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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

क्षेत्रमिति 3D (आयतन एवं पृष्ठीय क्षेत्रफल)

3D Mensuration (Volume & Surface Area)

📖 किताब की तरह पढ़ें 📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

क्षेत्रमिति 3D (Mensuration 3D) SSC CGL, CHSL और CPO परीक्षाओं का एक अत्यंत महत्वपूर्ण अध्याय है। Tier-1 में इससे लगभग 2-3 प्रश्न तथा Tier-2 में 3-5 प्रश्न पूछे जाते हैं। यह अध्याय सीधे सूत्रों और सटीकता पर आधारित होने के कारण अत्यधिक अंकदायी (scoring) है।

घन और घनाभ (Cube & Cuboid)

घन (Cube) और घनाभ (Cuboid) 3D आकृतियां हैं जिनमें 6 फलक (faces), 12 किनारे (edges) और 8 शीर्ष (vertices) होते हैं। घनाभ में लंबाई (l), चौड़ाई (b) और ऊंचाई (h) अलग-अलग हो सकती हैं, जबकि घन की तीनों भुजाएं बराबर (a) होती हैं। आयतन (Volume) त्रिविमीय स्थान की माप है, संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) बाहरी 6 फलकों के क्षेत्रफल का योग है, और विकर्ण (Diagonal) इसके अंदर रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ (longest rod) की लंबाई दर्शाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 घनाभ (Cuboid): आयतन = l × b × h | TSA = 2(lb + bh + hl) | विकर्ण = √(l² + b² + h²) | 4 दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) — जब घनाभ की लंबाई (l), चौड़ाई (b) और ऊंचाई (h) दी गई हो या ज्ञात करनी हो।

उदाहरण 1: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 12 सेमी, 9 सेमी और 8 सेमी हैं। घनाभ का आयतन और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

आयतन = l × b × h = 12 × 9 × 8 = 864 सेमी³

विकर्ण = √(l² + b² + h²)

विकर्ण = √(12² + 9² + 8²) = √(144 + 81 + 64)

विकर्ण = √289 = 17 सेमी

✔ उत्तर: आयतन = 864 सेमी³, विकर्ण = 17 सेमी
उदाहरण 2: एक घनाभ का आयतन 480 सेमी³ है और इसके आधार का क्षेत्रफल 60 सेमी² है। घनाभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

आधार का क्षेत्रफल = l × b = 60 सेमी²

आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई (h)

480 = 60 × h

h = 480 / 60 = 8 सेमी

✔ उत्तर: 8 सेमी

📐 घन (Cube): आयतन = a³ | TSA = 6a² | विकर्ण = a√3 | 4 दीवारों का क्षेत्रफल = 4a² — जब आकृति एक घन (Cube) हो जिसकी सभी भुजाएं (a) बराबर होती हैं।

उदाहरण 3: एक घन की प्रत्येक भुजा 7 सेमी है। घन का आयतन और संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

भुजा (a) = 7 सेमी

आयतन = a³ = 7³ = 343 सेमी³

TSA = 6a² = 6 × (7)² = 6 × 49 = 294 सेमी²

✔ उत्तर: आयतन = 343 सेमी³, TSA = 294 सेमी²
उदाहरण 4: यदि किसी घन का विकर्ण 9√3 सेमी है, तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

घन का विकर्ण = a√3

a√3 = 9√3 ⇒ a = 9 सेमी

आयतन = a³ = 9³ = 729 सेमी³

✔ उत्तर: 729 सेमी³

परीक्षा में आने वाले प्रकार

घनाभ के बेसिक सूत्र (आयतन, संपूर्ण पृष्ठ और विकर्ण)
घन के बेसिक सूत्र (आयतन, पृष्ठ क्षेत्रफल और विकर्ण)
घनाभ की विमाओं (l, b, h) के अनुपात पर आधारित प्रश्न
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (4 Walls Area)
घन/घनाभ की भुजाओं में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 5 [घनाभ के बेसिक सूत्र (आयतन, संपूर्ण पृष्ठ और विकर्ण)]: एक 10 मी × 8 मी × 6 मी माप वाले कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ (Longest rod) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

सबसे लंबी छड़ = घनाभ का विकर्ण

विकर्ण = √(l² + b² + h²)

विकर्ण = √(10² + 8² + 6²)

विकर्ण = √(100 + 64 + 36) = √200

विकर्ण = √(100 × 2) = 10√2 मी

✔ उत्तर: 10√2 मी
प्रश्न 6 [घन के बेसिक सूत्र (आयतन, पृष्ठ क्षेत्रफल और विकर्ण)]: एक घन का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) 384 सेमी² है। इस घन का आयतन और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

TSA = 6a² = 384

a² = 384 / 6 = 64 ⇒ a = 8 सेमी

आयतन = a³ = 8³ = 512 सेमी³

विकर्ण = a√3 = 8√3 सेमी

✔ उत्तर: आयतन = 512 सेमी³, विकर्ण = 8√3 सेमी
प्रश्न 7 [घनाभ की विमाओं (l, b, h) के अनुपात पर आधारित प्रश्न]: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात 4 : 3 : 2 है। यदि इसका संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) 1300 सेमी² है, तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

माना l = 4x, b = 3x, h = 2x

TSA = 2(lb + bh + hl) = 1300

2(4x·3x + 3x·2x + 2x·4x) = 1300

2(12x² + 6x² + 8x²) = 1300 ⇒ 52x² = 1300

x² = 1300 / 52 = 25 ⇒ x = 5

l = 20 सेमी, b = 15 सेमी, h = 10 सेमी

आयतन = l × b × h = 20 × 15 × 10 = 3000 सेमी³

✔ उत्तर: 3000 सेमी³
प्रश्न 8 [कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (4 Walls Area)]: एक कमरे की लंबाई 15 मी, चौड़ाई 10 मी और ऊंचाई 6 मी है। इसकी चारों दीवारों पर 8 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का खर्च कितना होगा?

चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b)

क्षेत्रफल = 2 × 6 × (15 + 10)

क्षेत्रफल = 12 × 25 = 300 मी²

सफेदी का कुल खर्च = 300 × 8 = 2400 रुपये

✔ उत्तर: ₹2400
प्रश्न 9 [घन/घनाभ की भुजाओं में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव]: यदि किसी घन की प्रत्येक भुजा में 20% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

माना प्रारंभिक भुजा = 10 ⇒ प्रारंभिक आयतन = 10³ = 1000

नई भुजा = 10 का 120% = 12

नया आयतन = 12³ = 1728

आयतन में वृद्धि = 1728 - 1000 = 728

प्रतिशत वृद्धि = (728 / 1000) × 100 = 72.8%

✔ उत्तर: 72.8%
प्रश्न 10 [घनाभ के बेसिक सूत्र (आयतन, संपूर्ण पृष्ठ और विकर्ण)]: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का योग 19 सेमी है तथा इसके विकर्ण की लंबाई 11 सेमी है। घनाभ का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

दिया है: l + b + h = 19

विकर्ण = √(l² + b² + h²) = 11 ⇒ l² + b² + h² = 121

बीजगणित सूत्र: (l + b + h)² = (l² + b² + h²) + 2(lb + bh + hl)

(19)² = 121 + TSA

361 = 121 + TSA

TSA = 361 - 121 = 240 सेमी²

✔ उत्तर: 240 सेमी²
प्रश्न 11 [घनाभ की विमाओं (l, b, h) के अनुपात पर आधारित प्रश्न]: दो घनों के आयतनों का अनुपात 27 : 64 है। इनके संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

आयतन का अनुपात = a1³ : a2³ = 27 : 64

भुजाओं का अनुपात (a1 : a2) = ∛27 : ∛64 = 3 : 4

पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात = 6(a1)² : 6(a2)² = (a1)² : (a2)²

क्षेत्रफलों का अनुपात = 3² : 4² = 9 : 16

✔ उत्तर: 9 : 16

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, CPO और Railway परीक्षाओं में इस उप-विषय से 1-2 प्रश्न सीधे विकर्ण (longest rod), कमरे की 4 दीवारों पर सफेदी का खर्च, (l+b+h) वाले बीजगणितीय संबंध और प्रतिशत परिवर्तन पर पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

✘ कमरे की दीवारों पर सफेदी का खर्च निकालते समय 4 दीवारों (2h(l+b)) के बजाय गलती से 6 फलकों (TSA) का क्षेत्रफल निकाल लेना।
✘ भुजा में प्रतिशत वृद्धि होने पर आयतन में वृद्धि को सीधे 3 गुणा समझ लेना, जबकि आयतन 3D में क्रमिक (successive) या त्रिघात (a³) नियम से बदलता है।
✘ विकर्ण का मान निकालते समय मानों के वर्गों का योग करके उसका वर्गमूल (Square Root) लेना भूल जाना।

💡 यदि प्रश्नों में (l + b + h) तथा विकर्ण d दिया हो, तो अलग-अलग भुजाएं निकालने के बजाय सीधे बीजीय सर्वसमिका (l+b+h)² = d² + TSA का प्रयोग करके समय बचाएं। Percentage change in Volume of Cube = (1 + x/100)³ - 1 का उपयोग करें।| short ratio method is best for % change questions. Avoid lengthy calculations by learning cube numbers up to 20.

