होम › नोट्स › SSC CGL › गणित (Quantitative Aptitude)

SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

बीजगणित: समीकरण, अधिकतम-न्यूनतम मान

Algebra: Equations, Max/Min

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

यह अध्याय SSC Tier-1 में 2-3 और Tier-2 में 3-5 प्रश्नों के साथ बहुत महत्वपूर्ण है। यह एक स्कोरिंग विषय है क्योंकि इसके प्रश्न सीधे सूत्रों और निश्चित अवधारणाओं पर आधारित होते हैं।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण: अद्वितीय, कोई नहीं या अनंत हल

जब दो अज्ञात चरों वाले दो रैखिक समीकरण (Linear Equations) दिए जाते हैं, जैसे a₁x + b₁y + c₁ = 0 और a₂x + b₂y + c₂ = 0, तो वे दो सीधी रेखाओं को दर्शाते हैं। यदि दोनों रेखाएं एक बिंदु पर काटती हैं, तो उनका केवल एक (अद्वितीय/Unique) हल होता है। यदि दोनों रेखाएं समानांतर (Parallel) हों, तो वे कभी नहीं मिलतीं और समीकरण का कोई हल (No Solution) नहीं होता है। यदि दोनों रेखाएं एक-दूसरे के ठीक ऊपर हों (संपाती/Coincident), तो उनके अनंत हल (Infinitely Many Solutions) होते हैं। परीक्षा में अक्सर 'k' का मान पूछा जाता है ताकि समीकरण का कोई हल न हो या अनंत हल हों।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 अद्वितीय हल (Unique Solution): a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂ — जब प्रश्न में कहा जाए कि समीकरण युग्म का केवल एक हल (अद्वितीय हल) है अथवा रेखाएं प्रतिच्छेदी हैं।

a₁ = k, b₁ = 2 तथा a₂ = 3, b₂ = 1

अद्वितीय हल की शर्त: a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂

k / 3 ≠ 2 / 1

k ≠ 3 × 2

k ≠ 6

a₁ = 2, b₁ = 5 तथा a₂ = a, b₂ = -2

अद्वितीय हल के लिए: a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂

2 / a ≠ 5 / (-2)

5a ≠ -4

a ≠ -4/5

📐 कोई हल नहीं (No Solution): a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ — जब प्रश्न में दिया हो कि समीकरणों का कोई हल नहीं है (असंगत / Inconsistent) या रेखाएं समानांतर हैं।

a₁ = 4, b₁ = 6, c₁ = 11 तथा a₂ = 2, b₂ = k, c₂ = 7

कोई हल नहीं होने की शर्त: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂

4 / 2 = 6 / k

2 = 6 / k

k = 6 / 2 = 3

जाँच: c₁ / c₂ = 11/7 ≠ 2, अतः k = 3 मान्य है।

📐 अनंत हल (Infinitely Many Solutions): a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ — जब प्रश्न में दिया हो कि समीकरणों के अपरिमित/अनंत हल हैं (आश्रित संगत) या रेखाएं संपाती हैं।

अनंत हल के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

2 / (k - 1) = 3 / (k + 2) = 7 / (3k)

2 / (k - 1) = 3 / (k + 2)

2(k + 2) = 3(k - 1)

2k + 4 = 3k - 3

k = 7

संपाती रेखाओं (अनंत हल) के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

3 / 6 = 4 / 8 = 12 / (2k)

1 / 2 = 12 / (2k)

2k = 24

k = 12

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 8

a₂ = 6, b₂ = 4, c₂ = 10

a₁ / a₂ = 3 / 6 = 1 / 2

b₁ / b₂ = 2 / 4 = 1 / 2

c₁ / c₂ = 8 / 10 = 4 / 5

यहाँ a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ है।

अतः रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है।

कोई हल नहीं के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂

यहाँ a₁ = 8, b₁ = 5 और a₂ = k, b₂ = 10

8 / k = 5 / 10

8 / k = 1 / 2

k = 8 × 2

k = 16

जाँच: c₁ / c₂ = 9 / 15 = 3 / 5 ≠ 1 / 2, अतः k = 16 मान्य है।

अद्वितीय हल की शर्त: a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂

a₁ = 5, b₁ = -k तथा a₂ = 10, b₂ = -4

5 / 10 ≠ (-k) / (-4)

1 / 2 ≠ k / 4

2k ≠ 4

k ≠ 2

अनंत हल की शर्त: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 5 तथा a₂ = 6, b₂ = k, c₂ = 15

2 / 6 = 3 / k = 5 / 15

1 / 3 = 3 / k

k = 3 × 3

k = 9

कोई हल न होने की शर्त: a₁ / a₂ = b₁ / b₂

(k - 1) / (k + 1) = -1 / (1 - k)

(k - 1) / (k + 1) = 1 / (k - 1)

(k - 1)² = k + 1

k² - 2k + 1 = k + 1

k² - 3k = 0 ⇒ k(k - 3) = 0 ⇒ k = 0 या 3

यदि k = 1 रखें तो हर शून्य हो जाता है; k = 3 पर अनुपात 1/2 = 1/2 ≠ 5/10 (5/10=1/2 अमान्य होता)

जाँच: k = 3 पर c₁/c₂ = 5/(3×3+1) = 5/10 = 1/2, अतः अनंत हल बन जाएगा।

k = 0 पर a₁/a₂ = -1/1 = -1, b₁/b₂ = -1/1 = -1, c₁/c₂ = 5/1 ≠ -1, अतः k = 0 सही है।

अनंत हल के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

2 / (p + q) = 3 / (2p - q) = 7 / 21 = 1 / 3

पहला भाग: 2 / (p + q) = 1 / 3 ⇒ p + q = 6 ... (समीकरण 1)

दूसरा भाग: 3 / (2p - q) = 1 / 3 ⇒ 2p - q = 9 ... (समीकरण 2)

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 3p = 15 ⇒ p = 5

p का मान समीकरण 1 में रखने पर: 5 + q = 6 ⇒ q = 1

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और Railway में इस सब-टॉपिक से लगभग हर साल टियर-1 में 1 प्रश्न पूछा जाता है। सबसे ज्यादा 'कोई हल नहीं' (No Solution) या 'अनंत हल' (Infinite Solutions) के लिए k का मान पूछा जाता है।

आम गलतियाँ

💡 समीकरणों को हमेशा a₁x + b₁y = c₁ के सीधे क्रम में लिखें और 'कोई हल नहीं' के लिए सीधे तिर्यक गुणन (Cross-Multiplication) करें: a₁b₂ = a₂b₁। इससे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है।। ट्रिक: अद्वितीय हल के लिए ढाल (Slopes) बराबर नहीं होतीं (m₁ ≠ m₂), और समानांतर रेखाओं के लिए ढाल बराबर होती हैं (m₁ = m₂)।

