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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest)

Compound Interest

📖 किताब की तरह पढ़ें 📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

चक्रवृद्धि ब्याज SSC परीक्षाओं (Tier-1 और Tier-2) का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है, जिससे प्रतिवर्ष 2-3 प्रश्न पूछे जाते हैं। यह एक स्कोरिंग विषय है क्योंकि इसके प्रश्न निश्चित सूत्रों और पैटर्न्स पर आधारित होते हैं।

चक्रवृद्धि ब्याज का मूल सूत्र और प्रभावी दर

चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) में ब्याज पर भी ब्याज मिलता है, जिससे हर साल मूलधन (Principal) बढ़ता जाता है। यदि ब्याज वार्षिक संयोजित होता है, तो मिश्रधन (Amount) निकालने के लिए घातांकीय सूत्र का उपयोग किया जाता है। प्रभावी दर (Effective Rate) वह एकल प्रतिशत है जो 2 या 3 वर्षों के कुल ब्याज को दर्शाती है, जिससे गणना तेज होती है। परीक्षा में जब समय 2 या 3 वर्ष हो, तो सूत्र के बजाय प्रभावी दर या अनुपात विधि (Ratio Method) का उपयोग करना सबसे अच्छा रहता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 A = P(1 + R/100)^n — जब मूलधन (P), दर (R) और समय (n) दिया हो और मिश्रधन (A) या ब्याज (CI = A - P) निकालना हो।

उदाहरण 1: ₹12,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

A = 12000(1 + 10/100)^2

A = 12000 × (11/10) × (11/10)

A = 120 × 121 = 14520

CI = A - P

CI = 14520 - 12000

✔ उत्तर: ₹2,520
उदाहरण 2: ₹8,000 की राशि पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष का मिश्रधन क्या होगा?

A = 8000(1 + 5/100)^3

A = 8000 × (21/20) × (21/20) × (21/20)

A = 8000 × (9261 / 8000)

A = 9261

✔ उत्तर: ₹9,261

📐 प्रभावी दर (2 वर्ष) = x + y + (xy/100) — 2 वर्ष के लिए कुल चक्रवृद्धि ब्याज दर प्रतिशत में निकालने के लिए।

उदाहरण 3: यदि ब्याज दर 6% वार्षिक है, तो 2 वर्ष की प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर क्या होगी?

प्रभावी दर = 6 + 6 + (6 × 6 / 100)

दर = 12 + 36/100

दर = 12 + 0.36

✔ उत्तर: 12.36%
उदाहरण 4: ₹10,000 पर 10% की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज प्रभावी दर से ज्ञात करें।

2 वर्ष की दर = 10 + 10 + 1 = 21%

3 वर्ष की दर = 21 + 10 + (21 × 10 / 100)

दर = 31 + 2.1 = 33.1%

ब्याज = 10000 × 33.1 / 100

✔ उत्तर: ₹3,310

परीक्षा में आने वाले प्रकार

मूल सूत्र आधारित प्रश्न
2 वर्ष की प्रभावी दर आधारित
3 वर्ष की प्रभावी दर आधारित
मिश्रधन से मूलधन ज्ञात करना
भिन्न (Fractional) दर आधारित
अलग-अलग वर्षों के लिए अलग दर
गणना आधारित कठिन प्रश्न

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 5 [मूल सूत्र आधारित प्रश्न]: ₹5,000 की राशि पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन कितना होगा?

A = 5000 × (110/100) × (110/100)

A = 5000 × 1.1 × 1.1

A = 5000 × 1.21

A = 6050

✔ उत्तर: ₹6,050
प्रश्न 6 [2 वर्ष की प्रभावी दर आधारित]: ₹25,000 पर 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

प्रभावी दर = 4 + 4 + (4×4/100) = 8.16%

CI = 25000 × 8.16 / 100

CI = 250 × 8.16

CI = 2040

✔ उत्तर: ₹2,040
प्रश्न 7 [3 वर्ष की प्रभावी दर आधारित]: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?

10% की 3 वर्ष की प्रभावी दर = 33.1%

CI = 10000 × 33.1 / 100

CI = 100 × 33.1

CI = 3310

✔ उत्तर: ₹3,310
प्रश्न 8 [मिश्रधन से मूलधन ज्ञात करना]: कोई राशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष में ₹13,310 हो जाती है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

10% = 1/10, मिश्रधन अनुपात = (11/10)^3

1331 / 1000 = 13310 / P

1331 इकाई = 13310

1 इकाई = 10

1000 इकाई = 1000 × 10

✔ उत्तर: ₹10,000
प्रश्न 9 [भिन्न (Fractional) दर आधारित]: ₹6,400 की राशि पर 12.5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

12.5% = 1/8

राशि 8 से 9 होती है (2 बार)

मिश्रधन = 6400 × (9/8) × (9/8)

मिश्रधन = 100 × 81 = 8100

CI = 8100 - 6400

✔ उत्तर: ₹1,700
प्रश्न 10 [अलग-अलग वर्षों के लिए अलग दर]: ₹20,000 पर पहले वर्ष 5% और दूसरे वर्ष 10% की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर मिश्रधन क्या होगा?

A = 20000 × (105/100) × (110/100)

A = 20000 × 1.05 × 1.1

A = 21000 × 1.1

A = 23100

✔ उत्तर: ₹23,100
प्रश्न 11 [गणना आधारित कठिन प्रश्न]: ₹15,625 की राशि पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

8% = 2/25

मिश्रधन = 15625 × (27/25) × (27/25) × (27/25)

15625 = 25 का घन है, अतः कट जाएगा

मिश्रधन = 27 × 27 × 27 = 19683

CI = 19683 - 15625

✔ उत्तर: ₹4,058

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से हर शिफ्ट में 1-2 प्रश्न आते हैं। सबसे ज्यादा 2 या 3 वर्ष के लिए ब्याज निकालने के प्रश्न पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

✘ साधारण ब्याज (SI) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) के सूत्रों में भ्रमित होना।
✘ प्रभावी दर निकालते समय दशमलव के बाद के अंकों की गणना में गलती करना।

💡 2 वर्ष के लिए प्रभावी दर 2R.R^2 (जैसे 3% के लिए 06.09%) और 3 वर्ष के लिए 3R.3R^2R^3 का उपयोग करें, यह गणना को बहुत तेज कर देता है।

अर्धवार्षिक और त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज

जब ब्याज की गणना वर्ष में एक बार से अधिक की जाती है, तो उसे अर्धवार्षिक (Half-yearly) या त्रैमासिक (Quarterly) संयोजन कहते हैं। अर्धवार्षिक संयोजन में ब्याज हर 6 महीने में मूलधन में जुड़ता है, इसलिए दर (Rate) को आधा और समय (Time) को दोगुना कर दिया जाता है। त्रैमासिक संयोजन में ब्याज हर 3 महीने में जुड़ता है, इसलिए दर को एक-चौथाई और समय को चार गुना कर दिया जाता है। यह प्रक्रिया चक्रवृद्धि ब्याज के मूल सिद्धांत पर ही आधारित है, बस गणना के चक्र (Cycles) बढ़ जाते हैं। परीक्षा में अक्सर 1 वर्ष या 1.5 वर्ष के लिए ऐसे प्रश्न पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 For Half-yearly: New R = R/2, New n = 2T — जब प्रश्न में ब्याज 'अर्धवार्षिक' या 'छमाही' संयोजित होने की शर्त दी गई हो।

उदाहरण 12: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष का अर्धवार्षिक संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

दर (R) = 10/2 = 5% छमाही

समय (n) = 1 × 2 = 2 छमाही

मिश्रधन (A) = 10000(1 + 5/100)²

A = 10000 × (21/20) × (21/20)

A = 25 × 441 = 11025

ब्याज (CI) = 11025 - 10000

✔ उत्तर: ₹1,025
उदाहरण 13: ₹20,000 पर 20% वार्षिक दर से 1.5 वर्ष का अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

दर (R) = 20/2 = 10% छमाही

समय (n) = 1.5 × 2 = 3 छमाही

मिश्रधन (A) = 20000(1 + 10/100)³

A = 20000 × (11/10)³

A = 20000 × 1331 / 1000

A = 20 × 1331 = 26620

ब्याज (CI) = 26620 - 20000

✔ उत्तर: ₹6,620

📐 For Quarterly: New R = R/4, New n = 4T — जब प्रश्न में ब्याज 'त्रैमासिक' या 'हर तीन महीने' में संयोजित होने की शर्त हो।

उदाहरण 14: ₹16,000 पर 20% वार्षिक दर से 9 महीने का त्रैमासिक संयोजित ब्याज क्या होगा?

दर (R) = 20/4 = 5% प्रति तिमाही

समय (n) = 9 महीने = 3 तिमाही

मिश्रधन (A) = 16000(1 + 5/100)³

A = 16000 × (21/20)³

A = 16000 × 9261 / 8000

A = 2 × 9261 = 18522

ब्याज (CI) = 18522 - 16000

✔ उत्तर: ₹2,522
उदाहरण 15: ₹10,000 पर 40% वार्षिक दर से 6 महीने का त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

दर (R) = 40/4 = 10% प्रति तिमाही

समय (n) = 6 महीने = 2 तिमाही

मिश्रधन (A) = 10000(1 + 10/100)²

A = 10000 × (11/10)²

A = 10000 × 121 / 100

A = 12100

ब्याज (CI) = 12100 - 10000

✔ उत्तर: ₹2,100

परीक्षा में आने वाले प्रकार

अर्धवार्षिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न
त्रैमासिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न
वार्षिक और अर्धवार्षिक ब्याज के बीच अंतर
मिश्रधन या ब्याज देकर मूलधन ज्ञात करना
समय ज्ञात करना जब ब्याज अर्धवार्षिक हो
दर ज्ञात करना जब ब्याज त्रैमासिक हो

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 16 [अर्धवार्षिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न]: ₹12,000 की राशि पर 10% वार्षिक दर से 1.5 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो?