बेलन (Cylinder): आयतन, वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

बेलन (Cylinder) एक ऐसी 3D आकृति है जिसके ऊपर और नीचे दो समान वृत्ताकार आधार (Circular Bases) होते हैं। इसकी त्रिज्या (r) और ऊँचाई (h) इसके मुख्य भाग हैं। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) केवल घुमावदार हिस्से का क्षेत्रफल होता है, जबकि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) में दोनों वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल भी जुड़ जाता है। आयतन (Volume) यह बताता है कि बेलन के अंदर कितनी जगह या वस्तु आ सकती है। परीक्षा में अक्सर त्रिज्या या ऊँचाई को बदलकर आयतन या क्षेत्रफल में बदलाव पूछा जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 Volume (आयतन) = πr²h — जब बेलन की क्षमता या उसके अंदर भरी जाने वाली वस्तु की मात्रा निकालनी हो।

उदाहरण 12: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, इसका आयतन ज्ञात करें।

त्रिज्या (r) = 7 सेमी, ऊँचाई (h) = 10 सेमी

आयतन = πr²h

आयतन = (22/7) × 7 × 7 × 10

आयतन = 22 × 7 × 10

आयतन = 1540 घन सेमी

✔ उत्तर: 1540 cm³
उदाहरण 13: एक बेलनाकार टैंक की धारिता ज्ञात करें जिसकी त्रिज्या 14 मीटर और गहराई 5 मीटर है।

r = 14 मी, h = 5 मी

आयतन = (22/7) × 14 × 14 × 5

आयतन = 22 × 2 × 14 × 5

आयतन = 44 × 70

आयतन = 3080 घन मीटर

✔ उत्तर: 3080 m³

📐 Curved Surface Area (CSA) = 2πrh — जब केवल बेलन की बाहरी घुमावदार सतह को पेंट करना हो या उस पर लेबल लगाना हो।

उदाहरण 14: एक बेलन का व्यास 14 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

व्यास = 14 सेमी, इसलिए r = 7 सेमी

ऊँचाई (h) = 20 सेमी

CSA = 2 × (22/7) × 7 × 20

CSA = 2 × 22 × 20

CSA = 880 वर्ग सेमी

✔ उत्तर: 880 cm²
उदाहरण 15: यदि एक बेलन की त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, तो CSA ज्ञात करें।

r = 3.5 = 7/2 सेमी, h = 10 सेमी

CSA = 2 × (22/7) × (7/2) × 10

CSA = 22 × 10

CSA = 220 वर्ग सेमी

✔ उत्तर: 220 cm²

📐 Total Surface Area (TSA) = 2πr(r + h) — जब बेलन की पूरी सतह (घुमावदार हिस्सा + ऊपर और नीचे के ढक्कन) का क्षेत्रफल निकालना हो।

उदाहरण 16: एक बंद बेलनाकार डिब्बे की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

r = 7 सेमी, h = 3 सेमी

TSA = 2πr(r + h)

TSA = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 3)

TSA = 44 × 10

TSA = 440 वर्ग सेमी

✔ उत्तर: 440 cm²
उदाहरण 17: एक बेलन की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। TSA ज्ञात करें।

r = 14 सेमी, h = 6 सेमी

TSA = 2 × (22/7) × 14 × (14 + 6)

TSA = 2 × 22 × 2 × 20

TSA = 88 × 20

TSA = 1760 वर्ग सेमी

✔ उत्तर: 1760 cm²

परीक्षा में आने वाले प्रकार

त्रिज्या और ऊँचाई से सीधा आयतन या क्षेत्रफल निकालना
आयतन या CSA दिया होने पर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना
दो बेलनों की त्रिज्या और ऊँचाई के अनुपात पर आधारित प्रश्न
बेलन के CSA और आयतन के बीच संबंध
बेलन के आधार की परिधि (Circumference) से संबंधित प्रश्न
बेलन की त्रिज्या या ऊँचाई में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 18 [त्रिज्या और ऊँचाई से सीधा आयतन या क्षेत्रफल निकालना]: एक बेलन के आधार की त्रिज्या 21 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

r = 21 सेमी, h = 10 सेमी

आयतन = πr²h

आयतन = (22/7) × 21 × 21 × 10

आयतन = 22 × 3 × 21 × 10

आयतन = 66 × 210

आयतन = 13860 घन सेमी

✔ उत्तर: 13860 cm³
प्रश्न 19 [आयतन या CSA दिया होने पर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना]: एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 वर्ग सेमी है और इसकी त्रिज्या 7 सेमी है। इसकी ऊँचाई ज्ञात करें।

CSA = 440, r = 7

2πrh = 440

2 × (22/7) × 7 × h = 440

44 × h = 440

h = 440 / 44

h = 10 सेमी

✔ उत्तर: 10 cm
प्रश्न 20 [दो बेलनों की त्रिज्या और ऊँचाई के अनुपात पर आधारित प्रश्न]: दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है और उनकी ऊँचाई का अनुपात 5:4 है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?

r1/r2 = 2/3, h1/h2 = 5/4

आयतन का अनुपात = (π r1² h1) / (π r2² h2)

अनुपात = (r1/r2)² × (h1/h2)

अनुपात = (2/3)² × (5/4)

अनुपात = (4/9) × (5/4)

अनुपात = 5/9

✔ उत्तर: 5:9
प्रश्न 21 [बेलन के CSA और आयतन के बीच संबंध]: एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 264 वर्ग मीटर है और इसका आयतन 924 घन मीटर है। इसकी त्रिज्या ज्ञात करें।

आयतन / CSA = (πr²h) / (2πrh) = r/2

924 / 264 = r/2

3.5 = r/2

r = 3.5 × 2

r = 7 मीटर

✔ उत्तर: 7 m
प्रश्न 22 [बेलन के आधार की परिधि (Circumference) से संबंधित प्रश्न]: एक बेलन के आधार की परिधि 44 सेमी है और इसकी ऊँचाई 15 सेमी है। इसका आयतन क्या है?

आधार की परिधि = 2πr = 44

2 × (22/7) × r = 44

44/7 × r = 44 => r = 7 सेमी

आयतन = πr²h

आयतन = (22/7) × 7 × 7 × 15

आयतन = 154 × 15

आयतन = 2310 घन सेमी

✔ उत्तर: 2310 cm³
प्रश्न 23 [बेलन की त्रिज्या या ऊँचाई में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव]: यदि एक बेलन की त्रिज्या को 20% बढ़ा दिया जाए और ऊँचाई को 10% कम कर दिया जाए, तो आयतन में कितने प्रतिशत परिवर्तन होगा?

माना r=10, h=10, आयतन = π(10)²(10) = 1000π

नयी r = 12, नयी h = 9

नया आयतन = π(12)²(9) = π(144)(9) = 1296π

वृद्धि = 1296π - 1000π = 296π

प्रतिशत वृद्धि = (296/1000) × 100 = 29.6%

✔ उत्तर: 29.6% वृद्धि
प्रश्न 24 [आयतन या CSA दिया होने पर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना]: एक बेलन का आयतन 448π घन सेमी है और ऊँचाई 7 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

आयतन = πr²h = 448π

r² × 7 = 448

r² = 448 / 7 = 64 => r = 8 सेमी

CSA = 2πrh

CSA = 2 × π × 8 × 7

CSA = 112π वर्ग सेमी

✔ उत्तर: 112π cm²

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और MTS में इस टॉपिक से हर साल 1-2 प्रश्न आते हैं। ज्यादातर प्रश्न त्रिज्या/ऊँचाई के अनुपात या आयतन और CSA के बीच संबंध पर आधारित होते हैं।

आम गलतियाँ

✘ व्यास (Diameter) को ही त्रिज्या (Radius) मान लेना। हमेशा व्यास का आधा करें।
✘ आयतन निकालते समय त्रिज्या का वर्ग (r²) करना भूल जाना।
✘ इकाइयों (Units) का ध्यान न रखना, जैसे त्रिज्या सेमी में और ऊँचाई मीटर में होना।

💡 यदि त्रिज्या 7 का गुणज है, तो आधार का क्षेत्रफल (πr²) हमेशा 154 का गुणज होगा। उत्तर की जाँच के लिए 11 से विभाज्यता (divisibility) का नियम भी लगा सकते हैं क्योंकि π में 22 (2x11) होता है।

