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SSC CGLतर्क (Reasoning)

पासा, आकृतियों की गणना और पैटर्न

Dice, Counting Figures and Patterns

📖 किताब की तरह पढ़ें 📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

यह अध्याय SSC CGL, CHSL, CPO और MTS के Tier-1 और Tier-2 दोनों में बहुत पूछा जाता है, जहाँ से हर शिफ्ट में 3 से 5 प्रश्न आते हैं। यह पूरी तरह से निश्चित नियमों और सूत्रों पर आधारित है, इसलिए थोड़ी सी प्रैक्टिस से इसमें 100% सटीकता के साथ पूरे अंक आसानी से हासिल किए जा सकते हैं।

पासा: विपरीत फलक और मानक पासा नियम

पासा (Dice) छह फलकों (faces) वाला एक त्रिविमीय घन होता है। मानक पासा (Standard Dice) में किन्हीं भी दो विपरीत फलकों का योग सदैव 7 होता है (जैसे: 1 के विपरीत 6, 2 के विपरीत 5, 3 के विपरीत 4), और दिखाई देने वाले किन्हीं दो निकटवर्ती फलकों का योग कभी 7 नहीं होता। साधारण पासे (Ordinary Dice) में पास-पास दिखने वाले किन्हीं दो फलकों का योग 7 हो सकता है। जब एक ही पासे की दो या अधिक स्थितियाँ दी जाती हैं, तो 'एक उभयनिष्ठ फलक' या 'दो उभयनिष्ठ फलक' के घूर्णन नियम से विपरीत फलक ज्ञात किए जाते हैं। यदि केवल एक स्थिति दी हो और निकटवर्ती फलकों का योग 7 न बने, तो उसे मानक पासा मानकर विपरीत फलक निकाला जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 एक उभयनिष्ठ फलक नियम (Clockwise Rule): उभयनिष्ठ अंक से दोनों स्थितियों में घड़ी की सुई की दिशा (Clockwise) में चलने पर संगत अंक परस्पर विपरीत होते हैं। — जब पासे की दो स्थितियों में केवल एक ही अंक/प्रतीक समान (Common) दिखाई दे।

उदाहरण 1: एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। पहली स्थिति में 3, 5, 1 दिख रहे हैं और दूसरी स्थिति में 3, 2, 4 दिख रहे हैं। 5 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या होगी?

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ (Common) अंक = 3 है।

पहली स्थिति में 3 से दक्षिणावर्त (Clockwise) घूमने पर: 3 -> 5 -> 1

दूसरी स्थिति में 3 से दक्षिणावर्त (Clockwise) घूमने पर: 3 -> 2 -> 4

विपरीत जोड़े: 5 के विपरीत 2, और 1 के विपरीत 4

शेष बची संख्या 6 है, जो 3 के विपरीत होगी।

✔ उत्तर: 2
उदाहरण 2: एक पासे की दो स्थितियों में फलक दिखाए गए हैं। स्थिति 1 में फलक 6, 4, 2 हैं तथा स्थिति 2 में फलक 6, 5, 3 हैं। 4 के विपरीत कौन-सा अंक होगा?

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ अंक = 6 है।

स्थिति 1 में 6 से दक्षिणावर्त चलने पर: 6 -> 4 -> 2

स्थिति 2 में 6 से दक्षिणावर्त चलने पर: 6 -> 5 -> 3

तुलना करने पर: 4 के विपरीत 5 तथा 2 के विपरीत 3 होगा।

✔ उत्तर: 5

📐 दो उभयनिष्ठ फलक नियम (Two Common Faces Rule): यदि दो स्थितियों में दो फलक समान हों, तो शेष बचे दोनों फलक सीधे एक-दूसरे के विपरीत होते हैं। — जब पासे की दो अलग-अलग स्थितियों में दो अंक/प्रतीक समान हों।

उदाहरण 3: एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। स्थिति A में फलक 2, 4, 6 दिखते हैं और स्थिति B में फलक 4, 6, 3 दिखते हैं। 2 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या है?

स्थिति A और स्थिति B की तुलना करते हैं।

दोनों में समान फलक = 4 और 6

नियम के अनुसार, दो फलक समान होने पर शेष फलक परस्पर विपरीत होते हैं।

अतः 2 के विपरीत 3 होगा।

✔ उत्तर: 3
उदाहरण 4: एक पासे के दो दृश्य दिए गए हैं। पहले दृश्य में 1, 3, 5 हैं और दूसरे दृश्य में 1, 5, 2 हैं। 3 के विपरीत कौन-सा अंक होगा?

दोनों दृश्यों में उभयनिष्ठ अंक = 1 और 5

दो उभयनिष्ठ फलक नियम के अनुसार, शेष बचे फलक एक-दूसरे के विपरीत होंगे।

अतः 3 के विपरीत फलक पर 2 होगा।

✔ उत्तर: 2

📐 मानक पासा नियम (Standard Dice Rule): विपरीत फलक = 7 - दिया गया फलक — जब केवल एक पासा दिया गया हो और किन्हीं भी दो निकटवर्ती (दिखने वाले) फलकों का योग 7 न हो।

उदाहरण 5: नीचे दिए गए एक पासे के प्रारूप में फलक 1, 3, 5 दिखाई दे रहे हैं। 3 के विपरीत फलक पर कौन-सा अंक होगा यदि यह एक मानक पासा है?

निकटवर्ती फलकों का योग: 1+3=4, 3+5=8, 1+5=6

किसी भी दो निकटवर्ती फलकों का योग 7 नहीं है, अतः यह मानक पासा है।

मानक पासे में विपरीत फलकों का योग 7 होता है।

3 के विपरीत = 7 - 3 = 4

✔ उत्तर: 4
उदाहरण 6: एक मानक पासे की ऊपरी सतह पर अंक 2 है। इसकी निचली (विपरीत) सतह पर कौन-सा अंक होगा?

मानक पासे के नियमानुसार विपरीत फलकों का योग सदैव 7 होता है।

ऊपरी सतह = 2

निचली सतह = 7 - 2 = 5

✔ उत्तर: 5

परीक्षा में आने वाले प्रकार

मानक पासा पहचानना और विपरीत फलक ज्ञात करना
दो स्थितियों से एक उभयनिष्ठ फलक द्वारा विपरीत फलक निकालना
दो स्थितियों से दो उभयनिष्ठ फलक द्वारा विपरीत फलक निकालना
तीन या चार स्थितियों से विपरीत फलक ज्ञात करना
प्रतीक, रंग या अक्षरों वाले पासे के विपरीत फलक

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 7 [मानक पासा पहचानना और विपरीत फलक ज्ञात करना]: एक पासे की एक स्थिति दिखाई गई है जिसमें सामने के तीन फलकों पर 2, 4 और 6 लिखे हैं। ज्ञात कीजिए कि 6 के विपरीत फलक पर क्या होगा?

दिखने वाले निकटवर्ती फलकों के जोड़े का योग जाँचते हैं:

2 + 4 = 6, 4 + 6 = 10, 2 + 6 = 8

किसी भी जोड़े का योग 7 नहीं है, इसलिए यह एक मानक पासा (Standard Dice) है।

मानक पासे में विपरीत फलकों का योग = 7

6 के विपरीत फलक = 7 - 6 = 1

✔ उत्तर: 1
प्रश्न 8 [दो स्थितियों से दो उभयनिष्ठ फलक द्वारा विपरीत फलक निकालना]: एक पासे की दो विभिन्न स्थितियाँ दिखाई गई हैं। चित्र 1 में 2, 3, 5 फलक हैं और चित्र 2 में 5, 2, 4 फलक हैं। फलक 3 के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

चित्र 1 के फलक = 2, 3, 5

चित्र 2 के फलक = 5, 2, 4

दोनों चित्रों में समान फलक = 2 और 5

'दो उभयनिष्ठ फलक नियम' के अनुसार, शेष बचे फलक एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।

अतः फलक 3 के विपरीत फलक 4 होगा।

✔ उत्तर: 4
प्रश्न 9 [तीन या चार स्थितियों से विपरीत फलक ज्ञात करना]: एक पासे की तीन अलग-अलग स्थितियाँ दी गई हैं:

स्थिति I: 1, 2, 3

स्थिति II: 1, 3, 5

स्थिति III: 2, 4, 6

संख्या 3 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या होगी?

स्थिति I और स्थिति II की तुलना करते हैं:

समान फलक = 1 और 3

शेष फलक: 2 के विपरीत 5 होगा।

अब स्थिति I और स्थिति III की तुलना करते हैं, दोनों में 2 उभयनिष्ठ है:

स्थिति I में 2 से Clockwise: 2 -> 3 -> 1

स्थिति III में 2 से Clockwise: 2 -> 4 -> 6

तुलना करने पर: 3 के विपरीत 4 तथा 1 के विपरीत 6 होगा।

✔ उत्तर: 4
प्रश्न 10 [तीन या चार स्थितियों से विपरीत फलक ज्ञात करना]: एक पासे की चार स्थितियाँ दी गई हैं:

(i) 1, 2, 3

(ii) 2, 3, 5

(iii) 3, 5, 6

(iv) 4, 5, 6

अंक 2 के विपरीत फलक पर कौन-सा अंक होगा?

स्थिति (i) और स्थिति (ii) की तुलना करते हैं:

उभयनिष्ठ फलक = 2 और 3 (इससे 1 के विपरीत 5 मिलता है)

स्थिति (ii) और स्थिति (iii) की तुलना करते हैं:

उभयनिष्ठ फलक = 3 और 5

दो उभयनिष्ठ फलक नियम से शेष फलक विपरीत होंगे:

अतः 2 के विपरीत फलक 6 होगा।

✔ उत्तर: 6
प्रश्न 11 [प्रतीक, रंग या अक्षरों वाले पासे के विपरीत फलक]: एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। पहले दृश्य में फलकों पर @, #, $ हैं तथा दूसरे दृश्य में फलकों पर $, %, & हैं। प्रतीक @ के विपरीत फलक पर कौन-सा प्रतीक होगा?

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ प्रतीक = $

उभयनिष्ठ प्रतीक $ से घड़ी की सुई की दिशा (Clockwise) में चलते हैं:

दृश्य 1: $ -> @ -> #

दृश्य 2: $ -> % -> &

संगत पदों की तुलना करने पर:

@ के विपरीत % होगा और # के विपरीत & होगा।

✔ उत्तर: %
प्रश्न 12 [प्रतीक, रंग या अक्षरों वाले पासे के विपरीत फलक]: एक पासे की तीन स्थितियों में छह रंगों - लाल, हरा, नीला, पीला, काला, और सफेद को दर्शाया गया है:

स्थिति 1: लाल, पीला, हरा

स्थिति 2: लाल, हरा, नीला

स्थिति 3: पीला, काला, सफेद

'पीला' रंग के विपरीत कौन-सा रंग होगा?

स्थिति 1 और स्थिति 2 की तुलना करते हैं:

समान रंग = लाल और हरा

दो उभयनिष्ठ नियम से: पीला के विपरीत नीला होगा।

जाँच के लिए: पीला, काला और सफेद आसन्न हैं, अतः नीला ही पीला का विपरीत है।

✔ उत्तर: नीला

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, CPO और GD में पासे के फलक सम्बन्धी 1 से 2 प्रश्न अनिवार्य रूप से पूछे जाते हैं। सर्वाधिक प्रश्न दो या तीन स्थितियों से एक अंक उभयनिष्ठ (One Common Face) के घूर्णन नियम पर आधारित होते हैं।

आम गलतियाँ

✘ घड़ी की सुई की दिशा में घूमते समय पहली स्थिति में दक्षिणावर्त (Clockwise) और दूसरी में वामावर्त (Anticlockwise) घूम जाना, जिससे विपरीत जोड़े गलत हो जाते हैं।
✘ साधारण पासे में भी 7 में से घटाकर विपरीत फलक निकाल देना; यह याद रखें कि 7 में से घटाने का नियम केवल मानक पासे में लगता है।
✘ जो फलक एक साथ दिखाई दे रहे हैं (आसन्न फलक), उन्हें विपरीत मान लेना; साथ दिखने वाले फलक कभी भी परस्पर विपरीत नहीं हो सकते।

💡 यदि दो स्थितियों में 2 फलक समान दिखें, तो पेन चलाए बिना सीधे तीसरे बचे फलकों को एक-दूसरे के विपरीत टिक कर दें। यदि 1 फलक समान हो, तो कॉमन से Clockwise लिख लें। Both tricks save 90% time in exam hall. Keep an eye out for adjacent numbers summing to 7 to quickly reject standard dice assumption whenever required during tests for best results and confidence always during questions involving dice variants every time effortlessly accurately systematically without doubt perfectly always flawlessly seam

घन को रंगना और काटना (3, 2, 1, 0 रंगे फलक)

जब किसी बड़े घन (Cube) को बाहर से रंगकर समान आकार के छोटे घनों में काटा जाता है, तो कटने के बाद छोटे घनों की अलग-अलग सतहें रंगी होती हैं। यदि बड़े घन की एक भुजा को n बराबर भागों में बांटा जाए (n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा), तो कुल छोटे घनों की संख्या n³ होती है। कोनों (Corners) पर स्थित छोटे घनों की 3 सतहें रंगी होती हैं (हमेशा 8)। किनारों (Edges) पर स्थित घनों की 2 सतहें रंगी होती हैं, सतह (Faces) के केंद्र में 1 सतह रंगी होती है, और घन के बिल्कुल अंदर (Core) बिना रंगे घन (0 सतह रंगी) होते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा = ∛(कुल छोटे घन) — जब बड़े घन और छोटे घन की भुजा दी हो या कुल घनों की संख्या से विभाजन अनुपात (n) निकालना हो।

उदाहरण 13: एक 12 सेमी भुजा वाले रंगे हुए घन को 3 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। n का मान और कुल छोटे घनों की संख्या क्या होगी?

n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा

n = 12 / 3 = 4

कुल छोटे घन = n³

कुल छोटे घन = 4³ = 64

✔ उत्तर: n = 4, कुल घन = 64
उदाहरण 14: एक बड़े घन को काटकर 125 एकसमान छोटे घन बनाए गए हैं। n का मान ज्ञात कीजिए।

कुल छोटे घन = n³ = 125

n = ∛125

n = 5

✔ उत्तर: n = 5

📐 3 सतह रंगे घन = 8 (शीर्ष घन / Corner Cubes) — जब ऐसे छोटे घनों की संख्या पूछी जाए जिनकी ठीक 3 सतहें रंगी हों (यदि सभी 6 फलक रंगे हों)।

उदाहरण 15: एक 5 सेमी के घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा गया और फिर 1 सेमी के घनों में काटा गया। ऐसे कितने घन होंगे जिनकी 3 सतहें रंगी हैं?

3 सतह रंगे घन हमेशा घन के कोनों (corners) पर पाए जाते हैं।

एक घन में कुल 8 कोने होते हैं।

इसलिए 3 सतह रंगे घनों की संख्या हमेशा 8 होती है।

✔ उत्तर: 8 घन
उदाहरण 16: एक बड़े घन को 216 छोटे घनों में काटा गया है। 3 फलक रंगे घनों की संख्या क्या होगी?

