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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

त्रिकोणमिति: अनुपात और मान

Trigonometric Ratios and Values

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

SSC CGL, CHSL और CPO की Tier-1 तथा Tier-2 परीक्षाओं में त्रिकोणमिति से 2 से 4 प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं। यह अध्याय सीधे सूत्रों और कोणों के मान पर आधारित होता है, जिससे सही अभ्यास के बाद इसमें पूरे अंक प्राप्त करना बहुत आसान हो जाता है।

समकोण त्रिभुज के त्रिकोणमितीय अनुपात

समकोण त्रिभुज (Right Triangle) में तीन भुजाएँ होती हैं: लम्ब (Perpendicular), आधार (Base) और कर्ण (Hypotenuse)। इन भुजाओं के अनुपातों को त्रिकोणमितीय अनुपात (Trigonometric Ratios) कहते हैं, जैसे sin, cos, tan, cot, sec और cosec। यदि इनमें से कोई एक अनुपात दिया हो, तो पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras Theorem) की मदद से तीनों भुजाएँ ज्ञात की जा सकती हैं। इसके बाद किसी भी अन्य अनुपात या व्यंजक (expression) का मान आसानी से निकाला जा सकता है। परीक्षा में इस तरह के प्रश्नों को हल करने के लिए पाइथागोरस ट्रिपलेट बहुत उपयोगी सिद्ध होते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B, cosec θ = H/P, sec θ = H/B, cot θ = B/P — जब किसी त्रिभुज की भुजाओं (लम्ब P, आधार B, कर्ण H) के आधार पर त्रिकोणमितीय अनुपात ज्ञात करने हों।

आधार (B) = √(H² - P²)

B = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4

cos θ = B/H = 4/5

tan θ = P/B = 3/4

sec θ = H/B = 13/12 => H = 13, B = 12

लम्ब (P) = √(H² - B²)

P = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5

sin θ = P/H = 5/13

📐 पाइथागोरस प्रमेय: H² = P² + B² (कर्ण² = लम्ब² + आधार²) — जब समकोण त्रिभुज की कोई दो भुजाएँ दी हों और तीसरी भुजा ज्ञात करनी हो।

कर्ण (H) = √(P² + B²)

H = √(15² + 8²)

H = √(225 + 64)

H = √289 = 17 सेमी

लम्ब (P) = √(H² - B²)

P = √(25² - 24²)

P = √(625 - 576)

P = √49 = 7 सेमी

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

sin θ = P/H = 3/5 => P = 3, H = 5

B = √(5² - 3²) = 4

tan θ = 3/4, cos θ = 4/5, sec θ = 5/4, cot θ = 4/3

अंश = 4 × (3/4) - 5 × (4/5) = 3 - 4 = -1

हर = 5/4 + 4/3 = (15 + 16)/12 = 31/12

मान = -1 / (31/12) = -12/31

tan θ = P/B = 5/12 => P = 5, B = 12

कर्ण (H) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

sin θ = P/H = 5/13

cos θ = B/H = 12/13

sin θ + cos θ = 5/13 + 12/13 = 17/13

माना BC = x सेमी, तो AC = (x + 1) सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से: AC² = AB² + BC²

(x + 1)² = 7² + x²

x² + 2x + 1 = 49 + x²

2x = 48 => x = 24 सेमी (BC = 24, AC = 25)

कोण A के लिए: P = BC = 24, B = AB = 7, H = AC = 25

sec A = 25/7, tan A = 24/7

sec A + tan A = 25/7 + 24/7 = 49/7 = 7

sin θ = P/H => P = a, H = √(a² + b²)

आधार (B) = √(H² - P²)

B = √[(a² + b²) - a²] = √(b²) = b

tan θ = P/B = a/b

AC = √(AB² + BC²) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 सेमी

कोण A के लिए: P = BC = 15, B = AB = 8, H = 17

sin A = 15/17, cos A = 8/17

कोण C के लिए: P = AB = 8, B = BC = 15, H = 17

sin C = 8/17, cos C = 15/17

व्यंजक = (15/17 × 15/17) + (8/17 × 8/17) = 225/289 + 64/289 = 289/289 = 1

cot A = 8/15 = B/P => B = 8, P = 15

कर्ण (H) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17

sin A = P/H = 15/17

sec A = H/B = 17/8

cos θ = 0.6 = 6/10 = 3/5 = B/H => B = 3, H = 5

लम्ब (P) = √(5² - 3²) = 4

sin θ = P/H = 4/5, tan θ = P/B = 4/3

5 sin θ - 3 tan θ = 5 × (4/5) - 3 × (4/3) = 4 - 4 = 0

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और CPO की प्रारम्भिक परीक्षाओं में इस उप-विषय से 1-2 प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं। यह त्रिकोणमिति का मूल आधार है।

आम गलतियाँ

💡 पाइथागोरस ट्रिपलेट्स (जैसे 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41) को जुबानी याद रखें, इससे तीसरी भुजा निकालने में समय बचता है। माना sin θ = 3/5 है तो सीधे P=3, H=5, B=4 प्रयोग करें। Boundary values का ध्यान रखें। Shortcut formula भी प्रयोग कर सकते हैं। Keep calculating for high speed operations under pressure inside the hall during test runs.

त्रिकोणमितीय कोणों के मान (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)

इस उप-विषय में मानक कोणों (0°, 30°, 45°, 60° तथा 90°) के त्रिकोणमितीय मानों का उपयोग करके व्यंजकों का मान ज्ञात किया जाता है। sin के मानों को याद रखने की ट्रिक √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4) है, जिससे क्रमशः 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1 प्राप्त होते हैं। cos के मान sin के मानों का विपरीत क्रम (reverse order) होते हैं। परीक्षाओं में सीधे इन मानों को रखकर सरलीकरण (simplification) करने या अज्ञात कोण θ का मान निकालने के प्रश्न पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Standard Table Values: sin(0°,30°,45°,60°,90°) = (0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1) & cos(0°,30°,45°,60°,90°) = (1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0) — जब प्रश्न में sin या cos के विशिष्ट कोण दिए हों और सीधे मान रखना हो।

sin 30° = 1/2

cos 60° = 1/2

tan 45° = 1

मान रखने पर = 1/2 + 1/2 - 1

= 1 - 1 = 0

sin 45° = 1/√2

cos 45° = 1/√2

व्यंजक = 2 × (1/√2) × (1/√2)

= 2 × (1/2) = 1

📐 tan θ = sin θ / cos θ, sec θ = 1 / cos θ, cosec θ = 1 / sin θ, cot θ = 1 / tan θ — जब tan, cot, sec या cosec के मानों को sin और cos के मानों से ज्ञात करना हो।

sec 45° = √2

tan 45° = 1

sec² 45° = (√2)² = 2

tan² 45° = 1² = 1

मान रखने पर = 2 - 1 = 1

cosec 30° = 2

cot 45° = 1

sec 60° = 2

व्यंजक = (2 + 1) / 2 = 3/2

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2

sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2

मान रखने पर = (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)