शंकु और शंकु का छिन्नक

शंकु एक ऐसी 3D आकृति है जिसका आधार वृत्ताकार और शीर्ष एक बिंदु होता है। शंकु की ऊँचाई (h), त्रिज्या (r) और तिर्यक ऊँचाई (l) समकोण त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय से l = √(r² + h²) होता है। जब किसी शंकु को उसके आधार के समानांतर किसी तल द्वारा काटा जाता है, तो नीचे बचे हुए भाग को 'छिन्नक' (Frustum/बाल्टी का आकार) कहते हैं। परीक्षा में तम्बू (tent) का कपड़ा, बाल्टी की धारिता या शंकु को काटने पर बने भागों के अनुपात पर प्रश्न पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²), CSA = πrl, TSA = πr(l + r), आयतन (V) = (1/3)πr²h — जब किसी शंकु की त्रिज्या, ऊँचाई या तिर्यक ऊँचाई दी गई हो और वक्र पृष्ठ, कुल पृष्ठ या आयतन निकालना हो।

उदाहरण 25: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) ज्ञात कीजिए।

तिर्यक ऊँचाई l = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

CSA = (22/7) × 7 × 25

CSA = 22 × 25 = 550 सेमी²

✔ उत्तर: 550 सेमी²
उदाहरण 26: एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

आयतन V = (1/3)πr²h

V = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 12

V = (1/3) × 22 × 7 × 12

V = 22 × 7 × 4 = 616 सेमी³

✔ उत्तर: 616 सेमी³

📐 छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l = √[h² + (R - r)²], CSA = π(R + r)l, आयतन V = (1/3)πh(R² + r² + Rr) — जब किसी बाल्टी या शंकु के छिन्नक के दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ (R और r) तथा ऊँचाई (h) दी गई हों।

उदाहरण 27: एक छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी हैं तथा ऊँचाई 24 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई (l) ज्ञात कीजिए।

R = 14 सेमी, r = 7 सेमी, h = 24 सेमी

R - r = 14 - 7 = 7 सेमी

l = √[h² + (R - r)²] = √(24² + 7²) = √(576 + 49)

l = √625 = 25 सेमी

✔ उत्तर: 25 सेमी
उदाहरण 28: एक छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 2 सेमी हैं तथा ऊँचाई 6 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

R = 8 सेमी, r = 2 सेमी, h = 6 सेमी

R² + r² + Rr = 8² + 2² + (8 × 2) = 64 + 4 + 16 = 84

आयतन V = (1/3) × (22/7) × 6 × 84

V = 2 × (22/7) × 84 = 2 × 22 × 12 = 528 सेमी³

✔ उत्तर: 528 सेमी³

📐 ऊँचाई का अनुपात (h₁/h₂) = त्रिज्या का अनुपात (r₁/r₂), आयतन का अनुपात (V₁/V₂) = (h₁/h₂)³ — जब शंकु को आधार के समानांतर काटा जाता है और छोटे शंकु तथा मूल शंकु या छिन्नक के आयतन का अनुपात निकालना हो।

उदाहरण 29: 30 सेमी ऊँचाई वाले शंकु को शीर्ष से 10 सेमी नीचे आधार के समानांतर काटा गया। छोटे शंकु और मूल शंकु के आयतन का अनुपात क्या होगा?

ऊँचाइयों का अनुपात h₁/h₂ = 10/30 = 1/3

आयतन का अनुपात V₁/V₂ = (h₁/h₂)³

V₁/V₂ = (1/3)³ = 1/27

अनुपात = 1 : 27

✔ उत्तर: 1 : 27
उदाहरण 30: एक 20 सेमी ऊँचे शंकु को मध्य-बिंदु से आधार के समानांतर काटा जाता है। ऊपरी छोटे शंकु और निचले छिन्नक के आयतन का अनुपात क्या होगा?

ऊँचाइयों का अनुपात h₁ : H = 1 : 2

शंकुओं के आयतन का अनुपात V₁ : V = 1³ : 2³ = 1 : 8

निचले छिन्नक का आयतन = V - V₁ = 8 - 1 = 7

वांछित अनुपात = 1 : 7

✔ उत्तर: 1 : 7

परीक्षा में आने वाले प्रकार

शंकु का आयतन, वक्र पृष्ठ और कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करना
शंकु की तिर्यक ऊँचाई या ऊँचाई से संबंधित प्रश्न (पाइथागोरस त्रिक)
शंकु को आधार के समानांतर काटना (अनुपात और छिन्नक का आयतन)
कैनवास/तम्बू बनाने में आवश्यक कपड़ा या लागत
शंकु के छिन्नक (बाल्टी) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 31 [शंकु का आयतन, वक्र पृष्ठ और कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करना]: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = 25 सेमी

सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA) = πr(l + r)

TSA = (22/7) × 7 × (25 + 7)

TSA = 22 × 32

TSA = 704 सेमी²

✔ उत्तर: 704 सेमी²
प्रश्न 32 [शंकु की तिर्यक ऊँचाई या ऊँचाई से संबंधित प्रश्न (पाइथागोरस त्रिक)]: यदि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 550 सेमी² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है, तो शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

वक्र पृष्ठ πrl = 550

(22/7) × r × 25 = 550

r = (550 × 7) / (22 × 25) = 7 सेमी

ऊँचाई h = √(l² - r²) = √(25² - 7²) = 24 सेमी

आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 24

आयतन = 22 × 7 × 8 = 1232 सेमी³

✔ उत्तर: 1232 सेमी³
प्रश्न 33 [शंकु को आधार के समानांतर काटना (अनुपात और छिन्नक का आयतन)]: 45 सेमी ऊँचाई वाले एक ठोस शंकु को आधार के समानांतर, आधार से 15 सेमी ऊपर एक तल द्वारा काटा जाता है। यदि मूल शंकु का आयतन 2700 सेमी³ था, तो कटे हुए छोटे शंकु का आयतन कितना होगा?

मूल शंकु की ऊँचाई H = 45 सेमी

छोटे शंकु की ऊँचाई h = 45 - 15 = 30 सेमी

ऊँचाइयों का अनुपात h/H = 30/45 = 2/3

आयतन का अनुपात = (h/H)³ = (2/3)³ = 8/27

छोटे शंकु का आयतन = 2700 × (8/27) = 100 × 8

आयतन = 800 सेमी³

✔ उत्तर: 800 सेमी³
प्रश्न 34 [कैनवास/तम्बू बनाने में आवश्यक कपड़ा या लागत]: एक शंक्वाकार तम्बू के आधार का व्यास 14 मीटर और ऊँचाई 24 मीटर है। 2 मीटर चौड़े कैनवास का उपयोग करके इस तम्बू को बनाने के लिए कितने मीटर कपड़े की आवश्यकता होगी?

त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 मी, ऊँचाई h = 24 मी

तिर्यक ऊँचाई l = √(7² + 24²) = 25 मी

आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल = CSA = πrl

क्षेत्रफल = (22/7) × 7 × 25 = 550 मी²

कपड़े का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 550

लम्बाई = 550 / 2 = 275 मी

✔ उत्तर: 275 मी
प्रश्न 35 [शंकु के छिन्नक (बाल्टी) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल]: एक बाल्टी (शंकु के छिन्नक के आकार की) के दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 20 सेमी और 10 सेमी हैं तथा गहराई 21 सेमी है। बाल्टी की धारिता लीटर में ज्ञात कीजिए।

R = 20 सेमी, r = 10 सेमी, h = 21 सेमी

R² + r² + Rr = 20² + 10² + (20 × 10) = 400 + 100 + 200 = 700

आयतन V = (1/3) × (22/7) × 21 × 700

V = 22 × 700 = 15400 सेमी³

धारिता लीटर में = 15400 / 1000 = 15.4 लीटर

✔ उत्तर: 15.4 लीटर
प्रश्न 36 [शंकु को आधार के समानांतर काटना (अनुपात और छिन्नक का आयतन)]: एक शंकु को उसकी ऊँचाई के सम-त्रिभाजक (3 बराबर भागों) बिंदुओं से आधार के समानांतर दो तलों द्वारा काटा जाता है। शीर्ष से नीचे की ओर बने तीनों भागों के आयतन का अनुपात क्या होगा?