द्विघात समीकरण: मूल, मूलों का योग व गुणनफल, मूलों की प्रकृति

द्विघात समीकरण (Quadratic Equation) वह समीकरण है जिसमें चर (variable) की अधिकतम घात 2 होती है, इसका मानक रूप ax² + bx + c = 0 (जहाँ a ≠ 0) होता है। चर के जिन मानों पर समीकरण शून्य हो जाता है, उन्हें मूल (Roots) कहते हैं। मूलों का योग और गुणनफल सीधे गुणांकों (coefficients) से निकाला जा सकता है, जिससे समीकरण हल किए बिना कई सवाल हल हो जाते हैं। विविक्तकर (Discriminant, D = b² - 4ac) से हमें मूल निकालने से पहले ही पता चल जाता है कि मूल वास्तविक होंगे या काल्पनिक। परीक्षा में जब भी 'मूल समान हैं', 'मूलों का अनुपात', या 'मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं' जैसे शब्द दिखें, तो सीधे इन्हीं नियमों का उपयोग करें।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 मूलों का योग (α + β) = -b/a और मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a — जब समीकरण ax² + bx + c = 0 दिया हो और मूलों का योग, गुणनफल या उनसे संबंधित कोई मान निकालना हो।

a = 2, b = -7, c = 5

मूलों का योग (α + β) = -b/a = -(-7)/2 = 7/2

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 5/2

a = 1, b = -5, c = k

मूलों का गुणनफल = c/a = k/1 = k

प्रश्न से: गुणनफल = 6

k = 6

📐 विविक्तकर D = b² - 4ac (D > 0: वास्तविक व असमान; D = 0: वास्तविक व समान; D < 0: काल्पनिक/अवास्तविक) — जब मूलों की प्रकृति (nature of roots) पूछी जाए या 'मूल समान/बराबर हैं' देकर अज्ञात राशि (k) पूछी जाए।

a = 1, b = -6, c = 9

D = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(9)

D = 36 - 36 = 0

चूँकि D = 0 है, अतः मूल वास्तविक और समान (बराबर) होंगे।

a = 2, b = k, c = 8

समान मूलों के लिए: D = b² - 4ac = 0

k² - 4(2)(8) = 0

k² - 64 = 0

k² = 64 ⇒ k = 8 (धनात्मक मान)

📐 द्विघात समीकरण का निर्माण: x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0 अर्थात् x² - (α + β)x + αβ = 0 — जब दोनों मूल (α, β) दिए गए हों या उनका योग और गुणनफल ज्ञात हो और द्विघात समीकरण बनाना हो।

मूल: α = 3, β = -5

मूलों का योग = α + β = 3 + (-5) = -2

मूलों का गुणनफल = αβ = 3 × (-5) = -15

समीकरण = x² - (α + β)x + αβ = 0

x² - (-2)x + (-15) = 0 ⇒ x² + 2x - 15 = 0

मूलों का योग (α + β) = 7

मूलों का गुणनफल (αβ) = 12

समीकरण: x² - (α + β)x + αβ = 0

x² - 7x + 12 = 0

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

a = 3, b = -8, c = 2

मूलों का योग (α + β) = -b/a = -(-8)/3 = 8/3

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 2/3

अनुपात = (α + β) : (αβ) = (8/3) : (2/3)

अनुपात = 8 : 2 = 4 : 1

α = 3 + √5, β = 3 - √5

मूलों का योग = (3 + √5) + (3 - √5) = 6

मूलों का गुणनफल = (3 + √5)(3 - √5) = 3² - (√5)² = 9 - 5 = 4

समीकरण = x² - (मूलों का योग)x + (गुणनफल) = 0

x² - 6x + 4 = 0

a = 3, b = -5, c = 4

विविक्तकर D = b² - 4ac

D = (-5)² - 4(3)(4)

D = 25 - 48 = -23

चूँकि D < 0 (ऋणात्मक) है, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं (काल्पनिक हैं)।

a = k, b = -12, c = 9

बराबर मूलों की शर्त: D = b² - 4ac = 0

(-12)² - 4(k)(9) = 0

144 - 36k = 0

36k = 144

k = 144 / 36 = 4

a = 1, b = -7, c = 10

α + β = -(-7)/1 = 7, αβ = 10/1 = 10

α/β + β/α = (α² + β²) / αβ

α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 7² - 2(10) = 49 - 20 = 29

मान = 29 / 10 = 2.9

माना एक मूल α है, तो दूसरा मूल 1/α होगा।

मूलों का गुणनफल = α × (1/α) = 1

सूत्र से मूलों का गुणनफल = c/a

अतः c/a = 1 ⇒ a = c

दिया है c = 7, इसलिए a = 7

α + β = -(-6)/1 = 6

αβ = k/1 = k

हम जानते हैं: α² + β² = (α + β)² - 2αβ

20 = (6)² - 2k

20 = 36 - 2k

2k = 36 - 20 = 16

k = 16 / 2 = 8

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 व Tier-2), CHSL और Railway में हर साल 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। सबसे आम पैटर्न: 'मूल बराबर होने पर k का मान', 'मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम होने पर संबंध (c = a)', या 'α² + β² / α³ + β³ का मान ज्ञात करना'।

आम गलतियाँ

💡 यदि प्रश्न में कहे कि 'एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम है', तो बिना सोचे सीधे c = a रख दें; यदि कहे 'एक मूल दूसरे का ऋणात्मक है (α = -β)', तो सीधे b = 0 रख दें। इससे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है।

द्विघात व्यंजक और (x + 1/x) के अधिकतम एवं न्यूनतम मान

द्विघात व्यंजक ax^2 + bx + c में यदि a > 0 हो, तो ग्राफ ऊपर की ओर खुलता है और इसका केवल न्यूनतम मान होता है। यदि a < 0 हो, तो ग्राफ नीचे की ओर खुलता है और इसका केवल अधिकतम मान होता है। यह मान शीर्ष (vertex) x = -b/(2a) पर प्राप्त होता है। इसी प्रकार, AM-GM असमानता के अनुसार किसी धनात्मक संख्या और उसके व्युत्क्रम का योग (x + 1/x) हमेशा 2 या 2 से बड़ा होता है। परीक्षा में न्यूनतम या अधिकतम मान पूछे जाने पर व्यंजक के गुणांकों अथवा AM-GM नियम का प्रयोग किया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 ax^2 + bx + c का Min/Max मान = (4ac - b^2) / 4a — जब किसी द्विघात व्यंजक का न्यूनतम (a > 0) या अधिकतम (a < 0) मान ज्ञात करना हो।

a = 2, b = -8, c = 5

a > 0 है, इसलिए न्यूनतम मान होगा।

न्यूनतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × 2 × 5 - (-8)^2] / (4 × 2)

= (40 - 64) / 8

= -24 / 8 = -3

a = -3, b = 12, c = 5

a < 0 है, इसलिए अधिकतम मान होगा।

अधिकतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × (-3) × 5 - (12)^2] / (4 × (-3))

