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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

अनुपात और समानुपात

Ratio and Proportion

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

अनुपात और समानुपात SSC CGL, CHSL और CPO (Tier-1 और Tier-2) में अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है, जिससे 2 से 3 प्रश्न सीधे पूछे जाते हैं। यह पूरे अंकगणित (Arithmetic) का आधार है और सीधे सूत्रों तथा शॉर्टकट ट्रिक्स की मदद से बेहद कम समय में पूरे अंक दिलाता है।

अनुपातों का संयोजन (A:B और B:C को मिलाना)

जब दो या दो से अधिक अलग-अलग अनुपातों में कोई एक पद उभयनिष्ठ (Common Term) होता है, तो उन्हें मिलाकर एक संयुक्त अनुपात (Combined Ratio) बनाया जाता है। जैसे यदि A:B और B:C दिए गए हों, तो दोनों में 'B' उभयनिष्ठ है। दोनों अनुपातों में 'B' का मान बराबर करने के लिए B के मानों का ल.स.प. (LCM) लिया जाता है या 'उल्टा N' (Reverse N) विधि से गुणा किया जाता है। परीक्षा में जब भी अलग-अलग जोड़ों का अनुपात देकर संयुक्त मान पूछा जाए, तो इसी विधि की पहचान करें।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 A : B : C = (a × c) : (b × c) : (b × d) जहाँ A:B = a:b और B:C = c:d — जब दो अनुपातों (A:B और B:C) को मिलाकर तीन पदों का संयुक्त अनुपात (A:B:C) ज्ञात करना हो।

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5

उभयनिष्ठ पद B का मान बराबर करने के लिए:

पहले अनुपात को 4 से गुणा: A : B = 2 × 4 : 3 × 4 = 8 : 12

दूसरे अनुपात को 3 से गुणा: B : C = 4 × 3 : 5 × 3 = 12 : 15

संयुक्त अनुपात = 8 : 12 : 15

P/R = (P/Q) × (Q/R)

P/R = (5/7) × (14/15)

7 से 14 कटा 2 बार: (5 × 2)/15 = 10/15

5 से काटने पर = 2/3

P : R = 2 : 3

📐 A : D = (A/B) × (B/C) × (C/D) (पहला और अंतिम पद निकालने का नियम) — जब शृंखला अनुपात (A:B, B:C, C:D) में केवल पहले और अंतिम पद (A:D) का अनुपात पूछा जाए।

A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)

A/D = (3/4) × (8/9) × (15/16)

(3/4) × (8/9) = 2/3

(2/3) × (15/16) = 10/16 = 5/8

A : D = 5 : 8

W2 : W1 = 3 : 2 और W1 : W3 = 1 : 2

W2/W3 = (W2/W1) × (W1/W3)

W2/W3 = (3/2) × (1/2) = 3/4

W2 : W3 = 3 : 4

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

A : B = 3 : 5, B : C = 2 : 3

खाली जगह भरने की विधि से:

A : B : C = (3 × 2) : (5 × 2) : (5 × 3)

A = 6

B = 10

C = 15

अतः A : B : C = 6 : 10 : 15

a/d = (a/b) × (b/c) × (c/d)

a/d = (2/3) × (4/5) × (6/7)

3 से 6 कटा 2 बार

a/d = (2 × 4 × 2) / (5 × 7)

a/d = 16 / 35

a : d = 16 : 35

A:B = 1:2, B:C = 3:4, C:D = 5:6

पड़ोसी संख्या से खाली स्थान भरने पर:

A = 1 × 3 × 5 = 15

B = 2 × 3 × 5 = 30

C = 2 × 4 × 5 = 40

D = 2 × 4 × 6 = 48

A : B : C : D = 15 : 30 : 40 : 48

3, 4 और 5 का ल.स.प. (LCM) = 60

प्रत्येक पद को 60 से भाग देने पर:

3A/60 = 4B/60 = 5C/60

A/20 = B/15 = C/12

A : B : C = 20 : 15 : 12

A : B = (1/2) : (3/8) = (1/2 × 8) : (3/8 × 8) = 4 : 3

B : C = (1/3) : (5/9) = (1/3 × 9) : (5/9 × 9) = 3 : 5

दोनों में B का मान पहले से समान (3) है

अतः A : B : C = 4 : 3 : 5

x = 4 और y = 7 रखने पर:

3x + 2y = 3(4) + 2(7) = 12 + 14 = 26

5x + y = 5(4) + 7 = 20 + 7 = 27

अनुपात = 26 : 27

A/B = 3/2, B/C = 5/4, C/D = 7/6

A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)

A/D = (3/2) × (5/4) × (7/6)

3 से 6 कटा 2 बार

A/D = (5 × 7) / (2 × 4 × 2) = 35 / 16

A : D = 35 : 16

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और GD में इस सब-टॉपिक से लगभग हर शिफ्ट में 1 प्रश्न सीधे पूछा जाता है। मुख्य रूप से A:B:C निकालना, 2A=3B=5C प्रकार के प्रश्न या सीधे पहले और आखिरी पद (A:D) का अनुपात पूछा जाता है।

आम गलतियाँ

💡 खाली जगह भरने वाली ग्रिड विधि (Neighbor filling) का प्रयोग करें; दाईं और बाईं खाली जगह को हमेशा उसके बगल वाली संख्या से भरें। यदि केवल पहला और अंतिम पद चाहिए तो सीधे सभी भिन्नों का गुणनफल कर दें। बिलुकल समय बचेगा। ट्रिक: 2A=3B=4C में 'छुपाव विधि' (Hide method) अपनाएं—A निकालने के लिए 2 को छुपाकर 3×4=12 लिखें। इकाई अंक और विभाज्यता की जांच से विकल्प तेजी से चुने जा सकते हैं। इस नियम को कंठस्थ रखें। परीक्षा में पूरा गणना न करें। सीधे कटने वाली संख्याओं को पहले काटें। उत्तर सेकंडों में मिलेगा। याद

वर्गानुपात, घनानुपात, वर्गमूलानुपात एवं मिश्र अनुपात

वर्गानुपात (Duplicate Ratio) में दिए गए अनुपात के पदों का वर्ग (square) किया जाता है, जैसे a:b का वर्गानुपात a²:b² होता है। घनानुपात (Triplicate Ratio) में पदों का घन (cube) किया जाता है, जैसे a³:b³। वर्गमूलानुपात (Sub-duplicate Ratio) में पदों का वर्गमूल (square root) लिया जाता है, जैसे √a:√b। घनमूलानुपात (Sub-triplicate Ratio) में पदों का घनमूल (cube root) लिया जाता है। मिश्रित या जटिल अनुपात (Compounded Ratio) दो या दो से अधिक अनुपातों के प्रथम पदों (अंशों) और द्वितीय पदों (हरों) का परस्पर गुणा करके प्राप्त किया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Duplicate Ratio (वर्गानुपात) of a : b = a² : b² — जब दो राशियों के अनुपात का वर्गानुपात ज्ञात करना हो।

पहला पद = 3, दूसरा पद = 5

वर्गानुपात = 3² : 5²

= 9 : 25

वर्गानुपात की परिभाषा से: (2x + 1)² / (3x + 4)² = 9 / 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: (2x + 1) / (3x + 4) = 3 / 4

त्रियक गुणा करने पर: 4(2x + 1) = 3(3x + 4)

8x + 4 = 9x + 12

9x - 8x = 4 - 12

x = -8

📐 Sub-duplicate Ratio (वर्गमूलानुपात) of a : b = √a : √b — जब दिए गए अनुपात का वर्गमूलानुपात निकालना हो।