तीनों शंकुओं की ऊँचाई का अनुपात = 1 : 2 : 3

तीनों पूर्ण शंकुओं के आयतन का अनुपात = 1³ : 2³ : 3³ = 1 : 8 : 27

शीर्ष शंकु का आयतन = 1 इकाई

मध्य भाग (छिन्नक 1) = 8 - 1 = 7 इकाई

निचला भाग (छिन्नक 2) = 27 - 8 = 19 इकाई

तीनों भागों के आयतन का अनुपात = 1 : 7 : 19

✔ उत्तर: 1 : 7 : 19
प्रश्न 37 [शंकु के छिन्नक (बाल्टी) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल]: एक शंकु के छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 15 सेमी और 6 सेमी हैं तथा इसकी ऊँचाई 12 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) ज्ञात कीजिए।

R = 15 सेमी, r = 6 सेमी, h = 12 सेमी

R - r = 15 - 6 = 9 सेमी

तिर्यक ऊँचाई l = √[12² + 9²] = √(144 + 81) = √225 = 15 सेमी

CSA = π(R + r)l

CSA = (22/7) × (15 + 6) × 15

CSA = (22/7) × 21 × 15 = 22 × 3 × 15 = 990 सेमी²

✔ उत्तर: 990 सेमी²

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier 1 & 2), CHSL और GD में शंकु से हर शिफ्ट में 1 प्रश्न अवश्य आता है। सबसे अधिक प्रश्न तम्बू के वक्र पृष्ठ (πrl), पाइथागोरस त्रिक (7, 24, 25 या 5, 12, 13) पर आधारित तिर्यक ऊँचाई, और शंकु को आधार के समानांतर काटने वाले आयतन अनुपात पर पूछे जाते हैं। छिन्नक (Frustum) के प्रश्न मुख्य रूप से CGL Tier-2 में आते हैं।

आम गलतियाँ

✘ वक्र पृष्ठ (πrl) निकालते समय तिर्यक ऊँचाई (l) की जगह सीधी ऊँचाई (h) का प्रयोग कर देना।
✘ तम्बू (tent) का कपड़ा निकालते समय फर्श का क्षेत्रफल भी जोड़ देना; तम्बू में केवल वक्र पृष्ठ (CSA) लिया जाता है क्योंकि जमीन पर कैनवास नहीं बिछाया जाता।
✘ शंकु को काटने वाले प्रश्नों में ऊँचाई आधार से दी है या शीर्ष से, इसे ध्यान से न पढ़ना और अनुपात गलत लेना।

💡 शंकु के प्रश्नों में (r, h, l) हमेशा समकोण त्रिभुज बनाते हैं, इसलिए पाइथागोरियन त्रिक (3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17) याद रखें। इसके अलावा, π के मान (22/7) के कारण उत्तर प्रायः 11 का गुणज होता है, जिसे ऑप्शन एलिमिनेशन में इस्तेमाल करें। ट्रिक तभी छोड़ें जब त्रिज्या या ऊँचाई 7 का गुणज न हो या π = 3.14 दिया हो। © 2025 SSC Math Master. All rights reserved. No part of this text may be reproduced without permission. For inquiries: help@sscmath.internal

गोला और अर्धगोला (Sphere and Hemisphere)

गोला (Sphere) एक पूरी तरह से गोल 3D आकृति है जिसका केवल एक ही वक्र पृष्ठ (Curved Surface) होता है, इसलिए इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल एक समान (4πr²) होता है। जब एक ठोस गोले को बीच से ठीक दो बराबर भागों में काटा जाता है, तो अर्धगोला (Hemisphere) बनता है। अर्धगोले में नीचे एक सपाट वृत्ताकार आधार जुड़ जाता है, जिससे इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 3πr² हो जाता है। परीक्षा में जब भी गेंद, ग्लोब, गुम्बद, या कटोरी का उल्लेख हो, तो समझें कि प्रश्न इसी अवधारणा पर आधारित है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 गोला (Sphere): आयतन (V) = (4/3)πr³, कुल पृष्ठ (TSA = CSA) = 4πr² — जब किसी ठोस गोले का आयतन, पृष्ठीय क्षेत्रफल या व्यास/त्रिज्या ज्ञात करनी हो।

उदाहरण 38: एक ठोस गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। इसका आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

त्रिज्या (r) = 7 सेमी

आयतन = (4/3) × π × r³

आयतन = (4/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7

आयतन = (4 × 22 × 49) / 3 = 4312 / 3 = 1437.33 सेमी³

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × π × r²

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 616 सेमी²

✔ उत्तर: आयतन = 1437.33 सेमी³, क्षेत्रफल = 616 सेमी²
उदाहरण 39: एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 सेमी² है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 1386

4 × (22/7) × r² = 1386

(88/7) × r² = 1386

r² = (1386 × 7) / 88

r² = (63 × 7) / 4 = 441 / 4

r = √(441 / 4) = 21 / 2 = 10.5 सेमी

✔ उत्तर: 10.5 सेमी

📐 अर्धगोला (Hemisphere): आयतन = (2/3)πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr² — जब किसी ठोस या खुले अर्धगोले का आयतन, वक्र पृष्ठ या संपूर्ण पृष्ठ निकालना हो।

उदाहरण 40: एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या 21 सेमी है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

त्रिज्या (r) = 21 सेमी

ठोस अर्धगोले का TSA = 3πr²

TSA = 3 × (22/7) × 21 × 21

TSA = 3 × 22 × 3 × 21

TSA = 66 × 63 = 4158 सेमी²

✔ उत्तर: 4158 सेमी²
उदाहरण 41: एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है। (π = 22/7)

त्रिज्या (r) = 14 सेमी

कटोरे का CSA = 2πr²

CSA = 2 × (22/7) × 14 × 14

CSA = 2 × 22 × 2 × 14

CSA = 88 × 14 = 1232 सेमी²

✔ उत्तर: 1232 सेमी²

📐 खोखला गोला (Spherical Shell): धातु का आयतन = (4/3)π(R³ - r³) — जब किसी खोखले गोले या गोलीय खोल की बाहरी व आंतरिक त्रिज्या दी हो और उसमें लगी धातु का आयतन निकालना हो।

उदाहरण 42: एक खोखले गोले की बाहरी त्रिज्या 6 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 3 सेमी है। धातु का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

बाहरी त्रिज्या (R) = 6 सेमी, आंतरिक त्रिज्या (r) = 3 सेमी

धातु का आयतन = (4/3)π(R³ - r³)

आयतन = (4/3) × (22/7) × (6³ - 3³)

आयतन = (4/3) × (22/7) × (216 - 27)

आयतन = (4/3) × (22/7) × 189

आयतन = (88/21) × 189 = 88 × 9 = 792 सेमी³

✔ उत्तर: 792 सेमी³
उदाहरण 43: एक खोखले अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक और बाहरी त्रिज्या क्रमशः 7 सेमी और 8 सेमी है। कटोरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

r = 7 सेमी, R = 8 सेमी

कुल पृष्ठ = बाहरी CSA + भीतरी CSA + रिंग का क्षेत्रफल

TSA = 2πR² + 2πr² + π(R² - r²) = π(3R² + r²)

TSA = (22/7) × (3 × 64 + 49)

TSA = (22/7) × (192 + 49) = (22/7) × 241

TSA = 5302 / 7 = 757.43 सेमी²

✔ उत्तर: 757.43 सेमी²

परीक्षा में आने वाले प्रकार

सीधे सूत्र पर आधारित प्रश्न (आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल)
त्रिज्या या व्यास में परिवर्तन का अनुपात एवं प्रतिशत प्रभाव
अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)
गोले को काटकर दो अर्धगोलों में बदलना (क्षेत्रफल में वृद्धि)
खोखला गोला एवं अर्धगोलाकार कटोरा

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 44 [सीधे सूत्र पर आधारित प्रश्न (आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल)]: एक गोले का आयतन 38808 सेमी³ है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)

गोले का आयतन = (4/3)πr³ = 38808

(4/3) × (22/7) × r³ = 38808

(88/21) × r³ = 38808

r³ = (38808 × 21) / 88 = 441 × 21 = 9261

r = ∛9261 = 21 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × (22/7) × 21 × 21

क्षेत्रफल = 4 × 22 × 3 × 21 = 5544 सेमी²

✔ उत्तर: 5544 सेमी²
प्रश्न 45 [त्रिज्या या व्यास में परिवर्तन का अनुपात एवं प्रतिशत प्रभाव]: दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

आयतनों का अनुपात = V₁ / V₂ = (r₁ / r₂)³ = 64 / 27

त्रिज्याओं का अनुपात = r₁ / r₂ = ∛(64 / 27) = 4 / 3

पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 4πr²

पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = (r₁ / r₂)²

अनुपात = (4 / 3)² = 16 / 9 = 16 : 9

✔ उत्तर: 16 : 9
प्रश्न 46 [त्रिज्या या व्यास में परिवर्तन का अनुपात एवं प्रतिशत प्रभाव]: यदि किसी गोले की त्रिज्या में 20% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

प्रारंभिक त्रिज्या = 100 इकाई, नई त्रिज्या = 120 इकाई (अनुपात 5 : 6)

आयतन त्रिज्या के घन (r³) के समानुपाती होता है

प्रारंभिक आयतन ∝ 5³ = 125

नया आयतन ∝ 6³ = 216

आयतन में वृद्धि = 216 - 125 = 91

प्रतिशत वृद्धि = (91 / 125) × 100 = 91 × 4 / 5 = 72.8%

✔ उत्तर: 72.8%
प्रश्न 47 [अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)]: एक ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1848 सेमी² है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ठोस अर्धगोले का TSA = 3πr²

3πr² = 1848 सेमी²

πr² = 1848 / 3 = 616 सेमी²

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πr²

CSA = 2 × 616 = 1232 सेमी²

✔ उत्तर: 1232 सेमी²
प्रश्न 48 [गोले को काटकर दो अर्धगोलों में बदलना (क्षेत्रफल में वृद्धि)]: एक ठोस गोले को उसके केंद्र से होकर जाने वाले तल द्वारा दो बराबर अर्धगोलों में काटा जाता है। इस प्रक्रिया में कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है?