= 3/4 + 1/4

= (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1

tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2

tan² 45° = 1² = 1

cos² 30° = (√3/2)² = 3/4

sin² 60° = (√3/2)² = 3/4

मान रखने पर = 2(1) + 3/4 - 3/4 = 2

2 sin 2θ = √3

sin 2θ = √3/2

हम जानते हैं कि sin 60° = √3/2

इसलिए 2θ = 60°

θ = 60° / 2 = 30°

cos 60° = 1/2, sec 30° = 2/√3, tan 45° = 1

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2

अंश = 5(1/4) + 4(4/3) - 1 = 5/4 + 16/3 - 1

अंश का LCM(4, 3) = 12 => (15 + 64 - 12) / 12 = 67/12

हर = (1/4) + (3/4) = 4/4 = 1

मान = (67/12) / 1 = 67/12

tan (A + B) = √3 => A + B = 60° --- (i)

tan (A - B) = 1/√3 => A - B = 30° --- (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:

2A = 90° => A = 45°

sin (i) में A का मान रखने पर:

45° + B = 60° => B = 15°

tan 60° = √3, tan 30° = 1/√3

अंश = √3 - 1/√3 = (3 - 1)/√3 = 2/√3

हर = 1 + (√3 × 1/√3) = 1 + 1 = 2

व्यंजक = (2/√3) / 2 = 1/√3

3 sec² θ - 4 = 0

3 sec² θ = 4

sec² θ = 4/3

sec θ = √(4/3) = 2/√3

हम जानते हैं कि sec 30° = 2/√3

इसलिए θ = 30°

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, CPO और Railway परीक्षाओं में इस उप-विषय से 1 से 2 प्रश्न लगभग हर पाली (shift) में सीधे मान रखकर हल करने के लिए पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

💡 केवल sin के 5 मान (0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1) याद रखें; cos इसका उल्टा होता है और tan = sin/cos करके बाकी सभी मान 5 सेकंड में मन ही मन निकाले जा सकते हैं। clearing fractional denominators fast saving calculation time in exam environment context is key speed factor here too fast fraction addition rules help greatly here too fast calculation speeds up exam timing overall significantly context wise key performance indicator for maths section overall context effectively written correctly always everywhe

पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

जब दो कोणों का योग 90° होता है, तो उन्हें पूरक कोण (Complementary Angles) कहते हैं। समकोण त्रिभुज में, यदि एक कोण θ है, तो दूसरा 90°-θ होता है। इसी संबंध के कारण sin और cos, tan और cot, तथा sec और cosec एक-दूसरे में बदल जाते हैं। परीक्षा में जब कोणों का योग 90° दिखे (जैसे 23° और 67°), तो समझ जाइये कि यही नियम लगेगा।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 sin(90° - θ) = cos θ, cos(90° - θ) = sin θ — जब sin और cos के कोणों का योग 90° हो।

cos 53° = cos(90° - 37°) = sin 37°\nव्यंजक = sin 37° / sin 37°\nमान = 1

sin 65° = sin(90° - 25°) = cos 25°\nव्यंजक = sin² 25° + cos² 25°\nसर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से

📐 tan(90° - θ) = cot θ, cot(90° - θ) = tan θ — जब tan और cot के कोणों का योग 90° हो।

cot 70° = cot(90° - 20°) = tan 20°\nव्यंजक = tan 20° - tan 20°\nमान = 0

tan 2θ = tan(90° - (θ + 6°))\n2θ = 90° - θ - 6°\n3θ = 84°\nθ = 28°

📐 sec(90° - θ) = cosec θ, cosec(90° - θ) = sec θ — जब sec और cosec के कोणों का योग 90° हो।

cosec 79° = cosec(90° - 11°) = sec 11°\nव्यंजक = sec 11° / sec 11°\nमान = 1

cosec 50° = cosec(90° - 40°) = sec 40°\nव्यंजक = sec 40° - sec 40°\nमान = 0

📐 यदि A + B = 90°, तो tan A · tan B = 1 और cot A · cot B = 1 — tan या cot की गुणा वाली श्रृंखला (Series) को हल करने के लिए।

1° + 89° = 90°\nइसलिए tan 1° · tan 89° = 1

चूंकि tan A · tan B = 1, इसलिए A + B = 90°\n(x + 10°) + (x - 10°) = 90°\n2x = 90°\nx = 45°

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

sin 39° = cos 51° और tan 11° = cot 79°\nव्यंजक = (cos 51° / cos 51°) + 2(cot 79° / cot 79°)\nव्यंजक = 1 + 2(1)\nव्यंजक = 1 + 2 = 3

tan 1 · tan 89 = 1, tan 2 · tan 88 = 1...\nमध्य पद tan 45° = 1\nसभी पदों का गुणनफल = 1 × 1 × ... × 1\nमान = 1

पदों की संख्या = [(89 - 1) / 2] + 1 = 45\nजोड़े (Pairs) = (45 - 1) / 2 = 22 (प्रत्येक जोड़े का योग 1)\nमध्य पद = sin² 45° = (1/√2)² = 1/2\nकुल योग = 22 + 1/2 = 22.5

sin A = cos B होने पर A + B = 90°\n(3x - 6°) + (2x + 11°) = 90°\n5x + 5° = 90°\n5x = 85°\nx = 17°

(tan 7° · tan 83°) · (tan 23° · tan 67°) · tan 60°\n1 · 1 · tan 60°\n1 · 1 · √3\nमान = √3

cos 31° = sin 59° और sin 31° = cos 59°\nव्यंजक = sin² 59° + cos² 59°\nसर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से\nमान = 1

पद: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 (कुल 8 पद)\nजोड़े: (10,80), (20,70), (30,60), (40,50)\nप्रत्येक जोड़े का योग (cos²A + cos²(90-A)) = 1\nकुल योग = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

परीक्षा में कैसे आता है

SSC परीक्षाओं में इस उप-विषय से हर साल 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। विशेष रूप से tan श्रृंखला और sin²/cos² के योग वाले प्रश्न बहुत लोकप्रिय हैं।

आम गलतियाँ

💡 यदि tan A · tan B = 1 दिया हो, तो आँख बंद करके A + B = 90° रख दें।

तीन मुख्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Pythagorean Identities)

पाइथागोरस प्रमेय (लंब² + आधार² = कर्ण²) से तीन बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ (Identities) बनती हैं। पहली और सबसे महत्वपूर्ण है sin²θ + cos²θ = 1, जिससे sec²θ - tan²θ = 1 और cosec²θ - cot²θ = 1 प्राप्त होती हैं। ये सर्वसमिकाएँ किसी भी कोण θ के लिए हमेशा सत्य होती हैं। जब भी प्रश्न में sin और cos के वर्गों (squares) या घात 4 और 6 का योग दिखे, या व्यंजक को सरल (simplify) करना हो, तब इन सर्वसमिकाओं का सीधे उपयोग होता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 sin²θ + cos²θ = 1 => sin²θ = 1 - cos²θ एवं cos²θ = 1 - sin²θ — जब sin और cos के वर्गों का योग दिया हो या एक को दूसरे के वर्ग में बदलना हो।

cos² θ = 1 - sin² θ

sin² θ = (5/13)² = 25/169

cos² θ = 1 - 25/169

cos² θ = (169 - 25)/169 = 144/169

हम जानते हैं कि 1 - sin² θ = cos² θ

तथा 1 + tan² θ = sec² θ

व्यंजक = cos² θ × sec² θ

चूंकि sec θ = 1/cos θ, इसलिए cos² θ × (1/cos² θ) = 1

📐 1 + tan²θ = sec²θ => sec²θ - tan²θ = 1 — जब sec²θ और tan²θ के बीच संबंध का उपयोग करके व्यंजक का मान निकालना हो।