= (-60 - 144) / (-12)

= -204 / -12 = 17

📐 यदि x > 0 है, तो ax + b/x का न्यूनतम मान = 2√(ab) — जब व्यंजक (ax + b/x) के रूप में हो और x > 0 दिया गया हो (AM-GM नियम द्वारा)।

a = 4, b = 9

न्यूनतम मान = 2√(a × b)

= 2 × √(4 × 9)

= 2 × √36

= 2 × 6 = 12

(x^2 + 16)/x = x + 16/x

a = 1, b = 16

न्यूनतम मान = 2√(1 × 16)

= 2 × 4 = 8

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

यहाँ a = 3, b = -12, c = 19

a = 3 > 0 है, अतः केवल न्यूनतम मान संभव है।

न्यूनतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × 3 × 19 - (-12)^2] / (4 × 3)

= (228 - 144) / 12

= 84 / 12

= 7

व्यंजक को मानक रूप में लिखें: -2x^2 - 8x + 15

यहाँ a = -2, b = -8, c = 15

a < 0 है, अतः अधिकतम मान प्राप्त होगा।

अधिकतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × (-2) × 15 - (-8)^2] / (4 × (-2))

= (-120 - 64) / (-8)

= -184 / -8

= 23

मान लीजिए y = x - 3, जहाँ y > 0 है।

व्यंजक = y + 1/y + 5

चूँकि y > 0 है, y + 1/y का न्यूनतम मान 2 होता है।

अतः व्यंजक का न्यूनतम मान = 2 + 5

= 7

AM-GM असमानता से: (9x^2 + 16/x^2) / 2 ≥ √(9x^2 × 16/x^2)

(9x^2 + 16/x^2) / 2 ≥ √(144)

(9x^2 + 16/x^2) / 2 ≥ 12

9x^2 + 16/x^2 ≥ 24

अतः न्यूनतम मान = 24

व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें:

= (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) + 30 - 9 - 16

= (x - 3)^2 + (y + 4)^2 + 5

किसी वर्ग का न्यूनतम मान 0 होता है।

न्यूनतम मान के लिए (x - 3)^2 = 0 और (y + 4)^2 = 0

अतः न्यूनतम मान = 0 + 0 + 5 = 5

व्यंजक अधिकतम तब होगा जब हर (denominator) न्यूनतम हो।

हर = x^2 - 4x + 13

यहाँ a = 1, b = -4, c = 13

हर का न्यूनतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4(1)(13) - (-4)^2] / (4 × 1) = (52 - 16) / 4 = 9

अतः पूरे व्यंजक का अधिकतम मान = 16 / 9

व्यंजक को विभाजित करें: (x^2 + 5x + 4) / x = x + 5 + 4/x

= (x + 4/x) + 5

AM-GM से, x + 4/x का न्यूनतम मान = 2√(1 × 4) = 4

अतः सम्पूर्ण व्यंजक का न्यूनतम मान = 4 + 5

= 9

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 & Tier-2), CHSL और CPO में इस उप-विषय से 1 प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछा जाता है। मुख्य रूप से ax^2+bx+c का Min/Max मान या AM-GM आधारित प्रश्न आते हैं।

आम गलतियाँ

💡 याद रखें: ax^2 + bx + c का न्यूनतम या अधिकतम मान हमेशा x = -b/(2a) पर ही मिलता है; x का मान रखकर सीधे उत्तर निकाला जा सकता है। व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में ax + b/x का न्यूनतम मान सीधे 2√(ab) होता है। concept स्पष्ट रखें। Shortcuts saved seconds in SSC exams! All the best, study hard and aim high for SSC rank crack standard achieve success fast and smart math solving techniques learn always clearly every chapter topic well solved and precise context learning step wise pattern correctly inside SS

a + b + c = 0 और a² + b² + c² = ab + bc + ca पर आधारित सर्वसमिकाएँ

बीजगणित में जब तीन चरों का योग शून्य हो (अर्थात a + b + c = 0), तो a³ + b³ + c³ = 3abc होता है। यह सर्वसमिका a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca) से निकलती है। इसी प्रकार यदि a² + b² + c² = ab + bc + ca दिया हो, तो इसका सीधा अर्थ a = b = c होता है, क्योंकि इसे 1/2[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] = 0 के रूप में लिखा जा सकता है। परीक्षा में जब भी तीन घनों का योग दिखे या a = b = c की स्थिति बने, तो यह पहचानना बहुत आसान हो जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc — जब तीन संख्याओं या पदों का योग 0 हो और उनके घनों (cubes) का योग पूछा जाए।

चूँकि x + y + z = 0 दिया है

इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz होगा

अतः (x³ + y³ + z³) / (xyz) = 3xyz / xyz

= 3

यहाँ a = 28, b = -15, c = -13

a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 0

अतः a³ + b³ + c³ = 3abc

= 3 × 28 × (-15) × (-13)

= 3 × 28 × 195

= 84 × 195 = 16380

📐 यदि a² + b² + c² = ab + bc + ca (या a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0), तो a = b = c — जब a² + b² + c² = ab + bc + ca दिया हो या (a-b)² + (b-c)² + (c-a)² = 0 बने।

दिया है: a² + b² + c² = ab + bc + ca

यह केवल तभी संभव है जब a = b = c

मान लेते हैं a = b = c = 1

(a + b) / c = (1 + 1) / 1

= 2

चूँकि x² + y² + z² - xy - yz - zx = 0

इसलिए x = y = z

यहाँ x = 7 दिया है, तो y = 7 और z = 7

अतः x + y + z = 7 + 7 + 7 = 21

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

सूत्र: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

चूँकि a + b + c = 0 दिया गया है

मान रखने पर: 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

= 0

माना x = (a - b), y = (b - c), z = (c - a)

x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0

जब x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz

अंश = 3(a - b)(b - c)(c - a)

मान = 3(a - b)(b - c)(c - a) / [(a - b)(b - c)(c - a)]

= 3

चूँकि a² + b² + c² = ab + bc + ca, अतः a = b = c

सुविधा के लिए a = b = c = 1 रखने पर

अंश = 5(1) + 3(1) - 2(1) = 6

हर = 2(1) + 1 + 1 = 4

मान = 6 / 4 = 3/2

पहले p + q + r की जाँच करते हैं:

p + q + r = 1.25 + 2.25 + (-3.50)

= 3.50 - 3.50 = 0

चूँकि p + q + r = 0, इसलिए p³ + q³ + r³ = 3pqr

अतः p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर:

हर = xyz

अंश = x³ + y³ + z³

व्यंजक = (x³ + y³ + z³) / (xyz)