कुल घन = 216 (n = 6)

3 सतह रंगे छोटे घन कोनों पर स्थित होते हैं।

कोनों की संख्या = 8

✔ उत्तर: 8 घन

📐 2 सतह रंगे घन = 12(n - 2) (मध्य घन / Edge Cubes) — जब ऐसे घनों की संख्या निकालनी हो जिनकी केवल 2 सतहें रंगी हों।

उदाहरण 17: एक रंगे हुए बड़े घन को 64 छोटे घनों में काटा जाता है। केवल 2 सतह रंगे घनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

कुल घन = n³ = 64 ⇒ n = 4

2 सतह रंगे घनों का सूत्र = 12(n - 2)

संख्या = 12 × (4 - 2)

संख्या = 12 × 2 = 24

✔ उत्तर: 24 घन
उदाहरण 18: 10 सेमी भुजा वाले रंगे घन को 2 सेमी के छोटे घनों में काटा जाता है। ठीक दो फलक रंगे घनों की संख्या क्या होगी?

n = 10 / 2 = 5

2 फलक रंगे घन = 12(n - 2)

संख्या = 12 × (5 - 2)

संख्या = 12 × 3 = 36

✔ उत्तर: 36 घन

📐 1 सतह रंगे = 6(n - 2)² और 0 सतह रंगे (रंगहीन) = (n - 2)³ — जब केवल 1 सतह रंगे हुए या बिना किसी रंग वाले (रंगहीन/अंतःकेंद्रीय) घनों की संख्या ज्ञात करनी हो।

उदाहरण 19: एक घन की सभी सतहों को नीले रंग से रंगा गया और उसे 125 छोटे घनों में काटा गया। केवल 1 फलक रंगे घनों की संख्या क्या है?

n³ = 125 ⇒ n = 5

1 सतह रंगे घन = 6(n - 2)²

संख्या = 6 × (5 - 2)²

संख्या = 6 × 3² = 6 × 9 = 54

✔ उत्तर: 54 घन
उदाहरण 20: एक 8 सेमी भुजा वाले रंगे घन को 2 सेमी वाले घनों में काटा गया। बिना रंगे (रंगहीन) घनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

n = 8 / 2 = 4

रंगहीन घन = (n - 2)³

संख्या = (4 - 2)³

संख्या = 2³ = 8

✔ उत्तर: 8 घन

परीक्षा में आने वाले प्रकार

सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)
कम से कम (At least) या अधिक से अधिक (At most) रंगे फलक ज्ञात करना
काटने के लिए आवश्यक न्यूनतम कट्स (Cuts) की संख्या ज्ञात करना
विभिन्न रंगों से रंगे घन (विपरीत या आसन्न फलकों पर अलग रंग)

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 21 [सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)]: एक 15 सेमी भुजा वाले ठोस घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 3 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी केवल एक सतह रंगी होगी?

n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा = 15 / 3 = 5

केवल 1 सतह रंगे घनों का सूत्र = 6(n - 2)²

मान रखने पर = 6 × (5 - 2)²

= 6 × (3)²

= 6 × 9 = 54

✔ उत्तर: 54 घन
प्रश्न 22 [सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)]: एक बड़े रंगे हुए घन को काटकर 216 छोटे घनों में विभाजित किया गया। ऐसे कितने छोटे घन प्राप्त होंगे जिनका कोई भी फलक रंगा हुआ नहीं है?

कुल छोटे घन = n³ = 216 ⇒ n = 6

बिना रंगे फलक वाले घनों (0 सतह रंगे) का सूत्र = (n - 2)³

मान रखने पर = (6 - 2)³

= 4³ = 64

✔ उत्तर: 64 घन
प्रश्न 23 [सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)]: एक 4 सेमी के रंगे घन को 1 सेमी के घनों में काटा गया है। ऐसे कितने घन हैं जिनकी ठीक 2 सतहें रंगी हुई हैं?

n = 4 / 1 = 4

2 सतह रंगे घनों का सूत्र = 12(n - 2)

मान रखने पर = 12 × (4 - 2)

= 12 × 2 = 24

✔ उत्तर: 24 घन
प्रश्न 24 [कम से कम (At least) या अधिक से अधिक (At most) रंगे फलक ज्ञात करना]: एक रंगे हुए घन को 64 छोटे घनों में काटा गया है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी कम से कम (at least) 2 सतहें रंगी हों?

n³ = 64 ⇒ n = 4

'कम से कम 2 सतह' = (2 सतह रंगे घन) + (3 सतह रंगे घन)

2 सतह रंगे घन = 12(n - 2) = 12(4 - 2) = 24

3 सतह रंगे घन = 8

कुल अभीष्ट घन = 24 + 8 = 32

✔ उत्तर: 32 घन
प्रश्न 25 [कम से कम (At least) या अधिक से अधिक (At most) रंगे फलक ज्ञात करना]: एक घन के सभी फलकों को पीला रंगा गया और 125 छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने घन हैं जिनकी अधिक से अधिक (at most) 1 सतह रंगी हुई है?

n³ = 125 ⇒ n = 5

'अधिक से अधिक 1 सतह' = (0 सतह रंगे घन) + (1 सतह रंगा घन)

0 सतह रंगे घन = (n - 2)³ = (5 - 2)³ = 3³ = 27

1 सतह रंगे घन = 6(n - 2)² = 6 × (3)² = 54

कुल अभीष्ट घन = 27 + 54 = 81

✔ उत्तर: 81 घन
प्रश्न 26 [काटने के लिए आवश्यक न्यूनतम कट्स (Cuts) की संख्या ज्ञात करना]: एक बड़े ठोस घन को काटकर 125 छोटे घनों में बदलने के लिए कम से कम कितनी बार काटना (cuts) पड़ेगा?

कुल छोटे घन = n³ = 125 ⇒ n = 5

प्रत्येक दिशा (लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई) में कट्स की संख्या = (n - 1)

एक दिशा में कट्स = 5 - 1 = 4

घन में कुल 3 विमाएं (dimensions) होती हैं।

कुल न्यूनतम कट्स = 3 × (n - 1) = 3 × 4 = 12

✔ उत्तर: 12 कट्स
प्रश्न 27 [विभिन्न रंगों से रंगे घन (विपरीत या आसन्न फलकों पर अलग रंग)]: एक 4 सेमी भुजा वाले घन के विपरीत फलकों के जोड़ों को क्रमशः लाल, हरे और नीले रंग से रंगा गया है। इसे 1 सेमी भुजा वाले घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी केवल दो सतहें रंगी हों और वे दोनों सतहें लाल और हरी हों?

n = 4 / 1 = 4

घन में कुल 12 किनारे (edges) होते हैं।

लाल और हरे रंग के फलकों के बीच मिलने वाले कुल किनारे = 4

प्रत्येक किनारे पर केवल 2 सतह रंगे घन = (n - 2) = 4 - 2 = 2

अभीष्ट घनों की संख्या = 4 × (n - 2) = 4 × 2 = 8

✔ उत्तर: 8 घन

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और GD में घन काटने और रंगने से प्रति शिफ्ट 1 प्रश्न प्रायः पूछा जाता है। प्रश्न में मुख्य रूप से 1 सतह, 2 सतह या रंगहीन घनों की सीधी संख्या, या 'कम से कम / अधिक से अधिक' वाली शर्त पूछी जाती है।

आम गलतियाँ

✘ कम से कम 2 फलक' पूछे जाने पर केवल 2 सतह रंगे घनों की गणना कर देना और 3 सतह रंगे घनों (8) को जोड़ना भूल जाना।
✘ n का मान निकालने में गलती करना; n कुल घनों की संख्या नहीं बल्कि भुजाओं का अनुपात ∛(कुल घन) होता है।
✘ कट्स (cuts) की संख्या निकालते समय सूत्र 3(n - 1) की जगह सीधे n³ या n का प्रयोग कर देना।

💡 सभी घनों का योग हमेशा n³ के बराबर होना चाहिए: 8 + 12(n - 2) + 6(n - 2)² + (n - 2)³ = n³। परीक्षा में उत्तर जांचने के लिए इस संतुलन का प्रयोग करें। सूत्र याद रखने की ट्रिक: 3-सतह → 8 कोने, 2-सतह → 12 किनारे, 1-सतह → 6 फलक, 0-सतह → 1 केंद्र। गुणक हमेशा क्रमशः 8, 12, 6, 1 होते हैं। गुणांक में (n - 2) की घात 0, 1, 2, 3 बढ़ती जाती है। n - 2 हमेशा आधार रहता है। 8 कोनों पर 3 सतह, 12 किनारों पर 2 सतह, 6 फलकों पर 1 सतह और 1 केंद्र में बिना रंगे घन होते हैं। 3 सतह रंगे घनों की संख्या हमेशा 8 ही रहती है। 0

आकृतियों की गणना: त्रिभुज और वर्ग

आकृतियों की गणना (Counting of Figures) में जटिल ज्यामितीय आकृतियों के भीतर छिपे हुए कुल त्रिभुजों (Triangles) और वर्गों (Squares) की संख्या ज्ञात करनी होती है। इसे एक-एक करके गिनने के बजाय मानक सूत्रों (Standard Formulas) और बुनियादी ब्लॉकों को जोड़कर हल किया जाता है। जब किसी त्रिभुज को शीर्ष से आधार पर रेखाएं खींचकर विभाजित किया जाता है, तो आधार पर बने भागों को जोड़कर कुल त्रिभुज मिलते हैं। इसी प्रकार वर्ग या आयत में दोनों विकर्ण (Diagonals) खींचने पर कुल छोटे त्रिभुजों की संख्या का दोगुना हो जाता है। परीक्षा में जब दो या दो से अधिक मानक आकृतियाँ आपस में जुड़ती हैं, तो उनके जोड़ (Junction) पर बनने वाले नए बड़े त्रिभुजों को विशेष रूप से ध्यान में रखा जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 त्रिभुज का लंबवत विभाजन = n(n + 1)/2 × h (जहाँ n = आधार के भाग, h = क्षैतिज स्तरों की संख्या) — जब किसी त्रिभुज के शीर्ष से आधार पर रेखाएं खींची गई हों और बीच में क्षैतिज रेखाएं (Horizontal lines) भी हों।

उदाहरण 28: एक त्रिभुज के आधार को शीर्ष से आने वाली रेखाओं द्वारा 4 बराबर भागों में बांटा गया है। इसमें कुल कितने त्रिभुज हैं?

आधार पर बने भागों की संख्या (n) = 4

कुल त्रिभुज = 1 + 2 + 3 + 4

= 4 × (4 + 1) / 2

= 4 × 5 / 2 = 10

✔ उत्तर: 10 त्रिभुज
उदाहरण 29: एक त्रिभुज के आधार पर 3 खंड बने हैं तथा इसमें आधार के समांतर 2 क्षैतिज रेखाएं खींची गई हैं (कुल 3 स्तर)। कुल त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

आधार के भागों की संख्या (n) = 3

प्रत्येक स्तर पर त्रिभुज = 1 + 2 + 3 = 6

क्षैतिज स्तरों की कुल संख्या (h) = 3

कुल त्रिभुज = 6 × 3 = 18

✔ उत्तर: 18 त्रिभुज

📐 वर्ग/आयत में विकर्णों द्वारा बने त्रिभुज = 2 × n (जहाँ n = केंद्र से बनने वाले छोटे खंडों की संख्या) — जब किसी वर्ग या आयत के दोनों विकर्ण कटे हों और अतिरिक्त रेखाएं भी केंद्र से होकर गुजरती हों।

उदाहरण 30: एक वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे गए हैं, जिससे केंद्र के चारों ओर 4 छोटे त्रिभुज बनते हैं। इस वर्ग में कुल कितने त्रिभुज हैं?

केंद्र के चारों ओर बने छोटे खंड (n) = 4

सूत्र अनुसार कुल त्रिभुज = 2 × n

= 2 × 4 = 8

✔ उत्तर: 8 त्रिभुज
उदाहरण 31: एक वर्ग के दोनों विकर्णों के साथ-साथ एक क्षैतिज और एक लंबवत मध्य रेखा खींची गई है, जिससे 8 छोटे त्रिभुज बनते हैं। कुल त्रिभुज ज्ञात कीजिए।

केंद्र पर विभाजित कुल छोटे खंडों की संख्या (n) = 8

सूत्र अनुसार कुल त्रिभुज = 2 × 8

= 16

✔ उत्तर: 16 त्रिभुज

📐 m × n ग्रिड में कुल वर्ग = (m × n) + (m - 1)(n - 1) + (m - 2)(n - 2) + ... (जब तक कोई एक मान 1 न हो जाए) — जब किसी शतरंज जैसी ग्रिड (चेकबोर्ड या आयताकार ग्रिड) में वर्गों की संख्या ज्ञात करनी हो।

उदाहरण 32: एक 3 × 3 की वर्गाकार ग्रिड में कुल कितने वर्ग हैं?

यहाँ m = 3 और n = 3 (सममित ग्रिड)

कुल वर्ग = 3×3 + 2×2 + 1×1

= 9 + 4 + 1

= 14

✔ उत्तर: 14 वर्ग
उदाहरण 33: एक आयताकार ग्रिड में 4 पंक्तियाँ (rows) और 3 स्तंभ (columns) हैं। इसमें कुल कितने वर्ग होंगे?

यहाँ m = 4 तथा n = 3

कुल वर्ग = (4 × 3) + (3 × 2) + (2 × 1)

= 12 + 6 + 2

= 20

✔ उत्तर: 20 वर्ग

परीक्षा में आने वाले प्रकार

त्रिभुज का लंबवत व क्षैतिज विभाजन
वर्ग के अंदर विकर्णों से बने त्रिभुज
दो या अधिक वर्गों को जोड़ने पर बने त्रिभुज
वर्ग और त्रिभुज का संयुक्त संयोजन
सममित और असममित ग्रिड में वर्ग गिनना
आकृतियों के भीतर सन्निहित (Embedded) वर्ग
तारा आकृति (5-Pointed व 6-Pointed Star)

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 34 [त्रिभुज का लंबवत व क्षैतिज विभाजन]: दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A से आधार BC पर रेखाएं खींचकर आधार को 5 बराबर भागों में बांटा गया है, तथा बीच में एक क्षैतिज रेखा खींचकर इसे 2 बराबर स्तरों में बांटा गया है। कुल त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक आधार पर छोटे भागों की संख्या (n) = 5

एक स्तर पर त्रिभुजों की संख्या = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

क्षैतिज स्तरों (horizontal levels) की संख्या = 2

कुल त्रिभुज = 15 × 2 = 30

✔ उत्तर: 30 त्रिभुज
प्रश्न 35 [वर्ग के अंदर विकर्णों से बने त्रिभुज]: एक वर्ग के दोनों विकर्ण तथा एक ऊर्ध्वाधर मध्य रेखा खींची गई है, जिससे केंद्र पर कुल 6 छोटे त्रिभुज खंड बनते हैं। आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?