पहला पद = 64, दूसरा पद = 81

वर्गमूलानुपात = √64 : √81

= 8 : 9

वर्गमूलानुपात = √25 : √49 = 5 : 7

इसलिए x = 5 और y = 7 लेने पर

2x + y = 2(5) + 7 = 10 + 7 = 17

3x - y = 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8

अतः (2x + y) : (3x - y) = 17 : 8

📐 Triplicate Ratio = a³ : b³ और Sub-triplicate Ratio = ∛a : ∛b — जब घनानुपात (Triplicate) या घनमूलानुपात (Sub-triplicate) निकालना हो।

पहला पद = 4, दूसरा पद = 5

घनानुपात = 4³ : 5³

= 64 : 125

पहला पद = 216, दूसरा पद = 343

घनमूलानुपात = ∛216 : ∛343

216 का घनमूल = 6

343 का घनमूल = 7

अतः घनमूलानुपात = 6 : 7

📐 Compounded Ratio (मिश्रित अनुपात) of (a:b, c:d, e:f) = (a × c × e) : (b × d × f) — जब दो या दो से अधिक अनुपातों का मिश्रित या जटिल अनुपात ज्ञात करना हो।

अंशों का गुणनफल = 2 × 4 × 9 = 72

हरों का गुणनफल = 3 × 5 × 7 = 105

मिश्रित अनुपात = 72 / 105

3 से काटने पर = 24 / 35

= 24 : 35

3 : 4 का वर्गानुपात = 3² : 4² = 9 : 16

अब 9 : 16 और 8 : 9 का मिश्रित अनुपात निकालना है

अंशों का गुणनफल = 9 × 8 = 72

हरों का गुणनफल = 16 × 9 = 144

मिश्रित अनुपात = 72 / 144 = 1 / 2

= 1 : 2

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

2 : 3 का घनानुपात = 2³ : 3³ = 8 : 27 (अर्थात a : b = 8 : 27)

4 : 5 का वर्गानुपात = 4² : 5² = 16 : 25 (अर्थात c : d = 16 : 25)

(a × c) = 8 × 16 = 128

(b × d) = 27 × 25 = 675

अतः (a × c) : (b × d) = 128 : 675

125 : 512 का घनमूलानुपात = ∛125 : ∛512 = 5 : 8

81 : 121 का वर्गमूलानुपात = √81 : √121 = 9 : 11

दोनों अनुपातों का मिश्रित अनुपात = (5 × 9) : (8 × 11)

= 45 : 88

अंशों का गुणनफल = 2a × 4b × 15c = 120abc

हरों का गुणनफल = 3b × 5c × 8a = 120abc

मिश्रित अनुपात = 120abc / 120abc

= 1 / 1

= 1 : 1

3 : 4 का वर्गानुपात = 3² : 4² = 9 : 16

64 : 27 का घनमूलानुपात = ∛64 : ∛27 = 4 : 3

तीसरा अनुपात = 5 : 2

मिश्रित अनुपात = (9 × 4 × 5) : (16 × 3 × 2)

अंशों का गुणनफल = 180, हरों का गुणनफल = 96

अनुपात = 180 / 96

12 से विभाजित करने पर = 15 / 8

= 15 : 8

वर्गमूलानुपात की परिभाषा से: √[(3x + 2) / (5x - 1)] = 2 / 3

दोनों तरफ वर्ग (squaring) करने पर: (3x + 2) / (5x - 1) = 4 / 9

त्रियक गुणा करने पर: 9(3x + 2) = 4(5x - 1)

27x + 18 = 20x - 4

27x - 20x = -4 - 18

7x = -22

x = -22 / 7

3 : 4 का वर्गानुपात = 3² : 4² = 9 : 16

दिया गया है: (x - 2) / (x + 3) = 9 / 16

त्रियक गुणा करने पर: 16(x - 2) = 9(x + 3)

16x - 32 = 9x + 27

16x - 9x = 27 + 32

7x = 59

x = 59 / 7

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5

A : C = (A/B) × (B/C) = (2/3) × (4/5) = 8 / 15

अर्थात A : C = 8 : 15

A : C का वर्गानुपात = 8² : 15²

= 64 : 225

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, GD तथा Railway परीक्षाओं में Duplicate, Sub-duplicate, Triplicate तथा Compounded Ratio पर सीधे 1 प्रश्न अक्सर पूछा जाता है। प्रश्नों में या तो सीधे मान निकालना होता है या बीजगणितीय समीकरण बनाकर अज्ञात राशि x का मान ज्ञात करना होता है।

आम गलतियाँ

💡 ध्यान रखें कि 'Duplicate' का अर्थ Square (वर्ग) है न कि 2 से गुणा; और अंग्रेजी में जहाँ भी 'Sub-' लगा हो वहाँ Root (मूल) निकालना होता है। मिश्रित अनुपात का अर्थ सीधे-सीधे अनुपातों का गुणा करना है। back of envelope calculation से समय बचाएं। (No control characters included in formatting rules). Tip: 'Duplicate' = Square, 'Triplicate' = Cube, 'Sub-' = Root, 'Compounded' = Multiply all numerators and denominators together.

मध्यानुपाती, तृतीयानुपाती और चतुर्थानुपाती

समानुपात (Proportion) का अर्थ है दो अनुपातों की बराबरी। यदि a/b = c/d हो, तो a, b, c और d समानुपाती कहलाते हैं। मध्यानुपाती (Mean Proportional) दो संख्याओं के बीच का वह पद है जो उनके गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है। तृतीयानुपाती (Third Proportional) तब ज्ञात किया जाता है जब a:b = b:c हो, यहाँ 'c' तृतीयानुपाती है। चतुर्थानुपाती (Fourth Proportional) a:b = c:d में 'd' का मान होता है। परीक्षा में इन पर आधारित सीधे सूत्र वाले प्रश्न पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Mean Proportional = √(a × b) — जब दो संख्याओं a और b का मध्यानुपाती ज्ञात करना हो।

मध्यानुपाती = √(4 × 64)

मध्यानुपाती = √256

मध्यानुपाती = 16

मध्यानुपाती = √(0.02 × 0.32)

मध्यानुपाती = √0.0064

मध्यानुपाती = 0.08

📐 Third Proportional = b² / a — जब दो संख्याओं a और b का तृतीयानुपाती ज्ञात करना हो।

तृतीयानुपाती = (12 × 12) / 9

तृतीयानुपाती = 144 / 9

तृतीयानुपाती = 16

तृतीयानुपाती = (36 × 36) / 18

तृतीयानुपाती = 1296 / 18

तृतीयानुपाती = 72

📐 Fourth Proportional = (b × c) / a — जब तीन संख्याओं a, b और c का चतुर्थानुपाती ज्ञात करना हो।

चतुर्थानुपाती = (10 × 12) / 5

चतुर्थानुपाती = 120 / 5

चतुर्थानुपाती = 24

चतुर्थानुपाती = (4 × 9) / 3

चतुर्थानुपाती = 36 / 3

चतुर्थानुपाती = 12

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

मध्यानुपाती = √(0.04 × 0.36)

मध्यानुपाती = 0.2 × 0.6

मध्यानुपाती = 0.12

तृतीयानुपाती = (28 × 28) / 4

तृतीयानुपाती = 784 / 4

तृतीयानुपाती = 196

चतुर्थानुपाती = (21 × 28) / 14

चतुर्थानुपाती = 21 × 2

चतुर्थानुपाती = 42

मध्यानुपाती = √(14.4 × 3.6) = 7.2

तृतीयानुपाती = (4 × 4) / 5 = 3.2

अनुपात = 7.2 : 3.2

अनुपात = 72 : 32

अनुपात = 9 : 4

0.75 / x = 5 / 8

5x = 0.75 × 8

5x = 6.00

x = 6 / 5

x = 1.2

मध्यानुपाती = √[(x² - y²) × (x - y) / (x + y)]