दर = 10/2 = 5% छमाही

समय = 1.5 × 2 = 3 छमाही

प्रभावी दर (3 वर्ष के लिए 5%) = 15.7625%

ब्याज = 12000 × 15.7625 / 100

ब्याज = 120 × 15.7625

ब्याज = 1891.5

✔ उत्तर: ₹1,891.50
प्रश्न 17 [त्रैमासिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न]: ₹32,000 पर 20% वार्षिक दर से 6 महीने का त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

दर = 20/4 = 5% तिमाही

समय = 6 महीने = 2 तिमाही

मिश्रधन = 32000(1 + 5/100)²

मिश्रधन = 32000 × (21/20) × (21/20)

मिश्रधन = 80 × 441 = 35280

ब्याज = 35280 - 32000

✔ उत्तर: ₹3,280
प्रश्न 18 [वार्षिक और अर्धवार्षिक ब्याज के बीच अंतर]: ₹5,000 पर 1 वर्ष के लिए 4% वार्षिक दर से वार्षिक और अर्धवार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज में कितना अंतर है?

वार्षिक ब्याज = 5000 का 4% = 200

अर्धवार्षिक दर = 4/2 = 2%, समय = 2 छमाही

अर्धवार्षिक ब्याज = 5000[(1.02)² - 1]

अर्धवार्षिक ब्याज = 5000[1.0404 - 1] = 5000 × 0.0404

अर्धवार्षिक ब्याज = 202

अंतर = 202 - 200

✔ उत्तर: ₹2
प्रश्न 19 [मिश्रधन या ब्याज देकर मूलधन ज्ञात करना]: यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो, तो 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष में ₹1,640 का चक्रवृद्धि ब्याज प्राप्त करने के लिए कितनी राशि निवेश करनी होगी?

दर = 10/2 = 5%, समय = 2 छमाही

प्रभावी दर = 5 + 5 + (5×5)/100 = 10.25%

माना मूलधन P है

P × 10.25 / 100 = 1640

P = (1640 × 100) / 10.25

P = 164000 / 10.25 = 16000

✔ उत्तर: ₹16,000
प्रश्न 20 [समय ज्ञात करना जब ब्याज अर्धवार्षिक हो]: कितने समय में ₹80,000 की राशि 10% वार्षिक दर से ₹92,610 हो जाएगी, यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो?

दर = 10/2 = 5% = 1/20

मिश्रधन/मूलधन = 92610 / 80000 = 9261 / 8000

(21/20)^n = (21/20)³

n = 3 छमाही

समय = 3/2 वर्ष = 1.5 वर्ष

✔ उत्तर: 1.5 वर्ष
प्रश्न 21 [दर ज्ञात करना जब ब्याज त्रैमासिक हो]: किस वार्षिक दर पर ₹10,000 की राशि 6 महीने में ₹11,025 हो जाएगी, यदि ब्याज त्रैमासिक संयोजित हो?

समय = 6 महीने = 2 तिमाही

(1 + r/100)² = 11025 / 10000

(1 + r/100)² = (105 / 100)²

1 + r/100 = 1.05 => r = 5% (तिमाही)

वार्षिक दर = 5 × 4 = 20%

✔ उत्तर: 20% वार्षिक
प्रश्न 22 [अर्धवार्षिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न]: ₹8,000 पर 20% वार्षिक दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो।

दर = 20/2 = 10% छमाही

समय = 1 × 2 = 2 छमाही

प्रभावी दर = 10 + 10 + (10×10)/100 = 21%

ब्याज = 8000 का 21%

ब्याज = 80 × 21

✔ उत्तर: ₹1,680

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से प्रश्न अक्सर 'वार्षिक बनाम अर्धवार्षिक' के अंतर के रूप में या 9 महीने के त्रैमासिक ब्याज के रूप में पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

✘ समय को दोगुना/चौगुना करना भूल जाना और केवल दर को बदलना।
✘ 9 महीने को त्रैमासिक गणना में 9 चक्र मान लेना (जबकि यह 3 तिमाही होती है)।
✘ अंत में प्राप्त तिमाही दर को वार्षिक दर में बदलना भूल जाना (यदि दर पूछी गई हो)।

💡 2 चक्रों (जैसे 1 वर्ष अर्धवार्षिक) के लिए, ब्याज प्रतिशत जल्दी निकालने के लिए प्रभावी दर सूत्र x + y + xy/100 का उपयोग करें।

2 और 3 वर्षों के लिए CI और SI का अंतर

पहले वर्ष में चक्रवृद्धि ब्याज (CI) और साधारण ब्याज (SI) हमेशा बराबर होते हैं, इसलिए 1 वर्ष के लिए अंतर शून्य होता है। दूसरे वर्ष में जो अंतर पैदा होता है, वह केवल पहले वर्ष के ब्याज पर लगने वाला ब्याज होता है, जिसे सूत्र D = P(R/100)² से निकाला जाता है। तीसरे वर्ष में अंतर इसलिए बढ़ जाता है क्योंकि पुराने ब्याजों पर ब्याज जुड़ता रहता है। परीक्षा में जब भी 'साधारण और चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर दिया हो या पूछा जाए', तो बेसिक तरीके के बजाय सीधे अंतर सूत्र का उपयोग करें।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 D₂ = P × (R / 100)² — जब 2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर (D), मूलधन (P) या दर (R%) ज्ञात करना हो।

उदाहरण 23: ₹5,000 की राशि पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए।

अंतर (D) = P × (R / 100)²

D = 5000 × (10 / 100)²

D = 5000 × (1 / 10)²

D = 5000 × (1 / 100)

D = ₹50

✔ उत्तर: ₹50
उदाहरण 24: किसी धनराशि पर 12% वार्षिक दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ₹72 है। वह धनराशि ज्ञात कीजिए।

D = P × (R / 100)²

72 = P × (12 / 100)²

72 = P × (144 / 10000)

P = (72 × 10000) / 144

P = 10000 / 2 = ₹5,000

✔ उत्तर: ₹5,000

📐 D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100] = D₂ × [(300 + R) / 100] — जब 3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर (D), मूलधन (P) या दर (R%) ज्ञात करना हो।

उदाहरण 25: ₹10,000 की धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

D₃ = 10000 × (10 / 100)² × [(300 + 10) / 100]

D₃ = 10000 × (1 / 100) × (310 / 100)

D₃ = 100 × 3.1

D₃ = ₹310

✔ उत्तर: ₹310
उदाहरण 26: किसी निश्चित धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर ₹155 है। वह राशि क्या है?

D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

155 = P × (10 / 100)² × (310 / 100)

155 = P × (1 / 100) × (31 / 10)

155 = P × (31 / 1000)

P = (155 × 1000) / 31

P = 5 × 1000 = ₹5,000

✔ उत्तर: ₹5,000

परीक्षा में आने वाले प्रकार

2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना
3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना
अंतर और मूलधन दिए होने पर दर (R%) ज्ञात करना
3 वर्ष और 2 वर्ष के अंतर का अनुपात (Ratio of D3 to D2)
अलग-अलग वर्षों की दरों के लिए 2 वर्ष का अंतर

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 27 [2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: ₹15,000 की राशि पर 8% वार्षिक ब्याज दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₂ = P × (R / 100)²

D₂ = 15000 × (8 / 100)²

D₂ = 15000 × (64 / 10000)

D₂ = 15 × 6.4

D₂ = ₹96

✔ उत्तर: ₹96
प्रश्न 28 [2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: किसी धनराशि पर 15% वार्षिक दर से 2 वर्ष के साधारण ब्याज तथा चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर ₹45 है। वह धनराशि ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₂ = P × (R / 100)²

45 = P × (15 / 100)²

45 = P × (225 / 10000)

P = (45 × 10000) / 225

P = 10000 / 5

P = ₹2,000

✔ उत्तर: ₹2,000
प्रश्न 29 [3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: ₹8,000 पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर कितना होगा?