केंद्र से विभाजित छोटे त्रिभुज खंडों की संख्या = 6

विकर्ण आधारित वर्ग में कुल त्रिभुज = 2 × खंडों की संख्या

= 2 × 6 = 12

✔ उत्तर: 12 त्रिभुज
प्रश्न 36 [दो या अधिक वर्गों को जोड़ने पर बने त्रिभुज]: दो समान वर्ग एक-दूसरे से क्षैतिज रूप से जुड़े हुए हैं। प्रत्येक वर्ग के दोनों विकर्ण आपस में मिले हुए हैं। इस पूरी आकृति में कुल त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पहले स्वतंत्र वर्ग में त्रिभुज = 4 × 2 = 8

दूसरे स्वतंत्र वर्ग में त्रिभुज = 4 × 2 = 8

दोनों वर्गों के उभयनिष्ठ जोड़ (Junction) पर बनने वाले बड़े उभयनिष्ठ त्रिभुज = 2 (एक ऊपर की ओर शीर्ष, एक नीचे की ओर)

कुल त्रिभुज = 8 + 8 + 2 = 18

✔ उत्तर: 18 त्रिभुज
प्रश्न 37 [सममित और असममित ग्रिड में वर्ग गिनना]: एक 5 × 4 के आयताकार ब्लॉक (5 कॉलम और 4 पंक्तियाँ) में कुल कितने वर्ग उपस्थित हैं?

कॉलम = 5, पंक्तियाँ = 4

कुल वर्ग = (5 × 4) + (4 × 3) + (3 × 2) + (2 × 1)

= 20 + 12 + 6 + 2

= 40

✔ उत्तर: 40 वर्ग
प्रश्न 38 [आकृतियों के भीतर सन्निहित (Embedded) वर्ग]: एक बड़े वर्ग के अंदर एक छोटा वर्ग उसके कोनों को जोड़कर बनाया गया है और दोनों वर्गों में 2-2 लंबवत व क्षैतिज रेखाएं खींचकर उन्हें 2 × 2 की ग्रिड बनाया गया है। इस आकृति में कुल कितने वर्ग हैं?

एक 2 × 2 ग्रिड में वर्गों की संख्या = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

बड़ा वर्ग (2 × 2 ग्रिड) = 5 वर्ग

अंदर सन्निहित छोटा वर्ग (2 × 2 ग्रिड) = 5 वर्ग

दोनों स्वतंत्र हैं और कोई नया मिश्रित वर्ग नहीं बनता

कुल वर्ग = 5 + 5 = 10

✔ उत्तर: 10 वर्ग
प्रश्न 39 [तारा आकृति (5-Pointed व 6-Pointed Star)]: एक पंचकोणीय तारा (5-Pointed Star) में कुल कितने त्रिभुज होते हैं?

तारे के 5 बाहरी कोने 5 छोटे त्रिभुज बनाते हैं = 5

प्रत्येक शीर्ष बिंदु (Junction point) से विपरीत आधार पर 1 बड़ा त्रिभुज बनता है = 5

कुल त्रिभुज = 5 + 5 = 10

✔ उत्तर: 10 त्रिभुज

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1), CHSL, MTS, CPO और Railway NTPC/Group D में रीजनिंग सेक्शन में 1 प्रश्न (कभी-कभी 2 प्रश्न) अनिवार्य रूप से पूछा जाता है।

आम गलतियाँ

✘ दो वर्गों या त्रिभुजों को जोड़ने पर जॉइंट (Junction) पर बनने वाले नए बड़े त्रिभुजों को गिनना भूल जाना।
✘ ग्रिड में वर्ग गिनते समय आयत (Rectangles) को भी वर्ग मान लेना या गुणा करते समय 1 तक पहुंचने से पहले रुक जाना।
✘ 5-स्टार (10 त्रिभुज) और 6-स्टार (8 त्रिभुज) के सीधे परिणाम में भ्रमित हो जाना।

💡 जब भी दो या तीन विकर्ण वाले वर्ग एक सीध में जुड़े हों, तो कुल त्रिभुज = (वर्गों की संख्या × 8) + (जोड़ों/Junctions की संख्या × 2) होता है। L-आकार में अतिरिक्त 1 बड़ा विकर्ण त्रिभुज भी बनता है।्ँ

आकृति पूर्ण करना और आकृति श्रृंखला

आकृति पूर्ण करना (Figure Completion) में एक मुख्य ज्यामितीय आकृति का एक चौथाई (चतुर्थांश) भाग रिक्त छोड़ा जाता है, जिसे शेष तीन भागों के समरूप पैटर्न (Pattern) और सममिति (Symmetry) के आधार पर खोजना होता है। आकृति श्रृंखला (Figure Series) में 3 से 5 आकृतियों का एक क्रमिक क्रम दिया जाता है, जिसमें तत्व एक निश्चित नियम से घूमते या बदलते हैं। इसे हल करने के लिए घूर्णन (Rotation - 45°, 90°, 135°), दिशा (Clockwise / Anticlockwise) और रेखाओं या प्रतीकों की संख्या में वृद्धि या कमी की पहचान की जाती है। परीक्षा में 'दिए गए पैटर्न को पूरा करने वाली आकृति चुनें' या 'शृंखला में अगली आकृति ज्ञात करें' के रूप में यह पूछा जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 चतुर्थांश सममिति नियम (Quadrant Symmetry Rule): चतुर्थांश IV = चतुर्थांश I का जल प्रतिबिंब (Water Image) या चतुर्थांश III का दर्पण प्रतिबिंब (Mirror Image) — जब किसी वर्ग या वृत्त के चार भागों में से नीचे-दाएं (Bottom-Right) या कोई एक चतुर्थांश खाली हो और आकृति में विकर्ण या अक्षीय सममिति हो।

उदाहरण 40: एक बड़े वर्ग को 4 छोटे वर्गों में बांटा गया है। ऊपर-बाएं (TL) में केंद्र से बाहर जाता एक विकर्ण और वृत्त है, ऊपर-दाएं (TR) में उसका दर्पण प्रतिबिंब है। नीचे-बाएं (BL) में TL का जल प्रतिबिंब है। नीचे-दाएं (BR) के लिए सही आकृति क्या होगी?

ऊपरी दोनों चतुर्थांश (TL और TR) एक-दूसरे के ऊर्ध्वाधर दर्पण प्रतिबिंब हैं।\nनिचले भाग में भी वही दर्पण सममिति लागू होगी।\nअतः नीचे-दाएं (BR) का भाग नीचे-बाएं (BL) का ऊर्ध्वाधर दर्पण प्रतिबिंब होगा।\nBL में विकर्ण नीचे-बाएं से केंद्र की ओर आ रहा है, तो BR में विकर्ण नीचे-दाएं कोने से केंद्र की ओर जाएगा।\nवृत्त केंद्र से जुड़े विकर्ण के सिरे पर स्थित होगा।

✔ उत्तर: नीचे-दाएं कोने से केंद्र की ओर जाती रेखा जिसके सिरे पर वृत्त हो
उदाहरण 41: एक बड़े वृत्त के चार चतुर्थांश हैं। TL में दो संकेंद्रीय चाप (Concentric Arcs) केंद्र की ओर झुके हैं। TR में भी केंद्र की ओर झुके दो चाप हैं। BL में भी केंद्र की ओर चाप हैं। BR के प्रश्नवाचक चिन्ह (?) के स्थान पर क्या आएगा?

पूरी आकृति केंद्र के परितः पूर्णतः सममित (Symmetric) है।\nप्रत्येक चतुर्थांश में केंद्र को घेरते हुए दो वृत्ताकार चाप बने हैं।\nBR चतुर्थांश को पूरा करने के लिए भी दो चाप केंद्र की दिशा में अवतल (Concave) होने चाहिए।\nये चाप नीचे और दाईं परिधि से शुरू होकर क्रमशः अक्षों को छुएंगे।

✔ उत्तर: केंद्र की ओर मुख किए हुए दो संकेंद्रीय चाप (Concentric Arcs)

📐 घूर्णन व विस्थापन नियम: नया कोण = प्रारंभिक कोण ± θ (जहाँ θ = 45°, 90°, 135° या 180° एवं + दक्षिणावर्त, - वामावर्त) — जब श्रृंखला में कोई तीर, छायांकित भाग या चिन्ह प्रत्येक चरण में एक निश्चित कोण या भुजा पर आगे बढ़ रहा हो।

उदाहरण 42: एक तीर पहली आकृति में उत्तर (North) की ओर है, दूसरी आकृति में उत्तर-पूर्व (North-East), तीसरी में पूर्व (East), और चौथी में दक्षिण-पूर्व (South-East) की ओर है। पांचवीं आकृति में तीर किस दिशा में होगा?

पद 1 से 2: उत्तर से उत्तर-पूर्व = 45° दक्षिणावर्त (Clockwise)।\nपद 2 से 3: उत्तर-पूर्व से पूर्व = 45° दक्षिणावर्त।\nपद 3 से 4: पूर्व से दक्षिण-पूर्व = 45° दक्षिणावर्त।\nपद 4 से 5: 45° दक्षिणावर्त घूर्णन = दक्षिण-पूर्व + 45° = दक्षिण (South)।

✔ उत्तर: दक्षिण दिशा (South) की ओर तीर
उदाहरण 43: एक वर्ग के अंदर एक काला बिंदु पहली आकृति में शीर्ष-बाएं (TL) कोने पर है, दूसरी में शीर्ष-दाएं (TR), तीसरी में नीचे-दाएं (BR), और चौथी में नीचे-बाएं (BL) कोने पर है। पांचवीं आकृति में बिंदु कहाँ होगा?

बिंदु प्रत्येक चरण में वर्ग के कोनों पर दक्षिणावर्त (CW) 1 स्थान आगे बढ़ रहा है।\nTL -> TR (1 कदम CW)\nTR -> BR (1 कदम CW)\nBR -> BL (1 कदम CW)\nBL से अगला कदम CW चलने पर बिंदु पुनः शीर्ष-बाएं (TL) कोने पर पहुंचेगा।

✔ उत्तर: शीर्ष-बाएं (Top-Left) कोने पर काला बिंदु

परीक्षा में आने वाले प्रकार

चतुर्थांश समरूपता द्वारा आकृति पूर्ण करना
कोण घूर्णन आधारित आकृति श्रृंखला
तत्वों की संख्या व स्थिति में वृद्धि/कमी
एकांतर विस्थापन और रूप परिवर्तन श्रृंखला
रेखाओं और आकारों का संयोजन व विलोपन

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 44 [चतुर्थांश समरूपता द्वारा आकृति पूर्ण करना]: दिए गए पैटर्न में प्रश्नवाचक चिन्ह (?) के स्थान पर कौन-सी आकृति आएगी? मुख्य आकृति एक बड़ा वर्ग है जो चार बराबर वर्गों में बंटा है। शीर्ष-बाएं भाग में केंद्र से कोने तक एक विकर्ण और उस पर 2 छोटी लंबवत रेखाएं हैं। शीर्ष-दाएं और नीचे-बाएं भाग में भी विकर्ण पर 2 रेखाएं सममित रूप से बनी हैं। नीचे-दाएं (?) भाग को पूरा करें।

पैटर्न का विश्लेषण करने पर यह दोनों मुख्य विकर्णों के परितः सममित है।\nनीचे-दाएं (BR) चतुर्थांश में एक विकर्ण केंद्र से नीचे-दाएं कोने तक जाएगा।\nउस विकर्ण पर 2 छोटी लंबवत रेखाएं अंदर की ओर निकली होनी चाहिए, जैसा कि शीर्ष-दाएं भाग में है।\nयह शीर्ष-बाएं चतुर्थांश का ठीक 180° घूर्णन या नीचे-बाएं का ऊर्ध्वाधर परावर्तन होगा।

✔ उत्तर: केंद्र से नीचे-दाएं कोने तक जाती विकर्ण रेखा जिस पर दो छोटी लंबवत रेखाएं हों
प्रश्न 45 [कोण घूर्णन आधारित आकृति श्रृंखला]: श्रृंखला में अगली आकृति ज्ञात कीजिए: आकृति 1 में एक रेखाखंड 12 बजे (ऊपर) की स्थिति में है। आकृति 2 में यह 45° दक्षिणावर्त मुड़कर 1:30 की स्थिति में आता है। आकृति 3 में यह 90° दक्षिणावर्त मुड़कर 4:30 पर आता है। आकृति 4 में यह 135° दक्षिणावर्त मुड़ता है। आकृति 5 में इसकी दिशा क्या होगी?

घूर्णन कोण का पैटर्न जांचें:\nपद 1 से 2 में घूर्णन = +45° (Clockwise)\nपद 2 से 3 में घूर्णन = +90° (Clockwise)\nपद 3 से 4 में घूर्णन = +135° (Clockwise)\nघूर्णन कोण में प्रत्येक बार 45° की वृद्धि हो रही है (45°, 90°, 135°...)।\nपद 4 से 5 में घूर्णन = +180° होना चाहिए।\nआकृति 4 की स्थिति: 4:30 (135°) + 135° = 270° (9 बजे की स्थिति)।\nअब 270° + 180° = 450° = 90° (3 बजे की स्थिति / पूर्व दिशा)।

✔ उत्तर: पूर्व दिशा (3 बजे की स्थिति) की ओर इंगित करता रेखाखंड
प्रश्न 46 [तत्वों की संख्या व स्थिति में वृद्धि/कमी]: शृंखला में अगली आकृति क्या होगी? आकृति 1: एक त्रिभुज (3 भुजाएं)। आकृति 2: एक चतुर्भुज जिसके अंदर 1 वृत्त है। आकृति 3: एक पंचभुज जिसके अंदर 2 वृत्त हैं। आकृति 4: एक षट्भुज जिसके अंदर 3 वृत्त हैं। आकृति 5 ज्ञात कीजिए।

बाहरी आकृति की भुजाओं की संख्या:\nपद 1: 3 भुजाएं (त्रिभुज)\nपद 2: 4 भुजाएं (वर्ग/चतुर्भुज)\nपद 3: 5 भुजाएं (पंचभुज)\nपद 4: 6 भुजाएं (षट्भुज)\nअतः पद 5 में 7 भुजाओं वाली बंद आकृति (सप्तभुज / Heptagon) होगी।\nअंदर के वृत्तों की संख्या: 0 -> 1 -> 2 -> 3 -> 4 वृत्त होंगे।

✔ उत्तर: एक सप्तभुज (7 भुजाएं) जिसके अंदर 4 वृत्त हों
प्रश्न 47 [एकांतर विस्थापन और रूप परिवर्तन श्रृंखला]: एक वर्ग में एक चिन्ह बदल रहा है: पद 1 में TL कोने पर सफेद वृत्त (O)। पद 2 में BR कोने पर काला वर्ग (■)। पद 3 में TL कोने पर सफेद त्रिभुज (△)। पद 4 में BR कोने पर काला पंचभुज (⬟)। पद 5 में क्या आएगा?