मध्यानुपाती = √[(x - y)(x + y) × (x - y) / (x + y)]

मध्यानुपाती = √(x - y)²

मध्यानुपाती = x - y

तृतीयानुपाती = (a - b)² / (a² - b²)

तृतीयानुपाती = (a - b)(a - b) / [(a - b)(a + b)]

तृतीयानुपाती = (a - b) / (a + b)

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और GD परीक्षाओं में इस उप-विषय से अक्सर 1 प्रश्न पूछा जाता है। यह अनुपात के सबसे सरल लेकिन महत्वपूर्ण भागों में से एक है।

आम गलतियाँ

💡 चतुर्थानुपाती के लिए हमेशा याद रखें: बाहरी पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल (a × d = b × c)।

राशि का विभाजन और सिक्कों पर आधारित प्रश्न

किसी राशि को अनुपात में बांटने का अर्थ है उसे दिए गए हिस्सों (parts) में विभाजित करना। सिक्कों वाले प्रश्नों में दो मुख्य स्थितियां होती हैं: जब सिक्कों की संख्या का अनुपात दिया हो या जब उनके मूल्यों (value) का अनुपात दिया हो। यदि संख्या का अनुपात है, तो उसे मूल्य में बदलने के लिए सिक्कों के मान से गुणा करते हैं। यदि मूल्य का अनुपात है, तो संख्या निकालने के लिए भाग देते हैं। परीक्षा में अक्सर थैले में कुल राशि या कुल सिक्कों की संख्या देकर किसी विशेष सिक्के की गिनती पूछी जाती है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Share of A = (A's ratio / Sum of ratios) × Total Amount — जब किसी कुल राशि को कुछ व्यक्तियों के बीच एक निश्चित अनुपात में बांटना हो।

अनुपातों का योग = 2 + 3 + 5 = 10

कुल राशि = 7000

B का हिस्सा = (3 / 10) × 7000

B का हिस्सा = 3 × 700

B का हिस्सा = 2100

माना भाग A और B हैं

(A/5) / (B/8) = 3/4

(A/5) × (8/B) = 3/4

8A / 5B = 3/4

A/B = (3 × 5) / (4 × 8) = 15/32

अनुपातों का योग = 15 + 32 = 47

पहला भाग A = (15 / 47) × 94

A = 15 × 2 = 30

📐 Total Value = Σ (Number of coins × Value of one coin) — जब थैले में विभिन्न प्रकार के सिक्कों की संख्या का अनुपात और कुल मूल्य दिया हो।

सिक्कों का अनुपात = 5x : 6x : 8x

मूल्य = (5x × 1) + (6x × 0.50) + (8x × 0.25) = 210

5x + 3x + 2x = 210

10x = 210

x = 21

1 रुपये के सिक्के = 5 × 21 = 105

50 पैसे के सिक्के = 6 × 21 = 126

25 पैसे के सिक्के = 8 × 21 = 168

मूल्य का योग = (4 × 1) + (3 × 2) + (2 × 5) = 500

4 + 6 + 10 = 20 यूनिट

20 यूनिट = 500

1 यूनिट = 25

2 रुपये के सिक्के = 3 यूनिट

2 रुपये के सिक्के = 3 × 25 = 75

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

अनुपात = 1/2 : 1/3 : 1/4

LCM (2,3,4) = 12 से गुणा करने पर = 6 : 4 : 3

अनुपातों का योग = 6 + 4 + 3 = 13

13 यूनिट = 15600

1 यूनिट = 1200

अंतर (A - C) = 6 - 3 = 3 यूनिट

अंतर = 3 × 1200 = 3600

सिक्कों का अनुपात = 5 : 9 : 25

मूल्य अनुपात = (5×1) : (9×0.5) : (25×0.25)

मूल्य अनुपात = 5 : 4.5 : 6.25

कुल मूल्य = 5 + 4.5 + 6.25 = 15.75 यूनिट

15.75 यूनिट = 1008

1 यूनिट = 1008 / 15.75 = 64

50 पैसे के सिक्के = 9 × 64 = 576

मूल्यों का अनुपात = 13 : 11 : 7

सिक्कों की संख्या का अनुपात = 13/1 : 11/0.5 : 7/0.25

संख्या अनुपात = 13 : 22 : 28

कुल सिक्के = 13 + 22 + 28 = 63 यूनिट

63 यूनिट = 378

1 यूनिट = 6

50 पैसे के सिक्के = 22 × 6 = 132

A : (B + C) = 2 : 5

कुल अनुपात = 2 + 5 = 7

7 यूनिट = 1050

1 यूनिट = 150

A का हिस्सा = 2 यूनिट

A का हिस्सा = 2 × 150 = 300

माना प्रत्येक नोट की संख्या x है

कुल मूल्य = (1 × x) + (5 × x) + (10 × x) = 480

16x = 480

x = 30

कुल नोट = 30 (1रु) + 30 (5रु) + 30 (10रु)

कुल नोट = 90

A:B = 4:5, B:C = 2:3

A:B:C = (4×2) : (5×2) : (5×3) = 8 : 10 : 15

कुल योग = 8 + 10 + 15 = 33 यूनिट

33 यूनिट = 660

1 यूनिट = 20

B का हिस्सा = 10 × 20 = 200

मूल्य = (5x × 0.50) + (9x × 0.25) + (4x × 0.10) = 206

2.50x + 2.25x + 0.40x = 206

5.15x = 206

x = 206 / 5.15 = 40

50 पैसे = 5 × 40 = 200

25 पैसे = 9 × 40 = 360

10 पैसे = 4 × 40 = 160

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और MTS में इस उप-विषय से हर साल प्रश्न पूछे जाते हैं। सिक्कों वाले प्रश्न (विशेषकर मूल्य बनाम संख्या अनुपात) परीक्षा के पसंदीदा पैटर्न हैं।

आम गलतियाँ

💡 सिक्कों के प्रश्नों में, यदि कुल राशि दी गई है, तो अनुपात को मूल्यों में बदलें। यदि सिक्कों की कुल संख्या दी गई है, तो अनुपात को संख्या में बदलें।

आय-व्यय तथा अनुपात में संख्या जोड़ने/घटाने पर आधारित प्रश्न (क्रॉस-गुणन विधि)

जब दो संख्याओं या दो व्यक्तियों की आय (Income) का प्रारंभिक अनुपात दिया हो और दोनों में कुछ निश्चित मान जोड़ने या घटाने के बाद नया अनुपात प्राप्त होता है, तब हम क्रॉस-गुणन विधि (Cross-Multiplication Method) का उपयोग करते हैं। आय और व्यय के प्रश्नों में मूल संबंध 'आय = व्यय + बचत' (Income = Expenditure + Savings) होता है, जिसे 'आय - बचत = व्यय' के रूप में भी लिखा जाता है। इस प्रकार के प्रश्नों को पहचानने का सबसे आसान तरीका यह है कि इसमें दो अनुपात दिए होते हैं और दोनों पदों में अलग-अलग या समान वास्तविक परिवर्तन (बचत, जोड़ना या घटाना) दिया होता है। क्रॉस-गुणन से बिना लंबा समीकरण (Equation) बनाए मात्र दो चरणों में उत्तर निकाला जा सकता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 क्रॉस-गुणन विधि: यदि (a·x - s1) / (b·x - s2) = c / d, तब x = |c·s2 - d·s1| / |a·d - b·c| — जब दो राशियों का प्रारंभिक अनुपात दिया हो और दोनों में निश्चित संख्या जोड़ने या घटाने पर नया अनुपात प्राप्त हो।