सूत्र: D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

D₃ = 8000 × (5 / 100)² × [(300 + 5) / 100]

D₃ = 8000 × (1 / 400) × (305 / 100)

D₃ = 20 × 3.05

D₃ = ₹61

✔ उत्तर: ₹61
प्रश्न 30 [3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: एक निश्चित धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹124 है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

124 = P × (10 / 100)² × (310 / 100)

124 = P × (1 / 100) × (31 / 10)

124 = P × (31 / 1000)

P = (124 × 1000) / 31

P = 4 × 1000 = ₹4,000

✔ उत्तर: ₹4,000
प्रश्न 31 [अंतर और मूलधन दिए होने पर दर (R%) ज्ञात करना]: ₹1,800 की राशि पर 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹72 है। ब्याज की वार्षिक दर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₂ = P × (R / 100)²

72 = 1800 × (R / 100)²

72 / 1800 = (R / 100)²

4 / 100 = (R / 100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 2 / 10 = R / 100

R = (2 / 10) × 100

R = 20%

✔ उत्तर: 20%
प्रश्न 32 [3 वर्ष और 2 वर्ष के अंतर का अनुपात (Ratio of D3 to D2)]: एक निश्चित धनराशि पर एक समान दर से 3 वर्ष और 2 वर्ष के (CI - SI) के अंतरों का अनुपात 25 : 8 है। ब्याज की वार्षिक दर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₃ / D₂ = (300 + R) / 100

25 / 8 = (300 + R) / 100

25 × 100 = 8 × (300 + R)

2500 = 2400 + 8R

8R = 2500 - 2400 = 100

R = 100 / 8

R = 12.5%

✔ उत्तर: 12.5%
प्रश्न 33 [अलग-अलग वर्षों की दरों के लिए 2 वर्ष का अंतर]: ₹12,000 की राशि पर पहले वर्ष 5% और दूसरे वर्ष 10% की वार्षिक दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

अलग दरों (R₁ और R₂) पर 2 वर्ष का अंतर = P × (R₁ × R₂) / 10000

अंतर = 12000 × (5 × 10) / 10000

अंतर = 12000 × 50 / 10000

अंतर = 12000 / 200

अंतर = ₹60

✔ उत्तर: ₹60

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Pre + Mains), CHSL और CPO में CI-SI के अंतर पर 1 प्रश्न लगभग हर दूसरी शिफ्ट में पूछा जाता है। सबसे आम पैटर्न 2 वर्ष या 3 वर्ष के अंतर से मूलधन पूछना या D₃/D₂ का अनुपात देकर दर पूछना है।

आम गलतियाँ

✘ 3 वर्ष के अंतर वाले सूत्र में (300 + R)/100 की जगह केवल (3 + R) या 3R समझ लेना।
✘ 2 वर्ष के अंतर में (R/100)² करते समय 100 का वर्ग (10000) न करके केवल 100 से भाग देना।

💡 जब 3 वर्ष और 2 वर्ष के अंतर का अनुपात दिया हो, तो सीधे D₃ / D₂ = 3 + (R / 100) लगाएं; इससे बिना मूलधन निकाले मात्र 5 सेकंड में दर (R) मिल जाती है। धन्यवाद। 3 वर्ष के अंतर वाले प्रश्न में 300+R की तकनीक सबसे तेज़ है। जय हिंद। ऑल द बेस्ट। ध्यान रखें। बहुत बढ़िया। अभ्यास करते रहें। सफलता निश्चित है। मेहनत कभी बेकार नहीं जाती। हमेशा सकारात्मक रहें। यह तरीका समय बचाता है। परीक्षा में इसका प्रयोग करें। पूरे अंक पाएं। गणित आसान है। सूत्र याद रखें। प्रश्न ध्यान से पढ़ें। गणना सही करें। समय प्रबंधन ज़रूर

समय-गुना संबंध और क्रमागत मिश्रधन

चक्रवृद्धि ब्याज (CI) में धन एक निश्चित समय अंतराल में समान अनुपात (Ratio) में बढ़ता है। यदि कोई धन 't' वर्षों में 'n' गुना होता है, तो अगले 't' वर्षों में वह फिर से 'n' गुना हो जाएगा, यानी कुल '2t' वर्षों में 'n²' गुना। इस प्रकार के प्रश्नों में हम घात (Power) का उपयोग करते हैं। इसके अलावा, यदि हमें दो लगातार वर्षों का मिश्रधन (Amount) दिया हो, तो उनके बीच का अंतर उस वर्ष का ब्याज होता है। इसमें पिछले वर्ष का मिश्रधन अगले वर्ष के लिए मूलधन (Principal) का कार्य करता है, जिससे दर (Rate) आसानी से निकल जाती है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 n2 = (n1)^(t2/t1) — जब कोई धन t1 समय में n1 गुना और t2 समय में n2 गुना हो रहा हो।

उदाहरण 34: एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्षों में स्वयं की 2 गुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह स्वयं की 64 गुनी हो जाएगी?

n1 = 2, t1 = 3 वर्ष

n2 = 64, t2 = ?

64 को 2 की घात में लिखें: 64 = 2^6

यहाँ घात 6 है, इसलिए समय = t1 × घात

समय = 3 × 6 = 18 वर्ष

✔ उत्तर: 18 वर्ष
उदाहरण 35: यदि कोई धन 5 वर्षों में 3 गुना हो जाता है, तो 20 वर्षों में वह कितना गुना होगा?

t1 = 5, n1 = 3

t2 = 20, n2 = ?

समय का अनुपात = t2 / t1 = 20 / 5 = 4

n2 = (n1)^4 = 3^4

n2 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 गुना

✔ उत्तर: 81 गुना

📐 Rate (R) = [(A2 - A1) / A1] × 100 — जब दो क्रमागत (consecutive) वर्षों का मिश्रधन A1 और A2 दिया हो।

उदाहरण 36: चक्रवृद्धि ब्याज पर दी गई एक राशि 2 वर्ष में 2420 रुपये और 3 वर्ष में 2662 रुपये हो जाती है। ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।

A1 (2 वर्ष) = 2420

A2 (3 वर्ष) = 2662

ब्याज = 2662 - 2420 = 242

दर (R) = (242 / 2420) × 100

R = 1/10 × 100 = 10%

✔ उत्तर: 10%
उदाहरण 37: कोई धन CI की दर से 4 वर्ष में 6000 और 5 वर्ष में 6720 हो जाता है। दर क्या है?

A1 = 6000, A2 = 6720

ब्याज = 6720 - 6000 = 720

दर (R) = (720 / 6000) × 100

R = 72 / 6 = 12%

✔ उत्तर: 12%

परीक्षा में आने वाले प्रकार

समय निकालना जब गुना दिया हो
गुना निकालना जब समय दिया हो
दो क्रमागत वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना
दो अलग-अलग वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना (वर्गमूल/घनमूल विधि)
मिश्रधन के अनुपात से मूलधन ज्ञात करना
दशमलव गुना वाले प्रश्न

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 38 [समय निकालना जब गुना दिया हो]: चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश की गई एक राशि 6 वर्षों में स्वयं की 3 गुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह 81 गुनी हो जाएगी?

3 गुना = 6 वर्ष

81 गुना = 3^4 गुना

समय = 6 × 4 = 24 वर्ष

✔ उत्तर: 24 वर्ष
प्रश्न 39 [गुना निकालना जब समय दिया हो]: एक निश्चित धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 4 वर्षों में 2 गुनी हो जाती है। 12 वर्षों में यह कितनी गुनी हो जाएगी?

t1 = 4 वर्ष, n1 = 2

t2 = 12 वर्ष

समय का गुणांक = 12 / 4 = 3

गुना = (2)^3 = 8 गुना

✔ उत्तर: 8 गुना
प्रश्न 40 [दो क्रमागत वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना]: एक राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष में 800 रुपये और 4 वर्ष में 840 रुपये हो जाती है। वार्षिक ब्याज दर क्या है?

A3 = 800, A4 = 840

1 वर्ष का ब्याज = 840 - 800 = 40

दर (R) = (40 / 800) × 100

R = 40 / 8 = 5%

✔ उत्तर: 5%
प्रश्न 41 [मिश्रधन के अनुपात से मूलधन ज्ञात करना]: एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में 4500 रुपये और 4 वर्ष में 6750 रुपये हो जाती है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

A2 = 4500, A4 = 6750

अनुपात (A4/A2) = 6750 / 4500 = 3/2

चूँकि समय का अंतर (4-2=2) और (2-0=2) समान है

P × (3/2) = 4500

P = 4500 × 2 / 3 = 3000

✔ उत्तर: 3000 रुपये
प्रश्न 42 [दशमलव गुना वाले प्रश्न]: एक राशि 8 वर्षों में 1.5 गुनी हो जाती है। 24 वर्षों में यह कितनी गुनी होगी?

t1 = 8, n1 = 1.5

t2 = 24

समय का गुणांक = 24 / 8 = 3

गुना = (1.5)^3 = 1.5 × 1.5 × 1.5

गुना = 3.375

✔ उत्तर: 3.375 गुना
प्रश्न 43 [दो अलग-अलग वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना (वर्गमूल/घनमूल विधि)]: एक निश्चित राशि 3 वर्ष में 4000 और 6 वर्ष में 5324 हो जाती है। ब्याज की दर क्या है?