चूँकि x + y + z = 0, इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz

= 3xyz / xyz = 3

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (c² - 2c + 1) = 0

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² = 0

वर्गों का योग 0 तभी होगा जब प्रत्येक पद 0 हो

a - 1 = 0 ⇒ a = 1; b - 1 = 0 ⇒ b = 1; c - 1 = 0 ⇒ c = 1

अतः a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3

a + b + c = 0 को संतुष्ट करने वाले मान लें: a = 1, b = 1, c = -2

a² + b² + c² = 1 + 1 + 4 = 6

अंश = (6)² = 36

a²b² = 1×1 = 1, b²c² = 1×4 = 4, c²a² = 4×1 = 4

हर = 1 + 4 + 4 = 9

मान = 36 / 9 = 4

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier-1 और Tier-2), CHSL तथा CPO में इस सब-टॉपिक से हर पाली में 1-2 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। विशेषकर (x-y)³ वाले चक्रीय व्यंजक और a² + b² + c² = ab + bc + ca पर सीधे मान आधारित प्रश्न सर्वाधिक आते हैं।

आम गलतियाँ

💡 जब भी प्रश्न सममित (symmetric) हो और a + b + c = 0 दिया हो, तो तुरंत a = 1, b = 1, c = -2 रख लें (बस ध्यान रहे हर शून्य न हो)। a² + b² + c² = ab + bc + ca दिखे तो सीधे a = b = c = 1 मान लें। काल और श्रम दोनों बचेंगे। **SSC Algebra: If a+b+c=0 or a²+b²+c²=ab+bc+ca** * **Formula 1:** If $a + b + c = 0$, then $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$. * **Formula 2:** If $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$, then $a = b = c$. * **Pro Tip:** In symmetric equations with $a+b+c=0$, substitute $a=1, b=1, c=-2$ to get ans

शेषफल प्रमेय और 'k' का मान ज्ञात करना

शेषफल प्रमेय (Remainder Theorem) का उपयोग तब किया जाता है जब किसी बहुपद (Polynomial) f(x) को (x - a) से विभाजित किया जाता है। इस स्थिति में शेषफल f(a) के बराबर होता है। यदि (x - a) बहुपद का एक गुणनखंड (Factor) है, तो शेषफल शून्य (0) होगा। परीक्षा में अक्सर एक अज्ञात राशि 'k' दी जाती है जिसे शेषफल या गुणनखंड की शर्त का उपयोग करके ज्ञात करना होता है। यह विधि लंबी भाग विधि (Long Division) का एक बहुत तेज़ विकल्प है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Remainder = f(a) when f(x) is divided by (x - a) — जब किसी बहुपद को (x - a) से विभाजित करने पर शेषफल ज्ञात करना हो।

x - 2 = 0 रखने पर x = 2

शेषफल = f(2) = 2^2 - 5(2) + 8

= 4 - 10 + 8

= 2

x + 1 = 0 रखने पर x = -1

शेषफल = f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 4

= -1 - 2 + 4

= 1

📐 If (x - a) is a factor, then f(a) = 0 — जब प्रश्न में दिया गया हो कि एक व्यंजक दूसरे का 'गुणनखंड' (Factor) है या उससे 'पूर्णतः विभाज्य' (Exactly divisible) है।

x + 3 = 0 रखने पर x = -3

चूंकि यह गुणनखंड है, f(-3) = 0

(-3)^2 + k(-3) + 12 = 0

9 - 3k + 12 = 0

21 = 3k

k = 7

x - 2 = 0 रखने पर x = 2

पूर्णतः विभाज्य होने पर f(2) = 0

2(2^2) - 5(2) + k = 0

8 - 10 + k = 0

-2 + k = 0

k = 2

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

x - 3 = 0 रखने पर x = 3

शेषफल = f(3) = 3^2 - 7(3) + 15

= 9 - 21 + 15

= 24 - 21

= 3

x - 2 = 0 रखने पर x = 2

चूंकि यह एक गुणनखंड है, f(2) = 0

2(2^2) + k(2) - 12 = 0

8 + 2k - 12 = 0

2k - 4 = 0

2k = 4

k = 2

x - 1 = 0 रखने पर x = 1

शेषफल f(1) = 5

1^3 + 3(1^2) + k(1) + 4 = 5

1 + 3 + k + 4 = 5

8 + k = 5

k = 5 - 8

k = -3

x + 3 = 0 रखने पर x = -3

f(-3) = 5

k(-3)^3 + 9(-3)^2 + 4(-3) - 10 = 5

-27k + 81 - 12 - 10 = 5

-27k + 59 = 5

-27k = -54

k = 2

पहले बहुपद में x = 3 रखने पर: 3^3 + a(3^2) + 4 = 31 + 9a

दूसरे बहुपद में x = 3 रखने पर: 3^3 - 4(3) + a = 15 + a

प्रश्नानुसार: 31 + 9a = 15 + a

8a = 15 - 31

8a = -16

a = -2

x = 1 रखने पर: 1 + a + b = 0 => a + b = -1 ... (i)

x = -2 रखने पर: (-2)^2 + a(-2) + b = 0

4 - 2a + b = 0 => -2a + b = -4 ... (ii)

(i) - (ii) करने पर: 3a = 3 => a = 1

a का मान (i) में रखने पर: 1 + b = -1 => b = -2

x = 2 रखने पर: 16 - 16 + 12 - 2a + b = 0 => -2a + b = -12 ... (i)

x = 1 रखने पर: 1 - 2 + 3 - a + b = 10 => -a + b = 8 ... (ii)

(ii) - (i) करने पर: a = 20

a का मान (ii) में रखने पर: -20 + b = 8 => b = 28

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier 1 और 2), CHSL और MTS में इस उप-विषय से अक्सर 1 प्रश्न पूछा जाता है। यह बीजगणित के सबसे सरल लेकिन महत्वपूर्ण भागों में से एक है।

आम गलतियाँ

💡 यदि विभाजक (x - a) है, तो सीधे x = a बहुपद में रखें; यदि (x + a) है, तो x = -a रखें।

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. समीकरणों 3x + 4y = 10 और 6x + ky = 20 के अनंत हल होने के लिए k का मान क्या होगा?

  1. (क) 4
  2. (ख) 8
  3. (ग) 12
  4. (घ) 6
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 8

अनंत हलों के लिए, a1/a2 = b1/b2 = c1/c2। यहाँ 3/6 = 4/k = 10/20। इसलिए, 1/2 = 4/k, जिससे k = 8 प्राप्त होता है।

2. द्विघात समीकरण x² - 7x + 12 = 0 के मूलों का योगफल ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 12
  2. (ख) -7
  3. (ग) 7
  4. (घ) -12
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 7

मूलों का योग = -b/a। यहाँ a = 1, b = -7। योग = -(-7)/1 = 7।

3. यदि बहुपद x² - 5x + k को (x - 2) से विभाजित करने पर शेषफल 0 आता है, तो k का मान क्या है?

  1. (क) 6
  2. (ख) -6
  3. (ग) 10
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 6

शेषफल प्रमेय के अनुसार, f(2) = 0। (2)² - 5(2) + k = 0 => 4 - 10 + k = 0 => k = 6।

4. व्यंजक x² - 6x + 13 का न्यूनतम मान क्या है?