प्रारंभिक अनुपात = 5 : 7, नया अनुपात = 3 : 4, प्रत्येक में वृद्धि = +6

क्रॉस-गुणन (अनुपात): (5 × 4) ~ (7 × 3) = 21 - 20 = 1 यूनिट

क्रॉस-गुणन (संख्या): (3 × 6) ~ (4 × 6) = 24 - 18 = 6

1 यूनिट = 6

पहली संख्या = 5 × 6 = 30

दूसरी संख्या = 7 × 6 = 42

आय का अनुपात = 3 : 2, व्यय का अनुपात = 5 : 3, प्रत्येक की बचत = 1000 रुपये

क्रॉस-गुणन (अनुपात): (3 × 3) ~ (2 × 5) = 10 - 9 = 1 यूनिट

क्रॉस-गुणन (बचत): (5 × 1000) ~ (3 × 1000) = 5000 - 3000 = 2000 रुपये

1 यूनिट = 2000 रुपये

A की आय = 3 यूनिट = 3 × 2000 = 6000 रुपये

📐 समान अंतर विधि: यदि दोनों पदों में समान मान जोड़ा/घटाया जाए, तो दोनों अनुपातों के पदों का अंतर बराबर करके 1 यूनिट का मान निकालते हैं। — जब दोनों पदों में जोड़ी या घटाई जाने वाली संख्या ठीक समान (Equal) हो।

प्रारंभिक अनुपात = 2 : 3, नया अनुपात = 3 : 4

दोनों अनुपातों में प्रत्येक पद का अंतर = (3 - 2) = 1 यूनिट और (4 - 3) = 1 यूनिट

यहाँ अंतर पहले से समान है: 1 यूनिट = 8

बड़ी संख्या = 3 यूनिट = 3 × 8 = 24

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रारंभिक अनुपात = 4 : 5

नया अनुपात = 3 : 4

दोनों पदों का अंतर: 4 - 3 = 1 यूनिट तथा 5 - 4 = 1 यूनिट

1 यूनिट = 25

पहली संख्या = 4 × 25 = 100

दूसरी संख्या = 5 × 25 = 125

प्रारंभिक अनुपात = 9 : 7, नया अनुपात = 21 : 17

क्रॉस-गुणा अनुपात: (9 × 17) - (7 × 21) = 153 - 147 = 6 यूनिट

क्रॉस-गुणा मान: 6 × (21 - 17) = 6 × 4 = 24

6 यूनिट = 24, अतः 1 यूनिट = 4

संख्याओं का अंतर = 9 - 7 = 2 यूनिट

अंतर = 2 × 4 = 8

प्रारंभिक अनुपात = 3 : 5, जोड़ने पर मान = +8 और +7, नया अनुपात = 2 : 3

अनुपात क्रॉस-गुणा: (3 × 3) - (5 × 2) = 9 ~ 10 = 1 यूनिट

मान क्रॉस-गुणा: (2 × 7) - (3 × 8) = 14 ~ 24 = 10

1 यूनिट = 10

पहली संख्या = 3 × 10 = 30, दूसरी संख्या = 5 × 10 = 50

प्रत्येक में 6 जोड़ने पर: (30 + 6) : (50 + 6) = 36 : 56 = 9 : 14

आय = 5 : 4, व्यय = 19 : 15, बचत = प्रत्येक 5000 रुपये

अनुपात का क्रॉस अंतर: (5 × 15) - (4 × 19) = 75 ~ 76 = 1 यूनिट

बचत का क्रॉस अंतर: 5000 × (19 - 15) = 5000 × 4 = 20000 रुपये

1 यूनिट = 20000 रुपये

B की मासिक आय = 4 यूनिट = 4 × 20000 = 80000 रुपये

आय = 5 : 3, व्यय = 9 : 5, बचत: A = 1300 रुपये, B = 900 रुपये

अनुपात क्रॉस-गुणा: (5 × 5) - (3 × 9) = 25 ~ 27 = 2 यूनिट

बचत क्रॉस-गुणा: (9 × 900) - (5 × 1300) = 8100 - 6500 = 1600 रुपये

2 यूनिट = 1600 रुपये

1 यूनिट = 800 रुपये

A की आय = 5 × 800 = 4000 रुपये

B की आय = 3 × 800 = 2400 रुपये

आय = 4 : 3, व्यय = 3 : 2, बचत = P: 6000 रुपये, Q: 12000 रुपये

अनुपात क्रॉस अंतर: (4 × 2) - (3 × 3) = 8 ~ 9 = 1 यूनिट

बचत क्रॉस अंतर: (3 × 12000) - (2 × 6000) = 36000 - 12000 = 24000 रुपये

1 यूनिट = 24000 रुपये

P की आय = 4 यूनिट = 4 × 24000 = 96000 रुपये

A की बचत = 25% = 3000 रुपये

A की आय = 3000 / 0.25 = 12000 रुपये

A की आय अनुपात में 4 यूनिट है, अतः 4 यूनिट = 12000 रुपये ⇒ 1 यूनिट = 3000 रुपये

B की आय = 5 यूनिट = 5 × 3000 = 15000 रुपये

A का व्यय = आय - बचत = 12000 - 3000 = 9000 रुपये

व्यय अनुपात = 2 : 3, जहाँ 2 यूनिट = 9000 रुपये ⇒ 1 यूनिट = 4500 रुपये

B का व्यय = 3 यूनिट = 3 × 4500 = 13500 रुपये

B की बचत = 15000 - 13500 = 1500 रुपये

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और GD में इस सब-टॉपिक से प्रति शिफ्ट 1 प्रश्न निश्चित रूप से पूछा जाता है। सबसे आम पैटर्न 'समान बचत' और 'क्रॉस-गुणा' पर आधारित दो व्यक्तियों की आय निकालना होता है।

आम गलतियाँ

💡 क्रॉस-गुणन विधि से निकला 1 यूनिट हमेशा केवल ऊपर वाले (प्रारंभिक) अनुपात की वास्तविक वैल्यू देता है; नीचे वाले अनुपात (व्यय) की वैल्यू निकालने के लिए 'आय - बचत = व्यय' का ही प्रयोग करें।', 'tip_en': 'The 1 unit value derived from cross-multiplication applies strictly to the top (initial) ratio; to find expenditure, always subtract savings from income.

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. यदि A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 है, तो A : B : C का मान क्या होगा?

  1. (क) 8 : 12 : 15
  2. (ख) 6 : 12 : 15
  3. (ग) 8 : 15 : 12
  4. (घ) 2 : 7 : 5
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 8 : 12 : 15

A : B = 2 : 3 = 8 : 12 तथा B : C = 4 : 5 = 12 : 15। अतः A : B : C = 8 : 12 : 15।

2. 3 : 2 के वर्गानुपात (duplicate ratio) और 16 : 81 के वर्गमूलानुपात (sub-duplicate ratio) का मिश्रित अनुपात (compounded ratio) ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 1 : 1
  2. (ख) 2 : 3
  3. (ग) 3 : 2
  4. (घ) 4 : 9
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 1 : 1

3:2 का वर्गानुपात = 9:4। 16:81 का वर्गमूलानुपात = 4:9। मिश्रित अनुपात = (9 × 4) : (4 × 9) = 36 : 36 = 1 : 1।

3. 0.08 और 0.18 का मध्यानुपाती (mean proportional) क्या है?

