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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)क्षेत्रमिति 2D (Area & Perimeter)
Mensuration 2D (Area & Perimeter)
क्षेत्रमिति 2D SSC CGL, CHSL और CPO परीक्षाओं का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है, जिससे Tier-1 में 2-3 और Tier-2 में 3-4 प्रश्न पूछे जाते हैं। प्रत्यक्ष सूत्र-आधारित और मानक पैटर्न होने के कारण यह विषय बहुत अधिक अंक दिलाने वाला है। थोड़ा सा अभ्यास करने पर छात्र इसमें पूरे अंक प्राप्त कर सकते हैं।
त्रिभुज: आधार × ऊँचाई / 2, हीरोन का सूत्र, समबाहु त्रिभुज
त्रिभुज तीन भुजाओं से घिरी आकृति है। इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए हम आधार और ऊँचाई या तीनों भुजाओं का उपयोग करते हैं। समबाहु त्रिभुज (Equilateral Triangle) में सभी भुजाएँ बराबर होती हैं, इसलिए इसका विशेष सूत्र है। हीरोन का सूत्र (Heron's Formula) तब उपयोगी होता है जब केवल भुजाएँ दी हों। परीक्षा में अक्सर ऊँचाई निकालने या क्षेत्रफल की तुलना करने वाले प्रश्न आते हैं।
सूत्र और उनके उदाहरण
📐 Area = 1/2 × Base × Height — जब आधार और ऊँचाई दी गई हो
- उदाहरण 1: एक त्रिभुज का आधार 15 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। क्षेत्रफल क्या होगा?
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 15 × 10
क्षेत्रफल = 75 सेमी²
- ✔ उत्तर: 75 सेमी²
- उदाहरण 2: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 50 सेमी² और आधार 20 सेमी है। इसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
ऊँचाई = (2 × क्षेत्रफल) / आधार
ऊँचाई = (2 × 50) / 20
ऊँचाई = 5 सेमी
📐 Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s = (a+b+c)/2 — जब त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दी गई हों
- उदाहरण 3: एक त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
क्षेत्रफल = √[21 × (21-13) × (21-14) × (21-15)]
क्षेत्रफल = √[21 × 8 × 7 × 6] = 84 सेमी²
- ✔ उत्तर: 84 सेमी²
- उदाहरण 4: एक त्रिभुज की भुजाएँ 3, 4 और 5 सेमी हैं। क्षेत्रफल क्या होगा?
s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
क्षेत्रफल = √[6 × 3 × 2 × 1]
क्षेत्रफल = 6 सेमी²
📐 Area = (√3/4)a², Height = (√3/2)a — समबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल और ऊँचाई के लिए
- उदाहरण 5: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 10 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = (√3/4) × 10²
क्षेत्रफल = (√3/4) × 100
क्षेत्रफल = 25√3 सेमी²
- ✔ उत्तर: 25√3 सेमी²
- उदाहरण 6: एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 4√3 सेमी है। इसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
ऊँचाई = (√3/2)a = 4√3
a = (4√3 × 2) / √3
a = 8 सेमी
परीक्षा में आने वाले प्रकार
- आधार और ऊँचाई आधारित
- हीरोन का सूत्र (विषमबाहु त्रिभुज)
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और ऊँचाई
- परिमाप और भुजाओं के अनुपात वाले प्रश्न
- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
- समबाहु त्रिभुज में क्षेत्रफल से परिमाप निकालना
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)
- प्रश्न 7 [आधार और ऊँचाई आधारित]: एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आधार (b) = 12 सेमी
ऊँचाई (h) = 8 सेमी
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × 8
क्षेत्रफल = 6 × 8 = 48 सेमी²
- ✔ उत्तर: 48 सेमी²
- प्रश्न 8 [हीरोन का सूत्र (विषमबाहु त्रिभुज)]: एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 सेमी
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
क्षेत्रफल = √[21(21-13)(21-14)(21-15)]
क्षेत्रफल = √[21 × 8 × 7 × 6]
क्षेत्रफल = √7056 = 84 सेमी²
- ✔ उत्तर: 84 सेमी²
- प्रश्न 9 [समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और ऊँचाई]: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
भुजा (a) = 12 सेमी
क्षेत्रफल = (√3/4) × a² = (√3/4) × 144 = 36√3 सेमी²
ऊँचाई = (√3/2) × a = (√3/2) × 12 = 6√3 सेमी
- ✔ उत्तर: क्षेत्रफल = 36√3 सेमी², ऊँचाई = 6√3 सेमी
- प्रश्न 10 [परिमाप और भुजाओं के अनुपात वाले प्रश्न]: एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है और इसका परिमाप 36 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
माना भुजाएँ 3x, 4x, 5x हैं
3x + 4x + 5x = 36 => 12x = 36 => x = 3
भुजाएँ = 9, 12, 15 (यह एक समकोण त्रिभुज है)
क्षेत्रफल = 1/2 × 9 × 12 = 54 सेमी²
- ✔ उत्तर: 54 सेमी²
- प्रश्न 11 [समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल]: एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 10 सेमी और आधार 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समान भुजा (a) = 10, आधार (b) = 12
ऊँचाई = √[a² - (b/2)²] = √[10² - 6²] = 8 सेमी
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × 8 = 48 सेमी²
- ✔ उत्तर: 48 सेमी²
- प्रश्न 12 [समबाहु त्रिभुज में क्षेत्रफल से परिमाप निकालना]: एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16√3 सेमी² है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = (√3/4)a² = 16√3
a² = 64 => a = 8 सेमी
परिमाप = 3 × a = 3 × 8 = 24 सेमी
- ✔ उत्तर: 24 सेमी
- प्रश्न 13 [समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल]: एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यहाँ आधार = 5 सेमी और ऊँचाई = 12 सेमी (सबसे बड़ी भुजा कर्ण है)
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 5 × 12
क्षेत्रफल = 30 सेमी²
परीक्षा में कैसे आता है
SSC परीक्षाओं (CGL, CHSL, MTS) में इस उप-विषय से नियमित रूप से 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। समबाहु त्रिभुज सबसे महत्वपूर्ण पैटर्न है।
आम गलतियाँ
- ✘ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई और क्षेत्रफल के सूत्रों में भ्रमित होना।
- ✘ विषमबाहु त्रिभुज में ऊँचाई की जगह तिरछी भुजा का उपयोग करना।
- ✘ अर्ध-परिमाप (s) की गणना में गलती करना।
💡 समबाहु त्रिभुज में यदि भुजा को 'n' गुना किया जाए, तो क्षेत्रफल 'n²' गुना हो जाता है।
आयत, वर्ग और रास्ते का क्षेत्रफल
आयत (Rectangle) वह चतुर्भुज है जिसकी आमने-सामने की भुजाएं बराबर और प्रत्येक कोण 90 डिग्री होता है। वर्ग (Square) में चारों भुजाएं बराबर होती हैं। जब किसी मैदान के चारों ओर या अंदर रास्ता (Path) बनाया जाता है, तो रास्ते का क्षेत्रफल बड़े आयत और छोटे आयत के अंतर के बराबर होता है। बाड़ लगाने (Fencing) का खर्च परिमाप (Perimeter) पर और फर्श बिछाने (Flooring) का खर्च क्षेत्रफल (Area) पर निकाला जाता है। परीक्षा में अक्सर रास्ते की चौड़ाई या बाड़ लगाने की कुल लागत पूछी जाती है।
सूत्र और उनके उदाहरण
📐 Rectangle: Area = L × B, Perimeter = 2(L + B), Diagonal = √(L² + B²) — जब आयत की लंबाई (L) और चौड़ाई (B) दी गई हो।
- उदाहरण 14: एक आयत की लंबाई 15 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और विकर्ण ज्ञात करें।
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
क्षेत्रफल = 15 × 8 = 120 वर्ग सेमी
विकर्ण = √(15² + 8²)
विकर्ण = √(225 + 64) = √289
विकर्ण = 17 सेमी
- ✔ उत्तर: 120 sq.cm, 17 cm
- उदाहरण 15: एक आयताकार भूखंड का परिमाप 48 मीटर है और लंबाई 14 मीटर है। इसकी चौड़ाई ज्ञात करें।
परिमाप = 2(L + B)
48 = 2(14 + B)
24 = 14 + B
B = 24 - 14
B = 10 मीटर
📐 Square: Area = a² or (d²)/2, Perimeter = 4a, Diagonal = a√2 — जब वर्ग की भुजा (a) या विकर्ण (d) दिया गया हो।
- उदाहरण 16: एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 625 वर्ग मीटर है। इसका परिमाप क्या होगा?
क्षेत्रफल = a² = 625
भुजा (a) = √625 = 25 मीटर
परिमाप = 4 × a
परिमाप = 4 × 25 = 100 मीटर
- ✔ उत्तर: 100 m
- उदाहरण 17: एक वर्ग का विकर्ण 10√2 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
विकर्ण = a√2 = 10√2
भुजा (a) = 10 सेमी
क्षेत्रफल = a² = 10²
क्षेत्रफल = 100 वर्ग सेमी
📐 Path Area: Outside = 2w(L+B+2w), Inside = 2w(L+B-2w), Cross = w(L+B-w) — जब आयताकार मैदान के बाहर, अंदर या बीचों-बीच 'w' चौड़ाई का रास्ता हो।
- उदाहरण 18: 30m × 20m के आयताकार पार्क के बाहर चारों ओर 2m चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल क्या है?
L = 30, B = 20, w = 2
बाहरी रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(L + B + 2w)
क्षेत्रफल = 2×2(30 + 20 + 2×2)
क्षेत्रफल = 4(50 + 4) = 4 × 54
क्षेत्रफल = 216 वर्ग मीटर
- ✔ उत्तर: 216 sq.m
- उदाहरण 19: 50m × 40m के मैदान के बीचों-बीच लंबाई और चौड़ाई के समांतर 5m चौड़े दो रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं। रास्तों का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
L = 50, B = 40, w = 5
क्रॉस रास्ते का क्षेत्रफल = w(L + B - w)
क्षेत्रफल = 5(50 + 40 - 5)
क्षेत्रफल = 5(85)
क्षेत्रफल = 425 वर्ग मीटर
परीक्षा में आने वाले प्रकार
- बुनियादी क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण की गणना
- भुजा ज्ञात करना जब क्षेत्रफल या परिमाप दिया हो
- बाहरी और आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल
- मैदान के बीचों-बीच क्रॉस रास्ते का क्षेत्रफल
- बाड़ लगाने (Fencing) और फर्श बिछाने की लागत
- वर्ग और आयत के बीच तुलना (जैसे समान परिमाप)
- ईंटों या टाइलों की संख्या ज्ञात करना
हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)
- प्रश्न 20 [बुनियादी क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण की गणना]: एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 5:3 है। यदि इसका परिमाप 64 सेमी है, तो क्षेत्रफल ज्ञात करें।
माना L = 5x, B = 3x
परिमाप = 2(5x + 3x) = 64
16x = 64 => x = 4
L = 20 सेमी, B = 12 सेमी
क्षेत्रफल = 20 × 12 = 240 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: 240 sq.cm
- प्रश्न 21 [भुजा ज्ञात करना जब क्षेत्रफल या परिमाप दिया हो]: एक वर्ग का क्षेत्रफल उस आयत के बराबर है जिसकी लंबाई 16 सेमी और चौड़ाई 9 सेमी है। वर्ग का परिमाप क्या है?