  1. (क) 13
  2. (ख) 4
  3. (ग) 9
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 4

न्यूनतम मान = (4ac - b²)/4a। यहाँ a=1, b=-6, c=13। मान = (4*1*13 - (-6)²)/4*1 = (52 - 36)/4 = 16/4 = 4।

5. यदि a + b + c = 0 है, तो (a²/bc) + (b²/ca) + (c²/ab) का मान क्या होगा?

  1. (क) 0
  2. (ख) 1
  3. (ग) 2
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (घ) 3

व्यंजक को सरल करने पर: (a³ + b³ + c³)/abc। चूंकि a+b+c=0, इसलिए a³+b³+c³ = 3abc। अतः 3abc/abc = 3।

6. k के किस मान के लिए समीकरण 2x² - 8x + k = 0 के मूल समान होंगे?

  1. (क) 4
  2. (ख) 8
  3. (ग) 16
  4. (घ) 2
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 8

समान मूलों के लिए, D = b² - 4ac = 0। (-8)² - 4(2)(k) = 0 => 64 - 8k = 0 => k = 8।

7. यदि x धनात्मक है, तो 9x + 1/x का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 3
  2. (ख) 9
  3. (ग) 6
  4. (घ) 2
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 6

AM ≥ GM का उपयोग करते हुए: (9x + 1/x)/2 ≥ √(9x * 1/x) => (9x + 1/x)/2 ≥ 3 => 9x + 1/x ≥ 6।

8. यदि a² + b² + c² = ab + bc + ca है, तो (3a + 4b) / 7c का मान क्या है?

  1. (क) 1
  2. (ख) 7
  3. (ग) 0
  4. (घ) 12
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 1

दी गई स्थिति a = b = c को दर्शाती है। मान रखने पर: (3a + 4a) / 7a = 7a / 7a = 1।

9. यदि x³ - 6x² + kx - 6, (x - 3) द्वारा पूर्णतः विभाज्य है, तो k का मान क्या है?

  1. (क) 11
  2. (ख) -11
  3. (ग) 6
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 11

x = 3 रखने पर शेषफल 0 होना चाहिए: (3)³ - 6(3)² + k(3) - 6 = 0 => 27 - 54 + 3k - 6 = 0 => 3k - 33 = 0 => k = 11।

10. यदि α और β समीकरण x² - 5x + 1 = 0 के मूल हैं, तो α² + β² का मान क्या है?

  1. (क) 25
  2. (ख) 23
  3. (ग) 27
  4. (घ) 21
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 23

α + β = 5 और αβ = 1। α² + β² = (α + β)² - 2αβ = (5)² - 2(1) = 25 - 2 = 23।

English version — Algebra: Equations, Max/Min

This chapter is crucial for SSC, appearing in Tier-1 (2-3 questions) and Tier-2 (3-5 questions). It is highly scoring as questions are directly based on formulas and fixed concepts.

Linear Equations in Two Variables: Unique, No, or Infinite Solutions

A system of two linear equations in two variables represents two straight lines in a coordinate plane. If the lines intersect at a single point, the system has a unique solution (consistent). If the lines are parallel and never intersect, the system has no solution (inconsistent). If the lines coincide completely, every point on the line is a solution, resulting in infinitely many solutions (dependent consistent). In SSC exams, questions frequently ask to find the unknown coefficient 'k' under one of these specific conditions.

Formulas with examples

📐 अद्वितीय हल (Unique Solution): a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂ — Used when the system has exactly one unique solution or the lines intersect at one point.

a₁ = k, b₁ = 2 तथा a₂ = 3, b₂ = 1

अद्वितीय हल की शर्त: a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂

k / 3 ≠ 2 / 1

k ≠ 3 × 2

k ≠ 6

a₁ = 2, b₁ = 5 तथा a₂ = a, b₂ = -2

अद्वितीय हल के लिए: a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂

2 / a ≠ 5 / (-2)

5a ≠ -4

a ≠ -4/5

📐 कोई हल नहीं (No Solution): a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ — Used when the system has no solution, equations are inconsistent, or lines are parallel.

a₁ = 4, b₁ = 6, c₁ = 11 तथा a₂ = 2, b₂ = k, c₂ = 7

कोई हल नहीं होने की शर्त: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂

4 / 2 = 6 / k

2 = 6 / k

k = 6 / 2 = 3

जाँच: c₁ / c₂ = 11/7 ≠ 2, अतः k = 3 मान्य है।

📐 अनंत हल (Infinitely Many Solutions): a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂ — Used when the system has infinitely many solutions, equations are dependent consistent, or lines coincide.

अनंत हल के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

2 / (k - 1) = 3 / (k + 2) = 7 / (3k)

2 / (k - 1) = 3 / (k + 2)

2(k + 2) = 3(k - 1)

2k + 4 = 3k - 3

k = 7

संपाती रेखाओं (अनंत हल) के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

3 / 6 = 4 / 8 = 12 / (2k)

1 / 2 = 12 / (2k)

2k = 24

k = 12

Question types asked

Solved questions (every type)

a₁ = 3, b₁ = 2, c₁ = 8

a₂ = 6, b₂ = 4, c₂ = 10

a₁ / a₂ = 3 / 6 = 1 / 2

b₁ / b₂ = 2 / 4 = 1 / 2

c₁ / c₂ = 8 / 10 = 4 / 5

यहाँ a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂ है।

अतः रेखाएं समानांतर हैं और कोई हल नहीं है।

कोई हल नहीं के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ ≠ c₁ / c₂

यहाँ a₁ = 8, b₁ = 5 और a₂ = k, b₂ = 10

8 / k = 5 / 10

8 / k = 1 / 2

k = 8 × 2

k = 16

जाँच: c₁ / c₂ = 9 / 15 = 3 / 5 ≠ 1 / 2, अतः k = 16 मान्य है।

अद्वितीय हल की शर्त: a₁ / a₂ ≠ b₁ / b₂

a₁ = 5, b₁ = -k तथा a₂ = 10, b₂ = -4

5 / 10 ≠ (-k) / (-4)

1 / 2 ≠ k / 4

2k ≠ 4

k ≠ 2

अनंत हल की शर्त: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

a₁ = 2, b₁ = 3, c₁ = 5 तथा a₂ = 6, b₂ = k, c₂ = 15

2 / 6 = 3 / k = 5 / 15

1 / 3 = 3 / k

k = 3 × 3

k = 9

कोई हल न होने की शर्त: a₁ / a₂ = b₁ / b₂

(k - 1) / (k + 1) = -1 / (1 - k)

(k - 1) / (k + 1) = 1 / (k - 1)

(k - 1)² = k + 1

k² - 2k + 1 = k + 1

k² - 3k = 0 ⇒ k(k - 3) = 0 ⇒ k = 0 या 3

यदि k = 1 रखें तो हर शून्य हो जाता है; k = 3 पर अनुपात 1/2 = 1/2 ≠ 5/10 (5/10=1/2 अमान्य होता)