  1. (क) 0.14
  2. (ख) 0.12
  3. (ग) 0.012
  4. (घ) 0.16
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 0.12

मध्यानुपाती = √(0.08 × 0.18) = √(0.0144) = 0.12।

4. 3, 4, 9 के चतुर्थानुपाती (fourth proportional) तथा 2 और 6 के तृतीयानुपाती (third proportional) के बीच का अनुपात क्या है?

  1. (क) 3 : 2
  2. (ख) 2 : 3
  3. (ग) 4 : 3
  4. (घ) 1 : 2
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 2 : 3

चतुर्थानुपाती = (4 × 9) / 3 = 12। तृतीयानुपाती = 6² / 2 = 18। अनुपात = 12 : 18 = 2 : 3।

5. ₹3115 को A, B और C के बीच इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि यदि उनके भागों में से क्रमशः ₹25, ₹28 और ₹52 घटा दिए जाएं, तो शेष राशियां 8 : 15 : 20 के अनुपात में हो जाती हैं। A का वास्तविक भाग कितना है?

  1. (क) ₹585
  2. (ख) ₹560
  3. (ग) ₹610
  4. (घ) ₹1078
उत्तर देखें

उत्तर: (क) ₹585

कुल कमी = 25 + 28 + 52 = ₹105। शेष राशि = 3115 - 105 = ₹3010। अनुपाती योग = 8 + 15 + 20 = 43 इकाई। 1 इकाई = 3010 / 43 = 70। A का घटा हुआ भाग = 8 × 70 = ₹560। A का वास्तविक भाग = 560 + 25 = ₹585।

6. 6, 14, 18 और 38 प्रत्येक संख्या में कौन-सी संख्या जोड़ी जाए ताकि प्राप्त संख्याएँ समानुपाती हो जाएँ?

  1. (क) 1
  2. (ख) 3
  3. (ग) 2
  4. (घ) 4
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 2

(6 + x)/(14 + x) = (18 + x)/(38 + x) => (6 + x)(38 + x) = (14 + x)(18 + x) => 228 + 44x = 252 + 32x => 12x = 24 => x = 2।

7. एक थैले में ₹1, 50 पैसे और 25 पैसे के सिक्के 5 : 7 : 9 के अनुपात में हैं। यदि थैले में कुल धनराशि ₹430 है, तो 50 पैसे के सिक्कों की संख्या ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 200
  2. (ख) 280
  3. (ग) 360
  4. (घ) 140
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 280

सिक्कों का मूल्य अनुपात = (5 × 1) + (7 × 0.50) + (9 × 0.25) = 5 + 3.5 + 2.25 = 10.75 इकाई। 10.75 इकाई = ₹430 => 1 इकाई = 40। 50 पैसे के सिक्कों की संख्या = 7 × 40 = 280।

8. A और B की मासिक आय का अनुपात 5 : 3 है तथा उनके व्यय का अनुपात 9 : 5 है। यदि A और B क्रमशः ₹2600 और ₹1800 की बचत करते हैं, तो A की मासिक आय ज्ञात कीजिए।

  1. (क) ₹6400
  2. (ख) ₹8000
  3. (ग) ₹4800
  4. (घ) ₹9600
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹8000

माना आय 5x और 3x है। व्यय अनुपात: (5x - 2600)/(3x - 1800) = 9/5 => 25x - 13000 = 27x - 16200 => 2x = 3200 => x = 1600। A की आय = 5 × 1600 = ₹8000।

9. ₹4750 की धनराशि को A, B, C और D में इस प्रकार बांटा जाता है कि A : B = 3 : 4, B : C = 5 : 6 और C : D = 2 : 3 है। B और D के हिस्सों का अंतर ज्ञात कीजिए।

  1. (क) ₹750
  2. (ख) ₹800
  3. (ग) ₹850
  4. (घ) ₹900
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹800

A : B : C : D का संयोजन = 15 : 20 : 24 : 36। कुल अनुपाती योग = 15 + 20 + 24 + 36 = 95 इकाई। 95 इकाई = ₹4750 => 1 इकाई = 50। B और D का अंतर = (36 - 20) × 50 = 16 × 50 = ₹800।

10. जब 21, 22, 60 और 64 में से प्रत्येक से x घटाया जाता है, तो प्राप्त संख्याएँ समानुपात में होती हैं। (x + 1) और (7x + 8) के बीच मध्यानुपाती (mean proportional) क्या होगा?

  1. (क) 18
  2. (ख) 24
  3. (ग) 21
  4. (घ) 28
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 24

(21 - x)(64 - x) = (22 - x)(60 - x) => 1344 - 85x = 1320 - 82x => 3x = 24 => x = 8। अब (x + 1) = 9 और (7x + 8) = 7(8) + 8 = 64। मध्यानुपाती = √(9 × 64) = 3 × 8 = 24।

English version — Ratio and Proportion

Ratio and Proportion is a core chapter in SSC CGL, CHSL, and CPO (both Tier-1 and Tier-2), typically accounting for 2 to 3 direct questions. It forms the backbone of Arithmetic and is highly scoring due to straightforward formulas and efficient shortcut techniques.

Combining Ratios (A:B and B:C)

When two or more individual ratios share a common term, they can be merged into a single combined ratio. For example, in A:B and B:C, 'B' is common. To combine them, we make the common term equal using LCM or the 'Reverse N' multiplication method. Look for questions where pairwise comparisons are given and a combined comparison (like A:B:C or A:D) is asked.

Formulas with examples

📐 A : B : C = (a × c) : (b × c) : (b × d) जहाँ A:B = a:b और B:C = c:d — When combining two ratios sharing a middle term to find the combined three-term ratio A:B:C.

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5

उभयनिष्ठ पद B का मान बराबर करने के लिए:

पहले अनुपात को 4 से गुणा: A : B = 2 × 4 : 3 × 4 = 8 : 12

दूसरे अनुपात को 3 से गुणा: B : C = 4 × 3 : 5 × 3 = 12 : 15

संयुक्त अनुपात = 8 : 12 : 15

P/R = (P/Q) × (Q/R)

P/R = (5/7) × (14/15)

7 से 14 कटा 2 बार: (5 × 2)/15 = 10/15

5 से काटने पर = 2/3

P : R = 2 : 3

📐 A : D = (A/B) × (B/C) × (C/D) (पहला और अंतिम पद निकालने का नियम) — When only the first and last terms are required from a chained sequence of ratios.

A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)

A/D = (3/4) × (8/9) × (15/16)

(3/4) × (8/9) = 2/3

(2/3) × (15/16) = 10/16 = 5/8

A : D = 5 : 8

W2 : W1 = 3 : 2 और W1 : W3 = 1 : 2

W2/W3 = (W2/W1) × (W1/W3)

W2/W3 = (3/2) × (1/2) = 3/4

W2 : W3 = 3 : 4

Question types asked

Solved questions (every type)

A : B = 3 : 5, B : C = 2 : 3

खाली जगह भरने की विधि से:

A : B : C = (3 × 2) : (5 × 2) : (5 × 3)

A = 6

B = 10

C = 15

अतः A : B : C = 6 : 10 : 15

a/d = (a/b) × (b/c) × (c/d)

a/d = (2/3) × (4/5) × (6/7)

3 से 6 कटा 2 बार

a/d = (2 × 4 × 2) / (5 × 7)

a/d = 16 / 35

a : d = 16 : 35

A:B = 1:2, B:C = 3:4, C:D = 5:6

पड़ोसी संख्या से खाली स्थान भरने पर:

A = 1 × 3 × 5 = 15

B = 2 × 3 × 5 = 30

C = 2 × 4 × 5 = 40

D = 2 × 4 × 6 = 48

A : B : C : D = 15 : 30 : 40 : 48

3, 4 और 5 का ल.स.प. (LCM) = 60

प्रत्येक पद को 60 से भाग देने पर:

3A/60 = 4B/60 = 5C/60

A/20 = B/15 = C/12

A : B : C = 20 : 15 : 12

A : B = (1/2) : (3/8) = (1/2 × 8) : (3/8 × 8) = 4 : 3

B : C = (1/3) : (5/9) = (1/3 × 9) : (5/9 × 9) = 3 : 5

दोनों में B का मान पहले से समान (3) है

अतः A : B : C = 4 : 3 : 5

x = 4 और y = 7 रखने पर:

3x + 2y = 3(4) + 2(7) = 12 + 14 = 26

5x + y = 5(4) + 7 = 20 + 7 = 27

अनुपात = 26 : 27

A/B = 3/2, B/C = 5/4, C/D = 7/6

A/D = (A/B) × (B/C) × (C/D)

A/D = (3/2) × (5/4) × (7/6)

3 से 6 कटा 2 बार

A/D = (5 × 7) / (2 × 4 × 2) = 35 / 16

A : D = 35 : 16

How it is asked

Asked in nearly every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, and GD (1 question). Common patterns include finding A:B:C, expressions like 2A=3B=5C, or directly finding A:D.

Common mistakes

💡 खाली जगह भरने वाली ग्रिड विधि (Neighbor filling) का प्रयोग करें; दाईं और बाईं खाली जगह को हमेशा उसके बगल वाली संख्या से भरें। यदि केवल पहला और अंतिम पद चाहिए तो सीधे सभी भिन्नों का गुणनफल कर दें। बिलुकल समय बचेगा। ट्रिक: 2A=3B=4C में 'छुपाव विधि' (Hide method) अपनाएं—A निकालने के लिए 2 को छुपाकर 3×4=12 लिखें। इकाई अंक और विभाज्यता की जांच से विकल्प तेजी से चुने जा सकते हैं। इस नियम को कंठस्थ रखें। परीक्षा में पूरा गणना न करें। सीधे कटने वाली संख्याओं को पहले काटें। उत्तर सेकंडों में मिलेगा। याद

Duplicate, Triplicate, Sub-duplicate and Compounded Ratio

Duplicate ratio of a:b is obtained by squaring terms (a²:b²), while triplicate ratio is obtained by cubing terms (a³:b³). Sub-duplicate ratio involves taking square roots (√a:√b), and sub-triplicate ratio takes cube roots (∛a:∛b). Compounded ratio of two or more ratios (a:b and c:d) is found by multiplying their antecedents together and consequents together (ac:bd). These concepts test basic exponent and root operations applied on ratios in competitive exams.

Formulas with examples

📐 Duplicate Ratio (वर्गानुपात) of a : b = a² : b² — When finding the duplicate ratio (square of terms) of a given ratio.

पहला पद = 3, दूसरा पद = 5

वर्गानुपात = 3² : 5²

= 9 : 25

वर्गानुपात की परिभाषा से: (2x + 1)² / (3x + 4)² = 9 / 16

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: (2x + 1) / (3x + 4) = 3 / 4

त्रियक गुणा करने पर: 4(2x + 1) = 3(3x + 4)

8x + 4 = 9x + 12

9x - 8x = 4 - 12

x = -8

📐 Sub-duplicate Ratio (वर्गमूलानुपात) of a : b = √a : √b — When finding the sub-duplicate ratio (square root of terms) of a given ratio.

पहला पद = 64, दूसरा पद = 81

वर्गमूलानुपात = √64 : √81

= 8 : 9

वर्गमूलानुपात = √25 : √49 = 5 : 7

इसलिए x = 5 और y = 7 लेने पर

2x + y = 2(5) + 7 = 10 + 7 = 17

3x - y = 3(5) - 7 = 15 - 7 = 8

अतः (2x + y) : (3x - y) = 17 : 8

📐 Triplicate Ratio = a³ : b³ और Sub-triplicate Ratio = ∛a : ∛b — When finding triplicate (cube) or sub-triplicate (cube root) ratios.

पहला पद = 4, दूसरा पद = 5

घनानुपात = 4³ : 5³

= 64 : 125

पहला पद = 216, दूसरा पद = 343

घनमूलानुपात = ∛216 : ∛343

216 का घनमूल = 6

343 का घनमूल = 7

अतः घनमूलानुपात = 6 : 7

📐 Compounded Ratio (मिश्रित अनुपात) of (a:b, c:d, e:f) = (a × c × e) : (b × d × f) — When finding the compounded ratio of multiple given ratios.

अंशों का गुणनफल = 2 × 4 × 9 = 72

हरों का गुणनफल = 3 × 5 × 7 = 105

मिश्रित अनुपात = 72 / 105

3 से काटने पर = 24 / 35

= 24 : 35

3 : 4 का वर्गानुपात = 3² : 4² = 9 : 16

अब 9 : 16 और 8 : 9 का मिश्रित अनुपात निकालना है

अंशों का गुणनफल = 9 × 8 = 72

हरों का गुणनफल = 16 × 9 = 144

मिश्रित अनुपात = 72 / 144 = 1 / 2

= 1 : 2

Question types asked

Solved questions (every type)

2 : 3 का घनानुपात = 2³ : 3³ = 8 : 27 (अर्थात a : b = 8 : 27)

4 : 5 का वर्गानुपात = 4² : 5² = 16 : 25 (अर्थात c : d = 16 : 25)

(a × c) = 8 × 16 = 128

(b × d) = 27 × 25 = 675

अतः (a × c) : (b × d) = 128 : 675

125 : 512 का घनमूलानुपात = ∛125 : ∛512 = 5 : 8

81 : 121 का वर्गमूलानुपात = √81 : √121 = 9 : 11

दोनों अनुपातों का मिश्रित अनुपात = (5 × 9) : (8 × 11)

= 45 : 88

अंशों का गुणनफल = 2a × 4b × 15c = 120abc

हरों का गुणनफल = 3b × 5c × 8a = 120abc

मिश्रित अनुपात = 120abc / 120abc

= 1 / 1

= 1 : 1

3 : 4 का वर्गानुपात = 3² : 4² = 9 : 16

64 : 27 का घनमूलानुपात = ∛64 : ∛27 = 4 : 3

तीसरा अनुपात = 5 : 2

मिश्रित अनुपात = (9 × 4 × 5) : (16 × 3 × 2)

अंशों का गुणनफल = 180, हरों का गुणनफल = 96

अनुपात = 180 / 96

12 से विभाजित करने पर = 15 / 8

= 15 : 8

वर्गमूलानुपात की परिभाषा से: √[(3x + 2) / (5x - 1)] = 2 / 3

दोनों तरफ वर्ग (squaring) करने पर: (3x + 2) / (5x - 1) = 4 / 9

त्रियक गुणा करने पर: 9(3x + 2) = 4(5x - 1)

27x + 18 = 20x - 4

27x - 20x = -4 - 18

7x = -22

x = -22 / 7

3 : 4 का वर्गानुपात = 3² : 4² = 9 : 16

दिया गया है: (x - 2) / (x + 3) = 9 / 16

त्रियक गुणा करने पर: 16(x - 2) = 9(x + 3)

16x - 32 = 9x + 27

16x - 9x = 27 + 32

7x = 59

x = 59 / 7

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5

A : C = (A/B) × (B/C) = (2/3) × (4/5) = 8 / 15

अर्थात A : C = 8 : 15

A : C का वर्गानुपात = 8² : 15²

= 64 : 225

How it is asked

Direct questions asking for duplicate, sub-duplicate, triplicate, sub-triplicate, or compounded ratios appear regularly (approx. 1 question per shift) in SSC CGL, CHSL, MTS, GD, and Railway NTPC exams.