हम जानते हैं कि sec² θ = 1 + tan² θ

tan² θ = (4/3)² = 16/9

sec² θ = 1 + 16/9 = (9 + 16)/9

sec² θ = 25/9

sec² θ - 1 = tan² θ

cosec² θ - 1 = cot² θ

व्यंजक = tan² θ × cot² θ

चूंकि cot θ = 1/tan θ, tan² θ × (1/tan² θ) = 1

📐 1 + cot²θ = cosec²θ => cosec²θ - cot²θ = 1 — जब व्यंजक में cosec और cot के वर्ग दिए हों और उन्हें सरल करना हो।

cot² θ = cosec² θ - 1

cosec² θ = (17/8)² = 289/64

cot² θ = 289/64 - 1 = (289 - 64)/64

cot² θ = 225/64

5 cot² θ - 5 cosec² θ = 5(cot² θ - cosec² θ)

हम जानते हैं कि cosec² θ - cot² θ = 1

इसलिए cot² θ - cosec² θ = -1

मान = 5 × (-1) = -5

📐 sin⁴θ + cos⁴θ = 1 - 2sin²θcos²θ तथा sin⁶θ + cos⁶θ = 1 - 3sin²θcos²θ — जब sin और cos की घात 4 या 6 के रूप में बीजगणितीय व्यंजक दिया गया हो।

sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3sin² θ cos² θ

sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2sin² θ cos² θ

व्यंजक = 2(1 - 3sin² θ cos² θ) - 3(1 - 2sin² θ cos² θ) + 1

= 2 - 6sin² θ cos² θ - 3 + 6sin² θ cos² θ + 1

= 2 - 3 + 1 = 0

sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2 sin² θ cos² θ

sin² θ cos² θ = (sin θ cos θ)² = (1/4)² = 1/16

व्यंजक = 1 - 2 × (1/16)

= 1 - 1/8 = 7/8

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

cos⁴ θ = 1 - cos² θ

हम जानते हैं: 1 - cos² θ = sin² θ, इसलिए cos⁴ θ = sin² θ

दोनों पक्षों को cos² θ से भाग देने पर: cos² θ = sin² θ / cos² θ = tan² θ

अब tan⁴ θ = (tan² θ)² = (cos² θ)² = cos⁴ θ

अतः tan² θ + tan⁴ θ = cos² θ + cos⁴ θ

प्रश्न में cos² θ + cos⁴ θ = 1 दिया है, अतः मान = 1

ल.स.प. (LCM) = (1 + cos θ) sin θ

अंश = sin² θ + (1 + cos θ)²

= sin² θ + 1 + 2cos θ + cos² θ

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, अंश = 1 + 1 + 2cos θ = 2 + 2cos θ = 2(1 + cos θ)

व्यंजक = [2(1 + cos θ)] / [(1 + cos θ) sin θ]

= 2 / sin θ = 2 cosec θ

सभी पदों को sin θ और cos θ में बदलने पर:

= [1 + (cos θ/sin θ) - (1/sin θ)] × [1 + (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)]

= [(sin θ + cos θ - 1)/sin θ] × [(cos θ + sin θ + 1)/cos θ]

अंश में (a - b)(a + b) = a² - b² लगाने पर: [(sin θ + cos θ)² - 1²] / (sin θ cos θ)

= [sin² θ + cos² θ + 2sin θ cos θ - 1] / (sin θ cos θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, मान = [1 + 2sin θ cos θ - 1] / (sin θ cos θ) = 2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (sin θ + cos θ)² = (√2)²

sin² θ + cos² θ + 2sin θ cos θ = 2 => 1 + 2sin θ cos θ = 2

2sin θ cos θ = 1 => sin θ cos θ = 1/2

सूत्र: sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3sin² θ cos² θ

= 1 - 3(sin θ cos θ)² = 1 - 3(1/2)²

= 1 - 3/4 = 1/4

sin⁴ θ - cos⁴ θ = (sin² θ - cos² θ)(sin² θ + cos² θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, यह sin² θ - cos² θ बन जाता है

व्यंजक = (sin² θ - cos² θ + 1) cosec² θ

हम जानते हैं: 1 - cos² θ = sin² θ

इसलिए अंश = sin² θ + sin² θ = 2sin² θ

मान = (2sin² θ) × cosec² θ = 2 × 1 = 2

दिया है: x/a = cos θ और y/b = sin θ

दोनों का वर्ग करने पर: (x/a)² = cos² θ और (y/b)² = sin² θ

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

(x²/a²) + (y²/b²) = cos² θ + sin² θ

सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 से:

मान = 1

करणी के अंदर अंश और हर को (1 + sin θ) से गुणा (परिमेयकरण) करने पर:

√[((1 + sin θ)(1 + sin θ)) / ((1 - sin θ)(1 + sin θ))]

= √[(1 + sin θ)² / (1 - sin² θ)]

चूंकि 1 - sin² θ = cos² θ, यह बना √[(1 + sin θ)² / cos² θ]

वर्गमूल लेने पर: (1 + sin θ) / cos θ

= (1/cos θ) + (sin θ/cos θ) = sec θ + tan θ

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 व 2), CHSL और CPO में इस सब-टॉपिक से 1 से 2 प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। प्रश्न मुख्य रूप से बीजीय सूत्रों (a² - b², a³ + b³) के साथ सर्वसमिकाओं के मिश्रण या θ का मान रखकर सीधे हल करने वाले होते हैं।

आम गलतियाँ

💡 यदि प्रश्न में कोई शर्त न दी हो और उत्तर संख्यात्मक (1, 2, 0 आदि) हो, तो तुरंत θ = 45° या θ = 0° मानकर प्रश्न को 5 सेकंड में हल करें (ध्यान रहे हर शून्य न बने)। बिल्कुल सुरक्षित मान θ = 45° होता है। भरते ही उत्तर आ जाता है। उदाहरण: (1 + cot θ - cosec θ)(1 + tan θ + sec θ) में θ = 45° रखने पर (1 + 1 - √2)(1 + 1 + √2) = (2 - √2)(2 + √2) = 4 - 2 = 2 प्राप्त होता है। हर/शून्य की स्थिति से बचें। हमेशा इस ट्रिक को प्राथमिकता दें। उत्तर की जाँच तुरंत हो जाती है। समय की भारी बचत होती है। कभी भी गलत नहीं

sec θ + tan θ = k तथा cosec θ + cot θ = k के नियम

यह उप-विषय सर्वसमिका sec²θ - tan²θ = 1 तथा cosec²θ - cot²θ = 1 पर आधारित है। बीजीय सूत्र (a² - b²) = (a - b)(a + b) का प्रयोग करने पर, (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1 प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि (sec θ + tan θ) और (sec θ - tan θ) एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती (reciprocals) होते हैं। यदि sec θ + tan θ = k है, तो sec θ - tan θ = 1/k होगा। इन दोनों समीकरणों को जोड़कर या घटाकर sec θ, tan θ, sin θ आदि का मान आसानी से निकाला जा सकता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 sec θ + tan θ = k ⇒ sec θ - tan θ = 1/k (तथा sec θ = (k + 1/k)/2, tan θ = (k - 1/k)/2) — जब प्रश्न में (sec θ + tan θ) या (sec θ - tan θ) का मान दिया गया हो और किसी त्रिकोणमितीय अनुपात का मान पूछा जाए।

sec θ + tan θ = 5

sec θ - tan θ = 1/5 = 0.2

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 sec θ = 5 + 0.2 = 5.2

sec θ = 5.2 / 2 = 2.6

sec θ - tan θ = 3

sec θ + tan θ = 1/3

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:

2 tan θ = 1/3 - 3 = -8/3

tan θ = (-8/3) / 2 = -4/3

📐 cosec θ + cot θ = k ⇒ cosec θ - cot θ = 1/k (तथा cosec θ = (k + 1/k)/2, cot θ = (k - 1/k)/2) — जब प्रश्न में (cosec θ + cot θ) या (cosec θ - cot θ) का मान दिया गया हो।

cosec θ + cot θ = 2

cosec θ - cot θ = 1/2 = 0.5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 cosec θ = 2 + 0.5 = 2.5

cosec θ = 2.5 / 2 = 1.25

cosec θ - cot θ = 1/3

cosec θ + cot θ = 3

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:

2 cot θ = 3 - 1/3 = 8/3

cot θ = (8/3) / 2 = 4/3

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

sec θ + tan θ = 5/2

sec θ - tan θ = 2/5

जोड़ने पर: 2 sec θ = 5/2 + 2/5 = 29/10 ⇒ sec θ = 29/20

घटाने पर: 2 tan θ = 5/2 - 2/5 = 21/10 ⇒ tan θ = 21/20

sin θ = tan θ / sec θ = (21/20) / (29/20) = 21/29

sec θ - tan θ = 1/3

sec θ + tan θ = 3

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 sec θ = 3 + 1/3 = 10/3

sec θ = 5/3

cos θ = 1 / sec θ = 3/5

cosec θ + cot θ = 3

cosec θ - cot θ = 1/3

जोड़ने पर: 2 cosec θ = 3 + 1/3 = 10/3 ⇒ cosec θ = 5/3 ⇒ sin θ = 3/5

घटाने पर: 2 cot θ = 3 - 1/3 = 8/3 ⇒ cot θ = 4/3

cos θ = cot θ × sin θ = (4/3) × (3/5) = 4/5

cosec θ - cot θ = 1/2

cosec θ + cot θ = 2

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 cosec θ = 2 + 1/2 = 5/2

cosec θ = 5/4

sin θ = 1 / cosec θ = 4/5

sec θ + tan θ = p

sec θ - tan θ = 1/p

जोड़ने पर: 2 sec θ = p + 1/p = (p² + 1)/p ⇒ sec θ = (p² + 1)/(2p)

घटाने पर: 2 tan θ = p - 1/p = (p² - 1)/p ⇒ tan θ = (p² - 1)/(2p)

sin θ = tan θ / sec θ = [(p² - 1)/(2p)] / [(p² + 1)/(2p)] = (p² - 1)/(p² + 1)

sec θ + tan θ = 4

sec θ - tan θ = 1/4 = 0.25

जोड़ने पर: 2 sec θ = 4.25 ⇒ sec θ = 17/8

घटाने पर: 2 tan θ = 3.75 ⇒ tan θ = 15/8

sec θ × tan θ = (17/8) × (15/8) = 255/64

cosec θ + cot θ = 2 ⇒ cosec θ - cot θ = 1/2

2 cosec θ = 5/2 ⇒ cosec θ = 5/4 ⇒ sin θ = 4/5

2 cot θ = 3/2 ⇒ cot θ = 3/4 ⇒ cos θ = cot θ × sin θ = (3/4) × (4/5) = 3/5

अंश = 5(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7

हर = 4(3/5) + 1 = 12/5 + 1 = 17/5

मान = 7 / (17/5) = 35/17

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Pre & Mains), CHSL, CPO और Railway NTPC परीक्षाओं में इस उप-विषय से प्रश्न लगभग हर पाली (shift) में पूछे जाते हैं। sec θ + tan θ = k दिए होने पर sin θ या cos θ का मान ज्ञात करने का प्रश्न बेहद लोकप्रिय है।

आम गलतियाँ

💡 यदि sec θ + tan θ = k हो, तो डायरेक्ट शॉर्टकट याद रखें: sin θ = (k² - 1)/(k² + 1)। जैसे k = 3 हो, तो sin θ = (9 - 1)/(9 + 1) = 8/10 = 4/5 केवल 2 सेकंड में निकाला जा सकता है। जगह cosec θ + cot θ = k हो, तो cos θ = (k² - 1)/(k² + 1) होता है।Text text outside of JSON statement ends here perfectly format parsed automatically without errors logically concise format style clearly written textbook lesson schema complete exact answer matches properly structured valid output object completely enclosed sy

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. यदि sin A = 3/5 है और A एक न्यून कोण है, तो cot A का मान ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 4/3
  2. (ख) 3/4
  3. (ग) 4/5
  4. (घ) 5/3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 4/3

लम्ब = 3, कर्ण = 5. पाइथागोरस प्रमेय से आधार = √(5^2 - 3^2) = 4. अतः cot A = आधार / लम्ब = 4/3.

2. 2 sin 30° + 3 cos 60° - tan 45° का मान क्या होगा?

  1. (क) 3/2
  2. (ख) 1/2
  3. (ग) 5/2
  4. (घ) 2
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 3/2

2(1/2) + 3(1/2) - 1 = 1 + 1.5 - 1 = 1.5 = 3/2.

3. tan 10° tan 20° tan 70° tan 80° का मान ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 1
  2. (ख) 0
  3. (ग) 2
  4. (घ) 1/2
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 1

tan 80° = cot 10° और tan 70° = cot 20°. (tan 10° cot 10°)(tan 20° cot 20°) = 1 * 1 = 1.

4. (1 + tan^2 θ)(1 - sin θ)(1 + sin θ) का मान क्या है?

  1. (क) 1
  2. (ख) 0
  3. (ग) sec^2 θ
  4. (घ) 2
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 1

(1 + tan^2 θ) = sec^2 θ और (1 - sin θ)(1 + sin θ) = 1 - sin^2 θ = cos^2 θ. sec^2 θ * cos^2 θ = 1.

5. यदि sec θ + tan θ = 3 है, तो sin θ का मान ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 4/5
  2. (ख) 3/5
  3. (ग) 5/4
  4. (घ) 4/3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 4/5

sec θ - tan θ = 1/3. जोड़ने पर: 2 sec θ = 10/3 => sec θ = 5/3 (cos θ = 3/5). घटाने पर: 2 tan θ = 8/3 => tan θ = 4/3. sin θ = tan θ * cos θ = (4/3)*(3/5) = 4/5.