स्थान का नियम: पद 1 (TL), पद 2 (BR), पद 3 (TL), पद 4 (BR)। अतः पद 5 में चिन्ह शीर्ष-बाएं (TL) कोने पर होगा।\nरंग/छाया का नियम: पद 1 (सफेद), पद 2 (काला), पद 3 (सफेद), पद 4 (काला)। अतः पद 5 का चिन्ह सफेद (Unshaded) होगा।\nभुजाओं की संख्या: वृत्त (0 या मान लें 1 वक्र), पद 2 में 4 भुजाएं, पद 3 में 3 भुजाएं, पद 4 में 5 भुजाएं।\nविषम पदों (पद 1, 3, 5) को देखें: पद 1 = वृत्त, पद 3 = त्रिभुज (3 भुजाएं)।\nएकांतर क्रम में आकृतियों की भुजाएं: पद 3 में 3 भुजाएं, पद 5 में 4 भुजाओं वाली सफेद आकृति (सफेद वर्ग/आयत) आएगी।

✔ उत्तर: शीर्ष-बाएं (TL) कोने पर एक सफेद (अछायांकित) वर्ग
प्रश्न 48 [रेखाओं और आकारों का संयोजन व विलोपन]: एक वर्ग के केंद्र पर '+' चिन्ह है। आकृति 1: केवल '+' चिन्ह। आकृति 2: '+' चिन्ह के साथ ऊपर-दाएं कोने में एक विकर्ण रेखा। आकृति 3: ऊपर-दाएं और नीचे-दाएं दोनों कोनों में विकर्ण रेखाएं। आकृति 4: तीन कोनों (ऊपर-दाएं, नीचे-दाएं, नीचे-बाएं) में विकर्ण रेखाएं। पांचवीं आकृति क्या होगी?

मूल केंद्र चिन्ह '+' सभी आकृतियों में स्थिर रहता है।\nकोनों पर विकर्ण रेखाएं दक्षिणावर्त (Clockwise) क्रम में एक-एक करके जुड़ रही हैं:\nआकृति 2: शीर्ष-दाएं कोने में 1 विकर्ण रेखा जुड़ी।\nआकृति 3: नीचे-दाएं कोने में दूसरी विकर्ण रेखा जुड़ी।\nआकृति 4: नीचे-बाएं कोने में तीसरी विकर्ण रेखा जुड़ी।\nआकृति 5: शीर्ष-बाएं कोने में चौथी विकर्ण रेखा जुड़ेगी, जिससे चारों कोनों में विकर्ण बन जाएंगे।

✔ उत्तर: केंद्र में '+' चिन्ह तथा चारों कोनों में विकर्ण रेखाएं
प्रश्न 49 [चतुर्थांश समरूपता द्वारा आकृति पूर्ण करना]: एक वृत्त 4 बराबर भागों में विभाजित है। ऊपरी-बाएं भाग में दो तीर केंद्र से बाहर की ओर जा रहे हैं। ऊपरी-दाएं भाग में दो तीर केंद्र की ओर आ रहे हैं। निचले-बाएं भाग में दो तीर केंद्र की ओर आ रहे हैं। निचले-दाएं (?) भाग को पूरा करने के लिए तीरों की दिशा क्या होगी?

चतुर्थांशों के संबंध का विश्लेषण करें:\nऊपरी-बाएं (TL) = बाहर की ओर।\nऊपरी-दाएं (TR) = अंदर (केंद्र) की ओर।\nनिचला-बाएं (BL) = अंदर (केंद्र) की ओर।\nध्यान दें: विकर्णतः विपरीत (TL और BR) एक जैसे होने चाहिए या क्षैतिज/ऊर्ध्वाधर रूप से विपरीत दिशा का संबंध है।\nTL (बाहर) -> TR (अंदर) : दिशा उलट गई।\nBL (अंदर) -> BR (?) : दिशा पुनः उलट कर 'बाहर की ओर' होगी।\nअतः विकर्णतः TL और BR समान होंगे।

✔ उत्तर: केंद्र से बाहर की ओर जाते हुए दो तीर
प्रश्न 50 [कोण घूर्णन आधारित आकृति श्रृंखला]: एक वृत्त में दो सुइयां (A और B) हैं। पहली आकृति में A उत्तर (12 बजे) पर और B पूर्व (3 बजे) पर है। दूसरी आकृति में A 45° CW चलकर 1:30 पर और B 90° CW चलकर 6 बजे पर जाता है। तीसरी में A 45° CW चलकर 3 बजे और B 90° CW चलकर 9 बजे पर जाता है। चौथी आकृति में सुई A और B की स्थिति क्या होगी?

सुई A की गति: प्रत्येक चरण में 45° दक्षिणावर्त (Clockwise)।\nआकृति 3 में A = 3 बजे (पूर्व) -> आकृति 4 में A = 3:00 + 45° = 4:30 (दक्षिण-पूर्व)।\nसुई B की गति: प्रत्येक चरण में 90° दक्षिणावर्त (Clockwise)।\nआकृति 3 में B = 9 बजे (पश्चिम) -> आकृति 4 में B = 9:00 + 90° = 12 बजे (उत्तर)।

✔ उत्तर: सुई A दक्षिण-पूर्व (4:30) पर तथा सुई B उत्तर (12:00) पर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, GD और Railway में Non-Verbal Reasoning के अंतर्गत इस उप-विषय से 2 से 3 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। 1 प्रश्न आकृति पूर्ण करने (Completion of Pattern) का और 1-2 प्रश्न 5-पदों वाली आकृति श्रृंखला (Figure Series) के आते हैं।

आम गलतियाँ

✘ पूरी आकृति को एक साथ देखने की कोशिश करना; इसके बजाय प्रत्येक तत्व (Element) को अलग-अलग ट्रैक करना चाहिए।
✘ घूर्णन की दिशा (Clockwise vs Anticlockwise) में भ्रमित होना और 45° तथा 90° के अंतर को ध्यान से न देखना।
✘ आकृति पूर्ण करते समय दिए गए विकल्प के घूर्णन (Rotation allowed/not allowed) के निर्देश को नज़रअंदाज़ करना।

💡 हमेशा 'विकल्प विलोपन विधि' (Option Elimination) अपनाएं; किसी एक छोटे तत्व के घूर्णन या स्थिति को पकड़ें और गलत दिशा वाले 2-3 विकल्पों को तुरंत काट दें। इससे प्रश्न 10 सेकंड में हल हो जाता है। देशी भाषा में कहें तो: पहले खोट ढूंढो, सही अपने आप बच जाएगा। वृत्त या वर्ग के कोनों पर घड़ी की सुई की तरह 1-2-3-4 नंबर मानकर विस्थापन गिनें। सममिति वाले प्रश्नों में पन्ने को 180° घुमाकर भी पैटर्न तुरंत दिख जाता है। यह ट्रिक परीक्षा में आपका समय और नेगेटिव मार्किंग दोनों बचाएगी। कठिन प्रश्नों में हमेशा दो व

दिए गए शब्द से शब्द निर्माण और शब्दकोश क्रम

इस विषय में दो प्रमुख प्रकार के प्रश्न पूछे जाते हैं: पहला 'शब्द निर्माण' (Word Formation) और दूसरा 'शब्दकोश क्रम' (Dictionary Order)। शब्द निर्माण में एक मूल शब्द दिया जाता है और देखना होता है कि उसके अक्षरों का प्रयोग करके कौन-सा नया शब्द बनाया जा सकता है या नहीं बनाया जा सकता। इसमें किसी अक्षर का उपयोग उतनी ही बार किया जा सकता है जितनी बार वह मूल शब्द में मौजूद हो। शब्दकोश क्रम में शब्दों को अंग्रेजी वर्णमाला (A से Z) के क्रम में बाएं से दाएं तुलना करके व्यवस्थित किया जाता है। परीक्षा में 'दिए गए शब्द से नहीं बनने वाला शब्द' या 'शब्दों को डिक्शनरी के सही क्रम में सजाएं' जैसे प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 अक्षर उपस्थिति एवं आवृत्ति सीमा नियम (Letter Frequency Rule): कोई नया शब्द तभी बन सकता है जब उसमें प्रयुक्त प्रत्येक अक्षर मूल शब्द में मौजूद हो और उसकी संख्या मूल शब्द में उपस्थित संख्या से अधिक न हो। — जब प्रश्न में पूछा जाए कि दिए गए शब्द के अक्षरों से कौन-सा शब्द 'बनाया जा सकता है' या 'नहीं बनाया जा सकता है' तब इस नियम का उपयोग करें।

उदाहरण 51: दिए गए शब्द 'REFRIGERATOR' के अक्षरों का प्रयोग करके कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

A. ROAR

B. REFUSE

C. GREAT

D. FORMER

मूल शब्द 'REFRIGERATOR' के अक्षर: R(4), E(2), F(1), I(1), G(1), A(1), T(1), O(1)

विकल्प B में शब्द 'REFUSE' है।

'REFUSE' में अक्षर 'S' और 'U' मौजूद हैं।

मूल शब्द 'REFRIGERATOR' में 'S' और 'U' अक्षर उपस्थित नहीं हैं।

अतः 'REFUSE' नहीं बनाया जा सकता।

✔ उत्तर: REFUSE

📐 बाएं-से-दाएं वर्णमाला तुलना नियम (Left-to-Right Alphabetical Comparison): शब्दों के अक्षरों की तुलना पहले अक्षर से शुरू करें; समान होने पर अगले अक्षर की तुलना वर्णमाला मान (A=1, B=2, ..., Z=26) के आधार पर करें। — जब 4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) या वर्णमाला के क्रम में व्यवस्थित करना हो।

उदाहरण 52: निम्नलिखित शब्दों को शब्दकोश क्रम में व्यवस्थित कीजिए:

1. Habit 2. Habitat 3. Habitation 4. Habitual

सभी शब्दों में पहले 5 अक्षर समान हैं: 'H-A-B-I-T'

1. Habit (यहीं समाप्त हो गया, अतः सबसे पहले आएगा) = 1

2. Habitat में छठा अक्षर 'a' है।

3. Habitation में छठा और सातवां अक्षर 'a-t' है, आठवां 'i' है (Habitat के बाद आएगा)।

4. Habitual में छठा अक्षर 'u' है (a के बाद u आता है)।

अतः सही क्रम: 1, 2, 3, 4 होगा।

✔ उत्तर: 1, 2, 3, 4
उदाहरण 53: दिए गए शब्दों को शब्दकोश के अनुसार सजाने पर मध्य (तीसरे) स्थान पर कौन-सा शब्द आएगा?

Faith, False, Fake, Fame, Family

सभी शब्दों का पहला अक्षर 'F' और दूसरा 'a' समान है।

तीसरे अक्षर की तुलना करने पर: i(9), l(12), k(11), m(13), m(13)

1st = Faith (i = 9)

2nd = Fake (k = 11)

3rd = False (l = 12)

4th = Fame (m-e) तथा 5th = Family (m-i)

अतः ठीक मध्य (तीसरे) स्थान पर 'False' आएगा।

✔ उत्तर: False

परीक्षा में आने वाले प्रकार

मूल शब्द के अक्षरों से 'बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना
मूल शब्द के अक्षरों से 'नहीं बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना
अक्षरों की पुनरावृत्ति (आवृत्ति सीमा) पर आधारित शब्द निर्माण
4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) क्रम में व्यवस्थित करना
शब्दकोश में तीसरे या अंतिम स्थान पर आने वाला शब्द ज्ञात करना

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 54 [मूल शब्द के अक्षरों से 'नहीं बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना]: दिए गए शब्द 'SOMNAMBULISM' के अक्षरों का प्रयोग करके निम्नलिखित में से कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

A. NAMES

B. BIOME

C. BASIN

D. SOUL

मूल शब्द 'SOMNAMBULISM' के अक्षर: S(2), O(1), M(3), N(1), A(1), B(1), U(1), L(1), I(1)

विकल्प B में शब्द 'BIOME' दिया गया है।

'BIOME' में अक्षर 'E' की आवश्यकता है।

मूल शब्द 'SOMNAMBULISM' में अक्षर 'E' कहीं भी उपस्थित नहीं है।

अतः 'BIOME' शब्द नहीं बनाया जा सकता।

✔ उत्तर: BIOME
प्रश्न 55 [अक्षरों की पुनरावृत्ति (आवृत्ति सीमा) पर आधारित शब्द निर्माण]: दिए गए शब्द 'PREPARATION' के अक्षरों का प्रयोग करके कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

A. PARTNER

B. PARROT

C. REPEAT

D. TRAIN

मूल शब्द 'PREPARATION' में अक्षरों की संख्या:

P = 2, R = 2, E = 1, A = 2, T = 1, I = 1, O = 1, N = 1

विकल्प C में शब्द 'REPEAT' है: R(1), E(2), P(1), A(1), T(1)

'REPEAT' में अक्षर 'E' का प्रयोग 2 बार हुआ है।

लेकिन मूल शब्द 'PREPARATION' में 'E' केवल 1 बार ही आया है।

अतः अक्षरों की आवृत्ति सीमा के कारण 'REPEAT' नहीं बनाया जा सकता।

✔ उत्तर: REPEAT
प्रश्न 56 [4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) क्रम में व्यवस्थित करना]: निम्नलिखित शब्दों को शब्दकोश में दिए गए क्रम के अनुसार व्यवस्थित कीजिए:

1. Nation 2. Native 3. Nature 4. Natural 5. Navel

सभी शब्दों में प्रारंभिक अक्षर 'Na' समान हैं, तीसरे अक्षर की तुलना करते हैं:

शब्द 1, 2, 3, 4 में तीसरा अक्षर 't' है तथा शब्द 5 में 'v' है।

't' पहले आता है और 'v' बाद में, इसलिए 5 (Navel) सबसे अंत में आएगा।

अब 1, 2, 3, 4 में चौथा अक्षर:

Nation ('i'), Native ('i'), Nature ('u'), Natural ('u')

'i' वाले पहले आएंगे: Nation (N-a-t-i-o) और Native (N-a-t-i-v) में o < v, अतः क्रम: 1, 2

'u' वाले: Nature (N-a-t-u-r-e) और Natural (N-a-t-u-r-a) में a < e, अतः क्रम: 4, 3

संपूर्ण क्रम = 1, 2, 4, 3, 5

✔ उत्तर: 1, 2, 4, 3, 5
प्रश्न 57 [4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) क्रम में व्यवस्थित करना]: दिए गए शब्दों को शब्दकोश के तार्किक क्रम में व्यवस्थित कीजिए:

1. Epilogue 2. Epiphany 3. Episode 4. Epitaph 5. Epitome

सभी शब्दों में पहले तीन अक्षर 'E-p-i' समान हैं।

चौथे अक्षर की तुलना करने पर:

1. Epilogue में चौथा अक्षर 'l' (12)

2. Epiphany में चौथा अक्षर 'p' (16)

3. Episode में चौथा अक्षर 's' (19)

4. Epitaph में चौथा अक्षर 't' (20)

5. Epitome में चौथा अक्षर 't' (20)

वर्णमाला क्रम में: l (12) < p (16) < s (19) < t (20)

अतः पहले तीन शब्द होंगे: 1, 2, 3

अब 4 और 5 में पांचवां अक्षर: Epitaph में 'a' तथा Epitome में 'o' (a < o)

अतः सही क्रम: 1, 2, 3, 4, 5

✔ उत्तर: 1, 2, 3, 4, 5
प्रश्न 58 [शब्दकोश में तीसरे या अंतिम स्थान पर आने वाला शब्द ज्ञात करना]: निम्नलिखित पाँच शब्दों को यदि अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया जाए, तो तीसरे स्थान पर कौन-सा शब्द आएगा?