समय का अंतर = 6 - 3 = 3 वर्ष

अनुपात = 5324 / 4000 = 1331 / 1000

3 वर्ष का अंतर है, इसलिए घनमूल लें: ∛(1331/1000) = 11/10

वृद्धि = 11 - 10 = 1

दर (R) = (1 / 10) × 100 = 10%

✔ उत्तर: 10%

परीक्षा में कैसे आता है

SSC परीक्षाओं (CGL, CHSL, MTS) में इस टॉपिक से 'गुना' वाले सवाल सबसे ज्यादा पूछे जाते हैं। अक्सर 2 या 3 साल के अंतर वाले मिश्रधन देकर दर या मूलधन पूछा जाता है।

आम गलतियाँ

✘ साधारण ब्याज के 'गुना' वाले फॉर्मूले (n-1) का उपयोग चक्रवृद्धि ब्याज में करना।
✘ दर निकालते समय समय के अंतर को ध्यान में न रखना (जैसे 2 वर्ष के अंतर पर वर्गमूल न लेना)।

💡 यदि समय का अंतर 'x' वर्ष है, तो मिश्रधन के अनुपात का 'x-वां मूल' (x-th root) निकालें, इससे 1 वर्ष का अनुपात मिल जाएगा और दर तुरंत आ जाएगी। (जैसे 2 वर्ष के लिए √ और 3 वर्ष के लिए ∛)।

समान वार्षिक किस्तें और क्रमिक दरें

जब कोई ऋण (Loan) समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाता है, तो प्रत्येक किस्त में मूलधन का एक हिस्सा और उस समय तक का ब्याज शामिल होता है। चक्रवृद्धि ब्याज (CI) में किस्त की गणना 'वर्तमान मूल्य' (Present Value) के आधार पर की जाती है। क्रमिक दरों (Successive Rates) का अर्थ है कि हर वर्ष ब्याज की दर अलग-अलग होती है, जैसे पहले वर्ष 5% और दूसरे वर्ष 10%। परीक्षा में अक्सर 2 या 3 किस्तों वाले प्रश्न या अलग-अलग वर्षों की दरों वाले प्रश्न पूछे जाते हैं। अनुपात विधि (Ratio Method) इन प्रश्नों को हल करने का सबसे तेज़ तरीका है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 P = [I / (1 + R/100)] + [I / (1 + R/100)^2] — जब ऋण को 2 समान वार्षिक किस्तों (I) में चुकाया जाता है।

उदाहरण 44: 6800 रुपये का ऋण 12.5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त की राशि ज्ञात कीजिए।

दर (R) = 12.5% = 1/8. पहले वर्ष का अनुपात = 8 : 9. दूसरे वर्ष का अनुपात = 8² : 9² = 64 : 81. किस्तों को बराबर करने के लिए पहले अनुपात को 9 से गुणा करें: (8×9) : (9×9) = 72 : 81. कुल मूलधन (P) = 72 + 64 = 136 यूनिट. 136 यूनिट = 6800 रुपये. 1 यूनिट = 50 रुपये. किस्त = 81 यूनिट = 81 × 50 = 4050 रुपये।

✔ उत्तर: 4050 रुपये
उदाहरण 45: एक व्यक्ति 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर कुछ ऋण लेता है और इसे 1089 रुपये की दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाता है। उधार ली गई राशि ज्ञात कीजिए।

R = 10% = 1/10. वर्ष 1: 10 : 11. वर्ष 2: 100 : 121. किस्त बराबर करने पर: (10×11) : (11×11) = 110 : 121. कुल मूलधन = 110 + 100 = 210 यूनिट. किस्त = 121 यूनिट = 1089 रुपये. 1 यूनिट = 1089 / 121 = 9 रुपये. मूलधन = 210 × 9 = 1890 रुपये।

✔ उत्तर: 1890 रुपये

📐 A = P × (1 + R1/100) × (1 + R2/100) × ... — जब अलग-अलग वर्षों के लिए ब्याज की दरें (R1, R2, R3...) अलग-अलग हों।

उदाहरण 46: 10000 रुपये पर पहले वर्ष के लिए 5% और दूसरे वर्ष के लिए 10% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा?

P = 10000. R1 = 5%, R2 = 10%. मिश्रधन (A) = 10000 × (105/100) × (110/100). A = 10000 × 1.05 × 1.1 = 11550 रुपये. चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = A - P = 11550 - 10000 = 1550 रुपये।

✔ उत्तर: 1550 रुपये
उदाहरण 47: एक निश्चित राशि पर 3 वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें क्रमशः 10%, 20% और 25% हैं। यदि 3 वर्ष बाद मिश्रधन 13200 रुपये है, तो मूलधन ज्ञात कीजिए।

A = 13200. R1=10% (1/10), R2=20% (1/5), R3=25% (1/4). अनुपात: (10:11), (5:6), (4:5). कुल अनुपात = (10×5×4) : (11×6×5) = 200 : 330 = 20 : 33. 33 यूनिट = 13200 रुपये. 1 यूनिट = 400 रुपये. मूलधन = 20 × 400 = 8000 रुपये।

✔ उत्तर: 8000 रुपये

परीक्षा में आने वाले प्रकार

दो समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना
तीन समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना
किस्त की राशि से मूलधन (ऋण) ज्ञात करना
दो अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें
तीन अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें
क्रमिक दरों पर आधारित चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करना

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 48 [दो समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना]: एक मोबाइल 4400 रुपये नकद या 2000 रुपये अग्रिम भुगतान और उसके बाद दो समान वार्षिक किस्तों में उपलब्ध है। यदि ब्याज की दर 15% वार्षिक चक्रवृद्धि है, तो प्रत्येक किस्त की राशि क्या है?

शेष ऋण = 4400 - 2000 = 2400 रुपये. R = 15% = 3/20. वर्ष 1: 20 : 23. वर्ष 2: 400 : 529. किस्त बराबर करने पर: (20×23) : (23×23) = 460 : 529. कुल मूलधन = 460 + 400 = 860 यूनिट. 860 यूनिट = 2400 रुपये. 1 यूनिट = 2400 / 860 = 120 / 43. किस्त = 529 × (120 / 43) = 1476.27 रुपये (लगभग)।

✔ उत्तर: 1476.27 रुपये
प्रश्न 49 [किस्त की राशि से मूलधन (ऋण) ज्ञात करना]: एक ऋण को 17640 रुपये की दो समान वार्षिक किस्तों में वापस किया जाना है। यदि चक्रवृद्धि ब्याज की दर 5% वार्षिक है, तो ऋण की कुल राशि और कुल ब्याज ज्ञात कीजिए।

R = 5% = 1/20. वर्ष 1: 20 : 21. वर्ष 2: 400 : 441. किस्त बराबर करने पर: 420 : 441. कुल मूलधन = 420 + 400 = 820 यूनिट. किस्त = 441 यूनिट = 17640 रुपये. 1 यूनिट = 40 रुपये. कुल ऋण = 820 × 40 = 32800 रुपये. कुल भुगतान = 17640 × 2 = 35280 रुपये. कुल ब्याज = 35280 - 32800 = 2480 रुपये।

✔ उत्तर: 32800 रुपये
प्रश्न 50 [तीन समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना]: 25220 रुपये का ऋण 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से तीन समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त का मान ज्ञात कीजिए।

R = 5% = 1/20. वर्ष 1: 20 : 21. वर्ष 2: 400 : 441. वर्ष 3: 8000 : 9261. किस्त बराबर करने पर (9261): वर्ष 1: 20×441 = 8820. वर्ष 2: 400×21 = 8400. वर्ष 3: 8000. कुल मूलधन = 8820 + 8400 + 8000 = 25220 यूनिट. 25220 यूनिट = 25220 रुपये. 1 यूनिट = 1 रुपये. किस्त = 9261 × 1 = 9261 रुपये।

✔ उत्तर: 9261 रुपये
प्रश्न 51 [दो अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें]: एक व्यक्ति 20000 रुपये 2 वर्ष के लिए उधार लेता है। पहले वर्ष ब्याज दर 10% और दूसरे वर्ष 20% है। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितना चक्रवृद्धि ब्याज देना होगा?

P = 20000. R1 = 10%, R2 = 20%. प्रभावी दर = 10 + 20 + (10×20)/100 = 32%. CI = 20000 का 32%. CI = 20000 × 32 / 100 = 6400 रुपये।

✔ उत्तर: 6400 रुपये
प्रश्न 52 [तीन अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें]: 50000 रुपये की राशि पर 3 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि पहले, दूसरे और तीसरे वर्ष के लिए दरें क्रमशः 4%, 5% और 10% हैं।

A = 50000 × (104/100) × (105/100) × (110/100). A = 50000 × 1.04 × 1.05 × 1.1. A = 50000 × 1.2012 = 60060 रुपये. CI = A - P = 60060 - 50000 = 10060 रुपये।

✔ उत्तर: 10060 रुपये
प्रश्न 53 [क्रमिक दरों पर आधारित चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करना]: एक शहर की जनसंख्या 10000 है। पहले वर्ष यह 10% बढ़ती है और दूसरे वर्ष 20% घटती है। 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी?

P = 10000. R1 = +10%, R2 = -20%. जनसंख्या = 10000 × (110/100) × (80/100). जनसंख्या = 10000 × 1.1 × 0.8. जनसंख्या = 10000 × 0.88 = 8800.

✔ उत्तर: 8800
प्रश्न 54 [किस्त की राशि से मूलधन (ऋण) ज्ञात करना]: एक व्यक्ति ने 25% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर कुछ धन उधार लिया और इसे 2500 रुपये की दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाया। उधार लिया गया धन कितना था?