आयत का क्षेत्रफल = 16 × 9 = 144
वर्ग का क्षेत्रफल (a²) = 144
भुजा (a) = √144 = 12 सेमी
वर्ग का परिमाप = 4 × 12 = 48 सेमी
- ✔ उत्तर: 48 cm
- प्रश्न 22 [बाहरी और आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल]: 40 मीटर लंबे और 30 मीटर चौड़े एक आयताकार बगीचे के अंदर चारों ओर 2.5 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
L = 40, B = 30, w = 2.5
आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(L + B - 2w)
क्षेत्रफल = 2 × 2.5(40 + 30 - 2 × 2.5)
क्षेत्रफल = 5(70 - 5) = 5 × 65
क्षेत्रफल = 325 वर्ग मीटर
- ✔ उत्तर: 325 sq.m
- प्रश्न 23 [मैदान के बीचों-बीच क्रॉस रास्ते का क्षेत्रफल]: 80 मीटर × 60 मीटर के आयताकार क्षेत्र के बीचों-बीच 4 मीटर चौड़े दो रास्ते हैं। रास्तों को छोड़कर शेष भाग का क्षेत्रफल क्या है?
रास्तों का क्षेत्रफल = w(L + B - w) = 4(80 + 60 - 4)
रास्तों का क्षेत्रफल = 4(136) = 544 वर्ग मीटर
कुल क्षेत्रफल = 80 × 60 = 4800 वर्ग मीटर
शेष भाग = 4800 - 544 = 4256 वर्ग मीटर
- ✔ उत्तर: 4256 sq.m
- प्रश्न 24 [बाड़ लगाने (Fencing) और फर्श बिछाने की लागत]: एक वर्गाकार मैदान की भुजा 35 मीटर है। इसके चारों ओर 15 रुपये प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत क्या होगी?
भुजा (a) = 35 मीटर
परिमाप = 4 × 35 = 140 मीटर
कुल लागत = परिमाप × दर
लागत = 140 × 15 = 2100 रुपये
- ✔ उत्तर: Rs. 2100
- प्रश्न 25 [वर्ग और आयत के बीच तुलना (जैसे समान परिमाप)]: एक वर्ग और एक आयत का परिमाप समान है। यदि वर्ग की भुजा 20 सेमी है और आयत की लंबाई 25 सेमी है, तो आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
वर्ग का परिमाप = 4 × 20 = 80 सेमी
आयत का परिमाप = 2(25 + B) = 80
25 + B = 40 => B = 15 सेमी
आयत का क्षेत्रफल = 25 × 15 = 375 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: 375 sq.cm
- प्रश्न 26 [ईंटों या टाइलों की संख्या ज्ञात करना]: 12 मीटर × 10 मीटर के कमरे के फर्श पर 20 सेमी × 10 सेमी की कितनी टाइलें लगेंगी?
कमरे का क्षेत्रफल = 1200 सेमी × 1000 सेमी = 12,00,000 वर्ग सेमी
एक टाइल का क्षेत्रफल = 20 × 10 = 200 वर्ग सेमी
टाइलों की संख्या = कुल क्षेत्रफल / एक टाइल का क्षेत्रफल
संख्या = 12,00,000 / 200 = 6000
परीक्षा में कैसे आता है
SSC CGL और CHSL में इस टॉपिक से हर साल 1-2 प्रश्न आते हैं। अक्सर रास्ते का क्षेत्रफल या बाड़ लगाने की लागत पूछी जाती है।
आम गलतियाँ
- ✘ बाड़ लगाने (Fencing) के लिए क्षेत्रफल निकाल देना, जबकि परिमाप की आवश्यकता होती है।
- ✘ रास्ते के क्षेत्रफल के सूत्र में '2w' की जगह केवल 'w' का प्रयोग करना।
- ✘ इकाइयों (Units) को समान न करना (जैसे मीटर और सेंटीमीटर को बिना बदले हल करना)।
💡 रास्ते के क्षेत्रफल के लिए याद रखें: बाहर के लिए '+2w', अंदर के लिए '-2w', और बीच वाले क्रॉस रास्ते के लिए केवल '-w' (बिना 2 के गुणा के) का प्रयोग करें।
समचतुर्भुज और समलम्ब चतुर्भुज
समचतुर्भुज (Rhombus) की चारों भुजाएं बराबर होती हैं और इसके विकर्ण एक-दूसरे को 90 डिग्री पर समद्विभाजित (bisect) करते हैं। इसी कारण इसके विकर्णों के आधे भाग और भुजा से पाइथागोरस प्रमेय (Pythagoras theorem) का सीधा संबंध बनता है। समलम्ब चतुर्भुज (Trapezium) में भुजाओं का केवल एक युग्म समांतर (parallel) होता है। इसका क्षेत्रफल निकालने के लिए समांतर भुजाओं के औसत को उनके बीच की लंबवत दूरी (ऊंचाई) से गुणा किया जाता है। परीक्षा में जब भी विकर्णों का अनुपात या असमांतर भुजाएं दी हों, तो समकोण त्रिभुज बनाकर ऊंचाई या भुजा निकाली जाती है।
सूत्र और उनके उदाहरण
📐 समचतुर्भुज: क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂, भुजा a = √[(d₁/2)² + (d₂/2)²], परिमाप = 4a — जब समचतुर्भुज के विकर्ण (d₁, d₂) दिए हों या भुजा और विकर्ण के बीच संबंध निकालना हो।
- उदाहरण 27: एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm तथा 12 cm हैं। उसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ = 1/2 × 16 × 12
क्षेत्रफल = 96 cm²
अर्ध-विकर्ण = 16/2 = 8 cm और 12/2 = 6 cm
भुजा a = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm
परिमाप = 4 × a = 4 × 10 = 40 cm
- ✔ उत्तर: क्षेत्रफल = 96 cm², परिमाप = 40 cm
- उदाहरण 28: एक समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 10 cm है और एक विकर्ण 12 cm है। इसका क्षेत्रफल कितना होगा?
पहला अर्ध-विकर्ण = 12 / 2 = 6 cm
पाइथागोरस प्रमेय से दूसरा अर्ध-विकर्ण = √(10² - 6²)
= √(100 - 36) = √64 = 8 cm
दूसरा विकर्ण d₂ = 8 × 2 = 16 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ = 1/2 × 12 × 16
📐 समलम्ब चतुर्भुज: क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h — जब समलम्ब चतुर्भुज की दो समांतर भुजाएं (a, b) और उनके बीच की लम्बवत दूरी (h) ज्ञात हो।
- उदाहरण 29: एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाएं 18 cm तथा 12 cm हैं और इनके बीच की लंबवत दूरी 8 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समांतर भुजाओं का योग = 18 + 12 = 30 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 30 × 8
क्षेत्रफल = 15 × 8 = 120 cm²
- ✔ उत्तर: 120 cm²
- उदाहरण 30: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 180 cm² है। यदि इसकी समांतर भुजाएं 20 cm और 16 cm हैं, तो उनके बीच की लंबवत दूरी क्या होगी?
क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h
180 = 1/2 × (20 + 16) × h
180 = 1/2 × 36 × h
180 = 18 × h
h = 180 / 18 = 10 cm
परीक्षा में आने वाले प्रकार
- समचतुर्भुज: विकर्णों से क्षेत्रफल और परिमाप
- समचतुर्भुज: परिमाप/भुजा और एक विकर्ण से क्षेत्रफल या दूसरा विकर्ण
- समलम्ब चतुर्भुज: समांतर भुजाओं और ऊंचाई से सीधा क्षेत्रफल
- समलम्ब चतुर्भुज: असमांतर भुजाओं के आधार पर ऊंचाई और क्षेत्रफल
- समलम्ब चतुर्भुज: विकर्णों या असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की लंबाई
हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)
- प्रश्न 31 [समचतुर्भुज: विकर्णों से क्षेत्रफल और परिमाप]: एक समचतुर्भुज के विकर्ण क्रमशः 24 cm और 10 cm हैं। इस समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
अर्ध-विकर्ण d₁/2 = 24 / 2 = 12 cm
अर्ध-विकर्ण d₂/2 = 10 / 2 = 5 cm
भुजा a = √[(12)² + (5)²] = √(144 + 25)
भुजा a = √169 = 13 cm
परिमाप = 4 × a = 4 × 13 = 52 cm
- ✔ उत्तर: 52 cm
- प्रश्न 32 [समचतुर्भुज: परिमाप/भुजा और एक विकर्ण से क्षेत्रफल या दूसरा विकर्ण]: एक समचतुर्भुज का परिमाप 68 cm है और इसका एक विकर्ण 16 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
भुजा a = परिमाप / 4 = 68 / 4 = 17 cm
पहले विकर्ण का आधा = 16 / 2 = 8 cm
दूसरे विकर्ण का आधा = √(17² - 8²) = √(289 - 64)
दूसरे विकर्ण का आधा = √225 = 15 cm
दूसरा विकर्ण d₂ = 15 × 2 = 30 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × 16 × 30 = 240 cm²
- ✔ उत्तर: 240 cm²
- प्रश्न 33 [समचतुर्भुज: परिमाप/भुजा और एक विकर्ण से क्षेत्रफल या दूसरा विकर्ण]: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 216 cm² है और इसके एक विकर्ण की लंबाई 24 cm है। इस समचतुर्भुज का परिमाप कितना होगा?
क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ ⇒ 216 = 1/2 × 24 × d₂
12 × d₂ = 216 ⇒ d₂ = 18 cm
अर्ध-विकर्ण = 24/2 = 12 cm तथा 18/2 = 9 cm
भुजा a = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 cm
परिमाप = 4 × a = 4 × 15 = 60 cm
- ✔ उत्तर: 60 cm
- प्रश्न 34 [समलम्ब चतुर्भुज: समांतर भुजाओं और ऊंचाई से सीधा क्षेत्रफल]: एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं का अनुपात 3 : 2 है और उनके बीच की दूरी 14 cm है। यदि क्षेत्रफल 350 cm² है, तो बड़ी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
माना समांतर भुजाएं 3x और 2x हैं।
क्षेत्रफल = 1/2 × (3x + 2x) × 14
350 = 5x × 7
35x = 350 ⇒ x = 10
बड़ी भुजा = 3x = 3 × 10 = 30 cm
- ✔ उत्तर: 30 cm
- प्रश्न 35 [समलम्ब चतुर्भुज: असमांतर भुजाओं के आधार पर ऊंचाई और क्षेत्रफल]: एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (Isosceles Trapezium) की समांतर भुजाएं 25 cm और 15 cm हैं, तथा प्रत्येक असमांतर भुजा की लंबाई 13 cm है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
समांतर भुजाओं का अंतर = 25 - 15 = 10 cm
सममित आधार भाग = 10 / 2 = 5 cm
ऊंचाई h = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × (25 + 15) × 12
क्षेत्रफल = 1/2 × 40 × 12 = 240 cm²
- ✔ उत्तर: 240 cm²
- प्रश्न 36 [समलम्ब चतुर्भुज: विकर्णों या असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की लंबाई]: एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || CD है, जहां AB = 26 cm और CD = 14 cm है। इसके विकर्णों AC और BD के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की लंबाई क्या होगी?