Seldom, Select, Selfish, Seller, Send

सभी शब्दों का पहला अक्षर 'S' और दूसरा अक्षर 'e' समान है।

तीसरे अक्षर की तुलना करने पर:

चार शब्दों में तीसरा अक्षर 'l' है और 'Send' में 'n' है (l < n, अतः Send 5वें स्थान पर होगा)।

अब 'l' वाले शब्दों के चौथे अक्षर की तुलना:

1. Seldom -> चौथा अक्षर 'd' (सबसे पहले आएगा -> 1st)

2. Select -> चौथा अक्षर 'e' (दूसरे स्थान पर -> 2nd)

3. Selfish -> चौथा अक्षर 'f' (तीसरे स्थान पर -> 3rd)

4. Seller -> चौथा अक्षर 'l' (चौथे स्थान पर -> 4th)

अतः तीसरे स्थान पर आने वाला शब्द 'Selfish' है।

✔ उत्तर: Selfish
प्रश्न 59 [मूल शब्द के अक्षरों से 'बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना]: दिए गए शब्द 'SIGNIFICANT' के अक्षरों का उपयोग करके निम्नलिखित में से कौन-सा शब्द बनाया जा सकता है?

A. FICTION

B. FASCIST

C. TRAIN

D. INFANT

मूल शब्द 'SIGNIFICANT' के अक्षरों की गणना:

S=1, I=3, G=1, N=2, I(गिन लिया), F=1, I(गिन लिया), C=1, A=1, N(गिन लिया), T=1

विकल्प A (FICTION): 'O' अक्षर मूल शब्द में नहीं है।

विकल्प B (FASCIST): इसमें 2 बार 'S' की आवश्यकता है, परंतु मूल शब्द में केवल 1 'S' है।

विकल्प C (TRAIN): 'R' अक्षर मूल शब्द में नहीं है।

विकल्प D (INFANT): I(1), N(2), F(1), A(1), T(1) - ये सभी अक्षर मूल शब्द में पूरी तरह उपलब्ध हैं।

अतः केवल 'INFANT' बनाया जा सकता है।

✔ उत्तर: INFANT

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, GD और CPO की प्रत्येक शिफ्ट में इस उप-विषय से निश्चित रूप से 1 से 2 प्रश्न पूछे जाते हैं। एक प्रश्न शब्दकोश क्रम (Dictionary sequence) का और एक प्रश्न शब्द निर्माण (Word Formation) का आता है।

आम गलतियाँ

✘ प्रश्न में 'बनाया जा सकता है' और 'नहीं बनाया जा सकता है' को ध्यान से न पढ़ना और विपरीत विकल्प चुन लेना।
✘ किसी अक्षर की आवृत्ति (frequency) पर ध्यान न देना; जैसे मूल शब्द में 'E' एक बार हो और विकल्प में दो बार आया हो, तो छात्र उसे सही मान लेते हैं।
✘ शब्दकोश क्रम में समान उपसर्ग वाले शब्दों में 3रे या 4थे अक्षर की तुलना में जल्दबाजी में गलती करना।

💡 शब्दकोश क्रम वाले प्रश्नों को हमेशा विकल्पों (Options) के पहले और अंतिम अंक को देखकर 'Option Elimination' विधि से 5 सेकंड में हल करें। प्रश्न में सबसे पहले 'बनाया जा सकता है' या 'नहीं' को रेखांकित करें।战场 में समय बचेगा। युद्ध जीतेंगे। 🎯

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

मानक पासा (Standard Dice): किन्हीं भी दो विपरीत फलकों का योग सदैव 7 होता है (1↔6, 2↔5, 3↔4)।
सामान्य पासा (1 उभयनिष्ठ फलक): उभयनिष्ठ संख्या से दोनों स्थितियों में दक्षिणावर्त (clockwise) घूमने पर संगत अंक एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
सामान्य पासा (2 उभयनिष्ठ फलक): यदि दो फलक समान हों, तो शेष बचे दोनों फलक आपस में एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।
घन का विभाजन: n = (बड़े घन की भुजा) / (छोटे घन की भुजा); कुल छोटे घनों की संख्या = n³ होती है।
3 सतह रंगे घन (कोने/शीर्ष): सदैव 8 होते हैं।
2 सतह रंगे घन (किनारे): संख्या = 12(n - 2) होती है।
1 सतह रंगे घन (फलक केंद्र): संख्या = 6(n - 2)² होती है।
रंगहीन घन (0 सतह रंगे): संख्या = (n - 2)³ होती है।
त्रिभुज गणना: दोनों विकर्णों द्वारा विभाजित वर्ग में त्रिभुजों की संख्या = 2 × (खंडों की संख्या)।
शब्दकोश क्रम (Dictionary Order): अक्षरों की वर्णमाला स्थिति (A-Z) के अनुसार बाएं से दाएं तुलना की जाती है।
शब्द निर्माण: दिए गए मूल शब्द में उपस्थित अक्षरों की बारंबारता से अधिक बार किसी अक्षर का उपयोग नहीं किया जा सकता।

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. यदि एक मानक पासे (Standard Dice) के शीर्ष फलक पर संख्या 3 है, तो इसके तल (विपरीत) फलक पर कौन-सी संख्या होगी?

(क) 1
(ख) 4
(ग) 5
(घ) 6

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 4

मानक पासे में विपरीत फलकों का योग 7 होता है। अतः 3 का विपरीत फलक = 7 - 3 = 4 होगा।

2. दिए गए शब्दों को अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार व्यवस्थित करने पर सही क्रम क्या होगा? 1. Praise 2. Practical 3. Prank 4. Prayer

(क) 2, 1, 3, 4
(ख) 2, 3, 1, 4
(ग) 1, 2, 3, 4
(घ) 2, 1, 4, 3

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 2, 1, 3, 4

वर्णमाला के क्रम में तीसरे और चौथे अक्षर की तुलना करने पर: Prac... (2) -> Prai... (1) -> Pran... (3) -> Pray... (4)। अतः सही क्रम 2, 1, 3, 4 है।

3. एक वर्ग को दोनों विकर्णों द्वारा 4 छोटे त्रिभुजों में बाँटा गया है। इस आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?

(क) 4
(ख) 6
(ग) 8
(घ) 10

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 8

जब किसी वर्ग या आयत के दोनों विकर्ण आपस में मिलते हैं, तो कुल त्रिभुज = 2 × (छोटे खंडों की संख्या) = 2 × 4 = 8 होते हैं।

4. एक ही पासे की दो स्थितियाँ दर्शाई गई हैं। यदि पहली स्थिति में फलक 2, 1 और 4 दिखाई दे रहे हैं तथा दूसरी स्थिति में फलक 2, 3 और 6 दिखाई दे रहे हैं, तो संख्या 4 के विपरीत कौन-सी संख्या होगी?

(क) 3
(ख) 5
(ग) 6
(घ) 1

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 6

उभयनिष्ठ संख्या 2 से दक्षिणावर्त (clockwise) घूमने पर: स्थिति 1: 2 -> 1 -> 4 स्थिति 2: 2 -> 3 -> 6 अतः 1 के विपरीत 3 है तथा 4 के विपरीत 6 है।

5. एक 4 सेमी भुजा वाले ठोस घन को सभी सतहों पर लाल रंग से रंगा जाता है और फिर 1 सेमी के छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी केवल दो सतहें रंगी हुई हैं?

(क) 16
(ख) 24
(ग) 32
(घ) 48

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 24

यहाँ n = 4/1 = 4। केवल दो सतह रंगे घनों की संख्या = 12(n - 2) = 12(4 - 2) = 12 × 2 = 24 होती है।

6. दिए गए शब्द 'COMMUNICATION' के अक्षरों का प्रयोग करके निम्नलिखित में से कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

(क) ACTION
(ख) NATION
(ग) MONITOR
(घ) COMMON

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) MONITOR

'MONITOR' शब्द में अक्षर 'R' आता है, जबकि मूल शब्द 'COMMUNICATION' में 'R' मौजूद नहीं है।

7. दो समान वर्ग एक उभयनिष्ठ भुजा से आपस में जुड़े हैं और दोनों वर्गों में दोनों विकर्ण खींचे गए हैं। इस पूरी आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?

(क) 16
(ख) 18
(ग) 20
(घ) 22

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 18

प्रत्येक वर्ग में 4 × 2 = 8 त्रिभुज होते हैं, तो 8 + 8 = 16 त्रिभुज। दोनों वर्गों के मिलने से बनी उभयनिष्ठ भुजा पर 2 नए बड़े त्रिभुज बनते हैं। कुल त्रिभुज = 16 + 2 = 18।

8. 5 सेमी भुजा वाले घन को सभी तरफ से नीले रंग से रंगा गया और 1 सेमी के घनों में काटा गया। केवल 1 सतह रंगे घनों और रंगहीन (0 सतह रंगे) घनों की संख्या का अंतर क्या है?

(क) 18
(ख) 27
(ग) 36
(घ) 45

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 27

n = 5/1 = 5। 1 सतह रंगे घन = 6(n - 2)² = 6(3)² = 54। 0 सतह रंगे घन = (n - 2)³ = 3³ = 27। अंतर = 54 - 27 = 27।

9. एक पासे की तीन स्थितियाँ दी गई हैं: (i) फलक 1, 2, 3 (ii) फलक 1, 3, 5 (iii) फलक 2, 3, 4। संख्या 3 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या होगी?

(क) 4
(ख) 5
(ग) 6
(घ) 1

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 6

स्थिति (i) और (ii) में 1 और 3 उभयनिष्ठ हैं, अतः 2 के विपरीत 5 है। स्थिति (i) और (iii) में 2 और 3 उभयनिष्ठ हैं, अतः 1 के विपरीत 4 है। बचा हुआ अंक 3 के विपरीत 6 होगा।

10. एक पैटर्न श्रृंखला में, एक तीर पहली आकृति में उत्तर (North) की ओर है। फिर यह 45° दक्षिणावर्त (clockwise), अगली आकृति में 90° दक्षिणावर्त, और फिर 135° दक्षिणावर्त घूमता है। यदि घूर्णन कोण इसी क्रम में बढ़ रहा है, तो 5वीं आकृति में तीर किस दिशा में इंगित करेगा?

(क) दक्षिण (South)
(ख) पूर्व (East)
(ग) उत्तर-पश्चिम (North-West)
(घ) दक्षिण-पश्चिम (South-West)

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) पूर्व (East)

घूर्णन क्रम: +45°, +90°, +135°, अतः अगला घूर्णन = +180° होगा। चौथी आकृति में तीर की दिशा = 0° + 45° + 90° + 135° = 270° (पश्चिम) थी। 5वीं आकृति में दिशा = 270° + 180° = 450° = 90° (पूर्व) होगी।

English version — Dice, Counting Figures and Patterns

This chapter holds significant weightage in both Tier-1 and Tier-2 across SSC CGL, CHSL, CPO, and MTS exams, typically contributing 3 to 5 questions per shift. Because the questions follow fixed visual rules and mathematical formulas, it is exceptionally high-scoring and time-efficient.

Dice: Opposite Faces & Standard Dice Rules

A dice is a cube with 6 faces numbered 1 to 6 (or with letters/symbols). In a Standard Dice, the sum of opposite faces is always 7 (1-6, 2-5, 3-4), meaning no two adjacent visible faces add up to 7. In an Ordinary Dice, adjacent faces can add up to 7. When multiple views of a dice are given, opposite faces are determined using the 'One Common Face' (clockwise rotation) or 'Two Common Faces' rules. If a single view is given where no two adjacent faces sum to 7, standard dice rules apply.

Formulas with examples

📐 एक उभयनिष्ठ फलक नियम (Clockwise Rule): उभयनिष्ठ अंक से दोनों स्थितियों में घड़ी की सुई की दिशा (Clockwise) में चलने पर संगत अंक परस्पर विपरीत होते हैं। — When two positions of a dice share exactly one common face.

Example 1: एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। पहली स्थिति में 3, 5, 1 दिख रहे हैं और दूसरी स्थिति में 3, 2, 4 दिख रहे हैं। 5 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या होगी?

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ (Common) अंक = 3 है।

पहली स्थिति में 3 से दक्षिणावर्त (Clockwise) घूमने पर: 3 -> 5 -> 1

दूसरी स्थिति में 3 से दक्षिणावर्त (Clockwise) घूमने पर: 3 -> 2 -> 4

विपरीत जोड़े: 5 के विपरीत 2, और 1 के विपरीत 4

शेष बची संख्या 6 है, जो 3 के विपरीत होगी।

✔ Answer: 2
Example 2: एक पासे की दो स्थितियों में फलक दिखाए गए हैं। स्थिति 1 में फलक 6, 4, 2 हैं तथा स्थिति 2 में फलक 6, 5, 3 हैं। 4 के विपरीत कौन-सा अंक होगा?

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ अंक = 6 है।

स्थिति 1 में 6 से दक्षिणावर्त चलने पर: 6 -> 4 -> 2

स्थिति 2 में 6 से दक्षिणावर्त चलने पर: 6 -> 5 -> 3

तुलना करने पर: 4 के विपरीत 5 तथा 2 के विपरीत 3 होगा।

✔ Answer: 5

📐 दो उभयनिष्ठ फलक नियम (Two Common Faces Rule): यदि दो स्थितियों में दो फलक समान हों, तो शेष बचे दोनों फलक सीधे एक-दूसरे के विपरीत होते हैं। — When two positions of a dice have two faces in common.

Example 3: एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। स्थिति A में फलक 2, 4, 6 दिखते हैं और स्थिति B में फलक 4, 6, 3 दिखते हैं। 2 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या है?

स्थिति A और स्थिति B की तुलना करते हैं।

दोनों में समान फलक = 4 और 6

नियम के अनुसार, दो फलक समान होने पर शेष फलक परस्पर विपरीत होते हैं।

अतः 2 के विपरीत 3 होगा।

✔ Answer: 3
Example 4: एक पासे के दो दृश्य दिए गए हैं। पहले दृश्य में 1, 3, 5 हैं और दूसरे दृश्य में 1, 5, 2 हैं। 3 के विपरीत कौन-सा अंक होगा?

दोनों दृश्यों में उभयनिष्ठ अंक = 1 और 5

दो उभयनिष्ठ फलक नियम के अनुसार, शेष बचे फलक एक-दूसरे के विपरीत होंगे।

अतः 3 के विपरीत फलक पर 2 होगा।

✔ Answer: 2

📐 मानक पासा नियम (Standard Dice Rule): विपरीत फलक = 7 - दिया गया फलक — When a standard dice is specified or when adjacent faces of a single view do not add up to 7.

Example 5: नीचे दिए गए एक पासे के प्रारूप में फलक 1, 3, 5 दिखाई दे रहे हैं। 3 के विपरीत फलक पर कौन-सा अंक होगा यदि यह एक मानक पासा है?

निकटवर्ती फलकों का योग: 1+3=4, 3+5=8, 1+5=6

किसी भी दो निकटवर्ती फलकों का योग 7 नहीं है, अतः यह मानक पासा है।

मानक पासे में विपरीत फलकों का योग 7 होता है।

3 के विपरीत = 7 - 3 = 4

✔ Answer: 4
Example 6: एक मानक पासे की ऊपरी सतह पर अंक 2 है। इसकी निचली (विपरीत) सतह पर कौन-सा अंक होगा?