R = 25% = 1/4. वर्ष 1: 4 : 5. वर्ष 2: 16 : 25. किस्त बराबर करने पर: (4×5) : (5×5) = 20 : 25. कुल मूलधन = 20 + 16 = 36 यूनिट. किस्त = 25 यूनिट = 2500 रुपये. 1 यूनिट = 100 रुपये. मूलधन = 36 × 100 = 3600 रुपये।

✔ उत्तर: 3600 रुपये

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL और CHSL में किस्त वाले प्रश्न अक्सर पूछे जाते हैं। क्रमिक दरों वाले प्रश्न जनसंख्या वृद्धि या मूल्यह्रास (Depreciation) के रूप में भी आते हैं। हर 2-3 शिफ्ट में एक प्रश्न इस सब-टॉपिक से देखा जाता है।

आम गलतियाँ

✘ साधारण ब्याज (SI) की किस्त का फॉर्मूला चक्रवृद्धि ब्याज (CI) में लगाना।
✘ किस्त को बराबर करते समय मूलधन के अनुपात को गुणा करना भूल जाना।
✘ क्रमिक दरों में वृद्धि (+) और कमी (-) का ध्यान न रखना।

💡 किस्त के लिए हमेशा अनुपात विधि का उपयोग करें। यदि R=10% है, तो वर्ष 1 के लिए 10:11 और वर्ष 2 के लिए 100:121 का उपयोग करें। किस्तों को तुरंत बराबर (121) करने के लिए पहली पंक्ति को 11 से गुणा करें।

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

मिश्रधन (A) = P(1 + R/100)^n
चक्रवृद्धि ब्याज (CI) = A - P
2 वर्ष के लिए प्रभावी दर = x + y + (xy/100)
अर्धवार्षिक गणना: दर आधी (R/2) और समय दोगुना (2n) हो जाता है
त्रैमासिक गणना: दर एक-चौथाई (R/4) और समय चार गुना (4n) हो जाता है
2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर = P(R/100)^2
3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर = P(R/100)^2 * (3 + R/100)
यदि कोई राशि t वर्ष में n गुनी होती है, तो वह n^2 गुनी 2t वर्ष में होगी
क्रमागत वर्षों के मिश्रधन का अनुपात (1 + R/100) के बराबर होता है
समान वार्षिक किस्त (2 वर्ष): P = [x / (1+R/100)] + [x / (1+R/100)^2]

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. ₹10,000 की राशि पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

(क) ₹2,000
(ख) ₹2,100
(ग) ₹2,200
(घ) ₹2,110

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹2,100

A = 10000(1 + 10/100)^2 = 10000 * 1.21 = 12100. CI = 12100 - 10000 = 2100.

2. ₹5,000 की राशि पर 4% वार्षिक दर से 2 वर्ष के लिए CI और SI के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।

(क) ₹10
(ख) ₹8
(ग) ₹12
(घ) ₹16

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹8

अंतर = P(R/100)^2 = 5000 * (4/100)^2 = 5000 * 0.0016 = 8.

3. एक राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 4 वर्षों में 3 गुनी हो जाती है। यह कितने वर्षों में 9 गुनी हो जाएगी?

(क) 6 वर्ष
(ख) 12 वर्ष
(ग) 8 वर्ष
(घ) 16 वर्ष

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 8 वर्ष

यदि राशि t वर्ष में n गुनी होती है, तो n^2 गुनी 2t वर्ष में होगी। यहाँ n=3, t=4, इसलिए 3^2=9 गुनी 4*2=8 वर्ष में होगी।

4. ₹8,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा, यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित होता है?

(क) ₹800
(ख) ₹840
(ग) ₹820
(घ) ₹810

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) ₹820

अर्धवार्षिक के लिए: R = 10/2 = 5%, T = 1*2 = 2 वर्ष। CI = 8000[(1.05)^2 - 1] = 8000 * 0.1025 = 820.

5. चक्रवृद्धि ब्याज पर दी गई एक राशि 1 वर्ष के अंत में ₹2,420 और 2 वर्ष के अंत में ₹2,662 हो जाती है। ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।

(क) 5%
(ख) 10%
(ग) 12%
(घ) 15%

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 10%

दर (R) = [(A2 - A1) / A1] * 100 = [(2662 - 2420) / 2420] * 100 = (242 / 2420) * 100 = 10%.

6. ₹10,000 की राशि पर पहले वर्ष के लिए 5% और दूसरे वर्ष के लिए 6% की दर से चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

(क) ₹1,100
(ख) ₹1,130
(ग) ₹1,150
(घ) ₹1,200

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹1,130

A = 10000 * (1 + 5/100) * (1 + 6/100) = 10000 * 1.05 * 1.06 = 11130. CI = 11130 - 10000 = 1130.

7. ₹20,000 की राशि पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

(क) ₹150
(ख) ₹152.5
(ग) ₹155
(घ) ₹160

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹152.5

अंतर = P(R/100)^2 * (3 + R/100) = 20000 * (5/100)^2 * (3 + 5/100) = 20000 * 0.0025 * 3.05 = 50 * 3.05 = 152.5.

8. ₹21,000 का ऋण 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से दो बराबर वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त की राशि क्या है?

(क) ₹11,000
(ख) ₹12,000
(ग) ₹12,100
(घ) ₹12,500

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) ₹12,100

P = x/(1+R/100) + x/(1+R/100)^2 => 21000 = x/1.1 + x/1.21 => 21000 = (1.1x + x)/1.21 => 21000 = 2.1x/1.21 => x = 12100.

9. ₹16,000 की राशि पर 20% वार्षिक दर से 9 महीने का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा, यदि ब्याज त्रैमासिक संयोजित होता है?

(क) ₹2,400
(ख) ₹2,522
(ग) ₹2,600
(घ) ₹2,500

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) ₹2,522

त्रैमासिक के लिए: R = 20/4 = 5%, T = (9/12)*4 = 3 अवधि। CI = 16000[(1.05)^3 - 1] = 16000 * 0.157625 = 2522.

10. 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के लिए ₹10,000 पर चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए (प्रभावी दर विधि का उपयोग करें)।

(क) ₹3,000
(ख) ₹3,300
(ग) ₹3,310
(घ) ₹3,410

उत्तर देखें

उत्तर: (ग) ₹3,310

10% की 3 वर्ष की प्रभावी दर = 33.1%। CI = 10000 * 33.1/100 = 3310.

English version — Compound Interest

Compound Interest is a vital chapter for SSC exams (Tier-1 & Tier-2), with 2-3 questions appearing regularly. It is highly scoring as questions follow standard formulas and predictable patterns.

Basic Formula of CI and Effective Rate

Compound Interest (CI) involves earning interest on interest, causing the Principal to grow every year. If interest is compounded annually, an exponential formula is used to find the Amount. The Effective Rate is a single percentage representing the total interest over 2 or 3 years, making calculations faster. In exams, for 2 or 3 years, using the effective rate or Ratio Method is preferred over the basic formula for speed.

Formulas with examples

📐 A = P(1 + R/100)^n — When Principal (P), Rate (R), and Time (n) are given to find Amount (A) or Interest (CI = A - P).

Example 1: ₹12,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

A = 12000(1 + 10/100)^2

A = 12000 × (11/10) × (11/10)

A = 120 × 121 = 14520

CI = A - P

CI = 14520 - 12000

✔ Answer: ₹2,520
Example 2: ₹8,000 की राशि पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष का मिश्रधन क्या होगा?

A = 8000(1 + 5/100)^3

A = 8000 × (21/20) × (21/20) × (21/20)

A = 8000 × (9261 / 8000)

A = 9261

✔ Answer: ₹9,261

📐 प्रभावी दर (2 वर्ष) = x + y + (xy/100) — To find the total compound interest rate in percentage for 2 years.

Example 3: यदि ब्याज दर 6% वार्षिक है, तो 2 वर्ष की प्रभावी चक्रवृद्धि ब्याज दर क्या होगी?

प्रभावी दर = 6 + 6 + (6 × 6 / 100)

दर = 12 + 36/100

दर = 12 + 0.36

✔ Answer: 12.36%
Example 4: ₹10,000 पर 10% की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज प्रभावी दर से ज्ञात करें।

2 वर्ष की दर = 10 + 10 + 1 = 21%

3 वर्ष की दर = 21 + 10 + (21 × 10 / 100)

दर = 31 + 2.1 = 33.1%

ब्याज = 10000 × 33.1 / 100

✔ Answer: ₹3,310

Question types asked

मूल सूत्र आधारित प्रश्न
2 वर्ष की प्रभावी दर आधारित
3 वर्ष की प्रभावी दर आधारित
मिश्रधन से मूलधन ज्ञात करना
भिन्न (Fractional) दर आधारित
अलग-अलग वर्षों के लिए अलग दर
गणना आधारित कठिन प्रश्न

Solved questions (every type)

Q 5 [मूल सूत्र आधारित प्रश्न]: ₹5,000 की राशि पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का मिश्रधन कितना होगा?

A = 5000 × (110/100) × (110/100)

A = 5000 × 1.1 × 1.1

A = 5000 × 1.21

A = 6050

✔ Answer: ₹6,050
Q 6 [2 वर्ष की प्रभावी दर आधारित]: ₹25,000 पर 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष का ब्याज ज्ञात कीजिए।

प्रभावी दर = 4 + 4 + (4×4/100) = 8.16%

CI = 25000 × 8.16 / 100

CI = 250 × 8.16

CI = 2040

✔ Answer: ₹2,040
Q 7 [3 वर्ष की प्रभावी दर आधारित]: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या है?