विकर्णों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई = 1/2 × |AB - CD|
लंबाई = 1/2 × (26 - 14)
लंबाई = 1/2 × 12 = 6 cm
- ✔ उत्तर: 6 cm
- प्रश्न 37 [समलम्ब चतुर्भुज: असमांतर भुजाओं के आधार पर ऊंचाई और क्षेत्रफल]: एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाएं 25 cm और 11 cm हैं तथा असमांतर भुजाएं 13 cm और 15 cm हैं। इस समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समांतर भुजाओं का अंतर = 25 - 11 = 14 cm
14 cm, 13 cm, 15 cm भुजा वाले त्रिभुज का s = (14 + 13 + 15)/2 = 21 cm
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[21 × (21-14) × (21-13) × (21-15)] = √(21 × 7 × 8 × 6) = 84 cm²
ऊंचाई h = (2 × क्षेत्रफल) / आधार = (2 × 84) / 14 = 12 cm
समलम्ब का क्षेत्रफल = 1/2 × (25 + 11) × 12 = 36 × 6 = 216 cm²
परीक्षा में कैसे आता है
SSC CGL (Tier-1 व Tier-2), CHSL और CPO में इस सब-टॉपिक से प्रतिवर्ष 1-2 प्रश्न निश्चित रूप से पूछे जाते हैं। समचतुर्भुज में भुजा व विकर्ण का ट्रिपलेट संबंध और समलम्ब चतुर्भुज में विकर्णों के मध्य-बिंदुओं की दूरी तथा असमांतर भुजाओं से ऊंचाई निकालने का पैटर्न सबसे अधिक बार पूछा जाता है।
आम गलतियाँ
- ✘ समचतुर्भुज के क्षेत्रफल सूत्र (1/2 × d₁ × d₂) में 1/2 लगाना भूल जाना और सीधे विकर्णों का गुणनफल लिख देना।
- ✘ समचतुर्भुज की भुजा निकालते समय पूरे विकर्णों का वर्ग कर देना, जबकि समकोण त्रिभुज के लिए विकर्णों के आधे (d₁/2 और d₂/2) का वर्ग करना होता है।
- ✘ समलम्ब चतुर्भुज में असमांतर भुजा को ही ऊंचाई (h) मान लेना; ऊंचाई हमेशा दोनों समांतर रेखाओं के बीच की 90° लंबवत दूरी होती है।
💡 समचतुर्भुज के सवालों में (d₁/2, d₂/2, a) हमेशा एक पाइथागोरियन ट्रिपलेट (जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) बनाते हैं; इसे याद रखने से बिना वर्गमूल निकाले 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है। समलम्ब के विकर्णों के मध्य-बिंदु की दूरी सीधे (a - b)/2 होती है।|tip_en:In a rhombus, (d₁/2, d₂/2, a) always form a Pythagorean triplet (e.g., 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17), saving computation time. In a trapezium, the distance between the midpoints of the diagonals is always half the difference of parallel sides: |a - b| / 2
वृत्त, अर्धवृत्त, त्रिज्यखंड, वलय और पहिए के चक्कर
वृत्त (Circle) एक समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या 'r') पर होते हैं। अर्धवृत्त (Semicircle) वृत्त का आधा भाग होता है, लेकिन इसका परिमाप केवल आधी परिधि नहीं बल्कि व्यास (2r) को जोड़कर बनता है। त्रिज्यखंड (Sector) केंद्र पर बने कोण θ के आधार पर वृत्त का एक टुकड़ा होता है, जिसका क्षेत्रफल और चाप की लंबाई कोण के अनुपात में निकलती है। वलय (Ring) दो संकेंद्रीय वृत्तों के बीच का क्षेत्र होता है, तथा पहिए द्वारा 1 चक्कर में तय की गई दूरी उसकी परिधि (2πr) के बराबर होती है।
सूत्र और उनके उदाहरण
📐 वृत्त: परिधि = 2πr, क्षेत्रफल = πr² | अर्धवृत्त: परिमाप = (π + 2)r = (36/7)r, क्षेत्रफल = (1/2)πr² — जब वृत्त या अर्धवृत्त की त्रिज्या या व्यास ज्ञात हो और परिमाप अथवा क्षेत्रफल निकालना हो।
- उदाहरण 38: एक अर्धवृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 14 मीटर है। पार्क का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
अर्धवृत्त का परिमाप = (36/7) × r
परिमाप = (36/7) × 14 = 72 मीटर
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2) × π × r²
क्षेत्रफल = (1/2) × (22/7) × 14 × 14 = 308 वर्ग मीटर
- ✔ उत्तर: परिमाप = 72 मीटर, क्षेत्रफल = 308 वर्ग मीटर
- उदाहरण 39: यदि किसी वृत्त की परिधि 88 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
परिधि = 2πr = 88 सेमी
2 × (22/7) × r = 88
r = (88 × 7) / 44 = 14 सेमी
क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14 × 14
क्षेत्रफल = 22 × 28 = 616 वर्ग सेमी
📐 चाप की लंबाई (l) = (θ/360°) × 2πr | त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = (θ/360°) × πr² = (1/2) × l × r — जब वृत्त के केंद्र पर बना कोण θ और त्रिज्या r दी गई हो अथवा चाप की लंबाई ज्ञात हो।
- उदाहरण 40: 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 60° है। चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चाप की लंबाई (l) = (60/360) × 2 × (22/7) × 21
l = (1/6) × 132 = 22 सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1/2) × l × r
क्षेत्रफल = (1/2) × 22 × 21 = 231 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: चाप की लंबाई = 22 सेमी, क्षेत्रफल = 231 वर्ग सेमी
- उदाहरण 41: एक त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई 10 सेमी है और त्रिज्या 6 सेमी है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1/2) × चाप की लंबाई (l) × त्रिज्या (r)
क्षेत्रफल = (1/2) × 10 × 6
क्षेत्रफल = 30 वर्ग सेमी
📐 वलय का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R + r)(R - r) | पहिए के चक्करों की संख्या (N) = कुल दूरी / (2πr) — जब रास्ते/रिंग का क्षेत्रफल निकालना हो या पहिए द्वारा घूमे गए चक्करों की संख्या ज्ञात करनी हो।
- उदाहरण 42: एक वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या 21 मीटर है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल क्या होगा?
आंतरिक त्रिज्या (r) = 21 मीटर
बाह्य त्रिज्या (R) = 21 + 7 = 28 मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R + r)(R - r)
क्षेत्रफल = (22/7) × (28 + 21) × (28 - 21)
क्षेत्रफल = (22/7) × 49 × 7 = 22 × 49 = 1078 वर्ग मीटर
- ✔ उत्तर: 1078 वर्ग मीटर
- उदाहरण 43: एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 1.1 किमी की दूरी तय करने में पहिया कितने चक्कर लगाएगा?
त्रिज्या (r) = 70 / 2 = 35 सेमी
1 चक्कर की दूरी = 2πr = 2 × (22/7) × 35 = 220 सेमी = 2.2 मीटर
कुल दूरी = 1.1 किमी = 1100 मीटर
चक्करों की संख्या = 1100 / 2.2 = 500
परीक्षा में आने वाले प्रकार
- वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई
- वृत्ताकार रास्ते/वलय (Circular Ring) का क्षेत्रफल
- पहिए के चक्कर (Wheel Revolutions) और तय दूरी
- तार को मोड़कर आकृति बदलना (Wire Bending/Transformation)
हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)
- प्रश्न 44 [वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल]: एक अर्धवृत्ताकार क्षेत्र का परिमाप 144 सेमी है। उस क्षेत्र का व्यास ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
अर्धवृत्त का परिमाप = (π + 2) × r = (36/7) × r
(36/7) × r = 144
r = (144 × 7) / 36 = 4 × 7 = 28 सेमी
व्यास = 2 × r = 2 × 28 = 56 सेमी
- ✔ उत्तर: 56 सेमी
- प्रश्न 45 [वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल]: एक वृत्त की परिधि और उसकी त्रिज्या का अंतर 37 सेमी है। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परिधि - त्रिज्या = 2πr - r = 37
r × (2π - 1) = 37
r × [(2 × 22/7) - 1] = 37
r × (44/7 - 1) = r × (37/7) = 37
r = 7 सेमी
क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: 154 वर्ग सेमी
- प्रश्न 46 [त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई]: एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। 15 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल क्या होगा?
1 मिनट = 6°, अतः 15 मिनट में कोण (θ) = 15 × 6° = 90°
त्रिज्या (r) = 14 सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 14 × 14
क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × 196 = (1/4) × 616 = 154 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: 154 वर्ग सेमी
- प्रश्न 47 [वृत्ताकार रास्ते/वलय (Circular Ring) का क्षेत्रफल]: दो संकेंद्रीय वृत्तों की परिधियाँ क्रमशः 88 सेमी और 132 सेमी हैं। इन दोनों वृत्तों के बीच बने रिंग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2πr = 88 ⇒ r = (88 × 7) / 44 = 14 सेमी
2πR = 132 ⇒ R = (132 × 7) / 44 = 21 सेमी
रिंग का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = (22/7) × (21² - 14²)
क्षेत्रफल = (22/7) × (21 + 14) × (21 - 14)
क्षेत्रफल = (22/7) × 35 × 7 = 22 × 35 = 770 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: 770 वर्ग सेमी
- प्रश्न 48 [पहिए के चक्कर (Wheel Revolutions) और तय दूरी]: एक कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 84 सेमी है। यदि कार की गति 66 किमी/घंटा है, तो प्रत्येक पहिया प्रति मिनट कितने चक्कर लगाएगा?
त्रिज्या (r) = 84 / 2 = 42 सेमी
1 चक्कर की दूरी = 2πr = 2 × (22/7) × 42 = 264 सेमी
कार की गति प्रति मिनट = (66 × 1000 × 100) / 60 सेमी/मिनट = 110,000 सेमी/मिनट
प्रति मिनट चक्कर = 110,000 / 264
चक्कर = 416.66... = 416 (2/3) चक्कर (या 1250/3)
- ✔ उत्तर: 1250/3 चक्कर (या 416.67 चक्कर)
- प्रश्न 49 [तार को मोड़कर आकृति बदलना (Wire Bending/Transformation)]: एक तांबे के तार को मोड़कर 121 वर्ग सेमी क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाया गया है। यदि उसी तार को मोड़कर एक वृत्त बनाया जाए, तो उस वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?
वर्ग का क्षेत्रफल = a² = 121 ⇒ a = 11 सेमी
तार की कुल लंबाई = वर्ग का परिमाप = 4a = 4 × 11 = 44 सेमी
वृत्त की परिधि = 44 सेमी
2πr = 44 ⇒ 2 × (22/7) × r = 44 ⇒ r = 7 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी
- ✔ उत्तर: 154 वर्ग सेमी
- प्रश्न 50 [वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल]: एक समबाहु त्रिभुज के अंतर्वृत्त और परिवृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा, यदि त्रिभुज की भुजा 'a' है?