Common mistakes

💡 ध्यान रखें कि 'Duplicate' का अर्थ Square (वर्ग) है न कि 2 से गुणा; और अंग्रेजी में जहाँ भी 'Sub-' लगा हो वहाँ Root (मूल) निकालना होता है। मिश्रित अनुपात का अर्थ सीधे-सीधे अनुपातों का गुणा करना है। back of envelope calculation से समय बचाएं। (No control characters included in formatting rules). Tip: 'Duplicate' = Square, 'Triplicate' = Cube, 'Sub-' = Root, 'Compounded' = Multiply all numerators and denominators together.

Mean, Third and Fourth Proportional

Proportion represents the equality of two ratios. If a/b = c/d, then a, b, c, and d are in proportion. Mean Proportional is the square root of the product of two given numbers. Third Proportional is found using the relation a:b = b:c, where c is the third term. Fourth Proportional is the value 'd' in the relation a:b = c:d. These concepts are frequently tested in SSC exams through direct formula-based questions.

Formulas with examples

📐 Mean Proportional = √(a × b) — When you need to find the mean proportional of two numbers a and b.

मध्यानुपाती = √(4 × 64)

मध्यानुपाती = √256

मध्यानुपाती = 16

मध्यानुपाती = √(0.02 × 0.32)

मध्यानुपाती = √0.0064

मध्यानुपाती = 0.08

📐 Third Proportional = b² / a — When you need to find the third proportional of two numbers a and b.

तृतीयानुपाती = (12 × 12) / 9

तृतीयानुपाती = 144 / 9

तृतीयानुपाती = 16

तृतीयानुपाती = (36 × 36) / 18

तृतीयानुपाती = 1296 / 18

तृतीयानुपाती = 72

📐 Fourth Proportional = (b × c) / a — When you need to find the fourth proportional of three numbers a, b, and c.

चतुर्थानुपाती = (10 × 12) / 5

चतुर्थानुपाती = 120 / 5

चतुर्थानुपाती = 24

चतुर्थानुपाती = (4 × 9) / 3

चतुर्थानुपाती = 36 / 3

चतुर्थानुपाती = 12

Question types asked

Solved questions (every type)

मध्यानुपाती = √(0.04 × 0.36)

मध्यानुपाती = 0.2 × 0.6

मध्यानुपाती = 0.12

तृतीयानुपाती = (28 × 28) / 4

तृतीयानुपाती = 784 / 4

तृतीयानुपाती = 196

चतुर्थानुपाती = (21 × 28) / 14

चतुर्थानुपाती = 21 × 2

चतुर्थानुपाती = 42

मध्यानुपाती = √(14.4 × 3.6) = 7.2

तृतीयानुपाती = (4 × 4) / 5 = 3.2

अनुपात = 7.2 : 3.2

अनुपात = 72 : 32

अनुपात = 9 : 4

0.75 / x = 5 / 8

5x = 0.75 × 8

5x = 6.00

x = 6 / 5

x = 1.2

मध्यानुपाती = √[(x² - y²) × (x - y) / (x + y)]

मध्यानुपाती = √[(x - y)(x + y) × (x - y) / (x + y)]

मध्यानुपाती = √(x - y)²

मध्यानुपाती = x - y

तृतीयानुपाती = (a - b)² / (a² - b²)

तृतीयानुपाती = (a - b)(a - b) / [(a - b)(a + b)]

तृतीयानुपाती = (a - b) / (a + b)

How it is asked

One question is frequently asked from this sub-topic in SSC CGL, CHSL, and GD exams. It is one of the simplest yet most important parts of the ratio chapter.

Common mistakes

💡 For fourth proportional, always remember: Product of extremes = Product of means (a × d = b × c).

Dividing an Amount and Coin-based Problems

Dividing an amount in a ratio means splitting it into parts proportional to the given numbers. In coin problems, there are two main scenarios: when the ratio of the number of coins is given, or when the ratio of their values is given. If the count ratio is given, multiply by the coin value to get the total amount. If the value ratio is given, divide by the coin value to get the count. Exams often ask for the number of specific coins given the total amount or total coin count in a bag.

Formulas with examples

📐 Share of A = (A's ratio / Sum of ratios) × Total Amount — When a total amount needs to be divided among individuals in a specific ratio.

अनुपातों का योग = 2 + 3 + 5 = 10

कुल राशि = 7000

B का हिस्सा = (3 / 10) × 7000

B का हिस्सा = 3 × 700

B का हिस्सा = 2100

माना भाग A और B हैं

(A/5) / (B/8) = 3/4

(A/5) × (8/B) = 3/4

8A / 5B = 3/4

A/B = (3 × 5) / (4 × 8) = 15/32

अनुपातों का योग = 15 + 32 = 47

पहला भाग A = (15 / 47) × 94

A = 15 × 2 = 30

📐 Total Value = Σ (Number of coins × Value of one coin) — जब थैले में विभिन्न प्रकार के सिक्कों की संख्या का अनुपात और कुल मूल्य दिया हो।

सिक्कों का अनुपात = 5x : 6x : 8x

मूल्य = (5x × 1) + (6x × 0.50) + (8x × 0.25) = 210

5x + 3x + 2x = 210

10x = 210

x = 21

1 रुपये के सिक्के = 5 × 21 = 105

50 पैसे के सिक्के = 6 × 21 = 126

25 पैसे के सिक्के = 8 × 21 = 168

मूल्य का योग = (4 × 1) + (3 × 2) + (2 × 5) = 500

4 + 6 + 10 = 20 यूनिट

20 यूनिट = 500

1 यूनिट = 25

2 रुपये के सिक्के = 3 यूनिट

2 रुपये के सिक्के = 3 × 25 = 75

Question types asked

Solved questions (every type)

अनुपात = 1/2 : 1/3 : 1/4

LCM (2,3,4) = 12 से गुणा करने पर = 6 : 4 : 3

अनुपातों का योग = 6 + 4 + 3 = 13

13 यूनिट = 15600

1 यूनिट = 1200

अंतर (A - C) = 6 - 3 = 3 यूनिट

अंतर = 3 × 1200 = 3600

सिक्कों का अनुपात = 5 : 9 : 25

मूल्य अनुपात = (5×1) : (9×0.5) : (25×0.25)

मूल्य अनुपात = 5 : 4.5 : 6.25

कुल मूल्य = 5 + 4.5 + 6.25 = 15.75 यूनिट

15.75 यूनिट = 1008

1 यूनिट = 1008 / 15.75 = 64

50 पैसे के सिक्के = 9 × 64 = 576

मूल्यों का अनुपात = 13 : 11 : 7

सिक्कों की संख्या का अनुपात = 13/1 : 11/0.5 : 7/0.25

संख्या अनुपात = 13 : 22 : 28

कुल सिक्के = 13 + 22 + 28 = 63 यूनिट

63 यूनिट = 378

1 यूनिट = 6

50 पैसे के सिक्के = 22 × 6 = 132

A : (B + C) = 2 : 5

कुल अनुपात = 2 + 5 = 7

7 यूनिट = 1050

1 यूनिट = 150

A का हिस्सा = 2 यूनिट

A का हिस्सा = 2 × 150 = 300

माना प्रत्येक नोट की संख्या x है

कुल मूल्य = (1 × x) + (5 × x) + (10 × x) = 480

16x = 480

x = 30

कुल नोट = 30 (1रु) + 30 (5रु) + 30 (10रु)

कुल नोट = 90

A:B = 4:5, B:C = 2:3

A:B:C = (4×2) : (5×2) : (5×3) = 8 : 10 : 15

कुल योग = 8 + 10 + 15 = 33 यूनिट

33 यूनिट = 660

1 यूनिट = 20

B का हिस्सा = 10 × 20 = 200

मूल्य = (5x × 0.50) + (9x × 0.25) + (4x × 0.10) = 206

2.50x + 2.25x + 0.40x = 206

5.15x = 206

x = 206 / 5.15 = 40

50 पैसे = 5 × 40 = 200

25 पैसे = 9 × 40 = 360

10 पैसे = 4 × 40 = 160

How it is asked

Questions from this sub-topic are asked every year in SSC CGL, CHSL, and MTS. Coin problems (especially value vs. count ratio) are a favorite exam pattern.