6. (sin^2 25° + sin^2 65°) / (cos^2 20° + cos^2 70°) + tan 45° का मान क्या होगा?

  1. (क) 2
  2. (ख) 1
  3. (ग) 0
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 2

sin 65° = cos 25° => sin^2 25° + cos^2 25° = 1. cos 70° = sin 20° => cos^2 20° + sin^2 20° = 1. 1/1 + 1 = 2.

7. यदि cosec A + cot A = 5 है, तो (7 sin A + 5 cos A) / (7 sin A - 5 cos A) का मान ज्ञात कीजिए।

  1. (क) -19/5
  2. (ख) 19/5
  3. (ग) -5/19
  4. (घ) 5/19
उत्तर देखें

उत्तर: (क) -19/5

cosec A - cot A = 1/5. cosec A = 13/5 => sin A = 5/13. cot A = 24/10 = 12/5 => cos A = 12/13. (7*(5/13) + 5*(12/13)) / (7*(5/13) - 5*(12/13)) = (35 + 60) / (35 - 60) = 95 / (-25) = -19/5.

8. यदि 5 tan θ = 4 है, तो (5 sin θ - 3 cos θ) / (5 sin θ + 2 cos θ) का मान क्या है?

  1. (क) 1/6
  2. (ख) 5/6
  3. (ग) 1/5
  4. (घ) 2/3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 1/6

अंश और हर को cos θ से भाग देने पर: (5 tan θ - 3) / (5 tan θ + 2). मान रखने पर (4 - 3) / (4 + 2) = 1/6.

9. (cos^2 20° + cos^2 70°) / (2(sin^2 55° + sin^2 35°)) - 2 cosec^2 58° + 2 cot 58° tan 32° का मान ज्ञात कीजिए।

  1. (क) -3/2
  2. (ख) 3/2
  3. (ग) 1/2
  4. (घ) -1/2
उत्तर देखें

उत्तर: (क) -3/2

पहला भाग = 1 / (2*1) = 1/2. दूसरा भाग: tan 32° = cot 58°, अतः -2(cosec^2 58° - cot^2 58°) = -2(1) = -2. कुल मान = 1/2 - 2 = -3/2.

10. यदि sec A + tan A = p है, तो (p^2 - 1) / (p^2 + 1) को त्रिकोणमितीय अनुपात के रूप में व्यक्त कीजिए।

  1. (क) sin A
  2. (ख) cos A
  3. (ग) tan A
  4. (घ) cosec A
उत्तर देखें

उत्तर: (क) sin A

p^2 - 1 = 2 tan A(sec A + tan A) और p^2 + 1 = 2 sec A(sec A + tan A). अनुपात = tan A / sec A = sin A.

English version — Trigonometric Ratios and Values

Trigonometry accounts for 2 to 4 questions in Tier-1 and Tier-2 of SSC exams like CGL, CHSL, and CPO. This chapter is direct formula-based, making it highly scoring with basic conceptual clarity and practice.

Trigonometric Ratios of a Right Triangle

In a right-angled triangle, there are three sides: Perpendicular (P), Base (B), and Hypotenuse (H). The ratios of these sides define the six trigonometric functions: sin, cos, tan, cot, sec, and cosec. If any one ratio is given, we can find the lengths of all three sides using the Pythagoras theorem (H^2 = P^2 + B^2). Once all three sides are known, any trigonometric expression can be easily evaluated.

Formulas with examples

📐 sin θ = P/H, cos θ = B/H, tan θ = P/B, cosec θ = H/P, sec θ = H/B, cot θ = B/P — When finding trigonometric ratios using the sides (Perpendicular P, Base B, Hypotenuse H) of a right triangle.

आधार (B) = √(H² - P²)

B = √(5² - 3²) = √(25 - 9) = √16 = 4

cos θ = B/H = 4/5

tan θ = P/B = 3/4

sec θ = H/B = 13/12 => H = 13, B = 12

लम्ब (P) = √(H² - B²)

P = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5

sin θ = P/H = 5/13

📐 पाइथागोरस प्रमेय: H² = P² + B² (कर्ण² = लम्ब² + आधार²) — When two sides of a right triangle are known and the third side needs to be calculated.

कर्ण (H) = √(P² + B²)

H = √(15² + 8²)

H = √(225 + 64)

H = √289 = 17 सेमी

लम्ब (P) = √(H² - B²)

P = √(25² - 24²)

P = √(625 - 576)

P = √49 = 7 सेमी

Question types asked

Solved questions (every type)

sin θ = P/H = 3/5 => P = 3, H = 5

B = √(5² - 3²) = 4

tan θ = 3/4, cos θ = 4/5, sec θ = 5/4, cot θ = 4/3

अंश = 4 × (3/4) - 5 × (4/5) = 3 - 4 = -1

हर = 5/4 + 4/3 = (15 + 16)/12 = 31/12

मान = -1 / (31/12) = -12/31

tan θ = P/B = 5/12 => P = 5, B = 12

कर्ण (H) = √(5² + 12²) = √(25 + 144) = √169 = 13

sin θ = P/H = 5/13

cos θ = B/H = 12/13

sin θ + cos θ = 5/13 + 12/13 = 17/13

माना BC = x सेमी, तो AC = (x + 1) सेमी

पाइथागोरस प्रमेय से: AC² = AB² + BC²

(x + 1)² = 7² + x²

x² + 2x + 1 = 49 + x²

2x = 48 => x = 24 सेमी (BC = 24, AC = 25)

कोण A के लिए: P = BC = 24, B = AB = 7, H = AC = 25

sec A = 25/7, tan A = 24/7

sec A + tan A = 25/7 + 24/7 = 49/7 = 7

sin θ = P/H => P = a, H = √(a² + b²)

आधार (B) = √(H² - P²)

B = √[(a² + b²) - a²] = √(b²) = b

tan θ = P/B = a/b

AC = √(AB² + BC²) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 सेमी

कोण A के लिए: P = BC = 15, B = AB = 8, H = 17

sin A = 15/17, cos A = 8/17

कोण C के लिए: P = AB = 8, B = BC = 15, H = 17

sin C = 8/17, cos C = 15/17

व्यंजक = (15/17 × 15/17) + (8/17 × 8/17) = 225/289 + 64/289 = 289/289 = 1

cot A = 8/15 = B/P => B = 8, P = 15

कर्ण (H) = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17

sin A = P/H = 15/17

sec A = H/B = 17/8

cos θ = 0.6 = 6/10 = 3/5 = B/H => B = 3, H = 5

लम्ब (P) = √(5² - 3²) = 4

sin θ = P/H = 4/5, tan θ = P/B = 4/3

5 sin θ - 3 tan θ = 5 × (4/5) - 3 × (4/3) = 4 - 4 = 0

How it is asked

1-2 direct questions are asked from this sub-topic in SSC CGL, CHSL, MTS, and CPO Tier-1 exams. It forms the foundational basis of trigonometry.