10% की 3 वर्ष की प्रभावी दर = 33.1%

CI = 10000 × 33.1 / 100

CI = 100 × 33.1

CI = 3310

✔ Answer: ₹3,310
Q 8 [मिश्रधन से मूलधन ज्ञात करना]: कोई राशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष में ₹13,310 हो जाती है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

10% = 1/10, मिश्रधन अनुपात = (11/10)^3

1331 / 1000 = 13310 / P

1331 इकाई = 13310

1 इकाई = 10

1000 इकाई = 1000 × 10

✔ Answer: ₹10,000
Q 9 [भिन्न (Fractional) दर आधारित]: ₹6,400 की राशि पर 12.5% वार्षिक दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

12.5% = 1/8

राशि 8 से 9 होती है (2 बार)

मिश्रधन = 6400 × (9/8) × (9/8)

मिश्रधन = 100 × 81 = 8100

CI = 8100 - 6400

✔ Answer: ₹1,700
Q 10 [अलग-अलग वर्षों के लिए अलग दर]: ₹20,000 पर पहले वर्ष 5% और दूसरे वर्ष 10% की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर मिश्रधन क्या होगा?

A = 20000 × (105/100) × (110/100)

A = 20000 × 1.05 × 1.1

A = 21000 × 1.1

A = 23100

✔ Answer: ₹23,100
Q 11 [गणना आधारित कठिन प्रश्न]: ₹15,625 की राशि पर 8% वार्षिक दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

8% = 2/25

मिश्रधन = 15625 × (27/25) × (27/25) × (27/25)

15625 = 25 का घन है, अतः कट जाएगा

मिश्रधन = 27 × 27 × 27 = 19683

CI = 19683 - 15625

✔ Answer: ₹4,058

How it is asked

1-2 questions appear in every shift of SSC CGL and CHSL. Questions asking for CI for 2 or 3 years are most frequent.

Common mistakes

✘ साधारण ब्याज (SI) और चक्रवृद्धि ब्याज (CI) के सूत्रों में भ्रमित होना।
✘ प्रभावी दर निकालते समय दशमलव के बाद के अंकों की गणना में गलती करना।

💡 For 2 years, use the shortcut rate: 2R.R^2 (e.g., for 3%, 2*3 . 3^2 = 06.09%). For 3 years, use 3R.3R^2R^3.

Half-yearly and Quarterly Compounding

When interest is calculated more than once a year, it is called half-yearly or quarterly compounding. In half-yearly compounding, interest is added to the principal every 6 months, so the rate is halved and the time is doubled. In quarterly compounding, interest is added every 3 months, so the rate is divided by 4 and the time is multiplied by 4. The core logic remains the same as standard CI, but the number of conversion cycles increases. Exams frequently feature these for 1 or 1.5-year periods.

Formulas with examples

📐 For Half-yearly: New R = R/2, New n = 2T — When the condition 'compounded half-yearly' or 'semi-annually' is given in the question.

Example 12: ₹10,000 पर 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष का अर्धवार्षिक संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

दर (R) = 10/2 = 5% छमाही

समय (n) = 1 × 2 = 2 छमाही

मिश्रधन (A) = 10000(1 + 5/100)²

A = 10000 × (21/20) × (21/20)

A = 25 × 441 = 11025

ब्याज (CI) = 11025 - 10000

✔ Answer: ₹1,025
Example 13: ₹20,000 पर 20% वार्षिक दर से 1.5 वर्ष का अर्धवार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

दर (R) = 20/2 = 10% छमाही

समय (n) = 1.5 × 2 = 3 छमाही

मिश्रधन (A) = 20000(1 + 10/100)³

A = 20000 × (11/10)³

A = 20000 × 1331 / 1000

A = 20 × 1331 = 26620

ब्याज (CI) = 26620 - 20000

✔ Answer: ₹6,620

📐 For Quarterly: New R = R/4, New n = 4T — When the condition 'compounded quarterly' or 'every three months' is given in the question.

Example 14: ₹16,000 पर 20% वार्षिक दर से 9 महीने का त्रैमासिक संयोजित ब्याज क्या होगा?

दर (R) = 20/4 = 5% प्रति तिमाही

समय (n) = 9 महीने = 3 तिमाही

मिश्रधन (A) = 16000(1 + 5/100)³

A = 16000 × (21/20)³

A = 16000 × 9261 / 8000

A = 2 × 9261 = 18522

ब्याज (CI) = 18522 - 16000

✔ Answer: ₹2,522
Example 15: ₹10,000 पर 40% वार्षिक दर से 6 महीने का त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

दर (R) = 40/4 = 10% प्रति तिमाही

समय (n) = 6 महीने = 2 तिमाही

मिश्रधन (A) = 10000(1 + 10/100)²

A = 10000 × (11/10)²

A = 10000 × 121 / 100

A = 12100

ब्याज (CI) = 12100 - 10000

✔ Answer: ₹2,100

Question types asked

अर्धवार्षिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न
त्रैमासिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न
वार्षिक और अर्धवार्षिक ब्याज के बीच अंतर
मिश्रधन या ब्याज देकर मूलधन ज्ञात करना
समय ज्ञात करना जब ब्याज अर्धवार्षिक हो
दर ज्ञात करना जब ब्याज त्रैमासिक हो

Solved questions (every type)

Q 16 [अर्धवार्षिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न]: ₹12,000 की राशि पर 10% वार्षिक दर से 1.5 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो?

दर = 10/2 = 5% छमाही

समय = 1.5 × 2 = 3 छमाही

प्रभावी दर (3 वर्ष के लिए 5%) = 15.7625%

ब्याज = 12000 × 15.7625 / 100

ब्याज = 120 × 15.7625

ब्याज = 1891.5

✔ Answer: ₹1,891.50
Q 17 [त्रैमासिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न]: ₹32,000 पर 20% वार्षिक दर से 6 महीने का त्रैमासिक चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें।

दर = 20/4 = 5% तिमाही

समय = 6 महीने = 2 तिमाही

मिश्रधन = 32000(1 + 5/100)²

मिश्रधन = 32000 × (21/20) × (21/20)

मिश्रधन = 80 × 441 = 35280

ब्याज = 35280 - 32000

✔ Answer: ₹3,280
Q 18 [वार्षिक और अर्धवार्षिक ब्याज के बीच अंतर]: ₹5,000 पर 1 वर्ष के लिए 4% वार्षिक दर से वार्षिक और अर्धवार्षिक रूप से संयोजित चक्रवृद्धि ब्याज में कितना अंतर है?

वार्षिक ब्याज = 5000 का 4% = 200

अर्धवार्षिक दर = 4/2 = 2%, समय = 2 छमाही

अर्धवार्षिक ब्याज = 5000[(1.02)² - 1]

अर्धवार्षिक ब्याज = 5000[1.0404 - 1] = 5000 × 0.0404

अर्धवार्षिक ब्याज = 202

अंतर = 202 - 200

✔ Answer: ₹2
Q 19 [मिश्रधन या ब्याज देकर मूलधन ज्ञात करना]: यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो, तो 10% वार्षिक दर से 1 वर्ष में ₹1,640 का चक्रवृद्धि ब्याज प्राप्त करने के लिए कितनी राशि निवेश करनी होगी?

दर = 10/2 = 5%, समय = 2 छमाही

प्रभावी दर = 5 + 5 + (5×5)/100 = 10.25%

माना मूलधन P है

P × 10.25 / 100 = 1640

P = (1640 × 100) / 10.25

P = 164000 / 10.25 = 16000

✔ Answer: ₹16,000
Q 20 [समय ज्ञात करना जब ब्याज अर्धवार्षिक हो]: कितने समय में ₹80,000 की राशि 10% वार्षिक दर से ₹92,610 हो जाएगी, यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो?

दर = 10/2 = 5% = 1/20

मिश्रधन/मूलधन = 92610 / 80000 = 9261 / 8000

(21/20)^n = (21/20)³

n = 3 छमाही

समय = 3/2 वर्ष = 1.5 वर्ष

✔ Answer: 1.5 वर्ष
Q 21 [दर ज्ञात करना जब ब्याज त्रैमासिक हो]: किस वार्षिक दर पर ₹10,000 की राशि 6 महीने में ₹11,025 हो जाएगी, यदि ब्याज त्रैमासिक संयोजित हो?

समय = 6 महीने = 2 तिमाही

(1 + r/100)² = 11025 / 10000

(1 + r/100)² = (105 / 100)²

1 + r/100 = 1.05 => r = 5% (तिमाही)

वार्षिक दर = 5 × 4 = 20%

✔ Answer: 20% वार्षिक
Q 22 [अर्धवार्षिक गणना पर आधारित सीधा प्रश्न]: ₹8,000 पर 20% वार्षिक दर से 1 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करें यदि ब्याज अर्धवार्षिक संयोजित हो।

दर = 20/2 = 10% छमाही

समय = 1 × 2 = 2 छमाही

प्रभावी दर = 10 + 10 + (10×10)/100 = 21%

ब्याज = 8000 का 21%

ब्याज = 80 × 21

✔ Answer: ₹1,680

How it is asked

In SSC CGL and CHSL, questions from this topic are frequently asked as the difference between 'annual vs half-yearly' compounding or as quarterly interest for a 9-month period.

Common mistakes

✘ समय को दोगुना/चौगुना करना भूल जाना और केवल दर को बदलना।
✘ 9 महीने को त्रैमासिक गणना में 9 चक्र मान लेना (जबकि यह 3 तिमाही होती है)।
✘ अंत में प्राप्त तिमाही दर को वार्षिक दर में बदलना भूल जाना (यदि दर पूछी गई हो)।

💡 For 2 cycles (like 1 year half-yearly), use the effective rate formula x + y + xy/100 to quickly find the interest percentage.