जाँच: k = 3 पर c₁/c₂ = 5/(3×3+1) = 5/10 = 1/2, अतः अनंत हल बन जाएगा।

k = 0 पर a₁/a₂ = -1/1 = -1, b₁/b₂ = -1/1 = -1, c₁/c₂ = 5/1 ≠ -1, अतः k = 0 सही है।

अनंत हल के लिए: a₁ / a₂ = b₁ / b₂ = c₁ / c₂

2 / (p + q) = 3 / (2p - q) = 7 / 21 = 1 / 3

पहला भाग: 2 / (p + q) = 1 / 3 ⇒ p + q = 6 ... (समीकरण 1)

दूसरा भाग: 3 / (2p - q) = 1 / 3 ⇒ 2p - q = 9 ... (समीकरण 2)

दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: 3p = 15 ⇒ p = 5

p का मान समीकरण 1 में रखने पर: 5 + q = 6 ⇒ q = 1

How it is asked

Asked consistently in SSC CGL, CHSL, MTS, and Railway exams, typically 1 question per shift in Tier-1. Questions predominantly require finding the value of unknown 'k' under the condition of no solution or infinitely many solutions.

Common mistakes

💡 समीकरणों को हमेशा a₁x + b₁y = c₁ के सीधे क्रम में लिखें और 'कोई हल नहीं' के लिए सीधे तिर्यक गुणन (Cross-Multiplication) करें: a₁b₂ = a₂b₁। इससे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है।। ट्रिक: अद्वितीय हल के लिए ढाल (Slopes) बराबर नहीं होतीं (m₁ ≠ m₂), और समानांतर रेखाओं के लिए ढाल बराबर होती हैं (m₁ = m₂)।

Quadratic Equations: Roots, Sum & Product of Roots, Nature of Roots

A quadratic equation is a second-degree polynomial equation written in standard form as ax² + bx + c = 0 (where a ≠ 0). The values of x that satisfy the equation are called its roots. The sum and product of roots can be found directly from the coefficients without solving the equation. The discriminant (D = b² - 4ac) determines whether the roots are real, equal, or imaginary before solving. In SSC exams, whenever you see phrases like 'roots are equal', 'roots are reciprocals', or expressions like α² + β², apply these root relations directly.

Formulas with examples

📐 मूलों का योग (α + β) = -b/a और मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a — Used to find sum and product of roots directly from equation ax² + bx + c = 0.

a = 2, b = -7, c = 5

मूलों का योग (α + β) = -b/a = -(-7)/2 = 7/2

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 5/2

a = 1, b = -5, c = k

मूलों का गुणनफल = c/a = k/1 = k

प्रश्न से: गुणनफल = 6

k = 6

📐 विविक्तकर D = b² - 4ac (D > 0: वास्तविक व असमान; D = 0: वास्तविक व समान; D < 0: काल्पनिक/अवास्तविक) — Used to test nature of roots or find unknown parameters when roots are equal/real/imaginary.

a = 1, b = -6, c = 9

D = b² - 4ac = (-6)² - 4(1)(9)

D = 36 - 36 = 0

चूँकि D = 0 है, अतः मूल वास्तविक और समान (बराबर) होंगे।

a = 2, b = k, c = 8

समान मूलों के लिए: D = b² - 4ac = 0

k² - 4(2)(8) = 0

k² - 64 = 0

k² = 64 ⇒ k = 8 (धनात्मक मान)

📐 द्विघात समीकरण का निर्माण: x² - (मूलों का योग)x + (मूलों का गुणनफल) = 0 अर्थात् x² - (α + β)x + αβ = 0 — Used to form the quadratic equation when roots or their sum and product are given.

मूल: α = 3, β = -5

मूलों का योग = α + β = 3 + (-5) = -2

मूलों का गुणनफल = αβ = 3 × (-5) = -15

समीकरण = x² - (α + β)x + αβ = 0

x² - (-2)x + (-15) = 0 ⇒ x² + 2x - 15 = 0

मूलों का योग (α + β) = 7

मूलों का गुणनफल (αβ) = 12

समीकरण: x² - (α + β)x + αβ = 0

x² - 7x + 12 = 0

Question types asked

Solved questions (every type)

a = 3, b = -8, c = 2

मूलों का योग (α + β) = -b/a = -(-8)/3 = 8/3

मूलों का गुणनफल (αβ) = c/a = 2/3

अनुपात = (α + β) : (αβ) = (8/3) : (2/3)

अनुपात = 8 : 2 = 4 : 1

α = 3 + √5, β = 3 - √5

मूलों का योग = (3 + √5) + (3 - √5) = 6

मूलों का गुणनफल = (3 + √5)(3 - √5) = 3² - (√5)² = 9 - 5 = 4

समीकरण = x² - (मूलों का योग)x + (गुणनफल) = 0

x² - 6x + 4 = 0

a = 3, b = -5, c = 4

विविक्तकर D = b² - 4ac

D = (-5)² - 4(3)(4)

D = 25 - 48 = -23

चूँकि D < 0 (ऋणात्मक) है, अतः मूल वास्तविक नहीं हैं (काल्पनिक हैं)।

a = k, b = -12, c = 9

बराबर मूलों की शर्त: D = b² - 4ac = 0

(-12)² - 4(k)(9) = 0

144 - 36k = 0

36k = 144

k = 144 / 36 = 4

a = 1, b = -7, c = 10

α + β = -(-7)/1 = 7, αβ = 10/1 = 10

α/β + β/α = (α² + β²) / αβ

α² + β² = (α + β)² - 2αβ = 7² - 2(10) = 49 - 20 = 29

मान = 29 / 10 = 2.9

माना एक मूल α है, तो दूसरा मूल 1/α होगा।

मूलों का गुणनफल = α × (1/α) = 1

सूत्र से मूलों का गुणनफल = c/a

अतः c/a = 1 ⇒ a = c

दिया है c = 7, इसलिए a = 7

α + β = -(-6)/1 = 6

αβ = k/1 = k

हम जानते हैं: α² + β² = (α + β)² - 2αβ

20 = (6)² - 2k

20 = 36 - 2k

2k = 36 - 20 = 16

k = 16 / 2 = 8

How it is asked

Asked in SSC CGL (Tier-1 and Tier-2), CHSL, and Railway (1-2 questions per shift). Most common patterns: finding k when roots are equal, conditions for reciprocal roots (c = a), and symmetric functions like α² + β².