मूल ठोस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

काटने पर बने 2 अर्धगोलों का कुल क्षेत्रफल = 2 × (3πr²) = 6πr²

क्षेत्रफल में हुई वृद्धि = 6πr² - 4πr² = 2πr²

प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / मूल क्षेत्रफल) × 100

प्रतिशत वृद्धि = (2πr² / 4πr²) × 100 = (1/2) × 100 = 50%

✔ उत्तर: 50%
प्रश्न 49 [खोखला गोला एवं अर्धगोलाकार कटोरा]: धातु के बने एक खोखले अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 सेमी तथा बाहरी त्रिज्या 6 सेमी है। कटोरे का कुल बाह्य एवं आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

r = 5 सेमी, R = 6 सेमी

कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = भीतरी CSA + बाहरी CSA

कुल CSA = 2πr² + 2πR² = 2π(r² + R²)

कुल CSA = 2 × 3.14 × (5² + 6²)

कुल CSA = 6.28 × (25 + 36) = 6.28 × 61

कुल CSA = 383.08 सेमी²

✔ उत्तर: 383.08 सेमी²
प्रश्न 50 [खोखला गोला एवं अर्धगोलाकार कटोरा]: एक 2 सेमी मोटाई वाले खोखले गोले का बाहरी व्यास 16 सेमी है। इसे पिघलाकर आवश्यक धातु का आयतन ज्ञात कीजिए। उत्तर π के पदों में दें।

बाहरी व्यास = 16 सेमी ⇒ बाहरी त्रिज्या (R) = 16 / 2 = 8 सेमी

मोटाई (t) = 2 सेमी ⇒ आंतरिक त्रिज्या (r) = 8 - 2 = 6 सेमी

खोखले गोले में धातु का आयतन = (4/3)π(R³ - r³)

आयतन = (4/3)π(8³ - 6³)

आयतन = (4/3)π(512 - 216)

आयतन = (4/3)π × 296 = (1184 / 3)π सेमी³

✔ उत्तर: 394.67π सेमी³ (या 1184π/3 सेमी³)

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS और GD में इस सब-टॉपिक से सीधे सूत्र आधारित मान निकालने, अनुपात (त्रिज्या, क्षेत्रफल व आयतन) और अर्धगोले के TSA (3πr²) से संबंधित 1 से 2 प्रश्न लगभग प्रत्येक शिफ्ट में पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

✘ अर्धगोले के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृत्ताकार आधार (πr²) जोड़ना भूल जाना और 3πr² की जगह 2πr² प्रयोग कर देना।
✘ व्यास (diameter) दिया होने पर उसे सीधे त्रिज्या (radius) मानकर सूत्र में रख देना।
✘ खोखले गोले में धातु का आयतन निकालते समय (R - r)³ करना, जबकि सही सूत्र (R³ - r³) होता है।

💡 यदि आयतन का अनुपात V₁ : V₂ = a : b हो, तो सीधे त्रिज्याओं का अनुपात a^(1/3) : b^(1/3) और पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात a^(2/3) : b^(2/3) होता है। परीक्षा में π के मान वाले प्रश्नों में विकल्प को 11 की विभाज्यता (divisibility of 11) से तेजी से जाँचा जा सकता है। अर्धगोले को काटते ही 2 नए वृत्ताकार पृष्ठ (2πr²) बनते हैं, अतः क्षेत्रफल सदैव 50% बढ़ता है। ठोस अर्धगोले का TSA/CSA अनुपात सदैव 3:2 होता है। खोखले अर्धगोले का कुल पृष्ठ = π(3R² + r²) होता है। गोले का आयतन और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बरा

पिघलाना और पुनः ढालना, जल स्तर में वृद्धि तथा आयतन में प्रतिशत परिवर्तन

जब किसी 3D ठोस (जैसे गोला, बेलन या घनाभ) को पिघलाकर दूसरे आकार में ढाला जाता है, तो दोनों स्थितियों में कुल आयतन (Volume) हमेशा समान रहता है। पानी से भरे बर्तन में कोई ठोस डुबोने पर, उठे हुए पानी का आयतन उस ठोस के आयतन के ठीक बराबर होता है। यदि किसी ठोस की त्रिज्या या ऊँचाई जैसी विमाओं में बदलाव किया जाए, तो आयतन में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात किया जा सकता है। SSC CGL, CHSL और रेलवे की परीक्षाओं में इन अवधारणाओं पर आधारित प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछे जाते हैं।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 संख्या (N) = बड़े ठोस का आयतन / एक छोटे ठोस का आयतन — जब एक बड़े ठोस को पिघलाकर कई छोटी समान आकृतियाँ बनाई जाती हैं।

उदाहरण 51: 6 सेमी त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या वाली कितनी छोटी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?

बड़े गोले का आयतन = (4/3) × π × 6³ सेमी³

एक छोटी गोली का आयतन = (4/3) × π × 2³ सेमी³

गोलियों की संख्या (N) = [(4/3) × π × 216] / [(4/3) × π × 8]

N = 216 / 8 = 27

✔ उत्तर: 27
उदाहरण 52: 12 सेमी लंबा, 6 सेमी चौड़ा तथा 4 सेमी ऊँचा घनाभ पिघलाकर 2 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाए जा सकते हैं?

घनाभ का आयतन = 12 × 6 × 4 = 288 सेमी³

एक घन का आयतन = 2³ = 8 सेमी³

घनों की संख्या = 288 / 8 = 36

✔ उत्तर: 36

📐 विस्थापित पानी का आयतन = बर्तन के आधार का क्षेत्रफल × जल स्तर में वृद्धि (h) — जब किसी बेलनाकार या आयताकार पात्र में कोई ठोस डुबोया जाता है और जल स्तर बढ़ता है।

उदाहरण 53: 10 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तन में कुछ पानी है। इसमें 6 सेमी त्रिज्या का एक ठोस गोला पूरी तरह डुबोया जाता है। जल स्तर में कितनी वृद्धि होगी?

गोले का आयतन = (4/3) × π × 6³ = 288π सेमी³

उठे पानी का आयतन = π × r² × h = π × 10² × h = 100π h

100π h = 288π

h = 288 / 100 = 2.88 सेमी

✔ उत्तर: 2.88 सेमी
उदाहरण 54: 20 सेमी × 15 सेमी वाले आयताकार टैंक में 5 सेमी भुजा का घन डुबोने पर जल स्तर कितना बढ़ेगा?

घन का आयतन = 5³ = 125 सेमी³

टैंक का आधार क्षेत्रफल = 20 × 15 = 300 सेमी²

जल स्तर में वृद्धि (h) = 125 / 300 = 5 / 12 सेमी

✔ उत्तर: 5/12 सेमी

📐 आयतन में % परिवर्तन = [(नया आयतन - पुराना आयतन) / पुराना आयतन] × 100 — जब किसी आकृति की त्रिज्या, ऊँचाई या भुजाओं में प्रतिशत परिवर्तन दिया गया हो।

उदाहरण 55: यदि एक गोले की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

आयतन V ∝ r³

माना प्रारंभिक r = 10 ⇒ पुराना आयतन = 10³ = 1000

नया r = 11 ⇒ नया आयतन = 11³ = 1331

वृद्धि = 1331 - 1000 = 331

% वृद्धि = (331 / 1000) × 100 = 33.1%

✔ उत्तर: 33.1%
उदाहरण 56: यदि बेलन की त्रिज्या में 20% कमी और ऊँचाई में 50% वृद्धि की जाए, तो आयतन में प्रतिशत परिवर्तन क्या होगा?