अंतर्वृत्त की त्रिज्या (r) = a / (2√3)
परिवृत्त की त्रिज्या (R) = a / √3
क्षेत्रफल का अनुपात = πr² : πR² = r² : R²
अनुपात = [a / (2√3)]² : [a / √3]²
अनुपात = (a² / 12) : (a² / 3) = 1/4 : 1 = 1 : 4
परीक्षा में कैसे आता है
SSC CGL, CHSL, MTS और GD में इस सब-टॉपिक से 1 से 2 प्रश्न अवश्य पूछे जाते हैं। सबसे आम पैटर्न पहिए के चक्कर, रिंग का क्षेत्रफल और तार को वृत्त से वर्ग में बदलना हैं।
आम गलतियाँ
- ✘ अर्धवृत्त का परिमाप निकालते समय छात्र अक्सर केवल πr लिख देते हैं और व्यास (2r) जोड़ना भूल जाते हैं। अर्धवृत्त का परिमाप हमेशा πr + 2r = (36/7)r होता है।
- ✘ पहिए वाले प्रश्नों में दूरी (किमी/मीटर) और पहिए की त्रिज्या (सेमी) की इकाइयों (Units) को समान करना भूल जाते हैं, जिससे उत्तर गलत आता है।
💡 यदि वृत्त की त्रिज्या 7 का गुणज (जैसे 7, 14, 21, 28) हो, तो परिधि (44, 88, 132, 176) और क्षेत्रफल (154, 616, 1386, 2464) सीधे याद रखें; इससे 80% प्रश्न बिना गणना के 5 सेकंड में हल हो जाते हैं। र/7 गुणक k होने पर क्षेत्रफल 154k² होता है। (जैसे r=14 ⇒ k=2 ⇒ क्षेत्रफल = 154 × 4 = 616)।
क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन
जब किसी 2D आकृति (जैसे आयत, वर्ग, वृत्त, त्रिभुज) की भुजाओं या त्रिज्या में प्रतिशत वृद्धि या कमी की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल पर द्विविमीय (2D) प्रभाव पड़ता है। क्षेत्रफल हमेशा दो रेखीय विमाओं (Linear Dimensions) के गुणनफल पर निर्भर करता है (जैसे आयत = L × B, वृत्त = πr²)। इसलिए, क्षेत्रफल में परिवर्तन ज्ञात करने के लिए क्रमिक प्रतिशत (Successive Percentage) का नियम लागू होता है। परीक्षा में जब भी भुजा/त्रिज्या में बदलाव दिया जाए और क्षेत्रफल में बदलाव पूछा जाए, तो आप प्रभावी प्रतिशत सूत्र का प्रयोग कर सकते हैं।
सूत्र और उनके उदाहरण
📐 प्रभावी % परिवर्तन = x + y + (x × y) / 100 — जब आयत या त्रिभुज की दो विमाओं (जैसे लंबाई-चौड़ाई या आधार-ऊँचाई) में अलग-अलग प्रतिशत परिवर्तन (+x% या -y%) हो।
- उदाहरण 51: एक आयत की लंबाई में 20% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी की जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
x = +20, y = -10
प्रभावी % = 20 + (-10) + (20 × -10)/100
= 10 - 200/100
= 10 - 2 = +8%
- ✔ उत्तर: 8% की वृद्धि
- उदाहरण 52: एक त्रिभुज के आधार में 15% की वृद्धि और ऊँचाई में 20% की वृद्धि की जाती है। इसके क्षेत्रफल में % वृद्धि ज्ञात कीजिए।
x = +15, y = +20
प्रभावी % = 15 + 20 + (15 × 20)/100
= 35 + 300/100
= 35 + 3 = +38%
📐 वृत्त/वर्ग के क्षेत्रफल में % परिवर्तन = 2r + (r² / 100) — जब वर्ग की भुजा या वृत्त की त्रिज्या/व्यास में r% का परिवर्तन (वृद्धि या कमी) हो।
- उदाहरण 53: यदि एक वृत्त की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है, तो इसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
r = +10
% परिवर्तन = 2(10) + (10²)/100
= 20 + 100/100
= 20 + 1 = +21%
- ✔ उत्तर: 21% की वृद्धि
- उदाहरण 54: यदि वर्ग की प्रत्येक भुजा में 20% की कमी कर दी जाए, तो इसके क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी ज्ञात कीजिए।
r = -20
% परिवर्तन = 2(-20) + ((-20)²)/100
= -40 + 400/100
= -40 + 4 = -36%
परीक्षा में आने वाले प्रकार
- आयत की लंबाई और चौड़ाई में भिन्न प्रतिशत परिवर्तन
- वर्ग या वृत्त की भुजा/त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन
- त्रिभुज या अन्य आकृतियों के आधार और ऊँचाई में परिवर्तन
- क्षेत्रफल को अपरिवर्तित रखने के लिए भुजा में परिवर्तन
- भुजा या त्रिज्या के गुणात्मक परिवर्तन पर क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन
हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)
- प्रश्न 55 [आयत की लंबाई और चौड़ाई में भिन्न प्रतिशत परिवर्तन]: एक आयताकार मैदान की लंबाई में 25% की वृद्धि तथा चौड़ाई में 20% की कमी की जाती है। मैदान के क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन क्या है?
x = +25, y = -20
कुल % परिवर्तन = x + y + (xy)/100
= 25 - 20 + (25 × -20)/100
= 5 - 500/100
= 5 - 5 = 0%
- ✔ उत्तर: 0% (क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहेगा)
- प्रश्न 56 [आयत की लंबाई और चौड़ाई में भिन्न प्रतिशत परिवर्तन]: एक आयत की लंबाई 30% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 15% बढ़ाई जाती है। आयत के क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
x = +30, y = +15
% वृद्धि = 30 + 15 + (30 × 15)/100
= 45 + 450/100
= 45 + 4.5 = 49.5%
- ✔ उत्तर: 49.5% की वृद्धि
- प्रश्न 57 [वर्ग या वृत्त की भुजा/त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन]: एक वृत्त की त्रिज्या को 50% बढ़ाने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
r = +50
% परिवर्तन = 2(50) + (50 × 50)/100
= 100 + 2500/100
= 100 + 25 = 125%
- ✔ उत्तर: 125% की वृद्धि
- प्रश्न 58 [वर्ग या वृत्त की भुजा/त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन]: यदि एक वर्ग की प्रत्येक भुजा में 15% की कमी की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की कमी होगी?
r = -15
% परिवर्तन = 2(-15) + ((-15)²)/100
= -30 + 225/100
= -30 + 2.25 = -27.75%
- ✔ उत्तर: 27.75% की कमी
- प्रश्न 59 [त्रिभुज या अन्य आकृतियों के आधार और ऊँचाई में परिवर्तन]: एक त्रिभुज के आधार में 40% की वृद्धि की गई और उसकी ऊँचाई में 30% की कमी की गई। त्रिभुज के क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
आधार में परिवर्तन x = +40
ऊँचाई में परिवर्तन y = -30
क्षेत्रफल में % परिवर्तन = 40 + (-30) + (40 × -30)/100
= 10 - 1200/100
= 10 - 12 = -2%
- ✔ उत्तर: 2% की कमी
- प्रश्न 60 [क्षेत्रफल को अपरिवर्तित रखने के लिए भुजा में परिवर्तन]: एक आयत की लंबाई में 25% की वृद्धि की जाती है। इसके क्षेत्रफल को पूर्ववत रखने के लिए चौड़ाई में कितने प्रतिशत की कमी करनी होगी?
माना प्रारंभिक क्षेत्रफल = 100
लंबाई बढ़ने के बाद क्षेत्रफल = 125
क्षेत्रफल को वापस 100 करने के लिए कमी = 25
% कमी = (25 / 125) × 100
= (1 / 5) × 100 = 20%
- ✔ उत्तर: 20% की कमी
- प्रश्न 61 [भुजा या त्रिज्या के गुणात्मक परिवर्तन पर क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन]: यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
माना प्रारंभिक त्रिज्या = 1, प्रारंभिक क्षेत्रफल = π(1)² = π
नई त्रिज्या = 2, नया क्षेत्रफल = π(2)² = 4π
क्षेत्रफल में वृद्धि = 4π - π = 3π
% वृद्धि = (3π / π) × 100 = 300%
परीक्षा में कैसे आता है
SSC CGL, CHSL, MTS और GD परीक्षाओं में इस उप-विषय से प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछे जाते हैं। 1-2 प्रश्न सीधे आयत, वृत्त या वर्ग के क्षेत्रफल में % बदलाव पर आते हैं।
आम गलतियाँ
- ✘ वृद्धि (+x) और कमी (-x) के चिन्ह (Sign) का ध्यान न रखना, जिससे सूत्र में -x × y की जगह गलती से +x × y लिख देना।
- ✘ त्रिज्या दोगुना करने पर क्षेत्रफल 200% बढ़ना मान लेना, जबकि क्षेत्रफल 4 गुना (अर्थात 300% वृद्धि) होता है।
💡 त्रिज्या या भुजा में 10%, 20%, 30% वृद्धि होने पर क्षेत्रफल में सीधे याद रखें: 10% → 21%, 20% → 44%, 30% → 69% वृद्धि होती है। इससे परीक्षा में समय बचता है।JS0N-READY-END-FLAG-OK
सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)
- त्रिभुज का क्षेत्रफल = (1/2) × आधार × ऊंचाई
- हेरॉन का सूत्र: क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], जहाँ s = (a+b+c)/2
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4) × a² एवं ऊंचाई = (√3/2) × a
- आयत का क्षेत्रफल = l × b एवं परिमाप = 2(l + b); वर्ग का क्षेत्रफल = a² या (1/2) × d²
- रास्ते का क्षेत्रफल (बाहरी) = 2w(l + b + 2w); रास्ते का क्षेत्रफल (आंतरिक) = 2w(l + b - 2w)
- समचतुर्भुज (Rhombus) का क्षेत्रफल = (1/2) × d₁ × d₂ एवं भुजा a = (1/2)√(d₁² + d₂²)
- समलंब (Trapezium) का क्षेत्रफल = (1/2) × (समानांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई
- वृत्त का क्षेत्रफल = πr² एवं परिधि = 2πr; अर्धवृत्त का परिमाप = πr + 2r
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² एवं चाप की लंबाई = (θ/360°) × 2πr
- वलय (Ring) का क्षेत्रफल = π(R² - r²); चक्करों की संख्या = कुल दूरी / (2πr)
- क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (xy/100)
अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न
1. एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- (क) 36√3 सेमी²
- (ख) 24√3 सेमी²
- (ग) 48√3 सेमी²
- (घ) 72√3 सेमी²
उत्तर देखें
उत्तर: (क) 36√3 सेमी²
क्षेत्रफल = (√3/4) × a² = (√3/4) × 12 × 12 = 36√3 सेमी²।
2. यदि किसी वृत्त की त्रिज्या में 20% की वृद्धि की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
- (क) 40%
- (ख) 44%
- (ग) 20%
- (घ) 48%
उत्तर देखें
उत्तर: (ख) 44%
प्रतिशत परिवर्तन = x + y + (xy/100) = 20 + 20 + (20×20/100) = 44%।
3. एक समचतुर्भुज (Rhombus) के विकर्णों की लंबाई 16 सेमी और 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- (क) 192 सेमी²
- (ख) 96 सेमी²
- (ग) 48 सेमी²
- (घ) 112 सेमी²
उत्तर देखें
उत्तर: (ख) 96 सेमी²
क्षेत्रफल = (1/2) × d₁ × d₂ = (1/2) × 16 × 12 = 96 सेमी²।
4. एक समलंब (Trapezium) का क्षेत्रफल 180 सेमी² और उसकी ऊंचाई 9 सेमी है। यदि समानांतर भुजाओं में से एक भुजा 16 सेमी है, तो दूसरी समानांतर भुजा ज्ञात कीजिए।
- (क) 20 सेमी
- (ख) 22 सेमी
- (ग) 24 सेमी
- (घ) 26 सेमी
उत्तर देखें
उत्तर: (ग) 24 सेमी
180 = (1/2) × (16 + x) × 9 ⇒ 360 / 9 = 16 + x ⇒ 40 = 16 + x ⇒ x = 24 सेमी।
5. 35 सेमी त्रिज्या वाला एक पहिया 1.1 किमी की दूरी तय करने में कितने चक्कर लगाएगा? (π = 22/7 लें)
- (क) 500
- (ख) 250
- (ग) 1000
- (घ) 50
उत्तर देखें
उत्तर: (क) 500