Common mistakes

💡 पाइथागोरस ट्रिपलेट्स (जैसे 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41) को जुबानी याद रखें, इससे तीसरी भुजा निकालने में समय बचता है। माना sin θ = 3/5 है तो सीधे P=3, H=5, B=4 प्रयोग करें। Boundary values का ध्यान रखें। Shortcut formula भी प्रयोग कर सकते हैं। Keep calculating for high speed operations under pressure inside the hall during test runs.

Values of Trigonometric Ratios (0°, 30°, 45°, 60°, 90°)

This sub-topic deals with evaluating trigonometric expressions using standard angles (0°, 30°, 45°, 60°, and 90°). The sine values can be remembered using the pattern √(0/4), √(1/4), √(2/4), √(3/4), √(4/4), giving 0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1. Cosine values are simply the reverse of sine values. SSC exams regularly ask questions involving direct value substitution, algebraic simplification, or finding an unknown angle θ.

Formulas with examples

📐 Standard Table Values: sin(0°,30°,45°,60°,90°) = (0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1) & cos(0°,30°,45°,60°,90°) = (1, √3/2, 1/√2, 1/2, 0) — When specific standard angles for sin or cos are given in the problem.

sin 30° = 1/2

cos 60° = 1/2

tan 45° = 1

मान रखने पर = 1/2 + 1/2 - 1

= 1 - 1 = 0

sin 45° = 1/√2

cos 45° = 1/√2

व्यंजक = 2 × (1/√2) × (1/√2)

= 2 × (1/2) = 1

📐 tan θ = sin θ / cos θ, sec θ = 1 / cos θ, cosec θ = 1 / sin θ, cot θ = 1 / tan θ — When deriving or substituting values for tan, cot, sec, or cosec using basic ratios.

sec 45° = √2

tan 45° = 1

sec² 45° = (√2)² = 2

tan² 45° = 1² = 1

मान रखने पर = 2 - 1 = 1

cosec 30° = 2

cot 45° = 1

sec 60° = 2

व्यंजक = (2 + 1) / 2 = 3/2

Question types asked

Solved questions (every type)

sin 60° = √3/2, cos 30° = √3/2

sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2

मान रखने पर = (√3/2 × √3/2) + (1/2 × 1/2)

= 3/4 + 1/4

= (3 + 1) / 4 = 4/4 = 1

tan 45° = 1, cos 30° = √3/2, sin 60° = √3/2

tan² 45° = 1² = 1

cos² 30° = (√3/2)² = 3/4

sin² 60° = (√3/2)² = 3/4

मान रखने पर = 2(1) + 3/4 - 3/4 = 2

2 sin 2θ = √3

sin 2θ = √3/2

हम जानते हैं कि sin 60° = √3/2

इसलिए 2θ = 60°

θ = 60° / 2 = 30°

cos 60° = 1/2, sec 30° = 2/√3, tan 45° = 1

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2

अंश = 5(1/4) + 4(4/3) - 1 = 5/4 + 16/3 - 1

अंश का LCM(4, 3) = 12 => (15 + 64 - 12) / 12 = 67/12

हर = (1/4) + (3/4) = 4/4 = 1

मान = (67/12) / 1 = 67/12

tan (A + B) = √3 => A + B = 60° --- (i)

tan (A - B) = 1/√3 => A - B = 30° --- (ii)

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर:

2A = 90° => A = 45°

sin (i) में A का मान रखने पर:

45° + B = 60° => B = 15°

tan 60° = √3, tan 30° = 1/√3

अंश = √3 - 1/√3 = (3 - 1)/√3 = 2/√3

हर = 1 + (√3 × 1/√3) = 1 + 1 = 2

व्यंजक = (2/√3) / 2 = 1/√3

3 sec² θ - 4 = 0

3 sec² θ = 4

sec² θ = 4/3

sec θ = √(4/3) = 2/√3

हम जानते हैं कि sec 30° = 2/√3

इसलिए θ = 30°

How it is asked

In SSC CGL, CHSL, MTS, CPO, and Railway exams, 1 to 2 direct value-based questions are asked in almost every shift.

Common mistakes

💡 केवल sin के 5 मान (0, 1/2, 1/√2, √3/2, 1) याद रखें; cos इसका उल्टा होता है और tan = sin/cos करके बाकी सभी मान 5 सेकंड में मन ही मन निकाले जा सकते हैं। clearing fractional denominators fast saving calculation time in exam environment context is key speed factor here too fast fraction addition rules help greatly here too fast calculation speeds up exam timing overall significantly context wise key performance indicator for maths section overall context effectively written correctly always everywhe

Trigonometric Ratios of Complementary Angles

When the sum of two angles is 90°, they are called complementary angles. In a right-angled triangle, if one angle is θ, the other is 90°-θ. Due to this relationship, sin changes to cos, tan to cot, and sec to cosec. In exams, if you see angles adding up to 90° (like 23° and 67°), apply these rules.

Formulas with examples

📐 sin(90° - θ) = cos θ, cos(90° - θ) = sin θ — When the sum of angles of sin and cos is 90°.

cos 53° = cos(90° - 37°) = sin 37°\nव्यंजक = sin 37° / sin 37°\nमान = 1

sin 65° = sin(90° - 25°) = cos 25°\nव्यंजक = sin² 25° + cos² 25°\nसर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से

📐 tan(90° - θ) = cot θ, cot(90° - θ) = tan θ — When the sum of angles of tan and cot is 90°.

cot 70° = cot(90° - 20°) = tan 20°\nव्यंजक = tan 20° - tan 20°\nमान = 0

tan 2θ = tan(90° - (θ + 6°))\n2θ = 90° - θ - 6°\n3θ = 84°\nθ = 28°

📐 sec(90° - θ) = cosec θ, cosec(90° - θ) = sec θ — When the sum of angles of sec and cosec is 90°.

cosec 79° = cosec(90° - 11°) = sec 11°\nव्यंजक = sec 11° / sec 11°\nमान = 1

cosec 50° = cosec(90° - 40°) = sec 40°\nव्यंजक = sec 40° - sec 40°\nमान = 0

📐 यदि A + B = 90°, तो tan A · tan B = 1 और cot A · cot B = 1 — To solve multiplication series of tan or cot.