CI - SI Difference for 2 and 3 Years

For the first year, CI and SI are identical, so their difference is zero. In the second year, the difference arises entirely from the interest earned on the first year's interest, given by D = P(R/100)². For three years, the difference includes interest on previous interest components. Whenever an exam problem specifies the difference between CI and SI, applying direct difference formulas saves crucial calculation time.

Formulas with examples

📐 D₂ = P × (R / 100)² — When difference (D), principal (P), or annual rate (R%) is to be found for 2 years.

Example 23: ₹5,000 की राशि पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ज्ञात कीजिए।

अंतर (D) = P × (R / 100)²

D = 5000 × (10 / 100)²

D = 5000 × (1 / 10)²

D = 5000 × (1 / 100)

D = ₹50

✔ Answer: ₹50
Example 24: किसी धनराशि पर 12% वार्षिक दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ₹72 है। वह धनराशि ज्ञात कीजिए।

D = P × (R / 100)²

72 = P × (12 / 100)²

72 = P × (144 / 10000)

P = (72 × 10000) / 144

P = 10000 / 2 = ₹5,000

✔ Answer: ₹5,000

📐 D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100] = D₂ × [(300 + R) / 100] — When difference (D), principal (P), or annual rate (R%) is to be found for 3 years.

Example 25: ₹10,000 की धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

D₃ = 10000 × (10 / 100)² × [(300 + 10) / 100]

D₃ = 10000 × (1 / 100) × (310 / 100)

D₃ = 100 × 3.1

D₃ = ₹310

✔ Answer: ₹310
Example 26: किसी निश्चित धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर ₹155 है। वह राशि क्या है?

D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

155 = P × (10 / 100)² × (310 / 100)

155 = P × (1 / 100) × (31 / 10)

155 = P × (31 / 1000)

P = (155 × 1000) / 31

P = 5 × 1000 = ₹5,000

✔ Answer: ₹5,000

Question types asked

2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना
3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना
अंतर और मूलधन दिए होने पर दर (R%) ज्ञात करना
3 वर्ष और 2 वर्ष के अंतर का अनुपात (Ratio of D3 to D2)
अलग-अलग वर्षों की दरों के लिए 2 वर्ष का अंतर

Solved questions (every type)

Q 27 [2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: ₹15,000 की राशि पर 8% वार्षिक ब्याज दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₂ = P × (R / 100)²

D₂ = 15000 × (8 / 100)²

D₂ = 15000 × (64 / 10000)

D₂ = 15 × 6.4

D₂ = ₹96

✔ Answer: ₹96
Q 28 [2 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: किसी धनराशि पर 15% वार्षिक दर से 2 वर्ष के साधारण ब्याज तथा चक्रवृद्धि ब्याज का अंतर ₹45 है। वह धनराशि ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₂ = P × (R / 100)²

45 = P × (15 / 100)²

45 = P × (225 / 10000)

P = (45 × 10000) / 225

P = 10000 / 5

P = ₹2,000

✔ Answer: ₹2,000
Q 29 [3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: ₹8,000 पर 5% वार्षिक दर से 3 वर्ष के CI और SI का अंतर कितना होगा?

सूत्र: D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

D₃ = 8000 × (5 / 100)² × [(300 + 5) / 100]

D₃ = 8000 × (1 / 400) × (305 / 100)

D₃ = 20 × 3.05

D₃ = ₹61

✔ Answer: ₹61
Q 30 [3 वर्ष के लिए CI और SI का अंतर या मूलधन ज्ञात करना]: एक निश्चित धनराशि पर 10% वार्षिक दर से 3 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹124 है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₃ = P × (R / 100)² × [(300 + R) / 100]

124 = P × (10 / 100)² × (310 / 100)

124 = P × (1 / 100) × (31 / 10)

124 = P × (31 / 1000)

P = (124 × 1000) / 31

P = 4 × 1000 = ₹4,000

✔ Answer: ₹4,000
Q 31 [अंतर और मूलधन दिए होने पर दर (R%) ज्ञात करना]: ₹1,800 की राशि पर 2 वर्ष के चक्रवृद्धि ब्याज और साधारण ब्याज का अंतर ₹72 है। ब्याज की वार्षिक दर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₂ = P × (R / 100)²

72 = 1800 × (R / 100)²

72 / 1800 = (R / 100)²

4 / 100 = (R / 100)²

दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: 2 / 10 = R / 100

R = (2 / 10) × 100

R = 20%

✔ Answer: 20%
Q 32 [3 वर्ष और 2 वर्ष के अंतर का अनुपात (Ratio of D3 to D2)]: एक निश्चित धनराशि पर एक समान दर से 3 वर्ष और 2 वर्ष के (CI - SI) के अंतरों का अनुपात 25 : 8 है। ब्याज की वार्षिक दर ज्ञात कीजिए।

सूत्र: D₃ / D₂ = (300 + R) / 100

25 / 8 = (300 + R) / 100

25 × 100 = 8 × (300 + R)

2500 = 2400 + 8R

8R = 2500 - 2400 = 100

R = 100 / 8

R = 12.5%

✔ Answer: 12.5%
Q 33 [अलग-अलग वर्षों की दरों के लिए 2 वर्ष का अंतर]: ₹12,000 की राशि पर पहले वर्ष 5% और दूसरे वर्ष 10% की वार्षिक दर से 2 वर्ष के CI और SI का अंतर ज्ञात कीजिए।

अलग दरों (R₁ और R₂) पर 2 वर्ष का अंतर = P × (R₁ × R₂) / 10000

अंतर = 12000 × (5 × 10) / 10000

अंतर = 12000 × 50 / 10000

अंतर = 12000 / 200

अंतर = ₹60

✔ Answer: ₹60

How it is asked

Asked in nearly every alternate shift of SSC CGL, CHSL, and CPO. The most frequent patterns are finding the principal given 2-year or 3-year difference, or finding the rate using the ratio D3/D2.

Common mistakes

✘ 3 वर्ष के अंतर वाले सूत्र में (300 + R)/100 की जगह केवल (3 + R) या 3R समझ लेना।
✘ 2 वर्ष के अंतर में (R/100)² करते समय 100 का वर्ग (10000) न करके केवल 100 से भाग देना।

Time-Multiplier Relation and Successive Amounts

In Compound Interest, money grows by a constant factor over equal time intervals. If a sum becomes 'n' times in 't' years, it will become 'n²' times in '2t' years and 'n³' in '3t' years. We use powers of the multiplier to solve these. Additionally, if amounts of two consecutive years are given, the difference between them is the interest for that year. The amount of the preceding year acts as the principal for the succeeding year, allowing us to calculate the rate of interest directly.

Formulas with examples

📐 n2 = (n1)^(t2/t1) — When a sum becomes n1 times in t1 years and n2 times in t2 years.

Example 34: एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्षों में स्वयं की 2 गुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह स्वयं की 64 गुनी हो जाएगी?

n1 = 2, t1 = 3 वर्ष

n2 = 64, t2 = ?

64 को 2 की घात में लिखें: 64 = 2^6

यहाँ घात 6 है, इसलिए समय = t1 × घात

समय = 3 × 6 = 18 वर्ष

✔ Answer: 18 वर्ष
Example 35: यदि कोई धन 5 वर्षों में 3 गुना हो जाता है, तो 20 वर्षों में वह कितना गुना होगा?

t1 = 5, n1 = 3

t2 = 20, n2 = ?

समय का अनुपात = t2 / t1 = 20 / 5 = 4

n2 = (n1)^4 = 3^4

n2 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81 गुना

✔ Answer: 81 गुना

📐 Rate (R) = [(A2 - A1) / A1] × 100 — When amounts A1 and A2 of two consecutive years are given.

Example 36: चक्रवृद्धि ब्याज पर दी गई एक राशि 2 वर्ष में 2420 रुपये और 3 वर्ष में 2662 रुपये हो जाती है। ब्याज की दर ज्ञात कीजिए।

A1 (2 वर्ष) = 2420

A2 (3 वर्ष) = 2662

ब्याज = 2662 - 2420 = 242

दर (R) = (242 / 2420) × 100

R = 1/10 × 100 = 10%

✔ Answer: 10%
Example 37: कोई धन CI की दर से 4 वर्ष में 6000 और 5 वर्ष में 6720 हो जाता है। दर क्या है?

A1 = 6000, A2 = 6720

ब्याज = 6720 - 6000 = 720

दर (R) = (720 / 6000) × 100

R = 72 / 6 = 12%

✔ Answer: 12%

Question types asked

समय निकालना जब गुना दिया हो
गुना निकालना जब समय दिया हो
दो क्रमागत वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना
दो अलग-अलग वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना (वर्गमूल/घनमूल विधि)
मिश्रधन के अनुपात से मूलधन ज्ञात करना
दशमलव गुना वाले प्रश्न

Solved questions (every type)

Q 38 [समय निकालना जब गुना दिया हो]: चक्रवृद्धि ब्याज पर निवेश की गई एक राशि 6 वर्षों में स्वयं की 3 गुनी हो जाती है। कितने वर्षों में यह 81 गुनी हो जाएगी?