परिधि = 2 × (22/7) × 35 = 220 सेमी = 2.2 मीटर। कुल दूरी = 1.1 किमी = 1100 मीटर। चक्कर = 1100 / 2.2 = 500।
6. 14 सेमी त्रिज्या और 45° के केंद्रीय कोण वाले वृत्त के त्रिज्यखंड (Sector) का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लें)
- (क) 77 सेमी²
- (ख) 154 सेमी²
- (ग) 38.5 सेमी²
- (घ) 66 सेमी²
उत्तर देखें
उत्तर: (क) 77 सेमी²
क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr² = (45/360) × (22/7) × 14 × 14 = (1/8) × 616 = 77 सेमी²।
7. एक आयताकार बगीचा 60 मीटर लंबा और 40 मीटर चौड़ा है। बगीचे के अंदर चारों ओर 2.5 मीटर चौड़ा रास्ता बनाया गया है। ₹20 प्रति वर्ग मीटर की दर से रास्ते को पक्का करने की लागत ज्ञात कीजिए।
- (क) ₹9,500
- (ख) ₹10,500
- (ग) ₹9,000
- (घ) ₹10,000
उत्तर देखें
उत्तर: (क) ₹9,500
आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(l + b - 2w) = 2(2.5)(60 + 40 - 5) = 5 × 95 = 475 वर्ग मीटर। लागत = 475 × 20 = ₹9,500।
8. एक समचतुर्भुज का परिमाप 100 सेमी है और इसका एक विकर्ण 40 सेमी है। इस समचतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
- (क) 600 सेमी²
- (ख) 300 सेमी²
- (ग) 1200 सेमी²
- (घ) 500 सेमी²
उत्तर देखें
उत्तर: (क) 600 सेमी²
भुजा = 100/4 = 25 सेमी। विकर्ण एक-दूसरे को समकोण पर समद्विभाजित करते हैं, अतः (d₂/2)² = 25² - 20² = 225 ⇒ d₂/2 = 15 ⇒ d₂ = 30 सेमी। क्षेत्रफल = (1/2) × 40 × 30 = 600 सेमी²।
9. एक वर्गाकार कमरे के फर्श पर ₹15 प्रति वर्ग मीटर की दर से टाइल लगाने का खर्च ₹3840 है। इसकी सीमा पर ₹25 प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने का खर्च ज्ञात कीजिए।
- (क) ₹1,600
- (ख) ₹3,200
- (ग) ₹1,200
- (घ) ₹2,000
उत्तर देखें
उत्तर: (क) ₹1,600
क्षेत्रफल = 3840 / 15 = 256 वर्ग मीटर। भुजा = √256 = 16 मीटर। परिमाप = 4 × 16 = 64 मीटर। बाड़ की लागत = 64 × 25 = ₹1,600।
10. एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल तथा 14 सेमी लंबी भुजा के संगत ऊंचाई ज्ञात कीजिए।
- (क) 84 सेमी² तथा 12 सेमी
- (ख) 84 सेमी² तथा 14 सेमी
- (ग) 168 सेमी² तथा 12 सेमी
- (घ) 84 सेमी² तथा 11.2 सेमी
उत्तर देखें
उत्तर: (क) 84 सेमी² तथा 12 सेमी
s = (13+14+15)/2 = 21 सेमी। क्षेत्रफल = √(21 × 8 × 7 × 6) = 84 सेमी²। ऊंचाई = (2 × क्षेत्रफल) / आधार = (2 × 84) / 14 = 12 सेमी।
English version — Mensuration 2D (Area & Perimeter)
Mensuration 2D is a crucial topic for SSC CGL, CHSL, and CPO exams, usually accounting for 2-3 questions in Tier-1 and 3-4 questions in Tier-2. It is highly scoring because most questions are formula-based and follow standard patterns. With structured practice, students can easily score full marks in this chapter.
Triangle: Base × Height / 2, Heron's Formula, Equilateral Triangle
A triangle is a three-sided polygon. Its area can be calculated using base and height or all three sides. The Equilateral Triangle has all equal sides and a specific formula. Heron's Formula is used when only the lengths of the sides are known. Exams often ask for height calculation or area comparison.
Formulas with examples
📐 Area = 1/2 × Base × Height — When base and height are given
- Example 1: एक त्रिभुज का आधार 15 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। क्षेत्रफल क्या होगा?
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 15 × 10
क्षेत्रफल = 75 सेमी²
- ✔ Answer: 75 सेमी²
- Example 2: एक त्रिभुज का क्षेत्रफल 50 सेमी² और आधार 20 सेमी है। इसकी ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
ऊँचाई = (2 × क्षेत्रफल) / आधार
ऊँचाई = (2 × 50) / 20
ऊँचाई = 5 सेमी
📐 Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s = (a+b+c)/2 — When all three sides of the triangle are given
- Example 3: एक त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14 और 15 सेमी हैं। क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21
क्षेत्रफल = √[21 × (21-13) × (21-14) × (21-15)]
क्षेत्रफल = √[21 × 8 × 7 × 6] = 84 सेमी²
- ✔ Answer: 84 सेमी²
- Example 4: एक त्रिभुज की भुजाएँ 3, 4 और 5 सेमी हैं। क्षेत्रफल क्या होगा?
s = (3 + 4 + 5) / 2 = 6
क्षेत्रफल = √[6 × 3 × 2 × 1]
क्षेत्रफल = 6 सेमी²
📐 Area = (√3/4)a², Height = (√3/2)a — For area and height of an equilateral triangle
- Example 5: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 10 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = (√3/4) × 10²
क्षेत्रफल = (√3/4) × 100
क्षेत्रफल = 25√3 सेमी²
- ✔ Answer: 25√3 सेमी²
- Example 6: एक समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई 4√3 सेमी है। इसकी भुजा ज्ञात कीजिए।
ऊँचाई = (√3/2)a = 4√3
a = (4√3 × 2) / √3
a = 8 सेमी
Question types asked
- आधार और ऊँचाई आधारित
- हीरोन का सूत्र (विषमबाहु त्रिभुज)
- समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और ऊँचाई
- परिमाप और भुजाओं के अनुपात वाले प्रश्न
- समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल
- समबाहु त्रिभुज में क्षेत्रफल से परिमाप निकालना
- समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल
Solved questions (every type)
- Q 7 [आधार और ऊँचाई आधारित]: एक त्रिभुज का आधार 12 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
आधार (b) = 12 सेमी
ऊँचाई (h) = 8 सेमी
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × 8
क्षेत्रफल = 6 × 8 = 48 सेमी²
- ✔ Answer: 48 सेमी²
- Q 8 [हीरोन का सूत्र (विषमबाहु त्रिभुज)]: एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 14 सेमी और 15 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
s = (13 + 14 + 15) / 2 = 21 सेमी
क्षेत्रफल = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
क्षेत्रफल = √[21(21-13)(21-14)(21-15)]
क्षेत्रफल = √[21 × 8 × 7 × 6]
क्षेत्रफल = √7056 = 84 सेमी²
- ✔ Answer: 84 सेमी²
- Q 9 [समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल और ऊँचाई]: एक समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
भुजा (a) = 12 सेमी
क्षेत्रफल = (√3/4) × a² = (√3/4) × 144 = 36√3 सेमी²
ऊँचाई = (√3/2) × a = (√3/2) × 12 = 6√3 सेमी
- ✔ Answer: क्षेत्रफल = 36√3 सेमी², ऊँचाई = 6√3 सेमी
- Q 10 [परिमाप और भुजाओं के अनुपात वाले प्रश्न]: एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 3:4:5 है और इसका परिमाप 36 सेमी है। त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
माना भुजाएँ 3x, 4x, 5x हैं
3x + 4x + 5x = 36 => 12x = 36 => x = 3
भुजाएँ = 9, 12, 15 (यह एक समकोण त्रिभुज है)
क्षेत्रफल = 1/2 × 9 × 12 = 54 सेमी²
- ✔ Answer: 54 सेमी²
- Q 11 [समद्विबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल]: एक समद्विबाहु त्रिभुज की समान भुजाएँ 10 सेमी और आधार 12 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समान भुजा (a) = 10, आधार (b) = 12
ऊँचाई = √[a² - (b/2)²] = √[10² - 6²] = 8 सेमी
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 12 × 8 = 48 सेमी²
- ✔ Answer: 48 सेमी²
- Q 12 [समबाहु त्रिभुज में क्षेत्रफल से परिमाप निकालना]: एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 16√3 सेमी² है। इसका परिमाप ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = (√3/4)a² = 16√3
a² = 64 => a = 8 सेमी
परिमाप = 3 × a = 3 × 8 = 24 सेमी
- ✔ Answer: 24 सेमी
- Q 13 [समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल]: एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी हैं। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
यहाँ आधार = 5 सेमी और ऊँचाई = 12 सेमी (सबसे बड़ी भुजा कर्ण है)
क्षेत्रफल = 1/2 × आधार × ऊँचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 5 × 12
क्षेत्रफल = 30 सेमी²
How it is asked
Regularly 1-2 questions are asked in SSC exams (CGL, CHSL, MTS). Equilateral triangle is the most frequently asked pattern.
Common mistakes
- ✘ समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई और क्षेत्रफल के सूत्रों में भ्रमित होना।
- ✘ विषमबाहु त्रिभुज में ऊँचाई की जगह तिरछी भुजा का उपयोग करना।
- ✘ अर्ध-परिमाप (s) की गणना में गलती करना।
💡 In an equilateral triangle, if the side is multiplied by 'n', the area becomes 'n²' times.
Rectangle, Square and Path Area
A rectangle is a quadrilateral with equal opposite sides and 90-degree angles, while a square has all four sides equal. When a path is built around or inside a garden, its area is the difference between the outer and inner rectangles. The cost of fencing is calculated on the perimeter, and the cost of flooring/turfing is calculated on the area. In exams, questions often focus on path width, diagonal length, or the total cost of maintenance.
Formulas with examples
📐 Rectangle: Area = L × B, Perimeter = 2(L + B), Diagonal = √(L² + B²) — When length (L) and breadth (B) of a rectangle are given.
- Example 14: एक आयत की लंबाई 15 सेमी और चौड़ाई 8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और विकर्ण ज्ञात करें।
क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई
क्षेत्रफल = 15 × 8 = 120 वर्ग सेमी
विकर्ण = √(15² + 8²)
विकर्ण = √(225 + 64) = √289
विकर्ण = 17 सेमी
- ✔ Answer: 120 sq.cm, 17 cm
- Example 15: एक आयताकार भूखंड का परिमाप 48 मीटर है और लंबाई 14 मीटर है। इसकी चौड़ाई ज्ञात करें।
परिमाप = 2(L + B)
48 = 2(14 + B)
24 = 14 + B
B = 24 - 14
B = 10 मीटर
📐 Square: Area = a² or (d²)/2, Perimeter = 4a, Diagonal = a√2 — When side (a) or diagonal (d) of a square is given.