मानक पासे के नियमानुसार विपरीत फलकों का योग सदैव 7 होता है।

ऊपरी सतह = 2

निचली सतह = 7 - 2 = 5

✔ Answer: 5

Question types asked

मानक पासा पहचानना और विपरीत फलक ज्ञात करना
दो स्थितियों से एक उभयनिष्ठ फलक द्वारा विपरीत फलक निकालना
दो स्थितियों से दो उभयनिष्ठ फलक द्वारा विपरीत फलक निकालना
तीन या चार स्थितियों से विपरीत फलक ज्ञात करना
प्रतीक, रंग या अक्षरों वाले पासे के विपरीत फलक

Solved questions (every type)

Q 7 [मानक पासा पहचानना और विपरीत फलक ज्ञात करना]: एक पासे की एक स्थिति दिखाई गई है जिसमें सामने के तीन फलकों पर 2, 4 और 6 लिखे हैं। ज्ञात कीजिए कि 6 के विपरीत फलक पर क्या होगा?

दिखने वाले निकटवर्ती फलकों के जोड़े का योग जाँचते हैं:

2 + 4 = 6, 4 + 6 = 10, 2 + 6 = 8

किसी भी जोड़े का योग 7 नहीं है, इसलिए यह एक मानक पासा (Standard Dice) है।

मानक पासे में विपरीत फलकों का योग = 7

6 के विपरीत फलक = 7 - 6 = 1

✔ Answer: 1
Q 8 [दो स्थितियों से दो उभयनिष्ठ फलक द्वारा विपरीत फलक निकालना]: एक पासे की दो विभिन्न स्थितियाँ दिखाई गई हैं। चित्र 1 में 2, 3, 5 फलक हैं और चित्र 2 में 5, 2, 4 फलक हैं। फलक 3 के विपरीत कौन-सा फलक होगा?

चित्र 1 के फलक = 2, 3, 5

चित्र 2 के फलक = 5, 2, 4

दोनों चित्रों में समान फलक = 2 और 5

'दो उभयनिष्ठ फलक नियम' के अनुसार, शेष बचे फलक एक-दूसरे के विपरीत होते हैं।

अतः फलक 3 के विपरीत फलक 4 होगा।

✔ Answer: 4
Q 9 [तीन या चार स्थितियों से विपरीत फलक ज्ञात करना]: एक पासे की तीन अलग-अलग स्थितियाँ दी गई हैं:

स्थिति I: 1, 2, 3

स्थिति II: 1, 3, 5

स्थिति III: 2, 4, 6

संख्या 3 के विपरीत फलक पर कौन-सी संख्या होगी?

स्थिति I और स्थिति II की तुलना करते हैं:

समान फलक = 1 और 3

शेष फलक: 2 के विपरीत 5 होगा।

अब स्थिति I और स्थिति III की तुलना करते हैं, दोनों में 2 उभयनिष्ठ है:

स्थिति I में 2 से Clockwise: 2 -> 3 -> 1

स्थिति III में 2 से Clockwise: 2 -> 4 -> 6

तुलना करने पर: 3 के विपरीत 4 तथा 1 के विपरीत 6 होगा।

✔ Answer: 4
Q 10 [तीन या चार स्थितियों से विपरीत फलक ज्ञात करना]: एक पासे की चार स्थितियाँ दी गई हैं:

(i) 1, 2, 3

(ii) 2, 3, 5

(iii) 3, 5, 6

(iv) 4, 5, 6

अंक 2 के विपरीत फलक पर कौन-सा अंक होगा?

स्थिति (i) और स्थिति (ii) की तुलना करते हैं:

उभयनिष्ठ फलक = 2 और 3 (इससे 1 के विपरीत 5 मिलता है)

स्थिति (ii) और स्थिति (iii) की तुलना करते हैं:

उभयनिष्ठ फलक = 3 और 5

दो उभयनिष्ठ फलक नियम से शेष फलक विपरीत होंगे:

अतः 2 के विपरीत फलक 6 होगा।

✔ Answer: 6
Q 11 [प्रतीक, रंग या अक्षरों वाले पासे के विपरीत फलक]: एक पासे की दो स्थितियाँ दी गई हैं। पहले दृश्य में फलकों पर @, #, $ हैं तथा दूसरे दृश्य में फलकों पर $, %, & हैं। प्रतीक @ के विपरीत फलक पर कौन-सा प्रतीक होगा?

दोनों स्थितियों में उभयनिष्ठ प्रतीक = $

उभयनिष्ठ प्रतीक $ से घड़ी की सुई की दिशा (Clockwise) में चलते हैं:

दृश्य 1: $ -> @ -> #

दृश्य 2: $ -> % -> &

संगत पदों की तुलना करने पर:

@ के विपरीत % होगा और # के विपरीत & होगा।

✔ Answer: %
Q 12 [प्रतीक, रंग या अक्षरों वाले पासे के विपरीत फलक]: एक पासे की तीन स्थितियों में छह रंगों - लाल, हरा, नीला, पीला, काला, और सफेद को दर्शाया गया है:

स्थिति 1: लाल, पीला, हरा

स्थिति 2: लाल, हरा, नीला

स्थिति 3: पीला, काला, सफेद

'पीला' रंग के विपरीत कौन-सा रंग होगा?

स्थिति 1 और स्थिति 2 की तुलना करते हैं:

समान रंग = लाल और हरा

दो उभयनिष्ठ नियम से: पीला के विपरीत नीला होगा।

जाँच के लिए: पीला, काला और सफेद आसन्न हैं, अतः नीला ही पीला का विपरीत है।

✔ Answer: नीला

How it is asked

In SSC CGL, CHSL, MTS, CPO, and GD, 1 to 2 questions on dice faces are asked regularly. The most common pattern involves 2 or 3 positions with one common face requiring the clockwise rotation method.

Common mistakes

✘ घड़ी की सुई की दिशा में घूमते समय पहली स्थिति में दक्षिणावर्त (Clockwise) और दूसरी में वामावर्त (Anticlockwise) घूम जाना, जिससे विपरीत जोड़े गलत हो जाते हैं।
✘ साधारण पासे में भी 7 में से घटाकर विपरीत फलक निकाल देना; यह याद रखें कि 7 में से घटाने का नियम केवल मानक पासे में लगता है।
✘ जो फलक एक साथ दिखाई दे रहे हैं (आसन्न फलक), उन्हें विपरीत मान लेना; साथ दिखने वाले फलक कभी भी परस्पर विपरीत नहीं हो सकते।

Cube Painting and Cutting (3/2/1/0 Faces Painted)

When a large cube is painted on the outside and cut into smaller identical cubes, the smaller cubes have different numbers of painted faces based on their position. If each edge of the larger cube is divided into n parts (n = edge of big cube / edge of small cube), the total number of smaller cubes is n³. Corner cubes have 3 faces painted (always 8), edge cubes (middle) have 2 faces painted, face-centre cubes have 1 face painted, and inner central cubes have 0 faces painted.

Formulas with examples

📐 n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा = ∛(कुल छोटे घन) — Used to find the dividing factor n when side lengths or total small cubes are given.

Example 13: एक 12 सेमी भुजा वाले रंगे हुए घन को 3 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। n का मान और कुल छोटे घनों की संख्या क्या होगी?

n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा

n = 12 / 3 = 4

कुल छोटे घन = n³

कुल छोटे घन = 4³ = 64

✔ Answer: n = 4, कुल घन = 64
Example 14: एक बड़े घन को काटकर 125 एकसमान छोटे घन बनाए गए हैं। n का मान ज्ञात कीजिए।

कुल छोटे घन = n³ = 125

n = ∛125

n = 5

✔ Answer: n = 5

📐 3 सतह रंगे घन = 8 (शीर्ष घन / Corner Cubes) — Used to find cubes with 3 painted faces when all outer faces are painted.

Example 15: एक 5 सेमी के घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा गया और फिर 1 सेमी के घनों में काटा गया। ऐसे कितने घन होंगे जिनकी 3 सतहें रंगी हैं?

3 सतह रंगे घन हमेशा घन के कोनों (corners) पर पाए जाते हैं।

एक घन में कुल 8 कोने होते हैं।

इसलिए 3 सतह रंगे घनों की संख्या हमेशा 8 होती है।

✔ Answer: 8 घन
Example 16: एक बड़े घन को 216 छोटे घनों में काटा गया है। 3 फलक रंगे घनों की संख्या क्या होगी?

कुल घन = 216 (n = 6)

3 सतह रंगे छोटे घन कोनों पर स्थित होते हैं।

कोनों की संख्या = 8

✔ Answer: 8 घन

📐 2 सतह रंगे घन = 12(n - 2) (मध्य घन / Edge Cubes) — Used to calculate cubes with exactly 2 faces painted.

Example 17: एक रंगे हुए बड़े घन को 64 छोटे घनों में काटा जाता है। केवल 2 सतह रंगे घनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

कुल घन = n³ = 64 ⇒ n = 4

2 सतह रंगे घनों का सूत्र = 12(n - 2)

संख्या = 12 × (4 - 2)

संख्या = 12 × 2 = 24

✔ Answer: 24 घन
Example 18: 10 सेमी भुजा वाले रंगे घन को 2 सेमी के छोटे घनों में काटा जाता है। ठीक दो फलक रंगे घनों की संख्या क्या होगी?

n = 10 / 2 = 5

2 फलक रंगे घन = 12(n - 2)

संख्या = 12 × (5 - 2)

संख्या = 12 × 3 = 36

✔ Answer: 36 घन

📐 1 सतह रंगे = 6(n - 2)² और 0 सतह रंगे (रंगहीन) = (n - 2)³ — Used to find cubes with exactly 1 painted face or 0 painted faces (unpainted/inner cubes).

Example 19: एक घन की सभी सतहों को नीले रंग से रंगा गया और उसे 125 छोटे घनों में काटा गया। केवल 1 फलक रंगे घनों की संख्या क्या है?

n³ = 125 ⇒ n = 5

1 सतह रंगे घन = 6(n - 2)²

संख्या = 6 × (5 - 2)²

संख्या = 6 × 3² = 6 × 9 = 54

✔ Answer: 54 घन
Example 20: एक 8 सेमी भुजा वाले रंगे घन को 2 सेमी वाले घनों में काटा गया। बिना रंगे (रंगहीन) घनों की संख्या ज्ञात कीजिए।

n = 8 / 2 = 4

रंगहीन घन = (n - 2)³

संख्या = (4 - 2)³

संख्या = 2³ = 8

✔ Answer: 8 घन

Question types asked

सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)
कम से कम (At least) या अधिक से अधिक (At most) रंगे फलक ज्ञात करना
काटने के लिए आवश्यक न्यूनतम कट्स (Cuts) की संख्या ज्ञात करना
विभिन्न रंगों से रंगे घन (विपरीत या आसन्न फलकों पर अलग रंग)

Solved questions (every type)

Q 21 [सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)]: एक 15 सेमी भुजा वाले ठोस घन की सभी सतहों को लाल रंग से रंगा जाता है और फिर इसे 3 सेमी भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी केवल एक सतह रंगी होगी?

n = बड़े घन की भुजा / छोटे घन की भुजा = 15 / 3 = 5

केवल 1 सतह रंगे घनों का सूत्र = 6(n - 2)²

मान रखने पर = 6 × (5 - 2)²

= 6 × (3)²

= 6 × 9 = 54

✔ Answer: 54 घन
Q 22 [सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)]: एक बड़े रंगे हुए घन को काटकर 216 छोटे घनों में विभाजित किया गया। ऐसे कितने छोटे घन प्राप्त होंगे जिनका कोई भी फलक रंगा हुआ नहीं है?

कुल छोटे घन = n³ = 216 ⇒ n = 6

बिना रंगे फलक वाले घनों (0 सतह रंगे) का सूत्र = (n - 2)³

मान रखने पर = (6 - 2)³

= 4³ = 64

✔ Answer: 64 घन
Q 23 [सीधे सूत्र पर आधारित (3, 2, 1 या 0 सतह रंगे घन ज्ञात करना)]: एक 4 सेमी के रंगे घन को 1 सेमी के घनों में काटा गया है। ऐसे कितने घन हैं जिनकी ठीक 2 सतहें रंगी हुई हैं?

n = 4 / 1 = 4

2 सतह रंगे घनों का सूत्र = 12(n - 2)

मान रखने पर = 12 × (4 - 2)

= 12 × 2 = 24

✔ Answer: 24 घन
Q 24 [कम से कम (At least) या अधिक से अधिक (At most) रंगे फलक ज्ञात करना]: एक रंगे हुए घन को 64 छोटे घनों में काटा गया है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी कम से कम (at least) 2 सतहें रंगी हों?

n³ = 64 ⇒ n = 4

'कम से कम 2 सतह' = (2 सतह रंगे घन) + (3 सतह रंगे घन)

2 सतह रंगे घन = 12(n - 2) = 12(4 - 2) = 24

3 सतह रंगे घन = 8

कुल अभीष्ट घन = 24 + 8 = 32

✔ Answer: 32 घन
Q 25 [कम से कम (At least) या अधिक से अधिक (At most) रंगे फलक ज्ञात करना]: एक घन के सभी फलकों को पीला रंगा गया और 125 छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने घन हैं जिनकी अधिक से अधिक (at most) 1 सतह रंगी हुई है?

n³ = 125 ⇒ n = 5

'अधिक से अधिक 1 सतह' = (0 सतह रंगे घन) + (1 सतह रंगा घन)

0 सतह रंगे घन = (n - 2)³ = (5 - 2)³ = 3³ = 27

1 सतह रंगे घन = 6(n - 2)² = 6 × (3)² = 54

कुल अभीष्ट घन = 27 + 54 = 81

✔ Answer: 81 घन
Q 26 [काटने के लिए आवश्यक न्यूनतम कट्स (Cuts) की संख्या ज्ञात करना]: एक बड़े ठोस घन को काटकर 125 छोटे घनों में बदलने के लिए कम से कम कितनी बार काटना (cuts) पड़ेगा?

कुल छोटे घन = n³ = 125 ⇒ n = 5

प्रत्येक दिशा (लंबाई, चौड़ाई, ऊंचाई) में कट्स की संख्या = (n - 1)

एक दिशा में कट्स = 5 - 1 = 4

घन में कुल 3 विमाएं (dimensions) होती हैं।

कुल न्यूनतम कट्स = 3 × (n - 1) = 3 × 4 = 12

✔ Answer: 12 कट्स
Q 27 [विभिन्न रंगों से रंगे घन (विपरीत या आसन्न फलकों पर अलग रंग)]: एक 4 सेमी भुजा वाले घन के विपरीत फलकों के जोड़ों को क्रमशः लाल, हरे और नीले रंग से रंगा गया है। इसे 1 सेमी भुजा वाले घनों में काटा जाता है। ऐसे कितने छोटे घन होंगे जिनकी केवल दो सतहें रंगी हों और वे दोनों सतहें लाल और हरी हों?

n = 4 / 1 = 4

घन में कुल 12 किनारे (edges) होते हैं।

लाल और हरे रंग के फलकों के बीच मिलने वाले कुल किनारे = 4

प्रत्येक किनारे पर केवल 2 सतह रंगे घन = (n - 2) = 4 - 2 = 2

अभीष्ट घनों की संख्या = 4 × (n - 2) = 4 × 2 = 8

✔ Answer: 8 घन

How it is asked

Asked in SSC CGL, CHSL, MTS, and GD as around 1 question per shift. Questions mainly ask for counts of 1-face, 2-face, or unpainted cubes directly, or with 'at least / at most' conditions.