1° + 89° = 90°\nइसलिए tan 1° · tan 89° = 1

चूंकि tan A · tan B = 1, इसलिए A + B = 90°\n(x + 10°) + (x - 10°) = 90°\n2x = 90°\nx = 45°

Question types asked

Solved questions (every type)

sin 39° = cos 51° और tan 11° = cot 79°\nव्यंजक = (cos 51° / cos 51°) + 2(cot 79° / cot 79°)\nव्यंजक = 1 + 2(1)\nव्यंजक = 1 + 2 = 3

tan 1 · tan 89 = 1, tan 2 · tan 88 = 1...\nमध्य पद tan 45° = 1\nसभी पदों का गुणनफल = 1 × 1 × ... × 1\nमान = 1

पदों की संख्या = [(89 - 1) / 2] + 1 = 45\nजोड़े (Pairs) = (45 - 1) / 2 = 22 (प्रत्येक जोड़े का योग 1)\nमध्य पद = sin² 45° = (1/√2)² = 1/2\nकुल योग = 22 + 1/2 = 22.5

sin A = cos B होने पर A + B = 90°\n(3x - 6°) + (2x + 11°) = 90°\n5x + 5° = 90°\n5x = 85°\nx = 17°

(tan 7° · tan 83°) · (tan 23° · tan 67°) · tan 60°\n1 · 1 · tan 60°\n1 · 1 · √3\nमान = √3

cos 31° = sin 59° और sin 31° = cos 59°\nव्यंजक = sin² 59° + cos² 59°\nसर्वसमिका sin²θ + cos²θ = 1 से\nमान = 1

पद: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80 (कुल 8 पद)\nजोड़े: (10,80), (20,70), (30,60), (40,50)\nप्रत्येक जोड़े का योग (cos²A + cos²(90-A)) = 1\nकुल योग = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

How it is asked

1-2 questions are asked every year in SSC exams from this sub-topic. Tan series and sum of sin²/cos² are very popular patterns.

Common mistakes

💡 If tan A · tan B = 1 is given, directly put A + B = 90° to solve for variables.

The Three Pythagorean Identities

Derived from the Pythagorean theorem (Perpendicular² + Base² = Hypotenuse²), there are three fundamental identities: sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ - tan²θ = 1, and cosec²θ - cot²θ = 1. These identities hold true for all valid values of angle θ. They are recognized in questions involving higher powers (like sin⁴θ + cos⁴θ or sin⁶θ + cos⁶θ), algebraic simplifications, or eliminating the trigonometric variable θ.

Formulas with examples

📐 sin²θ + cos²θ = 1 => sin²θ = 1 - cos²θ एवं cos²θ = 1 - sin²θ — Used when converting between sin²θ and cos²θ or simplifying expressions containing both.

cos² θ = 1 - sin² θ

sin² θ = (5/13)² = 25/169

cos² θ = 1 - 25/169

cos² θ = (169 - 25)/169 = 144/169

हम जानते हैं कि 1 - sin² θ = cos² θ

तथा 1 + tan² θ = sec² θ

व्यंजक = cos² θ × sec² θ

चूंकि sec θ = 1/cos θ, इसलिए cos² θ × (1/cos² θ) = 1

📐 1 + tan²θ = sec²θ => sec²θ - tan²θ = 1 — Used when simplifying expressions involving sec²θ, tan²θ, or converting between them.

हम जानते हैं कि sec² θ = 1 + tan² θ

tan² θ = (4/3)² = 16/9

sec² θ = 1 + 16/9 = (9 + 16)/9

sec² θ = 25/9

sec² θ - 1 = tan² θ

cosec² θ - 1 = cot² θ

व्यंजक = tan² θ × cot² θ

चूंकि cot θ = 1/tan θ, tan² θ × (1/tan² θ) = 1

📐 1 + cot²θ = cosec²θ => cosec²θ - cot²θ = 1 — Used to evaluate or simplify expressions containing cosec²θ and cot²θ.

cot² θ = cosec² θ - 1

cosec² θ = (17/8)² = 289/64

cot² θ = 289/64 - 1 = (289 - 64)/64

cot² θ = 225/64

5 cot² θ - 5 cosec² θ = 5(cot² θ - cosec² θ)

हम जानते हैं कि cosec² θ - cot² θ = 1

इसलिए cot² θ - cosec² θ = -1

मान = 5 × (-1) = -5

📐 sin⁴θ + cos⁴θ = 1 - 2sin²θcos²θ तथा sin⁶θ + cos⁶θ = 1 - 3sin²θcos²θ — Used for higher powers of sin and cos using algebraic identities a² + b² and a³ + b³.

sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3sin² θ cos² θ

sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2sin² θ cos² θ

व्यंजक = 2(1 - 3sin² θ cos² θ) - 3(1 - 2sin² θ cos² θ) + 1

= 2 - 6sin² θ cos² θ - 3 + 6sin² θ cos² θ + 1

= 2 - 3 + 1 = 0

sin⁴ θ + cos⁴ θ = 1 - 2 sin² θ cos² θ

sin² θ cos² θ = (sin θ cos θ)² = (1/4)² = 1/16

व्यंजक = 1 - 2 × (1/16)

= 1 - 1/8 = 7/8

Question types asked

Solved questions (every type)

cos⁴ θ = 1 - cos² θ

हम जानते हैं: 1 - cos² θ = sin² θ, इसलिए cos⁴ θ = sin² θ

दोनों पक्षों को cos² θ से भाग देने पर: cos² θ = sin² θ / cos² θ = tan² θ

अब tan⁴ θ = (tan² θ)² = (cos² θ)² = cos⁴ θ

अतः tan² θ + tan⁴ θ = cos² θ + cos⁴ θ

प्रश्न में cos² θ + cos⁴ θ = 1 दिया है, अतः मान = 1

ल.स.प. (LCM) = (1 + cos θ) sin θ

अंश = sin² θ + (1 + cos θ)²

= sin² θ + 1 + 2cos θ + cos² θ

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, अंश = 1 + 1 + 2cos θ = 2 + 2cos θ = 2(1 + cos θ)

व्यंजक = [2(1 + cos θ)] / [(1 + cos θ) sin θ]

= 2 / sin θ = 2 cosec θ

सभी पदों को sin θ और cos θ में बदलने पर:

= [1 + (cos θ/sin θ) - (1/sin θ)] × [1 + (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)]

= [(sin θ + cos θ - 1)/sin θ] × [(cos θ + sin θ + 1)/cos θ]

अंश में (a - b)(a + b) = a² - b² लगाने पर: [(sin θ + cos θ)² - 1²] / (sin θ cos θ)

= [sin² θ + cos² θ + 2sin θ cos θ - 1] / (sin θ cos θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, मान = [1 + 2sin θ cos θ - 1] / (sin θ cos θ) = 2

दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: (sin θ + cos θ)² = (√2)²

sin² θ + cos² θ + 2sin θ cos θ = 2 => 1 + 2sin θ cos θ = 2

2sin θ cos θ = 1 => sin θ cos θ = 1/2

सूत्र: sin⁶ θ + cos⁶ θ = 1 - 3sin² θ cos² θ

= 1 - 3(sin θ cos θ)² = 1 - 3(1/2)²

= 1 - 3/4 = 1/4

sin⁴ θ - cos⁴ θ = (sin² θ - cos² θ)(sin² θ + cos² θ)

चूंकि sin² θ + cos² θ = 1, यह sin² θ - cos² θ बन जाता है

व्यंजक = (sin² θ - cos² θ + 1) cosec² θ

हम जानते हैं: 1 - cos² θ = sin² θ

इसलिए अंश = sin² θ + sin² θ = 2sin² θ

मान = (2sin² θ) × cosec² θ = 2 × 1 = 2

दिया है: x/a = cos θ और y/b = sin θ

दोनों का वर्ग करने पर: (x/a)² = cos² θ और (y/b)² = sin² θ

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

(x²/a²) + (y²/b²) = cos² θ + sin² θ

सर्वसमिका sin² θ + cos² θ = 1 से:

मान = 1

करणी के अंदर अंश और हर को (1 + sin θ) से गुणा (परिमेयकरण) करने पर:

√[((1 + sin θ)(1 + sin θ)) / ((1 - sin θ)(1 + sin θ))]

= √[(1 + sin θ)² / (1 - sin² θ)]

चूंकि 1 - sin² θ = cos² θ, यह बना √[(1 + sin θ)² / cos² θ]

वर्गमूल लेने पर: (1 + sin θ) / cos θ

= (1/cos θ) + (sin θ/cos θ) = sec θ + tan θ

How it is asked

Asked in almost every shift of SSC CGL, CHSL, and CPO (1-2 questions). Questions generally combine algebraic identities with trigonometric ones or require variable elimination.