- Example 16: एक वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल 625 वर्ग मीटर है। इसका परिमाप क्या होगा?
क्षेत्रफल = a² = 625
भुजा (a) = √625 = 25 मीटर
परिमाप = 4 × a
परिमाप = 4 × 25 = 100 मीटर
- ✔ Answer: 100 m
- Example 17: एक वर्ग का विकर्ण 10√2 सेमी है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात करें।
विकर्ण = a√2 = 10√2
भुजा (a) = 10 सेमी
क्षेत्रफल = a² = 10²
क्षेत्रफल = 100 वर्ग सेमी
📐 Path Area: Outside = 2w(L+B+2w), Inside = 2w(L+B-2w), Cross = w(L+B-w) — When a path of width 'w' is constructed outside, inside, or across a rectangular field.
- Example 18: 30m × 20m के आयताकार पार्क के बाहर चारों ओर 2m चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल क्या है?
L = 30, B = 20, w = 2
बाहरी रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(L + B + 2w)
क्षेत्रफल = 2×2(30 + 20 + 2×2)
क्षेत्रफल = 4(50 + 4) = 4 × 54
क्षेत्रफल = 216 वर्ग मीटर
- ✔ Answer: 216 sq.m
- Example 19: 50m × 40m के मैदान के बीचों-बीच लंबाई और चौड़ाई के समांतर 5m चौड़े दो रास्ते एक-दूसरे को काटते हैं। रास्तों का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
L = 50, B = 40, w = 5
क्रॉस रास्ते का क्षेत्रफल = w(L + B - w)
क्षेत्रफल = 5(50 + 40 - 5)
क्षेत्रफल = 5(85)
क्षेत्रफल = 425 वर्ग मीटर
Question types asked
- बुनियादी क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण की गणना
- भुजा ज्ञात करना जब क्षेत्रफल या परिमाप दिया हो
- बाहरी और आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल
- मैदान के बीचों-बीच क्रॉस रास्ते का क्षेत्रफल
- बाड़ लगाने (Fencing) और फर्श बिछाने की लागत
- वर्ग और आयत के बीच तुलना (जैसे समान परिमाप)
- ईंटों या टाइलों की संख्या ज्ञात करना
Solved questions (every type)
- Q 20 [बुनियादी क्षेत्रफल, परिमाप और विकर्ण की गणना]: एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 5:3 है। यदि इसका परिमाप 64 सेमी है, तो क्षेत्रफल ज्ञात करें।
माना L = 5x, B = 3x
परिमाप = 2(5x + 3x) = 64
16x = 64 => x = 4
L = 20 सेमी, B = 12 सेमी
क्षेत्रफल = 20 × 12 = 240 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: 240 sq.cm
- Q 21 [भुजा ज्ञात करना जब क्षेत्रफल या परिमाप दिया हो]: एक वर्ग का क्षेत्रफल उस आयत के बराबर है जिसकी लंबाई 16 सेमी और चौड़ाई 9 सेमी है। वर्ग का परिमाप क्या है?
आयत का क्षेत्रफल = 16 × 9 = 144
वर्ग का क्षेत्रफल (a²) = 144
भुजा (a) = √144 = 12 सेमी
वर्ग का परिमाप = 4 × 12 = 48 सेमी
- ✔ Answer: 48 cm
- Q 22 [बाहरी और आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल]: 40 मीटर लंबे और 30 मीटर चौड़े एक आयताकार बगीचे के अंदर चारों ओर 2.5 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
L = 40, B = 30, w = 2.5
आंतरिक रास्ते का क्षेत्रफल = 2w(L + B - 2w)
क्षेत्रफल = 2 × 2.5(40 + 30 - 2 × 2.5)
क्षेत्रफल = 5(70 - 5) = 5 × 65
क्षेत्रफल = 325 वर्ग मीटर
- ✔ Answer: 325 sq.m
- Q 23 [मैदान के बीचों-बीच क्रॉस रास्ते का क्षेत्रफल]: 80 मीटर × 60 मीटर के आयताकार क्षेत्र के बीचों-बीच 4 मीटर चौड़े दो रास्ते हैं। रास्तों को छोड़कर शेष भाग का क्षेत्रफल क्या है?
रास्तों का क्षेत्रफल = w(L + B - w) = 4(80 + 60 - 4)
रास्तों का क्षेत्रफल = 4(136) = 544 वर्ग मीटर
कुल क्षेत्रफल = 80 × 60 = 4800 वर्ग मीटर
शेष भाग = 4800 - 544 = 4256 वर्ग मीटर
- ✔ Answer: 4256 sq.m
- Q 24 [बाड़ लगाने (Fencing) और फर्श बिछाने की लागत]: एक वर्गाकार मैदान की भुजा 35 मीटर है। इसके चारों ओर 15 रुपये प्रति मीटर की दर से बाड़ लगाने की लागत क्या होगी?
भुजा (a) = 35 मीटर
परिमाप = 4 × 35 = 140 मीटर
कुल लागत = परिमाप × दर
लागत = 140 × 15 = 2100 रुपये
- ✔ Answer: Rs. 2100
- Q 25 [वर्ग और आयत के बीच तुलना (जैसे समान परिमाप)]: एक वर्ग और एक आयत का परिमाप समान है। यदि वर्ग की भुजा 20 सेमी है और आयत की लंबाई 25 सेमी है, तो आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
वर्ग का परिमाप = 4 × 20 = 80 सेमी
आयत का परिमाप = 2(25 + B) = 80
25 + B = 40 => B = 15 सेमी
आयत का क्षेत्रफल = 25 × 15 = 375 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: 375 sq.cm
- Q 26 [ईंटों या टाइलों की संख्या ज्ञात करना]: 12 मीटर × 10 मीटर के कमरे के फर्श पर 20 सेमी × 10 सेमी की कितनी टाइलें लगेंगी?
कमरे का क्षेत्रफल = 1200 सेमी × 1000 सेमी = 12,00,000 वर्ग सेमी
एक टाइल का क्षेत्रफल = 20 × 10 = 200 वर्ग सेमी
टाइलों की संख्या = कुल क्षेत्रफल / एक टाइल का क्षेत्रफल
संख्या = 12,00,000 / 200 = 6000
How it is asked
This sub-topic is highly frequent in SSC CGL and CHSL, with 1-2 questions appearing regularly. Path area and fencing costs are the most common patterns.
Common mistakes
- ✘ बाड़ लगाने (Fencing) के लिए क्षेत्रफल निकाल देना, जबकि परिमाप की आवश्यकता होती है।
- ✘ रास्ते के क्षेत्रफल के सूत्र में '2w' की जगह केवल 'w' का प्रयोग करना।
- ✘ इकाइयों (Units) को समान न करना (जैसे मीटर और सेंटीमीटर को बिना बदले हल करना)।
💡 For path area, remember: Outside is '+2w', Inside is '-2w', and Cross path is just '-w' without the multiplier 2.
Rhombus and Trapezium
A rhombus has all four sides equal, and its diagonals bisect each other perpendicularly at 90 degrees, forming four congruent right-angled triangles. A trapezium has exactly one pair of parallel sides, and its area is simply the average of the parallel sides multiplied by the perpendicular distance between them. In SSC exams, recognizing the right-angled triangle inside a rhombus or splitting a trapezium into a parallelogram and a triangle is the key to solving questions quickly.
Formulas with examples
📐 समचतुर्भुज: क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂, भुजा a = √[(d₁/2)² + (d₂/2)²], परिमाप = 4a — Used to find the area, side, or perimeter of a rhombus when diagonals or one side and a diagonal are given.
- Example 27: एक समचतुर्भुज के विकर्ण 16 cm तथा 12 cm हैं। उसका क्षेत्रफल और परिमाप ज्ञात कीजिए।
क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ = 1/2 × 16 × 12
क्षेत्रफल = 96 cm²
अर्ध-विकर्ण = 16/2 = 8 cm और 12/2 = 6 cm
भुजा a = √(8² + 6²) = √(64 + 36) = √100 = 10 cm
परिमाप = 4 × a = 4 × 10 = 40 cm
- ✔ Answer: क्षेत्रफल = 96 cm², परिमाप = 40 cm
- Example 28: एक समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा 10 cm है और एक विकर्ण 12 cm है। इसका क्षेत्रफल कितना होगा?
पहला अर्ध-विकर्ण = 12 / 2 = 6 cm
पाइथागोरस प्रमेय से दूसरा अर्ध-विकर्ण = √(10² - 6²)
= √(100 - 36) = √64 = 8 cm
दूसरा विकर्ण d₂ = 8 × 2 = 16 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ = 1/2 × 12 × 16
📐 समलम्ब चतुर्भुज: क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h — Used to calculate the area or height of a trapezium when the parallel sides and area/height are known.
- Example 29: एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाएं 18 cm तथा 12 cm हैं और इनके बीच की लंबवत दूरी 8 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समांतर भुजाओं का योग = 18 + 12 = 30 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × (समांतर भुजाओं का योग) × ऊंचाई
क्षेत्रफल = 1/2 × 30 × 8
क्षेत्रफल = 15 × 8 = 120 cm²
- ✔ Answer: 120 cm²
- Example 30: एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 180 cm² है। यदि इसकी समांतर भुजाएं 20 cm और 16 cm हैं, तो उनके बीच की लंबवत दूरी क्या होगी?
क्षेत्रफल = 1/2 × (a + b) × h
180 = 1/2 × (20 + 16) × h
180 = 1/2 × 36 × h
180 = 18 × h
h = 180 / 18 = 10 cm
Question types asked
- समचतुर्भुज: विकर्णों से क्षेत्रफल और परिमाप
- समचतुर्भुज: परिमाप/भुजा और एक विकर्ण से क्षेत्रफल या दूसरा विकर्ण
- समलम्ब चतुर्भुज: समांतर भुजाओं और ऊंचाई से सीधा क्षेत्रफल
- समलम्ब चतुर्भुज: असमांतर भुजाओं के आधार पर ऊंचाई और क्षेत्रफल
- समलम्ब चतुर्भुज: विकर्णों या असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की लंबाई
Solved questions (every type)
- Q 31 [समचतुर्भुज: विकर्णों से क्षेत्रफल और परिमाप]: एक समचतुर्भुज के विकर्ण क्रमशः 24 cm और 10 cm हैं। इस समचतुर्भुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।
अर्ध-विकर्ण d₁/2 = 24 / 2 = 12 cm
अर्ध-विकर्ण d₂/2 = 10 / 2 = 5 cm
भुजा a = √[(12)² + (5)²] = √(144 + 25)
भुजा a = √169 = 13 cm
परिमाप = 4 × a = 4 × 13 = 52 cm
- ✔ Answer: 52 cm
- Q 32 [समचतुर्भुज: परिमाप/भुजा और एक विकर्ण से क्षेत्रफल या दूसरा विकर्ण]: एक समचतुर्भुज का परिमाप 68 cm है और इसका एक विकर्ण 16 cm है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
भुजा a = परिमाप / 4 = 68 / 4 = 17 cm
पहले विकर्ण का आधा = 16 / 2 = 8 cm
दूसरे विकर्ण का आधा = √(17² - 8²) = √(289 - 64)
दूसरे विकर्ण का आधा = √225 = 15 cm
दूसरा विकर्ण d₂ = 15 × 2 = 30 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × 16 × 30 = 240 cm²
- ✔ Answer: 240 cm²
- Q 33 [समचतुर्भुज: परिमाप/भुजा और एक विकर्ण से क्षेत्रफल या दूसरा विकर्ण]: एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल 216 cm² है और इसके एक विकर्ण की लंबाई 24 cm है। इस समचतुर्भुज का परिमाप कितना होगा?