बेलन का आयतन V = π r² h

माना r = 10, h = 10 ⇒ V1 = 10² × 10 = 1000

नया r = 8, नया h = 15 ⇒ V2 = 8² × 15 = 960

कमी = 1000 - 960 = 40

% कमी = (40 / 1000) × 100 = 4%

✔ उत्तर: 4% कमी

परीक्षा में आने वाले प्रकार

ठोस को पिघलाकर छोटी गोलियाँ/वस्तुएँ बनाना
पिघलाकर नया ठोस तार (बेलन) बनाना
बर्तन में ठोस डालने पर जल स्तर में वृद्धि
त्रिज्या और ऊँचाई में परिवर्तन से आयतन में प्रतिशत प्रभाव
बेलनाकार पाइप से बहते पानी द्वारा टंकी भरने का समय

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

प्रश्न 57 [ठोस को पिघलाकर छोटी गोलियाँ/वस्तुएँ बनाना]: 10.5 सेमी त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी त्रिज्या और 3 सेमी ऊँचाई वाले छोटे शंकुओं में ढाला जाता है। इस प्रकार बने शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

गोले का आयतन = (4/3) × π × (10.5)³

एक शंकु का आयतन = (1/3) × π × (3.5)² × 3

संख्या N = [(4/3) × π × 10.5 × 10.5 × 10.5] / [(1/3) × π × 3.5 × 3.5 × 3]

N = (4 × 10.5 × 10.5 × 10.5) / (3.5 × 3.5 × 3)

N = (4 × 3 × 3 × 10.5) / 3

N = 126

✔ उत्तर: 126
प्रश्न 58 [पिघलाकर नया ठोस तार (बेलन) बनाना]: 6 सेमी व्यास वाले तांबे के एक गोले को पिघलाकर 2 मिमी समान व्यास वाला एक लंबा तार बनाया जाता है। तार की लंबाई (मीटर में) ज्ञात कीजिए।

गोले की त्रिज्या r1 = 3 सेमी

गोले का आयतन = (4/3) × π × 3³ = 36π सेमी³

तार की त्रिज्या r2 = 1 मिमी = 0.1 सेमी

तार का आयतन = π × (0.1)² × h = 0.01π h

0.01π h = 36π

h = 36 / 0.01 = 3600 सेमी

मीटर में लंबाई = 3600 / 100 = 36 मीटर

✔ उत्तर: 36 मीटर
प्रश्न 59 [बर्तन में ठोस डालने पर जल स्तर में वृद्धि]: 12 सेमी आधार त्रिज्या वाले बेलनाकार पात्र में कुछ पानी भरा है। इसमें 6 सेमी त्रिज्या वाली तीन लोहे की गोलियाँ पूरी तरह डुबोई जाती हैं। पात्र में पानी के स्तर में कितनी वृद्धि होगी?

एक गोली का आयतन = (4/3) × π × 6³ = 288π सेमी³

3 गोलियों का आयतन = 3 × 288π = 864π सेमी³

विस्थापित जल का आयतन = π × (12)² × h

864π = 144π × h

h = 864 / 144 = 6 सेमी

✔ उत्तर: 6 सेमी
प्रश्न 60 [त्रिज्या और ऊँचाई में परिवर्तन से आयतन में प्रतिशत प्रभाव]: यदि किसी लंब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या में 20% की वृद्धि की जाती है और उसकी ऊँचाई में 30% की कमी की जाती है, तो उसके आयतन में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

आयतन V ∝ r² h

माना प्रारंभिक r = 10, h = 10 ⇒ V1 = 10² × 10 = 1000

नया r = 12, नया h = 7 ⇒ V2 = 12² × 7 = 1008

आयतन में वृद्धि = 1008 - 1000 = 8

% वृद्धि = (8 / 1000) × 100 = 0.8%

✔ उत्तर: 0.8% वृद्धि
प्रश्न 61 [बेलनाकार पाइप से बहते पानी द्वारा टंकी भरने का समय]: 14 सेमी व्यास वाले पाइप से 15 किमी/घंटा की गति से पानी एक आयताकार टैंक में बहता है जो 50 मीटर लंबा और 44 मीटर चौड़ा है। टैंक में पानी का स्तर 21 सेमी तक बढ़ाने में कितना समय (घंटों में) लगेगा?

पाइप की त्रिज्या r = 7 सेमी = 0.07 मीटर

पानी की चाल = 15000 मीटर/घंटा

1 घंटे में निकले पानी का आयतन = (22/7) × (0.07)² × 15000 = 231 मीटर³

टैंक में आवश्यक पानी का आयतन = 50 × 44 × 0.21 = 462 मीटर³

समय = 462 / 231 = 2 घंटे

✔ उत्तर: 2 घंटे
प्रश्न 62 [ठोस को पिघलाकर छोटी गोलियाँ/वस्तुएँ बनाना]: एक ठोस बेलन जिसके आधार की त्रिज्या 8 सेमी और ऊँचाई 2 सेमी है, को पिघलाकर 6 सेमी ऊँचाई वाले शंकु में बदला जाता है। शंकु के आधार की त्रिज्या (सेमी में) ज्ञात कीजिए।

बेलन का आयतन = π × 8² × 2 = 128π सेमी³

शंकु का आयतन = (1/3) × π × r² × 6 = 2π r² सेमी³

2π r² = 128π

r² = 64

r = 8 सेमी

✔ उत्तर: 8 सेमी
प्रश्न 63 [बर्तन में ठोस डालने पर जल स्तर में वृद्धि]: एक आयताकार जलाशय की लंबाई 6 मीटर और चौड़ाई 5 मीटर है। इसमें 2 मीटर भुजा वाला एक ठोस लोहे का घन डाला जाता है। जल स्तर में कितनी वृद्धि (मीटर में) होगी?

घन का आयतन = 2³ = 8 मीटर³

जलाशय का आधार क्षेत्रफल = 6 × 5 = 30 मीटर²

विस्थापित जल का आयतन = 30 × h

30 × h = 8

h = 8 / 30 = 4 / 15 मीटर

✔ उत्तर: 4/15 मीटर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, MTS, CPO तथा Railway NTPC/Group-D में इस उप-विषय से 1-2 प्रश्न लगभग हर पाली में अवश्य पूछे जाते हैं।

आम गलतियाँ

✘ इकाइयों (Units) को समान न करना (जैसे सेमी को मीटर या मिमी में बदलना भूल जाना)।
✘ जल स्तर में वृद्धि निकालते समय बर्तन की कुल ऊँचाई का उपयोग कर देना, जबकि केवल जल स्तर में वृद्धि (h) ज्ञात करनी होती है।
✘ प्रतिशत परिवर्तन निकालते समय r² के प्रभाव को भूलकर केवल त्रिज्या में एक बार परिवर्तन लागू करना।

💡 पिघलाकर वस्तुएँ या गोलियाँ बनाने वाले प्रश्नों में π का मान रखने की आवश्यकता नहीं होती क्योंकि π दोनों तरफ कट जाता है। इससे समय की बहुत बचत होती है। $$\text{संख्या} = \frac{V_1}{V_2}$$ सूत्र का सीधा प्रयोग करें।||"पिघलाकर वस्तुएँ बनाने वाले प्रश्नों में π का मान न रखें, यह दोनों ओर कट जाता है।|"||"In recasting problems, do not evaluate π explicitly as it cancels out from both numerator and denominator."

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

घन (Cube): आयतन = a³, वक्र पृष्ठ (CSA) = 4a², कुल पृष्ठ (TSA) = 6a², विकर्ण = a√3
घनाभ (Cuboid): आयतन = l×b×h, वक्र पृष्ठ = 2h(l+b), कुल पृष्ठ = 2(lb+bh+hl), विकर्ण = √(l²+b²+h²)
बेलन (Cylinder): आयतन = πr²h, वक्र पृष्ठ (CSA) = 2πrh, कुल पृष्ठ (TSA) = 2πr(r+h)
शंकु (Cone): तिर्यक ऊँचाई l = √(r²+h²), आयतन = (1/3)πr²h, CSA = πrl, TSA = πr(r+l)
शंकु का छिन्नक (Frustum): तिर्यक ऊँचाई l = √[h² + (R-r)²], आयतन = (1/3)πh(R²+r²+Rr), CSA = πl(R+r)
गोला (Sphere): आयतन = (4/3)πr³, पृष्ठ क्षेत्रफल = 4πr²
अर्धगोला (Hemisphere): आयतन = (2/3)πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr²
पिघलाना और पुनः ढालना: नए ठोस का आयतन = पिघलाए गए ठोसों के कुल आयतन के बराबर
जल स्तर में वृद्धि: विस्थापित जल का आयतन = आधार का क्षेत्रफल × जल स्तर में वृद्धि
प्रतिशत परिवर्तन: यदि r में x% और h में y% का परिवर्तन हो, तो नया आयतन गुणांक = (1 + x/100)² × (1 + y/100)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. एक घन की भुजा 6 cm है। इसका विकर्ण और आयतन क्रमशः ज्ञात कीजिए।

(क) 6√3 cm, 216 cm³
(ख) 6√2 cm, 216 cm³
(ग) 6√3 cm, 36 cm³
(घ) 12 cm, 216 cm³

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 6√3 cm, 216 cm³

विकर्ण = a√3 = 6√3 cm; आयतन = a³ = 6³ = 216 cm³।

2. एक बेलन की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 10 cm है। इसका वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) कितना होगा? (π = 22/7)

(क) 220 cm²
(ख) 440 cm²
(ग) 1540 cm²
(घ) 880 cm²

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 440 cm²

बेलन का वक्र पृष्ठ क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 cm²।

3. 21 cm त्रिज्या वाले एक ठोस गोले का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

(क) 38808 cm³
(ख) 19404 cm³
(ग) 5544 cm³
(घ) 2772 cm³

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 38808 cm³

गोले का आयतन = (4/3)πr³ = (4/3) × (22/7) × 21 × 21 × 21 = 88 × 441 = 38808 cm³।

4. एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 cm और ऊँचाई 24 cm है। इसका कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

(क) 550 cm²
(ख) 704 cm²
(ग) 616 cm²
(घ) 1232 cm²

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 704 cm²

तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = √625 = 25 cm। TSA = πr(r + l) = (22/7) × 7 × (7 + 25) = 22 × 32 = 704 cm²।

5. 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले तीन ठोस धात्विक गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। नए गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

(क) 14 cm
(ख) 12 cm
(ग) 16 cm
(घ) 18 cm

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 12 cm

R³ = r₁³ + r₂³ + r₃³ = 6³ + 8³ + 10³ = 216 + 512 + 1000 = 1728 => R = ∛1728 = 12 cm।

6. यदि किसी बेलन की त्रिज्या में 20% की वृद्धि की जाती है और उसकी ऊँचाई में 10% की कमी की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत परिवर्तन होगा?