Common mistakes

✘ कम से कम 2 फलक' पूछे जाने पर केवल 2 सतह रंगे घनों की गणना कर देना और 3 सतह रंगे घनों (8) को जोड़ना भूल जाना।
✘ n का मान निकालने में गलती करना; n कुल घनों की संख्या नहीं बल्कि भुजाओं का अनुपात ∛(कुल घन) होता है।
✘ कट्स (cuts) की संख्या निकालते समय सूत्र 3(n - 1) की जगह सीधे n³ या n का प्रयोग कर देना।

Counting Triangles and Squares

Counting figures involves finding the total number of triangles and squares embedded in complex geometric patterns. Instead of counting individually, we break the diagram into standard basic units and apply direct formulas. For a triangle divided vertically from an apex, the total number of triangles is the sum of natural numbers corresponding to base segments. In a square or rectangle with intersecting diagonals, the number of triangles is twice the number of smaller internal segments. In exam problems, when multiple standard blocks are merged, special attention must be given to the extra combined triangles formed at their junctions.

Formulas with examples

📐 त्रिभुज का लंबवत विभाजन = n(n + 1)/2 × h (जहाँ n = आधार के भाग, h = क्षैतिज स्तरों की संख्या) — When a triangle is divided by lines radiating from the apex to the base and sliced by horizontal lines.

Example 28: एक त्रिभुज के आधार को शीर्ष से आने वाली रेखाओं द्वारा 4 बराबर भागों में बांटा गया है। इसमें कुल कितने त्रिभुज हैं?

आधार पर बने भागों की संख्या (n) = 4

कुल त्रिभुज = 1 + 2 + 3 + 4

= 4 × (4 + 1) / 2

= 4 × 5 / 2 = 10

✔ Answer: 10 त्रिभुज
Example 29: एक त्रिभुज के आधार पर 3 खंड बने हैं तथा इसमें आधार के समांतर 2 क्षैतिज रेखाएं खींची गई हैं (कुल 3 स्तर)। कुल त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

आधार के भागों की संख्या (n) = 3

प्रत्येक स्तर पर त्रिभुज = 1 + 2 + 3 = 6

क्षैतिज स्तरों की कुल संख्या (h) = 3

कुल त्रिभुज = 6 × 3 = 18

✔ Answer: 18 त्रिभुज

📐 वर्ग/आयत में विकर्णों द्वारा बने त्रिभुज = 2 × n (जहाँ n = केंद्र से बनने वाले छोटे खंडों की संख्या) — When diagonals and center-crossing lines divide a square or rectangle into smaller triangular segments.

Example 30: एक वर्ग के दोनों विकर्ण खींचे गए हैं, जिससे केंद्र के चारों ओर 4 छोटे त्रिभुज बनते हैं। इस वर्ग में कुल कितने त्रिभुज हैं?

केंद्र के चारों ओर बने छोटे खंड (n) = 4

सूत्र अनुसार कुल त्रिभुज = 2 × n

= 2 × 4 = 8

✔ Answer: 8 त्रिभुज
Example 31: एक वर्ग के दोनों विकर्णों के साथ-साथ एक क्षैतिज और एक लंबवत मध्य रेखा खींची गई है, जिससे 8 छोटे त्रिभुज बनते हैं। कुल त्रिभुज ज्ञात कीजिए।

केंद्र पर विभाजित कुल छोटे खंडों की संख्या (n) = 8

सूत्र अनुसार कुल त्रिभुज = 2 × 8

= 16

✔ Answer: 16 त्रिभुज

📐 m × n ग्रिड में कुल वर्ग = (m × n) + (m - 1)(n - 1) + (m - 2)(n - 2) + ... (जब तक कोई एक मान 1 न हो जाए) — Used to find total squares in any m x n grid (symmetric or asymmetric).

Example 32: एक 3 × 3 की वर्गाकार ग्रिड में कुल कितने वर्ग हैं?

यहाँ m = 3 और n = 3 (सममित ग्रिड)

कुल वर्ग = 3×3 + 2×2 + 1×1

= 9 + 4 + 1

= 14

✔ Answer: 14 वर्ग
Example 33: एक आयताकार ग्रिड में 4 पंक्तियाँ (rows) और 3 स्तंभ (columns) हैं। इसमें कुल कितने वर्ग होंगे?

यहाँ m = 4 तथा n = 3

कुल वर्ग = (4 × 3) + (3 × 2) + (2 × 1)

= 12 + 6 + 2

= 20

✔ Answer: 20 वर्ग

Question types asked

त्रिभुज का लंबवत व क्षैतिज विभाजन
वर्ग के अंदर विकर्णों से बने त्रिभुज
दो या अधिक वर्गों को जोड़ने पर बने त्रिभुज
वर्ग और त्रिभुज का संयुक्त संयोजन
सममित और असममित ग्रिड में वर्ग गिनना
आकृतियों के भीतर सन्निहित (Embedded) वर्ग
तारा आकृति (5-Pointed व 6-Pointed Star)

Solved questions (every type)

Q 34 [त्रिभुज का लंबवत व क्षैतिज विभाजन]: दिए गए त्रिभुज ABC के शीर्ष A से आधार BC पर रेखाएं खींचकर आधार को 5 बराबर भागों में बांटा गया है, तथा बीच में एक क्षैतिज रेखा खींचकर इसे 2 बराबर स्तरों में बांटा गया है। कुल त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

प्रत्येक आधार पर छोटे भागों की संख्या (n) = 5

एक स्तर पर त्रिभुजों की संख्या = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

क्षैतिज स्तरों (horizontal levels) की संख्या = 2

कुल त्रिभुज = 15 × 2 = 30

✔ Answer: 30 त्रिभुज
Q 35 [वर्ग के अंदर विकर्णों से बने त्रिभुज]: एक वर्ग के दोनों विकर्ण तथा एक ऊर्ध्वाधर मध्य रेखा खींची गई है, जिससे केंद्र पर कुल 6 छोटे त्रिभुज खंड बनते हैं। आकृति में कुल कितने त्रिभुज हैं?

केंद्र से विभाजित छोटे त्रिभुज खंडों की संख्या = 6

विकर्ण आधारित वर्ग में कुल त्रिभुज = 2 × खंडों की संख्या

= 2 × 6 = 12

✔ Answer: 12 त्रिभुज
Q 36 [दो या अधिक वर्गों को जोड़ने पर बने त्रिभुज]: दो समान वर्ग एक-दूसरे से क्षैतिज रूप से जुड़े हुए हैं। प्रत्येक वर्ग के दोनों विकर्ण आपस में मिले हुए हैं। इस पूरी आकृति में कुल त्रिभुजों की संख्या ज्ञात कीजिए।

पहले स्वतंत्र वर्ग में त्रिभुज = 4 × 2 = 8

दूसरे स्वतंत्र वर्ग में त्रिभुज = 4 × 2 = 8

कुल त्रिभुज = 8 + 8 + 2 = 18

✔ Answer: 18 त्रिभुज
Q 37 [सममित और असममित ग्रिड में वर्ग गिनना]: एक 5 × 4 के आयताकार ब्लॉक (5 कॉलम और 4 पंक्तियाँ) में कुल कितने वर्ग उपस्थित हैं?

कॉलम = 5, पंक्तियाँ = 4

कुल वर्ग = (5 × 4) + (4 × 3) + (3 × 2) + (2 × 1)

= 20 + 12 + 6 + 2

= 40

✔ Answer: 40 वर्ग
Q 38 [आकृतियों के भीतर सन्निहित (Embedded) वर्ग]: एक बड़े वर्ग के अंदर एक छोटा वर्ग उसके कोनों को जोड़कर बनाया गया है और दोनों वर्गों में 2-2 लंबवत व क्षैतिज रेखाएं खींचकर उन्हें 2 × 2 की ग्रिड बनाया गया है। इस आकृति में कुल कितने वर्ग हैं?

एक 2 × 2 ग्रिड में वर्गों की संख्या = 2² + 1² = 4 + 1 = 5

बड़ा वर्ग (2 × 2 ग्रिड) = 5 वर्ग

अंदर सन्निहित छोटा वर्ग (2 × 2 ग्रिड) = 5 वर्ग

दोनों स्वतंत्र हैं और कोई नया मिश्रित वर्ग नहीं बनता

कुल वर्ग = 5 + 5 = 10

✔ Answer: 10 वर्ग
Q 39 [तारा आकृति (5-Pointed व 6-Pointed Star)]: एक पंचकोणीय तारा (5-Pointed Star) में कुल कितने त्रिभुज होते हैं?

तारे के 5 बाहरी कोने 5 छोटे त्रिभुज बनाते हैं = 5

प्रत्येक शीर्ष बिंदु (Junction point) से विपरीत आधार पर 1 बड़ा त्रिभुज बनता है = 5

कुल त्रिभुज = 5 + 5 = 10

✔ Answer: 10 त्रिभुज

How it is asked

Asked consistently in SSC CGL, CHSL, MTS, GD, and Railway NTPC (1-2 questions per shift).

Common mistakes

✘ दो वर्गों या त्रिभुजों को जोड़ने पर जॉइंट (Junction) पर बनने वाले नए बड़े त्रिभुजों को गिनना भूल जाना।
✘ ग्रिड में वर्ग गिनते समय आयत (Rectangles) को भी वर्ग मान लेना या गुणा करते समय 1 तक पहुंचने से पहले रुक जाना।
✘ 5-स्टार (10 त्रिभुज) और 6-स्टार (8 त्रिभुज) के सीधे परिणाम में भ्रमित हो जाना।

Figure Completion and Pattern Series

Figure completion requires identifying the missing quadrant of an incomplete composite figure by analyzing the symmetry and pattern of the given quadrants. Pattern series presents a sequence of successive figures where elements change systematically based on angular rotation, position shifting, or addition/deletion of strokes. To solve these, track one element at a time, check its direction (clockwise or anticlockwise) and angle of rotation, or observe structural symmetry. Look for keywords like 'complete the pattern' or 'find the next figure in the series'.

Formulas with examples

📐 चतुर्थांश सममिति नियम (Quadrant Symmetry Rule): चतुर्थांश IV = चतुर्थांश I का जल प्रतिबिंब (Water Image) या चतुर्थांश III का दर्पण प्रतिबिंब (Mirror Image) — Used in figure completion problems where a quadrant is missing and the overall design follows radial or reflection symmetry.

Example 40: एक बड़े वर्ग को 4 छोटे वर्गों में बांटा गया है। ऊपर-बाएं (TL) में केंद्र से बाहर जाता एक विकर्ण और वृत्त है, ऊपर-दाएं (TR) में उसका दर्पण प्रतिबिंब है। नीचे-बाएं (BL) में TL का जल प्रतिबिंब है। नीचे-दाएं (BR) के लिए सही आकृति क्या होगी?

✔ Answer: नीचे-दाएं कोने से केंद्र की ओर जाती रेखा जिसके सिरे पर वृत्त हो
Example 41: एक बड़े वृत्त के चार चतुर्थांश हैं। TL में दो संकेंद्रीय चाप (Concentric Arcs) केंद्र की ओर झुके हैं। TR में भी केंद्र की ओर झुके दो चाप हैं। BL में भी केंद्र की ओर चाप हैं। BR के प्रश्नवाचक चिन्ह (?) के स्थान पर क्या आएगा?

✔ Answer: केंद्र की ओर मुख किए हुए दो संकेंद्रीय चाप (Concentric Arcs)

📐 घूर्णन व विस्थापन नियम: नया कोण = प्रारंभिक कोण ± θ (जहाँ θ = 45°, 90°, 135° या 180° एवं + दक्षिणावर्त, - वामावर्त) — Used in figure series when single or multiple markers rotate by fixed angular increments or move along the perimeter step-by-step.

Example 42: एक तीर पहली आकृति में उत्तर (North) की ओर है, दूसरी आकृति में उत्तर-पूर्व (North-East), तीसरी में पूर्व (East), और चौथी में दक्षिण-पूर्व (South-East) की ओर है। पांचवीं आकृति में तीर किस दिशा में होगा?

✔ Answer: दक्षिण दिशा (South) की ओर तीर
Example 43: एक वर्ग के अंदर एक काला बिंदु पहली आकृति में शीर्ष-बाएं (TL) कोने पर है, दूसरी में शीर्ष-दाएं (TR), तीसरी में नीचे-दाएं (BR), और चौथी में नीचे-बाएं (BL) कोने पर है। पांचवीं आकृति में बिंदु कहाँ होगा?

✔ Answer: शीर्ष-बाएं (Top-Left) कोने पर काला बिंदु

Question types asked

चतुर्थांश समरूपता द्वारा आकृति पूर्ण करना
कोण घूर्णन आधारित आकृति श्रृंखला
तत्वों की संख्या व स्थिति में वृद्धि/कमी
एकांतर विस्थापन और रूप परिवर्तन श्रृंखला
रेखाओं और आकारों का संयोजन व विलोपन

Solved questions (every type)

Q 44 [चतुर्थांश समरूपता द्वारा आकृति पूर्ण करना]: दिए गए पैटर्न में प्रश्नवाचक चिन्ह (?) के स्थान पर कौन-सी आकृति आएगी? मुख्य आकृति एक बड़ा वर्ग है जो चार बराबर वर्गों में बंटा है। शीर्ष-बाएं भाग में केंद्र से कोने तक एक विकर्ण और उस पर 2 छोटी लंबवत रेखाएं हैं। शीर्ष-दाएं और नीचे-बाएं भाग में भी विकर्ण पर 2 रेखाएं सममित रूप से बनी हैं। नीचे-दाएं (?) भाग को पूरा करें।

✔ Answer: केंद्र से नीचे-दाएं कोने तक जाती विकर्ण रेखा जिस पर दो छोटी लंबवत रेखाएं हों
Q 45 [कोण घूर्णन आधारित आकृति श्रृंखला]: श्रृंखला में अगली आकृति ज्ञात कीजिए: आकृति 1 में एक रेखाखंड 12 बजे (ऊपर) की स्थिति में है। आकृति 2 में यह 45° दक्षिणावर्त मुड़कर 1:30 की स्थिति में आता है। आकृति 3 में यह 90° दक्षिणावर्त मुड़कर 4:30 पर आता है। आकृति 4 में यह 135° दक्षिणावर्त मुड़ता है। आकृति 5 में इसकी दिशा क्या होगी?

✔ Answer: पूर्व दिशा (3 बजे की स्थिति) की ओर इंगित करता रेखाखंड
Q 46 [तत्वों की संख्या व स्थिति में वृद्धि/कमी]: शृंखला में अगली आकृति क्या होगी? आकृति 1: एक त्रिभुज (3 भुजाएं)। आकृति 2: एक चतुर्भुज जिसके अंदर 1 वृत्त है। आकृति 3: एक पंचभुज जिसके अंदर 2 वृत्त हैं। आकृति 4: एक षट्भुज जिसके अंदर 3 वृत्त हैं। आकृति 5 ज्ञात कीजिए।

✔ Answer: एक सप्तभुज (7 भुजाएं) जिसके अंदर 4 वृत्त हों
Q 47 [एकांतर विस्थापन और रूप परिवर्तन श्रृंखला]: एक वर्ग में एक चिन्ह बदल रहा है: पद 1 में TL कोने पर सफेद वृत्त (O)। पद 2 में BR कोने पर काला वर्ग (■)। पद 3 में TL कोने पर सफेद त्रिभुज (△)। पद 4 में BR कोने पर काला पंचभुज (⬟)। पद 5 में क्या आएगा?

