) (2 sin x cos x)²

sin⁴ x + cos⁴ x = 1 - (1/2) sin² 2x

न्यूनतम मान के लिए sin² 2x = 1 (अधिकतम मान) रखें।

न्यूनतम मान = 1 - (1/2)(1) = 1 - 1/2 = 1/2

How it is asked

In SSC CGL (Pre & Mains), CHSL, and CPO, 1 question from this sub-topic appears in almost every shift. Questions based on 3 sin x + 4 cos x and minimum value of 9 tan²x + 4 cot²x are most frequent.

Common mistakes

💡 a sin x ± b cos x के लिए सीधे ट्रिपलेट (जैसे 3,4,5 या 5,12,13) पहचानें, √(a²+b²) हल करने की आवश्यकता नहीं होगी। व्युत्क्रम अनुपातों (reciprocal ratios) में हमेशा 2√(ab) का प्रयोग करें।", "tip_en": "For a sin x ± b cos x, directly recognize Pythagorean triplets (like 3,4,5 or 5,12,13) to save time instead of calculating √(a²+b²). For reciprocal terms, always apply 2√(ab)."

Degree-Radian Conversion and Simple Trigonometric Equations (0°-90°)

This sub-topic covers converting angles between degrees and radians and solving basic trigonometric equations where θ lies strictly in the first quadrant (0° to 90°). Since π radians equals 180°, we multiply by π/180 to convert degrees to radians and by 180/π for radians to degrees. Trigonometric equations are solved either by reducing to a single trigonometric ratio (often leading to a quadratic equation) or by direct value-inspection/options testing. Recognizing standard ratio values (0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1) enables rapid identification of the angle θ.

Formulas with examples

📐 रेडियन = डिग्री × (π / 180°), डिग्री = रेडियन × (180° / π) — Used to convert angle measures between degrees and radians.

रेडियन = डिग्री × (π / 180°)

रेडियन = 150° × (π / 180°)

30 से अंश और हर को काटने पर

रेडियन = 5π / 6

डिग्री = रेडियन × (180° / π)

डिग्री = (7π / 12) × (180° / π)

π से π कट जाएगा

डिग्री = 7 × (180° / 12) = 7 × 15° = 105°

📐 sin²θ + cos²θ = 1 ⇒ cos²θ = 1 - sin²θ या sin²θ = 1 - cos²θ; sec²θ - tan²θ = 1 — Used to transform mixed trigonometric equations into a single ratio quadratic form.

sin²θ = 1 - cos²θ रखने पर

2(1 - cos²θ) + 3 cos θ - 3 = 0

2 - 2 cos²θ + 3 cos θ - 3 = 0

2 cos²θ - 3 cos θ + 1 = 0

(2 cos θ - 1)(cos θ - 1) = 0

cos θ = 1/2 (क्योंकि θ < 90°, cos θ ≠ 1)

θ = 60°

sec²θ = 1 + tan²θ रखने पर

3(1 + tan²θ) - tan θ - 7 = 0

3 tan²θ - tan θ - 4 = 0

(3 tan θ - 4)(tan θ + 1) = 0

0° < θ < 90° में tan θ > 0, अतः tan θ = 4/3

θ = tan⁻¹(4/3)

Question types asked

Solved questions (every type)

त्रिभुज के तीनों कोणों का योग = 180°

तीसरा कोण = 180° - (45° + 75°) = 180° - 120° = 60°

रेडियन में मान = 60° × (π / 180°)

सरल करने पर = π / 3

डिग्री मान = रेडियन × (180° / π)

डिग्री = (2π / 5) × (180° / π)

π से π कट जाएगा

मान = 2 × 36° = 72°

ल.स. लेने पर: cos θ [(1 + sin θ) + (1 - sin θ)] / (1 - sin²θ) = 4

cos θ [2] / cos²θ = 4

2 / cos θ = 4

cos θ = 2 / 4 = 1/2

0° < θ < 90° के लिए θ = 60°

sin²θ = 1 - cos²θ रखने पर

4 - 2(1 - cos²θ) - 5 cos θ = 0

4 - 2 + 2 cos²θ - 5 cos θ = 0

2 cos²θ - 5 cos θ + 2 = 0

(2 cos θ - 1)(cos θ - 2) = 0

cos θ कभी 2 नहीं हो सकता, अतः 2 cos θ - 1 = 0

cos θ = 1/2

cos²θ = 1 - sin²θ रखने पर: 2 sin θ - 8(1 - sin²θ) + 5 = 0

8 sin²θ + 2 sin θ - 3 = 0

(2 sin θ - 1)(4 sin θ + 3) = 0

चूँकि θ न्यूनकोण है, sin θ = 1/2 ⇒ θ = 30°

अब 2θ = 60°

tan 60° + cosec 60° = √3 + 2/√3 = (3 + 2)/√3 = 5/√3

मान लीजिए tan θ = x, तो 3x² - 4√3 x + 3 = 0

3x² - 3√3 x - √3 x + 3 = 0

3x(x - √3) - √3(x - √3) = 0 ⇒ (3x - √3)(x - √3) = 0

x = √3 या x = √3/3 = 1/√3

यदि tan θ = √3 ⇒ θ = 60°, sin 60° + cos 60° = √3/2 + 1/2 = (√3 + 1)/2

यदि tan θ = 1/√3 ⇒ θ = 30°, sin 30° + cos 30° = 1/2 + √3/2 = (√3 + 1)/2

sin (A + B) = 1 ⇒ A + B = 90°

cos (A - B) = √3/2 ⇒ A - B = 30°

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 2A = 120° ⇒ A = 60°

A का मान रखने पर: 60° + B = 90° ⇒ B = 30°

How it is asked

Asked in nearly every shift of SSC CGL, CHSL, and CPO (1-2 questions per shift). The most common pattern involves a quadratic in sin θ or cos θ, where finding θ leads to evaluating another expression in Tier-1 and Tier-2.

Common mistakes

💡 जब भी 0° < θ < 90° के लिए समीकरण दिया हो, तो पूरा द्विघात समीकरण हल करने के बजाय मानक मान θ = 30°, 45°, 60° सीधे समीकरण में रखकर जांचें; अधिकांशतः उत्तर 5 सेकंड में मिल जाता है। यदि समीकरण में √3 दिखे तो प्रायः θ = 30° या 60° ही सही उत्तर होता है। रुचि अनुसार ऑप्शन से मान रखना सबसे तेज होता है। (Max 2 sentences). To avoid long factorization, directly substitute standard angles 30°, 45°, 60° into the equation. If √3 appears, test 30° and 60° first to solve within seconds.

All formulas at a glance

← त्रिकोणमिति: अनुपात और मान