Common mistakes

💡 यदि प्रश्न में कहे कि 'एक मूल दूसरे का व्युत्क्रम है', तो बिना सोचे सीधे c = a रख दें; यदि कहे 'एक मूल दूसरे का ऋणात्मक है (α = -β)', तो सीधे b = 0 रख दें। इससे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है।

Maximum and Minimum Value of ax^2 + bx + c and x + 1/x

In a quadratic expression ax^2 + bx + c, if a > 0, the parabola opens upwards and has a minimum value. If a < 0, it opens downwards and has a maximum value. This extremum occurs at x = -b/(2a). Similarly, by the AM-GM inequality, for any positive real number x, the sum of x and its reciprocal (x + 1/x) is always greater than or equal to 2. Exam questions ask for maximum/minimum values of quadratics or algebraic terms using these core principles.

Formulas with examples

📐 ax^2 + bx + c का Min/Max मान = (4ac - b^2) / 4a — When finding the minimum (a > 0) or maximum (a < 0) value of a quadratic expression.

a = 2, b = -8, c = 5

a > 0 है, इसलिए न्यूनतम मान होगा।

न्यूनतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × 2 × 5 - (-8)^2] / (4 × 2)

= (40 - 64) / 8

= -24 / 8 = -3

a = -3, b = 12, c = 5

a < 0 है, इसलिए अधिकतम मान होगा।

अधिकतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × (-3) × 5 - (12)^2] / (4 × (-3))

= (-60 - 144) / (-12)

= -204 / -12 = 17

📐 यदि x > 0 है, तो ax + b/x का न्यूनतम मान = 2√(ab) — When the expression is in the form (ax + b/x) and x > 0 (using AM-GM inequality).

a = 4, b = 9

न्यूनतम मान = 2√(a × b)

= 2 × √(4 × 9)

= 2 × √36

= 2 × 6 = 12

(x^2 + 16)/x = x + 16/x

a = 1, b = 16

न्यूनतम मान = 2√(1 × 16)

= 2 × 4 = 8

Question types asked

Solved questions (every type)

यहाँ a = 3, b = -12, c = 19

a = 3 > 0 है, अतः केवल न्यूनतम मान संभव है।

न्यूनतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × 3 × 19 - (-12)^2] / (4 × 3)

= (228 - 144) / 12

= 84 / 12

= 7

व्यंजक को मानक रूप में लिखें: -2x^2 - 8x + 15

यहाँ a = -2, b = -8, c = 15

a < 0 है, अतः अधिकतम मान प्राप्त होगा।

अधिकतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4 × (-2) × 15 - (-8)^2] / (4 × (-2))

= (-120 - 64) / (-8)

= -184 / -8

= 23

मान लीजिए y = x - 3, जहाँ y > 0 है।

व्यंजक = y + 1/y + 5

चूँकि y > 0 है, y + 1/y का न्यूनतम मान 2 होता है।

अतः व्यंजक का न्यूनतम मान = 2 + 5

= 7

AM-GM असमानता से: (9x^2 + 16/x^2) / 2 ≥ √(9x^2 × 16/x^2)

(9x^2 + 16/x^2) / 2 ≥ √(144)

(9x^2 + 16/x^2) / 2 ≥ 12

9x^2 + 16/x^2 ≥ 24

अतः न्यूनतम मान = 24

व्यंजक को पूर्ण वर्ग में बदलें:

= (x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 8y + 16) + 30 - 9 - 16

= (x - 3)^2 + (y + 4)^2 + 5

किसी वर्ग का न्यूनतम मान 0 होता है।

न्यूनतम मान के लिए (x - 3)^2 = 0 और (y + 4)^2 = 0

अतः न्यूनतम मान = 0 + 0 + 5 = 5

व्यंजक अधिकतम तब होगा जब हर (denominator) न्यूनतम हो।

हर = x^2 - 4x + 13

यहाँ a = 1, b = -4, c = 13

हर का न्यूनतम मान = (4ac - b^2) / 4a

= [4(1)(13) - (-4)^2] / (4 × 1) = (52 - 16) / 4 = 9

अतः पूरे व्यंजक का अधिकतम मान = 16 / 9

व्यंजक को विभाजित करें: (x^2 + 5x + 4) / x = x + 5 + 4/x

= (x + 4/x) + 5

AM-GM से, x + 4/x का न्यूनतम मान = 2√(1 × 4) = 4

अतः सम्पूर्ण व्यंजक का न्यूनतम मान = 4 + 5

= 9

How it is asked

Asked in almost every shift of SSC CGL (Tier-1 & Tier-2), CHSL, and CPO. Questions mainly focus on quadratic min/max values or AM-GM based reciprocals.

Common mistakes

💡 याद रखें: ax^2 + bx + c का न्यूनतम या अधिकतम मान हमेशा x = -b/(2a) पर ही मिलता है; x का मान रखकर सीधे उत्तर निकाला जा सकता है। व्युत्क्रम वाले प्रश्नों में ax + b/x का न्यूनतम मान सीधे 2√(ab) होता है। concept स्पष्ट रखें। Shortcuts saved seconds in SSC exams! All the best, study hard and aim high for SSC rank crack standard achieve success fast and smart math solving techniques learn always clearly every chapter topic well solved and precise context learning step wise pattern correctly inside SS

Conditions: If a + b + c = 0 or a² + b² + c² = ab + bc + ca

In algebra, if the sum of three variables is zero (a + b + c = 0), then a³ + b³ + c³ = 3abc. This is derived from the standard identity a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca). Similarly, if a² + b² + c² = ab + bc + ca, it strictly implies a = b = c, as it can be rewritten as 1/2[(a - b)² + (b - c)² + (c - a)²] = 0. In SSC exams, recognizing these two standard conditions allows you to solve complex algebraic expressions in seconds.

Formulas with examples

📐 यदि a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc — Used when the sum of three terms is zero and the sum of their cubes is required.

चूँकि x + y + z = 0 दिया है

इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz होगा

अतः (x³ + y³ + z³) / (xyz) = 3xyz / xyz

= 3

यहाँ a = 28, b = -15, c = -13

a + b + c = 28 + (-15) + (-13) = 0

अतः a³ + b³ + c³ = 3abc

= 3 × 28 × (-15) × (-13)

= 3 × 28 × 195

= 84 × 195 = 16380

📐 यदि a² + b² + c² = ab + bc + ca (या a² + b² + c² - ab - bc - ca = 0), तो a = b = c — Used when the sum of squares equals the sum of pairwise products, implying all three variables are equal.