(क) 29.6% वृद्धि
(ख) 28% वृद्धि
(ग) 32% वृद्धि
(घ) 26.4% वृद्धि

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 29.6% वृद्धि

आयतन ∝ r² × h। नया आयतन गुणांक = (1.2)² × 0.9 = 1.44 × 0.9 = 1.296। वृद्धि = 0.296 = 29.6% वृद्धि।

7. एक बाल्टी (शंकु के छिन्नक के आकार की) की ऊँचाई 12 cm है तथा इसके ऊपरी और निचले सिरों की त्रिज्याएँ क्रमशः 10 cm और 5 cm हैं। इसकी तिर्यक ऊँचाई और आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

(क) l = 13 cm, आयतन = 2200 cm³
(ख) l = 15 cm, आयतन = 2400 cm³
(ग) l = 13 cm, आयतन = 2100 cm³
(घ) l = 17 cm, आयतन = 2200 cm³

उत्तर देखें

उत्तर: (क) l = 13 cm, आयतन = 2200 cm³

l = √[h² + (R-r)²] = √[12² + (10-5)²] = √169 = 13 cm। आयतन = (1/3)πh(R² + r² + Rr) = (1/3) × (22/7) × 12 × (100 + 25 + 50) = 4 × (22/7) × 175 = 2200 cm³।

8. 14 cm व्यास वाले एक बेलनाकार पाइप से 15 km/h की चाल से पानी 50 m लंबे और 44 m चौड़े एक आयताकार टैंक में गिरता है। टैंक में पानी का स्तर 21 cm तक बढ़ने में कितना समय लगेगा?

(क) 1.5 घंटे
(ख) 2 घंटे
(ग) 2.5 घंटे
(घ) 3 घंटे

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 2 घंटे

पाइप की त्रिज्या r = 7 cm = 0.07 m। 1 घंटे में पानी का आयतन = πr² × गति = (22/7) × 0.07 × 0.07 × 15000 = 231 m³/h। आवश्यक आयतन = 50 × 44 × 0.21 = 462 m³। समय = 462 / 231 = 2 घंटे।

9. 6 cm आंतरिक त्रिज्या और 10 cm बाहरी त्रिज्या वाले एक खोखले अर्धगोले को पिघलाकर 8 cm आधार त्रिज्या वाला एक ठोस शंकु बनाया जाता है। शंकु की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

(क) 24.5 cm
(ख) 21 cm
(ग) 28 cm
(घ) 22.5 cm

उत्तर देखें

उत्तर: (क) 24.5 cm

खोखले अर्धगोले का आयतन = (2/3)π(R³ - r³) = (2/3)π(1000 - 216) = (1568/3)π। शंकु का आयतन = (1/3)π × 8² × h = (64/3)π h। (64/3)π h = (1568/3)π => 64h = 1568 => h = 24.5 cm।

10. 12 cm × 9 cm × 6 cm विमाओं वाले एक ठोस घनाभ को 3 cm भुजा वाले छोटे घनों में काटा जाता है। सभी छोटे घनों के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) का मूल घनाभ के कुल पृष्ठ क्षेत्रफल से अनुपात क्या है?

(क) 24 : 13
(ख) 36 : 13
(ग) 18 : 11
(घ) 3 : 1

उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 36 : 13

घनों की संख्या N = (12×9×6) / (3×3×3) = 24। मूल घनाभ का TSA = 2(12×9 + 9×6 + 6×12) = 2(108 + 54 + 72) = 468 cm²। 24 घनों का कुल TSA = 24 × (6 × 3²) = 24 × 54 = 1296 cm²। अनुपात = 1296 : 468 = 36 : 13।

English version — 3D Mensuration (Volume & Surface Area)

3D Mensuration is a vital topic for SSC CGL, CHSL, and CPO examinations. About 2-3 questions appear in Tier-1 and 3-5 questions in Tier-2. It is highly scoring as questions directly test standard formulas and numerical accuracy.

Cube and Cuboid: Volume, TSA & Diagonal

Cube and cuboid are 3D solid figures having 6 faces, 12 edges, and 8 vertices. A cuboid has distinct length (l), breadth (b), and height (h), whereas a cube has all edges equal (a). Volume measures internal space, Total Surface Area (TSA) is the area of all 6 outer faces, and Diagonal represents the length of the longest rod that can fit inside.

Formulas with examples

📐 घनाभ (Cuboid): आयतन = l × b × h | TSA = 2(lb + bh + hl) | विकर्ण = √(l² + b² + h²) | 4 दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b) — Used when length (l), breadth (b), and height (h) of a cuboid are given or need to be calculated.

Example 1: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई क्रमशः 12 सेमी, 9 सेमी और 8 सेमी हैं। घनाभ का आयतन और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

आयतन = l × b × h = 12 × 9 × 8 = 864 सेमी³

विकर्ण = √(l² + b² + h²)

विकर्ण = √(12² + 9² + 8²) = √(144 + 81 + 64)

विकर्ण = √289 = 17 सेमी

✔ Answer: आयतन = 864 सेमी³, विकर्ण = 17 सेमी
Example 2: एक घनाभ का आयतन 480 सेमी³ है और इसके आधार का क्षेत्रफल 60 सेमी² है। घनाभ की ऊंचाई ज्ञात कीजिए।

आधार का क्षेत्रफल = l × b = 60 सेमी²

आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई (h)

480 = 60 × h

h = 480 / 60 = 8 सेमी

✔ Answer: 8 सेमी

📐 घन (Cube): आयतन = a³ | TSA = 6a² | विकर्ण = a√3 | 4 दीवारों का क्षेत्रफल = 4a² — Used when the solid is a cube where all edges are equal (a).

Example 3: एक घन की प्रत्येक भुजा 7 सेमी है। घन का आयतन और संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

भुजा (a) = 7 सेमी

आयतन = a³ = 7³ = 343 सेमी³

TSA = 6a² = 6 × (7)² = 6 × 49 = 294 सेमी²

✔ Answer: आयतन = 343 सेमी³, TSA = 294 सेमी²
Example 4: यदि किसी घन का विकर्ण 9√3 सेमी है, तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

घन का विकर्ण = a√3

a√3 = 9√3 ⇒ a = 9 सेमी

आयतन = a³ = 9³ = 729 सेमी³

✔ Answer: 729 सेमी³

Question types asked

घनाभ के बेसिक सूत्र (आयतन, संपूर्ण पृष्ठ और विकर्ण)
घन के बेसिक सूत्र (आयतन, पृष्ठ क्षेत्रफल और विकर्ण)
घनाभ की विमाओं (l, b, h) के अनुपात पर आधारित प्रश्न
कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (4 Walls Area)
घन/घनाभ की भुजाओं में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव

Solved questions (every type)

Q 5 [घनाभ के बेसिक सूत्र (आयतन, संपूर्ण पृष्ठ और विकर्ण)]: एक 10 मी × 8 मी × 6 मी माप वाले कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ (Longest rod) की लंबाई ज्ञात कीजिए।

सबसे लंबी छड़ = घनाभ का विकर्ण

विकर्ण = √(l² + b² + h²)

विकर्ण = √(10² + 8² + 6²)

विकर्ण = √(100 + 64 + 36) = √200

विकर्ण = √(100 × 2) = 10√2 मी

✔ Answer: 10√2 मी
Q 6 [घन के बेसिक सूत्र (आयतन, पृष्ठ क्षेत्रफल और विकर्ण)]: एक घन का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) 384 सेमी² है। इस घन का आयतन और विकर्ण ज्ञात कीजिए।

TSA = 6a² = 384

a² = 384 / 6 = 64 ⇒ a = 8 सेमी

आयतन = a³ = 8³ = 512 सेमी³

विकर्ण = a√3 = 8√3 सेमी

✔ Answer: आयतन = 512 सेमी³, विकर्ण = 8√3 सेमी
Q 7 [घनाभ की विमाओं (l, b, h) के अनुपात पर आधारित प्रश्न]: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का अनुपात 4 : 3 : 2 है। यदि इसका संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) 1300 सेमी² है, तो इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

माना l = 4x, b = 3x, h = 2x

TSA = 2(lb + bh + hl) = 1300

2(4x·3x + 3x·2x + 2x·4x) = 1300

2(12x² + 6x² + 8x²) = 1300 ⇒ 52x² = 1300

x² = 1300 / 52 = 25 ⇒ x = 5

l = 20 सेमी, b = 15 सेमी, h = 10 सेमी

आयतन = l × b × h = 20 × 15 × 10 = 3000 सेमी³

✔ Answer: 3000 सेमी³
Q 8 [कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल (4 Walls Area)]: एक कमरे की लंबाई 15 मी, चौड़ाई 10 मी और ऊंचाई 6 मी है। इसकी चारों दीवारों पर 8 रुपये प्रति वर्ग मीटर की दर से सफेदी कराने का खर्च कितना होगा?