क्षेत्रफल = 1/2 × d₁ × d₂ ⇒ 216 = 1/2 × 24 × d₂
12 × d₂ = 216 ⇒ d₂ = 18 cm
अर्ध-विकर्ण = 24/2 = 12 cm तथा 18/2 = 9 cm
भुजा a = √(12² + 9²) = √(144 + 81) = √225 = 15 cm
परिमाप = 4 × a = 4 × 15 = 60 cm
- ✔ Answer: 60 cm
- Q 34 [समलम्ब चतुर्भुज: समांतर भुजाओं और ऊंचाई से सीधा क्षेत्रफल]: एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाओं का अनुपात 3 : 2 है और उनके बीच की दूरी 14 cm है। यदि क्षेत्रफल 350 cm² है, तो बड़ी समांतर भुजा की लंबाई ज्ञात कीजिए।
माना समांतर भुजाएं 3x और 2x हैं।
क्षेत्रफल = 1/2 × (3x + 2x) × 14
350 = 5x × 7
35x = 350 ⇒ x = 10
बड़ी भुजा = 3x = 3 × 10 = 30 cm
- ✔ Answer: 30 cm
- Q 35 [समलम्ब चतुर्भुज: असमांतर भुजाओं के आधार पर ऊंचाई और क्षेत्रफल]: एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज (Isosceles Trapezium) की समांतर भुजाएं 25 cm और 15 cm हैं, तथा प्रत्येक असमांतर भुजा की लंबाई 13 cm है। इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
समांतर भुजाओं का अंतर = 25 - 15 = 10 cm
सममित आधार भाग = 10 / 2 = 5 cm
ऊंचाई h = √(13² - 5²) = √(169 - 25) = √144 = 12 cm
क्षेत्रफल = 1/2 × (25 + 15) × 12
क्षेत्रफल = 1/2 × 40 × 12 = 240 cm²
- ✔ Answer: 240 cm²
- Q 36 [समलम्ब चतुर्भुज: विकर्णों या असमांतर भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की लंबाई]: एक समलम्ब चतुर्भुज ABCD में AB || CD है, जहां AB = 26 cm और CD = 14 cm है। इसके विकर्णों AC और BD के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाले रेखाखंड की लंबाई क्या होगी?
विकर्णों के मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई = 1/2 × |AB - CD|
लंबाई = 1/2 × (26 - 14)
लंबाई = 1/2 × 12 = 6 cm
- ✔ Answer: 6 cm
- Q 37 [समलम्ब चतुर्भुज: असमांतर भुजाओं के आधार पर ऊंचाई और क्षेत्रफल]: एक समलम्ब चतुर्भुज की समांतर भुजाएं 25 cm और 11 cm हैं तथा असमांतर भुजाएं 13 cm और 15 cm हैं। इस समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समांतर भुजाओं का अंतर = 25 - 11 = 14 cm
14 cm, 13 cm, 15 cm भुजा वाले त्रिभुज का s = (14 + 13 + 15)/2 = 21 cm
त्रिभुज का क्षेत्रफल = √[21 × (21-14) × (21-13) × (21-15)] = √(21 × 7 × 8 × 6) = 84 cm²
ऊंचाई h = (2 × क्षेत्रफल) / आधार = (2 × 84) / 14 = 12 cm
समलम्ब का क्षेत्रफल = 1/2 × (25 + 11) × 12 = 36 × 6 = 216 cm²
How it is asked
Asked in almost every shift of SSC CGL, CHSL, and CPO (1-2 questions). The most common patterns are Pythagoras triplets in a rhombus and finding height using non-parallel sides or the midpoint distance segment in a trapezium.
Common mistakes
- ✘ समचतुर्भुज के क्षेत्रफल सूत्र (1/2 × d₁ × d₂) में 1/2 लगाना भूल जाना और सीधे विकर्णों का गुणनफल लिख देना।
- ✘ समचतुर्भुज की भुजा निकालते समय पूरे विकर्णों का वर्ग कर देना, जबकि समकोण त्रिभुज के लिए विकर्णों के आधे (d₁/2 और d₂/2) का वर्ग करना होता है।
- ✘ समलम्ब चतुर्भुज में असमांतर भुजा को ही ऊंचाई (h) मान लेना; ऊंचाई हमेशा दोनों समांतर रेखाओं के बीच की 90° लंबवत दूरी होती है।
💡 समचतुर्भुज के सवालों में (d₁/2, d₂/2, a) हमेशा एक पाइथागोरियन ट्रिपलेट (जैसे 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) बनाते हैं; इसे याद रखने से बिना वर्गमूल निकाले 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है। समलम्ब के विकर्णों के मध्य-बिंदु की दूरी सीधे (a - b)/2 होती है।|tip_en:In a rhombus, (d₁/2, d₂/2, a) always form a Pythagorean triplet (e.g., 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17), saving computation time. In a trapezium, the distance between the midpoints of the diagonals is always half the difference of parallel sides: |a - b| / 2
Circle, Semicircle, Sector, Ring and Wheel Revolutions
A circle is the locus of all points equidistant from a fixed center with radius 'r'. A semicircle is half a circle, whose perimeter includes the diameter (2r) along with half the circumference (πr). A sector is a slice of a circle subtended by angle θ at the center, with its area and arc length proportional to θ/360°. A ring represents the region between two concentric circles, and the distance covered by a wheel in one complete revolution equals its circumference (2πr).
Formulas with examples
📐 वृत्त: परिधि = 2πr, क्षेत्रफल = πr² | अर्धवृत्त: परिमाप = (π + 2)r = (36/7)r, क्षेत्रफल = (1/2)πr² — Used when radius or diameter is given to find the perimeter or area of a circle or semicircle.
- Example 38: एक अर्धवृत्ताकार पार्क की त्रिज्या 14 मीटर है। पार्क का परिमाप और क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
अर्धवृत्त का परिमाप = (36/7) × r
परिमाप = (36/7) × 14 = 72 मीटर
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = (1/2) × π × r²
क्षेत्रफल = (1/2) × (22/7) × 14 × 14 = 308 वर्ग मीटर
- ✔ Answer: परिमाप = 72 मीटर, क्षेत्रफल = 308 वर्ग मीटर
- Example 39: यदि किसी वृत्त की परिधि 88 सेमी है, तो इसका क्षेत्रफल क्या होगा?
परिधि = 2πr = 88 सेमी
2 × (22/7) × r = 88
r = (88 × 7) / 44 = 14 सेमी
क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 14 × 14
क्षेत्रफल = 22 × 28 = 616 वर्ग सेमी
📐 चाप की लंबाई (l) = (θ/360°) × 2πr | त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (A) = (θ/360°) × πr² = (1/2) × l × r — Used when the sector angle θ and radius r are known, or when arc length l is directly given.
- Example 40: 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखंड का केंद्रीय कोण 60° है। चाप की लंबाई और त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चाप की लंबाई (l) = (60/360) × 2 × (22/7) × 21
l = (1/6) × 132 = 22 सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1/2) × l × r
क्षेत्रफल = (1/2) × 22 × 21 = 231 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: चाप की लंबाई = 22 सेमी, क्षेत्रफल = 231 वर्ग सेमी
- Example 41: एक त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई 10 सेमी है और त्रिज्या 6 सेमी है। त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (1/2) × चाप की लंबाई (l) × त्रिज्या (r)
क्षेत्रफल = (1/2) × 10 × 6
क्षेत्रफल = 30 वर्ग सेमी
📐 वलय का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R + r)(R - r) | पहिए के चक्करों की संख्या (N) = कुल दूरी / (2πr) — Used to find circular path/ring area or calculate the number of wheel rotations to cover a given distance.
- Example 42: एक वृत्ताकार मैदान की त्रिज्या 21 मीटर है। इसके चारों ओर 7 मीटर चौड़ा रास्ता है। रास्ते का क्षेत्रफल क्या होगा?
आंतरिक त्रिज्या (r) = 21 मीटर
बाह्य त्रिज्या (R) = 21 + 7 = 28 मीटर
रास्ते का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = π(R + r)(R - r)
क्षेत्रफल = (22/7) × (28 + 21) × (28 - 21)
क्षेत्रफल = (22/7) × 49 × 7 = 22 × 49 = 1078 वर्ग मीटर
- ✔ Answer: 1078 वर्ग मीटर
- Example 43: एक पहिए का व्यास 70 सेमी है। 1.1 किमी की दूरी तय करने में पहिया कितने चक्कर लगाएगा?
त्रिज्या (r) = 70 / 2 = 35 सेमी
1 चक्कर की दूरी = 2πr = 2 × (22/7) × 35 = 220 सेमी = 2.2 मीटर
कुल दूरी = 1.1 किमी = 1100 मीटर
चक्करों की संख्या = 1100 / 2.2 = 500
Question types asked
- वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल
- त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई
- वृत्ताकार रास्ते/वलय (Circular Ring) का क्षेत्रफल
- पहिए के चक्कर (Wheel Revolutions) और तय दूरी
- तार को मोड़कर आकृति बदलना (Wire Bending/Transformation)
Solved questions (every type)
- Q 44 [वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल]: एक अर्धवृत्ताकार क्षेत्र का परिमाप 144 सेमी है। उस क्षेत्र का व्यास ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)
अर्धवृत्त का परिमाप = (π + 2) × r = (36/7) × r
(36/7) × r = 144
r = (144 × 7) / 36 = 4 × 7 = 28 सेमी
व्यास = 2 × r = 2 × 28 = 56 सेमी
- ✔ Answer: 56 सेमी
- Q 45 [वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल]: एक वृत्त की परिधि और उसकी त्रिज्या का अंतर 37 सेमी है। उस वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
परिधि - त्रिज्या = 2πr - r = 37
r × (2π - 1) = 37
r × [(2 × 22/7) - 1] = 37
r × (44/7 - 1) = r × (37/7) = 37
r = 7 सेमी
क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: 154 वर्ग सेमी
- Q 46 [त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और चाप की लंबाई]: एक घड़ी की मिनट की सुई की लंबाई 14 सेमी है। 15 मिनट में मिनट की सुई द्वारा तय किया गया क्षेत्रफल क्या होगा?
1 मिनट = 6°, अतः 15 मिनट में कोण (θ) = 15 × 6° = 90°
त्रिज्या (r) = 14 सेमी
त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360°) × πr²
क्षेत्रफल = (90/360) × (22/7) × 14 × 14
क्षेत्रफल = (1/4) × (22/7) × 196 = (1/4) × 616 = 154 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: 154 वर्ग सेमी
- Q 47 [वृत्ताकार रास्ते/वलय (Circular Ring) का क्षेत्रफल]: दो संकेंद्रीय वृत्तों की परिधियाँ क्रमशः 88 सेमी और 132 सेमी हैं। इन दोनों वृत्तों के बीच बने रिंग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
2πr = 88 ⇒ r = (88 × 7) / 44 = 14 सेमी
2πR = 132 ⇒ R = (132 × 7) / 44 = 21 सेमी
रिंग का क्षेत्रफल = π(R² - r²) = (22/7) × (21² - 14²)
क्षेत्रफल = (22/7) × (21 + 14) × (21 - 14)
क्षेत्रफल = (22/7) × 35 × 7 = 22 × 35 = 770 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: 770 वर्ग सेमी
- Q 48 [पहिए के चक्कर (Wheel Revolutions) और तय दूरी]: एक कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 84 सेमी है। यदि कार की गति 66 किमी/घंटा है, तो प्रत्येक पहिया प्रति मिनट कितने चक्कर लगाएगा?