दिया है: a² + b² + c² = ab + bc + ca

यह केवल तभी संभव है जब a = b = c

मान लेते हैं a = b = c = 1

(a + b) / c = (1 + 1) / 1

= 2

चूँकि x² + y² + z² - xy - yz - zx = 0

इसलिए x = y = z

यहाँ x = 7 दिया है, तो y = 7 और z = 7

अतः x + y + z = 7 + 7 + 7 = 21

Question types asked

Solved questions (every type)

सूत्र: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² - ab - bc - ca)

चूँकि a + b + c = 0 दिया गया है

मान रखने पर: 0 × (a² + b² + c² - ab - bc - ca)

= 0

माना x = (a - b), y = (b - c), z = (c - a)

x + y + z = (a - b) + (b - c) + (c - a) = 0

जब x + y + z = 0, तो x³ + y³ + z³ = 3xyz

अंश = 3(a - b)(b - c)(c - a)

मान = 3(a - b)(b - c)(c - a) / [(a - b)(b - c)(c - a)]

= 3

चूँकि a² + b² + c² = ab + bc + ca, अतः a = b = c

सुविधा के लिए a = b = c = 1 रखने पर

अंश = 5(1) + 3(1) - 2(1) = 6

हर = 2(1) + 1 + 1 = 4

मान = 6 / 4 = 3/2

पहले p + q + r की जाँच करते हैं:

p + q + r = 1.25 + 2.25 + (-3.50)

= 3.50 - 3.50 = 0

चूँकि p + q + r = 0, इसलिए p³ + q³ + r³ = 3pqr

अतः p³ + q³ + r³ - 3pqr = 0

लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर:

हर = xyz

अंश = x³ + y³ + z³

व्यंजक = (x³ + y³ + z³) / (xyz)

चूँकि x + y + z = 0, इसलिए x³ + y³ + z³ = 3xyz

= 3xyz / xyz = 3

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:

(a² - 2a + 1) + (b² - 2b + 1) + (c² - 2c + 1) = 0

(a - 1)² + (b - 1)² + (c - 1)² = 0

वर्गों का योग 0 तभी होगा जब प्रत्येक पद 0 हो

a - 1 = 0 ⇒ a = 1; b - 1 = 0 ⇒ b = 1; c - 1 = 0 ⇒ c = 1

अतः a + b + c = 1 + 1 + 1 = 3

a + b + c = 0 को संतुष्ट करने वाले मान लें: a = 1, b = 1, c = -2

a² + b² + c² = 1 + 1 + 4 = 6

अंश = (6)² = 36

a²b² = 1×1 = 1, b²c² = 1×4 = 4, c²a² = 4×1 = 4

हर = 1 + 4 + 4 = 9

मान = 36 / 9 = 4

How it is asked

In SSC CGL, CHSL, and CPO, 1-2 questions are regularly asked in almost every shift from this sub-topic, predominantly on cyclic cubic expressions and the a = b = c condition.

Common mistakes

💡 जब भी प्रश्न सममित (symmetric) हो और a + b + c = 0 दिया हो, तो तुरंत a = 1, b = 1, c = -2 रख लें (बस ध्यान रहे हर शून्य न हो)। a² + b² + c² = ab + bc + ca दिखे तो सीधे a = b = c = 1 मान लें। काल और श्रम दोनों बचेंगे। **SSC Algebra: If a+b+c=0 or a²+b²+c²=ab+bc+ca** * **Formula 1:** If $a + b + c = 0$, then $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$. * **Formula 2:** If $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca$, then $a = b = c$. * **Pro Tip:** In symmetric equations with $a+b+c=0$, substitute $a=1, b=1, c=-2$ to get ans

Remainder Theorem and Finding 'k'

The Remainder Theorem states that when a polynomial f(x) is divided by (x - a), the remainder is f(a). If (x - a) is a factor of the polynomial, the remainder f(a) must be zero. In exams, an unknown 'k' is often included in the polynomial, which can be found by setting the remainder equal to the given value or zero. This method is a much faster alternative to long division for finding remainders or checking divisibility.

Formulas with examples

📐 Remainder = f(a) when f(x) is divided by (x - a) — When you need to find the remainder when a polynomial is divided by (x - a).

x - 2 = 0 रखने पर x = 2

शेषफल = f(2) = 2^2 - 5(2) + 8

= 4 - 10 + 8

= 2

x + 1 = 0 रखने पर x = -1

शेषफल = f(-1) = (-1)^3 - 2(-1)^2 + 4

= -1 - 2 + 4

= 1

📐 If (x - a) is a factor, then f(a) = 0 — जब प्रश्न में दिया गया हो कि एक व्यंजक दूसरे का 'गुणनखंड' (Factor) है या उससे 'पूर्णतः विभाज्य' (Exactly divisible) है।

x + 3 = 0 रखने पर x = -3

चूंकि यह गुणनखंड है, f(-3) = 0

(-3)^2 + k(-3) + 12 = 0

9 - 3k + 12 = 0

21 = 3k

k = 7

x - 2 = 0 रखने पर x = 2

पूर्णतः विभाज्य होने पर f(2) = 0

2(2^2) - 5(2) + k = 0

8 - 10 + k = 0

-2 + k = 0

k = 2

Question types asked

Solved questions (every type)

x - 3 = 0 रखने पर x = 3

शेषफल = f(3) = 3^2 - 7(3) + 15

= 9 - 21 + 15

= 24 - 21

= 3

x - 2 = 0 रखने पर x = 2

चूंकि यह एक गुणनखंड है, f(2) = 0

2(2^2) + k(2) - 12 = 0

8 + 2k - 12 = 0

2k - 4 = 0

2k = 4

k = 2

x - 1 = 0 रखने पर x = 1

शेषफल f(1) = 5

1^3 + 3(1^2) + k(1) + 4 = 5

1 + 3 + k + 4 = 5

8 + k = 5

k = 5 - 8

k = -3

x + 3 = 0 रखने पर x = -3

f(-3) = 5

k(-3)^3 + 9(-3)^2 + 4(-3) - 10 = 5

-27k + 81 - 12 - 10 = 5

-27k + 59 = 5

-27k = -54

k = 2

पहले बहुपद में x = 3 रखने पर: 3^3 + a(3^2) + 4 = 31 + 9a

दूसरे बहुपद में x = 3 रखने पर: 3^3 - 4(3) + a = 15 + a

प्रश्नानुसार: 31 + 9a = 15 + a

8a = 15 - 31

8a = -16

a = -2

x = 1 रखने पर: 1 + a + b = 0 => a + b = -1 ... (i)

x = -2 रखने पर: (-2)^2 + a(-2) + b = 0

4 - 2a + b = 0 => -2a + b = -4 ... (ii)

(i) - (ii) करने पर: 3a = 3 => a = 1

a का मान (i) में रखने पर: 1 + b = -1 => b = -2

x = 2 रखने पर: 16 - 16 + 12 - 2a + b = 0 => -2a + b = -12 ... (i)

x = 1 रखने पर: 1 - 2 + 3 - a + b = 10 => -a + b = 8 ... (ii)

(ii) - (i) करने पर: a = 20

a का मान (ii) में रखने पर: -20 + b = 8 => b = 28

How it is asked

One question is frequently asked from this sub-topic in SSC CGL (Tier 1 & 2), CHSL, and MTS. It is one of the simplest yet most important parts of Algebra.

Common mistakes

💡 If the divisor is (x - a), substitute x = a directly into the polynomial; if it is (x + a), substitute x = -a.

All formulas at a glance

← बीजगणित: सर्वसमिकाएँज्यामिति: रेखा, कोण और त्रिभुज →