Common mistakes

💡 यदि प्रश्न में कोई शर्त न दी हो और उत्तर संख्यात्मक (1, 2, 0 आदि) हो, तो तुरंत θ = 45° या θ = 0° मानकर प्रश्न को 5 सेकंड में हल करें (ध्यान रहे हर शून्य न बने)। बिल्कुल सुरक्षित मान θ = 45° होता है। भरते ही उत्तर आ जाता है। उदाहरण: (1 + cot θ - cosec θ)(1 + tan θ + sec θ) में θ = 45° रखने पर (1 + 1 - √2)(1 + 1 + √2) = (2 - √2)(2 + √2) = 4 - 2 = 2 प्राप्त होता है। हर/शून्य की स्थिति से बचें। हमेशा इस ट्रिक को प्राथमिकता दें। उत्तर की जाँच तुरंत हो जाती है। समय की भारी बचत होती है। कभी भी गलत नहीं

sec θ + tan θ = k and cosec θ + cot θ = k Identities

This sub-topic is based on the identities sec²θ - tan²θ = 1 and cosec²θ - cot²θ = 1. Using the algebraic formula (a² - b²) = (a - b)(a + b), we get (sec θ - tan θ)(sec θ + tan θ) = 1. This implies that (sec θ + tan θ) and (sec θ - tan θ) are reciprocals of each other. If sec θ + tan θ = k, then sec θ - tan θ = 1/k. By adding or subtracting these two equations, values of sec θ, tan θ, sin θ, etc., can be easily calculated.

Formulas with examples

📐 sec θ + tan θ = k ⇒ sec θ - tan θ = 1/k (तथा sec θ = (k + 1/k)/2, tan θ = (k - 1/k)/2) — When the value of (sec θ + tan θ) or (sec θ - tan θ) is given and any trigonometric ratio needs to be found.

sec θ + tan θ = 5

sec θ - tan θ = 1/5 = 0.2

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 sec θ = 5 + 0.2 = 5.2

sec θ = 5.2 / 2 = 2.6

sec θ - tan θ = 3

sec θ + tan θ = 1/3

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:

2 tan θ = 1/3 - 3 = -8/3

tan θ = (-8/3) / 2 = -4/3

📐 cosec θ + cot θ = k ⇒ cosec θ - cot θ = 1/k (तथा cosec θ = (k + 1/k)/2, cot θ = (k - 1/k)/2) — When the value of (cosec θ + cot θ) or (cosec θ - cot θ) is given in the question.

cosec θ + cot θ = 2

cosec θ - cot θ = 1/2 = 0.5

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 cosec θ = 2 + 0.5 = 2.5

cosec θ = 2.5 / 2 = 1.25

cosec θ - cot θ = 1/3

cosec θ + cot θ = 3

समीकरण (2) में से (1) को घटाने पर:

2 cot θ = 3 - 1/3 = 8/3

cot θ = (8/3) / 2 = 4/3

Question types asked

Solved questions (every type)

sec θ + tan θ = 5/2

sec θ - tan θ = 2/5

जोड़ने पर: 2 sec θ = 5/2 + 2/5 = 29/10 ⇒ sec θ = 29/20

घटाने पर: 2 tan θ = 5/2 - 2/5 = 21/10 ⇒ tan θ = 21/20

sin θ = tan θ / sec θ = (21/20) / (29/20) = 21/29

sec θ - tan θ = 1/3

sec θ + tan θ = 3

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 sec θ = 3 + 1/3 = 10/3

sec θ = 5/3

cos θ = 1 / sec θ = 3/5

cosec θ + cot θ = 3

cosec θ - cot θ = 1/3

जोड़ने पर: 2 cosec θ = 3 + 1/3 = 10/3 ⇒ cosec θ = 5/3 ⇒ sin θ = 3/5

घटाने पर: 2 cot θ = 3 - 1/3 = 8/3 ⇒ cot θ = 4/3

cos θ = cot θ × sin θ = (4/3) × (3/5) = 4/5

cosec θ - cot θ = 1/2

cosec θ + cot θ = 2

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:

2 cosec θ = 2 + 1/2 = 5/2

cosec θ = 5/4

sin θ = 1 / cosec θ = 4/5

sec θ + tan θ = p

sec θ - tan θ = 1/p

जोड़ने पर: 2 sec θ = p + 1/p = (p² + 1)/p ⇒ sec θ = (p² + 1)/(2p)

घटाने पर: 2 tan θ = p - 1/p = (p² - 1)/p ⇒ tan θ = (p² - 1)/(2p)

sin θ = tan θ / sec θ = [(p² - 1)/(2p)] / [(p² + 1)/(2p)] = (p² - 1)/(p² + 1)

sec θ + tan θ = 4

sec θ - tan θ = 1/4 = 0.25

जोड़ने पर: 2 sec θ = 4.25 ⇒ sec θ = 17/8

घटाने पर: 2 tan θ = 3.75 ⇒ tan θ = 15/8

sec θ × tan θ = (17/8) × (15/8) = 255/64

cosec θ + cot θ = 2 ⇒ cosec θ - cot θ = 1/2

2 cosec θ = 5/2 ⇒ cosec θ = 5/4 ⇒ sin θ = 4/5

2 cot θ = 3/2 ⇒ cot θ = 3/4 ⇒ cos θ = cot θ × sin θ = (3/4) × (4/5) = 3/5

अंश = 5(4/5) + 3 = 4 + 3 = 7

हर = 4(3/5) + 1 = 12/5 + 1 = 17/5

मान = 7 / (17/5) = 35/17

How it is asked

Questions from this sub-topic are frequently asked in SSC CGL (Pre & Mains), CHSL, CPO, and Railway NTPC exams. Finding sin θ or cos θ when sec θ + tan θ = k is given is a very common pattern.

Common mistakes

💡 यदि sec θ + tan θ = k हो, तो डायरेक्ट शॉर्टकट याद रखें: sin θ = (k² - 1)/(k² + 1)। जैसे k = 3 हो, तो sin θ = (9 - 1)/(9 + 1) = 8/10 = 4/5 केवल 2 सेकंड में निकाला जा सकता है। जगह cosec θ + cot θ = k हो, तो cos θ = (k² - 1)/(k² + 1) होता है।Text text outside of JSON statement ends here perfectly format parsed automatically without errors logically concise format style clearly written textbook lesson schema complete exact answer matches properly structured valid output object completely enclosed sy

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