त्रिज्या (r) = 84 / 2 = 42 सेमी
1 चक्कर की दूरी = 2πr = 2 × (22/7) × 42 = 264 सेमी
कार की गति प्रति मिनट = (66 × 1000 × 100) / 60 सेमी/मिनट = 110,000 सेमी/मिनट
प्रति मिनट चक्कर = 110,000 / 264
चक्कर = 416.66... = 416 (2/3) चक्कर (या 1250/3)
- ✔ Answer: 1250/3 चक्कर (या 416.67 चक्कर)
- Q 49 [तार को मोड़कर आकृति बदलना (Wire Bending/Transformation)]: एक तांबे के तार को मोड़कर 121 वर्ग सेमी क्षेत्रफल का एक वर्ग बनाया गया है। यदि उसी तार को मोड़कर एक वृत्त बनाया जाए, तो उस वृत्त का क्षेत्रफल क्या होगा?
वर्ग का क्षेत्रफल = a² = 121 ⇒ a = 11 सेमी
तार की कुल लंबाई = वर्ग का परिमाप = 4a = 4 × 11 = 44 सेमी
वृत्त की परिधि = 44 सेमी
2πr = 44 ⇒ 2 × (22/7) × r = 44 ⇒ r = 7 सेमी
वृत्त का क्षेत्रफल = πr² = (22/7) × 7 × 7 = 154 वर्ग सेमी
- ✔ Answer: 154 वर्ग सेमी
- Q 50 [वृत्त एवं अर्धवृत्त की परिमिति और क्षेत्रफल]: एक समबाहु त्रिभुज के अंतर्वृत्त और परिवृत्त के क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा, यदि त्रिभुज की भुजा 'a' है?
अंतर्वृत्त की त्रिज्या (r) = a / (2√3)
परिवृत्त की त्रिज्या (R) = a / √3
क्षेत्रफल का अनुपात = πr² : πR² = r² : R²
अनुपात = [a / (2√3)]² : [a / √3]²
अनुपात = (a² / 12) : (a² / 3) = 1/4 : 1 = 1 : 4
How it is asked
Asked in almost every SSC CGL, CHSL, MTS, and GD paper (1-2 questions). Dominant patterns include wheel revolutions, area of circular tracks (rings), and wire bending between circle and square.
Common mistakes
- ✘ अर्धवृत्त का परिमाप निकालते समय छात्र अक्सर केवल πr लिख देते हैं और व्यास (2r) जोड़ना भूल जाते हैं। अर्धवृत्त का परिमाप हमेशा πr + 2r = (36/7)r होता है।
- ✘ पहिए वाले प्रश्नों में दूरी (किमी/मीटर) और पहिए की त्रिज्या (सेमी) की इकाइयों (Units) को समान करना भूल जाते हैं, जिससे उत्तर गलत आता है।
💡 यदि वृत्त की त्रिज्या 7 का गुणज (जैसे 7, 14, 21, 28) हो, तो परिधि (44, 88, 132, 176) और क्षेत्रफल (154, 616, 1386, 2464) सीधे याद रखें; इससे 80% प्रश्न बिना गणना के 5 सेकंड में हल हो जाते हैं। र/7 गुणक k होने पर क्षेत्रफल 154k² होता है। (जैसे r=14 ⇒ k=2 ⇒ क्षेत्रफल = 154 × 4 = 616)।
Percentage Change in Area
When the linear dimensions (sides or radius) of a 2D shape (like rectangle, square, circle, triangle) are changed by a percentage, the area undergoes a two-dimensional successive percentage change. Since area depends on the product of two linear dimensions (e.g., L × B for rectangle, πr² for circle), successive percentage change rules apply. In SSC exams, whenever side/radius changes are given and area change is asked, use the net percentage formula or successive change method.
Formulas with examples
📐 प्रभावी % परिवर्तन = x + y + (x × y) / 100 — Used when two dimensions (like length-breadth or base-height) change by x% and y% respectively.
- Example 51: एक आयत की लंबाई में 20% की वृद्धि और चौड़ाई में 10% की कमी की जाती है। क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
x = +20, y = -10
प्रभावी % = 20 + (-10) + (20 × -10)/100
= 10 - 200/100
= 10 - 2 = +8%
- ✔ Answer: 8% की वृद्धि
- Example 52: एक त्रिभुज के आधार में 15% की वृद्धि और ऊँचाई में 20% की वृद्धि की जाती है। इसके क्षेत्रफल में % वृद्धि ज्ञात कीजिए।
x = +15, y = +20
प्रभावी % = 15 + 20 + (15 × 20)/100
= 35 + 300/100
= 35 + 3 = +38%
📐 वृत्त/वर्ग के क्षेत्रफल में % परिवर्तन = 2r + (r² / 100) — Used when side of a square or radius/diameter of a circle is changed by r%.
- Example 53: यदि एक वृत्त की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है, तो इसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
r = +10
% परिवर्तन = 2(10) + (10²)/100
= 20 + 100/100
= 20 + 1 = +21%
- ✔ Answer: 21% की वृद्धि
- Example 54: यदि वर्ग की प्रत्येक भुजा में 20% की कमी कर दी जाए, तो इसके क्षेत्रफल में प्रतिशत कमी ज्ञात कीजिए।
r = -20
% परिवर्तन = 2(-20) + ((-20)²)/100
= -40 + 400/100
= -40 + 4 = -36%
Question types asked
- आयत की लंबाई और चौड़ाई में भिन्न प्रतिशत परिवर्तन
- वर्ग या वृत्त की भुजा/त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन
- त्रिभुज या अन्य आकृतियों के आधार और ऊँचाई में परिवर्तन
- क्षेत्रफल को अपरिवर्तित रखने के लिए भुजा में परिवर्तन
- भुजा या त्रिज्या के गुणात्मक परिवर्तन पर क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन
Solved questions (every type)
- Q 55 [आयत की लंबाई और चौड़ाई में भिन्न प्रतिशत परिवर्तन]: एक आयताकार मैदान की लंबाई में 25% की वृद्धि तथा चौड़ाई में 20% की कमी की जाती है। मैदान के क्षेत्रफल में शुद्ध प्रतिशत परिवर्तन क्या है?
x = +25, y = -20
कुल % परिवर्तन = x + y + (xy)/100
= 25 - 20 + (25 × -20)/100
= 5 - 500/100
= 5 - 5 = 0%
- ✔ Answer: 0% (क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहेगा)
- Q 56 [आयत की लंबाई और चौड़ाई में भिन्न प्रतिशत परिवर्तन]: एक आयत की लंबाई 30% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 15% बढ़ाई जाती है। आयत के क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
x = +30, y = +15
% वृद्धि = 30 + 15 + (30 × 15)/100
= 45 + 450/100
= 45 + 4.5 = 49.5%
- ✔ Answer: 49.5% की वृद्धि
- Q 57 [वर्ग या वृत्त की भुजा/त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन]: एक वृत्त की त्रिज्या को 50% बढ़ाने पर उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
r = +50
% परिवर्तन = 2(50) + (50 × 50)/100
= 100 + 2500/100
= 100 + 25 = 125%
- ✔ Answer: 125% की वृद्धि
- Q 58 [वर्ग या वृत्त की भुजा/त्रिज्या में प्रतिशत परिवर्तन]: यदि एक वर्ग की प्रत्येक भुजा में 15% की कमी की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की कमी होगी?
r = -15
% परिवर्तन = 2(-15) + ((-15)²)/100
= -30 + 225/100
= -30 + 2.25 = -27.75%
- ✔ Answer: 27.75% की कमी
- Q 59 [त्रिभुज या अन्य आकृतियों के आधार और ऊँचाई में परिवर्तन]: एक त्रिभुज के आधार में 40% की वृद्धि की गई और उसकी ऊँचाई में 30% की कमी की गई। त्रिभुज के क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
आधार में परिवर्तन x = +40
ऊँचाई में परिवर्तन y = -30
क्षेत्रफल में % परिवर्तन = 40 + (-30) + (40 × -30)/100
= 10 - 1200/100
= 10 - 12 = -2%
- ✔ Answer: 2% की कमी
- Q 60 [क्षेत्रफल को अपरिवर्तित रखने के लिए भुजा में परिवर्तन]: एक आयत की लंबाई में 25% की वृद्धि की जाती है। इसके क्षेत्रफल को पूर्ववत रखने के लिए चौड़ाई में कितने प्रतिशत की कमी करनी होगी?
माना प्रारंभिक क्षेत्रफल = 100
लंबाई बढ़ने के बाद क्षेत्रफल = 125
क्षेत्रफल को वापस 100 करने के लिए कमी = 25
% कमी = (25 / 125) × 100
= (1 / 5) × 100 = 20%
- ✔ Answer: 20% की कमी
- Q 61 [भुजा या त्रिज्या के गुणात्मक परिवर्तन पर क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन]: यदि किसी वृत्त की त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए, तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?
माना प्रारंभिक त्रिज्या = 1, प्रारंभिक क्षेत्रफल = π(1)² = π
नई त्रिज्या = 2, नया क्षेत्रफल = π(2)² = 4π
क्षेत्रफल में वृद्धि = 4π - π = 3π
% वृद्धि = (3π / π) × 100 = 300%
How it is asked
Questions from this sub-topic appear in almost every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, and GD exams. 1-2 direct questions are asked on % change in area of rectangle, circle, or square.
Common mistakes
- ✘ वृद्धि (+x) और कमी (-x) के चिन्ह (Sign) का ध्यान न रखना, जिससे सूत्र में -x × y की जगह गलती से +x × y लिख देना।
- ✘ त्रिज्या दोगुना करने पर क्षेत्रफल 200% बढ़ना मान लेना, जबकि क्षेत्रफल 4 गुना (अर्थात 300% वृद्धि) होता है।
💡 त्रिज्या या भुजा में 10%, 20%, 30% वृद्धि होने पर क्षेत्रफल में सीधे याद रखें: 10% → 21%, 20% → 44%, 30% → 69% वृद्धि होती है। इससे परीक्षा में समय बचता है।JS0N-READY-END-FLAG-OK
All formulas at a glance
- Area of Triangle = (1/2) × Base × Height
- Heron's Formula: Area = √[s(s-a)(s-b)(s-c)], where s = (a+b+c)/2
- Equilateral Triangle Area = (√3/4)a² and Height = (√3/2)a
- Rectangle Area = l × b, Perimeter = 2(l + b); Square Area = a² or (1/2)d²
- Outer Path Area = 2w(l + b + 2w); Inner Path Area = 2w(l + b - 2w)
- Rhombus Area = (1/2) × d₁ × d₂ and Side a = (1/2)√(d₁² + d₂²)
- Trapezium Area = (1/2) × (Sum of parallel sides) × Distance between them
- Circle Area = πr², Circumference = 2πr; Perimeter of Semicircle = πr + 2r
- Sector Area = (θ/360°) × πr² and Arc length = (θ/360°) × 2πr
- Ring Area = π(R² - r²); Number of Revolutions = Total Distance / (2πr)
- Percentage Change in Area = x + y + (xy/100)