Common mistakes

💡 In coin problems, if the total amount is given, convert the ratio to values. If the total number of coins is given, convert the ratio to counts.

Income-Expenditure and Cross-Multiplication Method

When the initial ratio of two quantities or incomes is given, and after adding or subtracting specific values a new ratio is formed, the Cross-Multiplication method is the fastest tool. In income-expenditure problems, the core relationship is Income - Savings = Expenditure. You can identify this type whenever two ratios and the absolute difference/addition for both quantities are provided. Cross-multiplication avoids complex algebraic equations and gives the answer in seconds.

Formulas with examples

📐 क्रॉस-गुणन विधि: यदि (a·x - s1) / (b·x - s2) = c / d, तब x = |c·s2 - d·s1| / |a·d - b·c| — Used when the initial ratio is modified by adding or subtracting values to reach a final ratio.

प्रारंभिक अनुपात = 5 : 7, नया अनुपात = 3 : 4, प्रत्येक में वृद्धि = +6

क्रॉस-गुणन (अनुपात): (5 × 4) ~ (7 × 3) = 21 - 20 = 1 यूनिट

क्रॉस-गुणन (संख्या): (3 × 6) ~ (4 × 6) = 24 - 18 = 6

1 यूनिट = 6

पहली संख्या = 5 × 6 = 30

दूसरी संख्या = 7 × 6 = 42

आय का अनुपात = 3 : 2, व्यय का अनुपात = 5 : 3, प्रत्येक की बचत = 1000 रुपये

क्रॉस-गुणन (अनुपात): (3 × 3) ~ (2 × 5) = 10 - 9 = 1 यूनिट

क्रॉस-गुणन (बचत): (5 × 1000) ~ (3 × 1000) = 5000 - 3000 = 2000 रुपये

1 यूनिट = 2000 रुपये

A की आय = 3 यूनिट = 3 × 2000 = 6000 रुपये

📐 समान अंतर विधि: यदि दोनों पदों में समान मान जोड़ा/घटाया जाए, तो दोनों अनुपातों के पदों का अंतर बराबर करके 1 यूनिट का मान निकालते हैं। — Used when an identical number is added or subtracted from both terms of a ratio.

प्रारंभिक अनुपात = 2 : 3, नया अनुपात = 3 : 4

दोनों अनुपातों में प्रत्येक पद का अंतर = (3 - 2) = 1 यूनिट और (4 - 3) = 1 यूनिट

यहाँ अंतर पहले से समान है: 1 यूनिट = 8

बड़ी संख्या = 3 यूनिट = 3 × 8 = 24

Question types asked

Solved questions (every type)

प्रारंभिक अनुपात = 4 : 5

नया अनुपात = 3 : 4

दोनों पदों का अंतर: 4 - 3 = 1 यूनिट तथा 5 - 4 = 1 यूनिट

1 यूनिट = 25

पहली संख्या = 4 × 25 = 100

दूसरी संख्या = 5 × 25 = 125

प्रारंभिक अनुपात = 9 : 7, नया अनुपात = 21 : 17

क्रॉस-गुणा अनुपात: (9 × 17) - (7 × 21) = 153 - 147 = 6 यूनिट

क्रॉस-गुणा मान: 6 × (21 - 17) = 6 × 4 = 24

6 यूनिट = 24, अतः 1 यूनिट = 4

संख्याओं का अंतर = 9 - 7 = 2 यूनिट

अंतर = 2 × 4 = 8

प्रारंभिक अनुपात = 3 : 5, जोड़ने पर मान = +8 और +7, नया अनुपात = 2 : 3

अनुपात क्रॉस-गुणा: (3 × 3) - (5 × 2) = 9 ~ 10 = 1 यूनिट

मान क्रॉस-गुणा: (2 × 7) - (3 × 8) = 14 ~ 24 = 10

1 यूनिट = 10

पहली संख्या = 3 × 10 = 30, दूसरी संख्या = 5 × 10 = 50

प्रत्येक में 6 जोड़ने पर: (30 + 6) : (50 + 6) = 36 : 56 = 9 : 14

आय = 5 : 4, व्यय = 19 : 15, बचत = प्रत्येक 5000 रुपये

अनुपात का क्रॉस अंतर: (5 × 15) - (4 × 19) = 75 ~ 76 = 1 यूनिट

बचत का क्रॉस अंतर: 5000 × (19 - 15) = 5000 × 4 = 20000 रुपये

1 यूनिट = 20000 रुपये

B की मासिक आय = 4 यूनिट = 4 × 20000 = 80000 रुपये

आय = 5 : 3, व्यय = 9 : 5, बचत: A = 1300 रुपये, B = 900 रुपये

अनुपात क्रॉस-गुणा: (5 × 5) - (3 × 9) = 25 ~ 27 = 2 यूनिट

बचत क्रॉस-गुणा: (9 × 900) - (5 × 1300) = 8100 - 6500 = 1600 रुपये

2 यूनिट = 1600 रुपये

1 यूनिट = 800 रुपये

A की आय = 5 × 800 = 4000 रुपये

B की आय = 3 × 800 = 2400 रुपये

आय = 4 : 3, व्यय = 3 : 2, बचत = P: 6000 रुपये, Q: 12000 रुपये

अनुपात क्रॉस अंतर: (4 × 2) - (3 × 3) = 8 ~ 9 = 1 यूनिट

बचत क्रॉस अंतर: (3 × 12000) - (2 × 6000) = 36000 - 12000 = 24000 रुपये

1 यूनिट = 24000 रुपये

P की आय = 4 यूनिट = 4 × 24000 = 96000 रुपये

A की बचत = 25% = 3000 रुपये

A की आय = 3000 / 0.25 = 12000 रुपये

A की आय अनुपात में 4 यूनिट है, अतः 4 यूनिट = 12000 रुपये ⇒ 1 यूनिट = 3000 रुपये

B की आय = 5 यूनिट = 5 × 3000 = 15000 रुपये

A का व्यय = आय - बचत = 12000 - 3000 = 9000 रुपये

व्यय अनुपात = 2 : 3, जहाँ 2 यूनिट = 9000 रुपये ⇒ 1 यूनिट = 4500 रुपये

B का व्यय = 3 यूनिट = 3 × 4500 = 13500 रुपये

B की बचत = 15000 - 13500 = 1500 रुपये

How it is asked

Appears in almost every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, and GD. The most frequent pattern involves finding incomes given ratio of incomes, ratio of expenses, and individual savings.

Common mistakes

💡 क्रॉस-गुणन विधि से निकला 1 यूनिट हमेशा केवल ऊपर वाले (प्रारंभिक) अनुपात की वास्तविक वैल्यू देता है; नीचे वाले अनुपात (व्यय) की वैल्यू निकालने के लिए 'आय - बचत = व्यय' का ही प्रयोग करें।', 'tip_en': 'The 1 unit value derived from cross-multiplication applies strictly to the top (initial) ratio; to find expenditure, always subtract savings from income.

All formulas at a glance

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