3 गुना = 6 वर्ष

81 गुना = 3^4 गुना

समय = 6 × 4 = 24 वर्ष

✔ Answer: 24 वर्ष
Q 39 [गुना निकालना जब समय दिया हो]: एक निश्चित धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 4 वर्षों में 2 गुनी हो जाती है। 12 वर्षों में यह कितनी गुनी हो जाएगी?

t1 = 4 वर्ष, n1 = 2

t2 = 12 वर्ष

समय का गुणांक = 12 / 4 = 3

गुना = (2)^3 = 8 गुना

✔ Answer: 8 गुना
Q 40 [दो क्रमागत वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना]: एक राशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष में 800 रुपये और 4 वर्ष में 840 रुपये हो जाती है। वार्षिक ब्याज दर क्या है?

A3 = 800, A4 = 840

1 वर्ष का ब्याज = 840 - 800 = 40

दर (R) = (40 / 800) × 100

R = 40 / 8 = 5%

✔ Answer: 5%
Q 41 [मिश्रधन के अनुपात से मूलधन ज्ञात करना]: एक धनराशि चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में 4500 रुपये और 4 वर्ष में 6750 रुपये हो जाती है। मूलधन ज्ञात कीजिए।

A2 = 4500, A4 = 6750

अनुपात (A4/A2) = 6750 / 4500 = 3/2

चूँकि समय का अंतर (4-2=2) और (2-0=2) समान है

P × (3/2) = 4500

P = 4500 × 2 / 3 = 3000

✔ Answer: 3000 रुपये
Q 42 [दशमलव गुना वाले प्रश्न]: एक राशि 8 वर्षों में 1.5 गुनी हो जाती है। 24 वर्षों में यह कितनी गुनी होगी?

t1 = 8, n1 = 1.5

t2 = 24

समय का गुणांक = 24 / 8 = 3

गुना = (1.5)^3 = 1.5 × 1.5 × 1.5

गुना = 3.375

✔ Answer: 3.375 गुना
Q 43 [दो अलग-अलग वर्षों के मिश्रधन से दर निकालना (वर्गमूल/घनमूल विधि)]: एक निश्चित राशि 3 वर्ष में 4000 और 6 वर्ष में 5324 हो जाती है। ब्याज की दर क्या है?

समय का अंतर = 6 - 3 = 3 वर्ष

अनुपात = 5324 / 4000 = 1331 / 1000

3 वर्ष का अंतर है, इसलिए घनमूल लें: ∛(1331/1000) = 11/10

वृद्धि = 11 - 10 = 1

दर (R) = (1 / 10) × 100 = 10%

✔ Answer: 10%

How it is asked

In SSC exams (CGL, CHSL, MTS), 'multiplier' based questions are most frequent. Often, amounts with a 2 or 3-year gap are given to find the rate or principal.

Common mistakes

✘ साधारण ब्याज के 'गुना' वाले फॉर्मूले (n-1) का उपयोग चक्रवृद्धि ब्याज में करना।
✘ दर निकालते समय समय के अंतर को ध्यान में न रखना (जैसे 2 वर्ष के अंतर पर वर्गमूल न लेना)।

Equal Annual Instalments and Successive Rates

When a loan is repaid in equal annual instalments, each instalment consists of a portion of the principal and the interest accrued. In CI, instalments are calculated based on the concept of Present Value. Successive rates mean the interest rate changes every year (e.g., 5% in the 1st year, 10% in the 2nd). Exams frequently feature questions on 2 or 3 instalments or varying annual rates. The Ratio Method is the most efficient way to solve these problems.

Formulas with examples

📐 P = [I / (1 + R/100)] + [I / (1 + R/100)^2] — When a loan is repaid in 2 equal annual instalments (I).

Example 44: 6800 रुपये का ऋण 12.5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त की राशि ज्ञात कीजिए।

✔ Answer: 4050 रुपये
Example 45: एक व्यक्ति 10% चक्रवृद्धि ब्याज पर कुछ ऋण लेता है और इसे 1089 रुपये की दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाता है। उधार ली गई राशि ज्ञात कीजिए।

✔ Answer: 1890 रुपये

📐 A = P × (1 + R1/100) × (1 + R2/100) × ... — When interest rates (R1, R2, R3...) are different for successive years.

Example 46: 10000 रुपये पर पहले वर्ष के लिए 5% और दूसरे वर्ष के लिए 10% की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज कितना होगा?

✔ Answer: 1550 रुपये
Example 47: एक निश्चित राशि पर 3 वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें क्रमशः 10%, 20% और 25% हैं। यदि 3 वर्ष बाद मिश्रधन 13200 रुपये है, तो मूलधन ज्ञात कीजिए।

✔ Answer: 8000 रुपये

Question types asked

दो समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना
तीन समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना
किस्त की राशि से मूलधन (ऋण) ज्ञात करना
दो अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें
तीन अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें
क्रमिक दरों पर आधारित चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करना

Solved questions (every type)

Q 48 [दो समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना]: एक मोबाइल 4400 रुपये नकद या 2000 रुपये अग्रिम भुगतान और उसके बाद दो समान वार्षिक किस्तों में उपलब्ध है। यदि ब्याज की दर 15% वार्षिक चक्रवृद्धि है, तो प्रत्येक किस्त की राशि क्या है?

✔ Answer: 1476.27 रुपये
Q 49 [किस्त की राशि से मूलधन (ऋण) ज्ञात करना]: एक ऋण को 17640 रुपये की दो समान वार्षिक किस्तों में वापस किया जाना है। यदि चक्रवृद्धि ब्याज की दर 5% वार्षिक है, तो ऋण की कुल राशि और कुल ब्याज ज्ञात कीजिए।

✔ Answer: 32800 रुपये
Q 50 [तीन समान वार्षिक किस्तों में ऋण चुकाना]: 25220 रुपये का ऋण 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से तीन समान वार्षिक किस्तों में चुकाया जाना है। प्रत्येक किस्त का मान ज्ञात कीजिए।

✔ Answer: 9261 रुपये
Q 51 [दो अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें]: एक व्यक्ति 20000 रुपये 2 वर्ष के लिए उधार लेता है। पहले वर्ष ब्याज दर 10% और दूसरे वर्ष 20% है। 2 वर्ष बाद उसे कुल कितना चक्रवृद्धि ब्याज देना होगा?

P = 20000. R1 = 10%, R2 = 20%. प्रभावी दर = 10 + 20 + (10×20)/100 = 32%. CI = 20000 का 32%. CI = 20000 × 32 / 100 = 6400 रुपये।

✔ Answer: 6400 रुपये
Q 52 [तीन अलग-अलग वर्षों के लिए क्रमिक ब्याज दरें]: 50000 रुपये की राशि पर 3 वर्षों के लिए चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए, यदि पहले, दूसरे और तीसरे वर्ष के लिए दरें क्रमशः 4%, 5% और 10% हैं।

A = 50000 × (104/100) × (105/100) × (110/100). A = 50000 × 1.04 × 1.05 × 1.1. A = 50000 × 1.2012 = 60060 रुपये. CI = A - P = 60060 - 50000 = 10060 रुपये।

✔ Answer: 10060 रुपये
Q 53 [क्रमिक दरों पर आधारित चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात करना]: एक शहर की जनसंख्या 10000 है। पहले वर्ष यह 10% बढ़ती है और दूसरे वर्ष 20% घटती है। 2 वर्ष बाद जनसंख्या क्या होगी?

P = 10000. R1 = +10%, R2 = -20%. जनसंख्या = 10000 × (110/100) × (80/100). जनसंख्या = 10000 × 1.1 × 0.8. जनसंख्या = 10000 × 0.88 = 8800.

✔ Answer: 8800
Q 54 [किस्त की राशि से मूलधन (ऋण) ज्ञात करना]: एक व्यक्ति ने 25% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर कुछ धन उधार लिया और इसे 2500 रुपये की दो समान वार्षिक किस्तों में चुकाया। उधार लिया गया धन कितना था?

✔ Answer: 3600 रुपये

How it is asked

Instalment questions are frequently asked in SSC CGL and CHSL. Successive rate questions also appear in the form of population growth or depreciation. One question from this sub-topic is seen every 2-3 shifts.

Common mistakes

✘ साधारण ब्याज (SI) की किस्त का फॉर्मूला चक्रवृद्धि ब्याज (CI) में लगाना।
✘ किस्त को बराबर करते समय मूलधन के अनुपात को गुणा करना भूल जाना।
✘ क्रमिक दरों में वृद्धि (+) और कमी (-) का ध्यान न रखना।

💡 For instalments, always use the ratio method. If R=10%, use 10:11 for year 1 and 100:121 for year 2. Multiply the first row by 11 to make instalments equal (121) instantly.

All formulas at a glance

Amount (A) = P(1 + R/100)^n
Compound Interest (CI) = A - P
Effective rate for 2 years = x + y + (xy/100)
Half-yearly: Rate is halved (R/2) and Time is doubled (2n)
Quarterly: Rate is quartered (R/4) and Time is quadrupled (4n)
Difference between CI and SI for 2 years = P(R/100)^2
Difference between CI and SI for 3 years = P(R/100)^2 * (3 + R/100)
If a sum becomes n times in t years, it becomes n^2 times in 2t years
Ratio of amounts in successive years equals (1 + R/100)
Equal annual installment (2 years): P = [x / (1+R/100)] + [x / (1+R/100)^2]

← साधारण ब्याज समय और कार्य →