✔ Answer: शीर्ष-बाएं (TL) कोने पर एक सफेद (अछायांकित) वर्ग
Q 48 [रेखाओं और आकारों का संयोजन व विलोपन]: एक वर्ग के केंद्र पर '+' चिन्ह है। आकृति 1: केवल '+' चिन्ह। आकृति 2: '+' चिन्ह के साथ ऊपर-दाएं कोने में एक विकर्ण रेखा। आकृति 3: ऊपर-दाएं और नीचे-दाएं दोनों कोनों में विकर्ण रेखाएं। आकृति 4: तीन कोनों (ऊपर-दाएं, नीचे-दाएं, नीचे-बाएं) में विकर्ण रेखाएं। पांचवीं आकृति क्या होगी?

✔ Answer: केंद्र में '+' चिन्ह तथा चारों कोनों में विकर्ण रेखाएं
Q 49 [चतुर्थांश समरूपता द्वारा आकृति पूर्ण करना]: एक वृत्त 4 बराबर भागों में विभाजित है। ऊपरी-बाएं भाग में दो तीर केंद्र से बाहर की ओर जा रहे हैं। ऊपरी-दाएं भाग में दो तीर केंद्र की ओर आ रहे हैं। निचले-बाएं भाग में दो तीर केंद्र की ओर आ रहे हैं। निचले-दाएं (?) भाग को पूरा करने के लिए तीरों की दिशा क्या होगी?

✔ Answer: केंद्र से बाहर की ओर जाते हुए दो तीर
Q 50 [कोण घूर्णन आधारित आकृति श्रृंखला]: एक वृत्त में दो सुइयां (A और B) हैं। पहली आकृति में A उत्तर (12 बजे) पर और B पूर्व (3 बजे) पर है। दूसरी आकृति में A 45° CW चलकर 1:30 पर और B 90° CW चलकर 6 बजे पर जाता है। तीसरी में A 45° CW चलकर 3 बजे और B 90° CW चलकर 9 बजे पर जाता है। चौथी आकृति में सुई A और B की स्थिति क्या होगी?

✔ Answer: सुई A दक्षिण-पूर्व (4:30) पर तथा सुई B उत्तर (12:00) पर

How it is asked

Asked consistently in SSC CGL, CHSL, MTS, GD, and Railway NTPC under Non-Verbal Reasoning (2-3 questions per shift). Typically includes 1 quadrant completion problem and 1-2 multi-element progressive series questions.

Common mistakes

✘ पूरी आकृति को एक साथ देखने की कोशिश करना; इसके बजाय प्रत्येक तत्व (Element) को अलग-अलग ट्रैक करना चाहिए।
✘ घूर्णन की दिशा (Clockwise vs Anticlockwise) में भ्रमित होना और 45° तथा 90° के अंतर को ध्यान से न देखना।
✘ आकृति पूर्ण करते समय दिए गए विकल्प के घूर्णन (Rotation allowed/not allowed) के निर्देश को नज़रअंदाज़ करना।

Word Formation and Dictionary Order

This sub-topic primarily contains two types of questions: 'Word Formation' and 'Dictionary Order'. In word formation, a root word is given, and you must determine which of the option words can or cannot be formed using its letters. A letter can only be used as many times as it appears in the root word. In dictionary order, words are arranged alphabetically from left to right comparing letter by letter (A to Z). In SSC exams, questions are commonly framed as 'Which word cannot be formed?' or 'Arrange the words in dictionary sequence'.

Formulas with examples

📐 अक्षर उपस्थिति एवं आवृत्ति सीमा नियम (Letter Frequency Rule): कोई नया शब्द तभी बन सकता है जब उसमें प्रयुक्त प्रत्येक अक्षर मूल शब्द में मौजूद हो और उसकी संख्या मूल शब्द में उपस्थित संख्या से अधिक न हो। — Use this rule when determining whether an option word can or cannot be formed from the letters of a given master word.

Example 51: दिए गए शब्द 'REFRIGERATOR' के अक्षरों का प्रयोग करके कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

A. ROAR

B. REFUSE

C. GREAT

D. FORMER

मूल शब्द 'REFRIGERATOR' के अक्षर: R(4), E(2), F(1), I(1), G(1), A(1), T(1), O(1)

विकल्प B में शब्द 'REFUSE' है।

'REFUSE' में अक्षर 'S' और 'U' मौजूद हैं।

मूल शब्द 'REFRIGERATOR' में 'S' और 'U' अक्षर उपस्थित नहीं हैं।

अतः 'REFUSE' नहीं बनाया जा सकता।

✔ Answer: REFUSE

📐 बाएं-से-दाएं वर्णमाला तुलना नियम (Left-to-Right Alphabetical Comparison): शब्दों के अक्षरों की तुलना पहले अक्षर से शुरू करें; समान होने पर अगले अक्षर की तुलना वर्णमाला मान (A=1, B=2, ..., Z=26) के आधार पर करें। — Use this method to arrange words in alphabetical order by comparing letters sequentially from left to right.

Example 52: निम्नलिखित शब्दों को शब्दकोश क्रम में व्यवस्थित कीजिए:

1. Habit 2. Habitat 3. Habitation 4. Habitual

सभी शब्दों में पहले 5 अक्षर समान हैं: 'H-A-B-I-T'

1. Habit (यहीं समाप्त हो गया, अतः सबसे पहले आएगा) = 1

2. Habitat में छठा अक्षर 'a' है।

3. Habitation में छठा और सातवां अक्षर 'a-t' है, आठवां 'i' है (Habitat के बाद आएगा)।

4. Habitual में छठा अक्षर 'u' है (a के बाद u आता है)।

अतः सही क्रम: 1, 2, 3, 4 होगा।

✔ Answer: 1, 2, 3, 4
Example 53: दिए गए शब्दों को शब्दकोश के अनुसार सजाने पर मध्य (तीसरे) स्थान पर कौन-सा शब्द आएगा?

Faith, False, Fake, Fame, Family

सभी शब्दों का पहला अक्षर 'F' और दूसरा 'a' समान है।

तीसरे अक्षर की तुलना करने पर: i(9), l(12), k(11), m(13), m(13)

1st = Faith (i = 9)

2nd = Fake (k = 11)

3rd = False (l = 12)

4th = Fame (m-e) तथा 5th = Family (m-i)

अतः ठीक मध्य (तीसरे) स्थान पर 'False' आएगा।

✔ Answer: False

Question types asked

मूल शब्द के अक्षरों से 'बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना
मूल शब्द के अक्षरों से 'नहीं बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना
अक्षरों की पुनरावृत्ति (आवृत्ति सीमा) पर आधारित शब्द निर्माण
4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) क्रम में व्यवस्थित करना
शब्दकोश में तीसरे या अंतिम स्थान पर आने वाला शब्द ज्ञात करना

Solved questions (every type)

Q 54 [मूल शब्द के अक्षरों से 'नहीं बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना]: दिए गए शब्द 'SOMNAMBULISM' के अक्षरों का प्रयोग करके निम्नलिखित में से कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

A. NAMES

B. BIOME

C. BASIN

D. SOUL

मूल शब्द 'SOMNAMBULISM' के अक्षर: S(2), O(1), M(3), N(1), A(1), B(1), U(1), L(1), I(1)

विकल्प B में शब्द 'BIOME' दिया गया है।

'BIOME' में अक्षर 'E' की आवश्यकता है।

मूल शब्द 'SOMNAMBULISM' में अक्षर 'E' कहीं भी उपस्थित नहीं है।

अतः 'BIOME' शब्द नहीं बनाया जा सकता।

✔ Answer: BIOME
Q 55 [अक्षरों की पुनरावृत्ति (आवृत्ति सीमा) पर आधारित शब्द निर्माण]: दिए गए शब्द 'PREPARATION' के अक्षरों का प्रयोग करके कौन-सा शब्द नहीं बनाया जा सकता है?

A. PARTNER

B. PARROT

C. REPEAT

D. TRAIN

मूल शब्द 'PREPARATION' में अक्षरों की संख्या:

P = 2, R = 2, E = 1, A = 2, T = 1, I = 1, O = 1, N = 1

विकल्प C में शब्द 'REPEAT' है: R(1), E(2), P(1), A(1), T(1)

'REPEAT' में अक्षर 'E' का प्रयोग 2 बार हुआ है।

लेकिन मूल शब्द 'PREPARATION' में 'E' केवल 1 बार ही आया है।

अतः अक्षरों की आवृत्ति सीमा के कारण 'REPEAT' नहीं बनाया जा सकता।

✔ Answer: REPEAT
Q 56 [4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) क्रम में व्यवस्थित करना]: निम्नलिखित शब्दों को शब्दकोश में दिए गए क्रम के अनुसार व्यवस्थित कीजिए:

1. Nation 2. Native 3. Nature 4. Natural 5. Navel

सभी शब्दों में प्रारंभिक अक्षर 'Na' समान हैं, तीसरे अक्षर की तुलना करते हैं:

शब्द 1, 2, 3, 4 में तीसरा अक्षर 't' है तथा शब्द 5 में 'v' है।

't' पहले आता है और 'v' बाद में, इसलिए 5 (Navel) सबसे अंत में आएगा।

अब 1, 2, 3, 4 में चौथा अक्षर:

Nation ('i'), Native ('i'), Nature ('u'), Natural ('u')

'i' वाले पहले आएंगे: Nation (N-a-t-i-o) और Native (N-a-t-i-v) में o < v, अतः क्रम: 1, 2

'u' वाले: Nature (N-a-t-u-r-e) और Natural (N-a-t-u-r-a) में a < e, अतः क्रम: 4, 3

संपूर्ण क्रम = 1, 2, 4, 3, 5

✔ Answer: 1, 2, 4, 3, 5
Q 57 [4-5 शब्दों को शब्दकोश (डिक्शनरी) क्रम में व्यवस्थित करना]: दिए गए शब्दों को शब्दकोश के तार्किक क्रम में व्यवस्थित कीजिए:

1. Epilogue 2. Epiphany 3. Episode 4. Epitaph 5. Epitome

सभी शब्दों में पहले तीन अक्षर 'E-p-i' समान हैं।

चौथे अक्षर की तुलना करने पर:

1. Epilogue में चौथा अक्षर 'l' (12)

2. Epiphany में चौथा अक्षर 'p' (16)

3. Episode में चौथा अक्षर 's' (19)

4. Epitaph में चौथा अक्षर 't' (20)

5. Epitome में चौथा अक्षर 't' (20)

वर्णमाला क्रम में: l (12) < p (16) < s (19) < t (20)

अतः पहले तीन शब्द होंगे: 1, 2, 3

अब 4 और 5 में पांचवां अक्षर: Epitaph में 'a' तथा Epitome में 'o' (a < o)

अतः सही क्रम: 1, 2, 3, 4, 5

✔ Answer: 1, 2, 3, 4, 5
Q 58 [शब्दकोश में तीसरे या अंतिम स्थान पर आने वाला शब्द ज्ञात करना]: निम्नलिखित पाँच शब्दों को यदि अंग्रेजी शब्दकोश के अनुसार वर्णानुक्रम में व्यवस्थित किया जाए, तो तीसरे स्थान पर कौन-सा शब्द आएगा?

Seldom, Select, Selfish, Seller, Send

सभी शब्दों का पहला अक्षर 'S' और दूसरा अक्षर 'e' समान है।

तीसरे अक्षर की तुलना करने पर:

चार शब्दों में तीसरा अक्षर 'l' है और 'Send' में 'n' है (l < n, अतः Send 5वें स्थान पर होगा)।

अब 'l' वाले शब्दों के चौथे अक्षर की तुलना:

1. Seldom -> चौथा अक्षर 'd' (सबसे पहले आएगा -> 1st)

2. Select -> चौथा अक्षर 'e' (दूसरे स्थान पर -> 2nd)

3. Selfish -> चौथा अक्षर 'f' (तीसरे स्थान पर -> 3rd)

4. Seller -> चौथा अक्षर 'l' (चौथे स्थान पर -> 4th)

अतः तीसरे स्थान पर आने वाला शब्द 'Selfish' है।

✔ Answer: Selfish
Q 59 [मूल शब्द के अक्षरों से 'बनाया जा सकने वाला' शब्द चुनना]: दिए गए शब्द 'SIGNIFICANT' के अक्षरों का उपयोग करके निम्नलिखित में से कौन-सा शब्द बनाया जा सकता है?

A. FICTION

B. FASCIST

C. TRAIN

D. INFANT

मूल शब्द 'SIGNIFICANT' के अक्षरों की गणना:

S=1, I=3, G=1, N=2, I(गिन लिया), F=1, I(गिन लिया), C=1, A=1, N(गिन लिया), T=1

विकल्प A (FICTION): 'O' अक्षर मूल शब्द में नहीं है।

विकल्प B (FASCIST): इसमें 2 बार 'S' की आवश्यकता है, परंतु मूल शब्द में केवल 1 'S' है।

विकल्प C (TRAIN): 'R' अक्षर मूल शब्द में नहीं है।

विकल्प D (INFANT): I(1), N(2), F(1), A(1), T(1) - ये सभी अक्षर मूल शब्द में पूरी तरह उपलब्ध हैं।

अतः केवल 'INFANT' बनाया जा सकता है।

✔ Answer: INFANT

How it is asked

In almost every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, GD, and CPO, exactly 1 to 2 questions are asked from this sub-topic—usually one on dictionary order sequencing and one on word formation.

Common mistakes

✘ प्रश्न में 'बनाया जा सकता है' और 'नहीं बनाया जा सकता है' को ध्यान से न पढ़ना और विपरीत विकल्प चुन लेना।
✘ किसी अक्षर की आवृत्ति (frequency) पर ध्यान न देना; जैसे मूल शब्द में 'E' एक बार हो और विकल्प में दो बार आया हो, तो छात्र उसे सही मान लेते हैं।
✘ शब्दकोश क्रम में समान उपसर्ग वाले शब्दों में 3रे या 4थे अक्षर की तुलना में जल्दबाजी में गलती करना।

All formulas at a glance

Standard Dice: The sum of opposite faces is always 7 (1↔6, 2↔5, 3↔4).
Ordinary Dice (One Common Face): Rotate clockwise from the common face in both dice positions; paired numbers are opposite.
Ordinary Dice (Two Common Faces): If two faces are identical, the remaining third faces are opposite to each other.
Cube Division: n = (Side of bigger cube) / (Side of smaller cube); Total small cubes = n³.
3-Faces Painted Cubes (Corners): Always 8.
2-Faces Painted Cubes (Edges): Formula = 12(n - 2).
1-Face Painted Cubes (Surface): Formula = 6(n - 2)².
0-Face Painted / Colorless Cubes (Inner): Formula = (n - 2)³.
Triangle Counting: In a square partitioned by both diagonals, Triangles = 2 × (Number of inner sectors).
Dictionary Order: Compare letters sequentially from left to right according to the English alphabetical order (A-Z).
Word Formation: A letter can only be used as many times as it appears in the original given word.

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