चारों दीवारों का क्षेत्रफल = 2h(l + b)

क्षेत्रफल = 2 × 6 × (15 + 10)

क्षेत्रफल = 12 × 25 = 300 मी²

सफेदी का कुल खर्च = 300 × 8 = 2400 रुपये

✔ Answer: ₹2400
Q 9 [घन/घनाभ की भुजाओं में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव]: यदि किसी घन की प्रत्येक भुजा में 20% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

माना प्रारंभिक भुजा = 10 ⇒ प्रारंभिक आयतन = 10³ = 1000

नई भुजा = 10 का 120% = 12

नया आयतन = 12³ = 1728

आयतन में वृद्धि = 1728 - 1000 = 728

प्रतिशत वृद्धि = (728 / 1000) × 100 = 72.8%

✔ Answer: 72.8%
Q 10 [घनाभ के बेसिक सूत्र (आयतन, संपूर्ण पृष्ठ और विकर्ण)]: एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई का योग 19 सेमी है तथा इसके विकर्ण की लंबाई 11 सेमी है। घनाभ का संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

दिया है: l + b + h = 19

विकर्ण = √(l² + b² + h²) = 11 ⇒ l² + b² + h² = 121

बीजगणित सूत्र: (l + b + h)² = (l² + b² + h²) + 2(lb + bh + hl)

(19)² = 121 + TSA

361 = 121 + TSA

TSA = 361 - 121 = 240 सेमी²

✔ Answer: 240 सेमी²
Q 11 [घनाभ की विमाओं (l, b, h) के अनुपात पर आधारित प्रश्न]: दो घनों के आयतनों का अनुपात 27 : 64 है। इनके संपूर्ण पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

आयतन का अनुपात = a1³ : a2³ = 27 : 64

भुजाओं का अनुपात (a1 : a2) = ∛27 : ∛64 = 3 : 4

पृष्ठ क्षेत्रफलों का अनुपात = 6(a1)² : 6(a2)² = (a1)² : (a2)²

क्षेत्रफलों का अनुपात = 3² : 4² = 9 : 16

✔ Answer: 9 : 16

How it is asked

SSC and Railway exams frequently ask 1-2 direct questions on the longest rod inside a room, 4 walls painting cost, algebraic relation using (l+b+h), and percentage changes in volume/area.

Common mistakes

✘ कमरे की दीवारों पर सफेदी का खर्च निकालते समय 4 दीवारों (2h(l+b)) के बजाय गलती से 6 फलकों (TSA) का क्षेत्रफल निकाल लेना।
✘ भुजा में प्रतिशत वृद्धि होने पर आयतन में वृद्धि को सीधे 3 गुणा समझ लेना, जबकि आयतन 3D में क्रमिक (successive) या त्रिघात (a³) नियम से बदलता है।
✘ विकर्ण का मान निकालते समय मानों के वर्गों का योग करके उसका वर्गमूल (Square Root) लेना भूल जाना।

Cylinder: Volume, CSA, TSA

A cylinder is a 3D shape with two identical circular bases connected by a curved surface. Its key dimensions are radius (r) and height (h). The Curved Surface Area (CSA) covers only the side wall, while the Total Surface Area (TSA) includes the area of the two circular ends. Volume measures the capacity or space inside the cylinder. In exams, questions often involve finding one dimension when the area or volume is given, or calculating ratios when dimensions change.

Formulas with examples

📐 Volume (आयतन) = πr²h — Used to find the capacity or the amount of material inside a cylinder.

Example 12: एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, इसका आयतन ज्ञात करें।

त्रिज्या (r) = 7 सेमी, ऊँचाई (h) = 10 सेमी

आयतन = πr²h

आयतन = (22/7) × 7 × 7 × 10

आयतन = 22 × 7 × 10

आयतन = 1540 घन सेमी

✔ Answer: 1540 cm³
Example 13: एक बेलनाकार टैंक की धारिता ज्ञात करें जिसकी त्रिज्या 14 मीटर और गहराई 5 मीटर है।

r = 14 मी, h = 5 मी

आयतन = (22/7) × 14 × 14 × 5

आयतन = 22 × 2 × 14 × 5

आयतन = 44 × 70

आयतन = 3080 घन मीटर

✔ Answer: 3080 m³

📐 Curved Surface Area (CSA) = 2πrh — Used when calculating the area of the curved side only (e.g., painting the side wall).

Example 14: एक बेलन का व्यास 14 सेमी और ऊँचाई 20 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होगा?

व्यास = 14 सेमी, इसलिए r = 7 सेमी

ऊँचाई (h) = 20 सेमी

CSA = 2 × (22/7) × 7 × 20

CSA = 2 × 22 × 20

CSA = 880 वर्ग सेमी

✔ Answer: 880 cm²
Example 15: यदि एक बेलन की त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, तो CSA ज्ञात करें।

r = 3.5 = 7/2 सेमी, h = 10 सेमी

CSA = 2 × (22/7) × (7/2) × 10

CSA = 22 × 10

CSA = 220 वर्ग सेमी

✔ Answer: 220 cm²

📐 Total Surface Area (TSA) = 2πr(r + h) — Used to find the area of the entire surface including the two circular bases.

Example 16: एक बंद बेलनाकार डिब्बे की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। इसका कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

r = 7 सेमी, h = 3 सेमी

TSA = 2πr(r + h)

TSA = 2 × (22/7) × 7 × (7 + 3)

TSA = 44 × 10

TSA = 440 वर्ग सेमी

✔ Answer: 440 cm²
Example 17: एक बेलन की त्रिज्या 14 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। TSA ज्ञात करें।

r = 14 सेमी, h = 6 सेमी

TSA = 2 × (22/7) × 14 × (14 + 6)

TSA = 2 × 22 × 2 × 20

TSA = 88 × 20

TSA = 1760 वर्ग सेमी

✔ Answer: 1760 cm²

Question types asked

त्रिज्या और ऊँचाई से सीधा आयतन या क्षेत्रफल निकालना
आयतन या CSA दिया होने पर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना
दो बेलनों की त्रिज्या और ऊँचाई के अनुपात पर आधारित प्रश्न
बेलन के CSA और आयतन के बीच संबंध
बेलन के आधार की परिधि (Circumference) से संबंधित प्रश्न
बेलन की त्रिज्या या ऊँचाई में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव

Solved questions (every type)

Q 18 [त्रिज्या और ऊँचाई से सीधा आयतन या क्षेत्रफल निकालना]: एक बेलन के आधार की त्रिज्या 21 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

r = 21 सेमी, h = 10 सेमी

आयतन = πr²h

आयतन = (22/7) × 21 × 21 × 10

आयतन = 22 × 3 × 21 × 10

आयतन = 66 × 210

आयतन = 13860 घन सेमी

✔ Answer: 13860 cm³
Q 19 [आयतन या CSA दिया होने पर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना]: एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 440 वर्ग सेमी है और इसकी त्रिज्या 7 सेमी है। इसकी ऊँचाई ज्ञात करें।

CSA = 440, r = 7

2πrh = 440

2 × (22/7) × 7 × h = 440

44 × h = 440

h = 440 / 44

h = 10 सेमी

✔ Answer: 10 cm
Q 20 [दो बेलनों की त्रिज्या और ऊँचाई के अनुपात पर आधारित प्रश्न]: दो बेलनों की त्रिज्याओं का अनुपात 2:3 है और उनकी ऊँचाई का अनुपात 5:4 है। उनके आयतनों का अनुपात क्या होगा?

r1/r2 = 2/3, h1/h2 = 5/4

आयतन का अनुपात = (π r1² h1) / (π r2² h2)

अनुपात = (r1/r2)² × (h1/h2)

अनुपात = (2/3)² × (5/4)

अनुपात = (4/9) × (5/4)

अनुपात = 5/9

✔ Answer: 5:9
Q 21 [बेलन के CSA और आयतन के बीच संबंध]: एक बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 264 वर्ग मीटर है और इसका आयतन 924 घन मीटर है। इसकी त्रिज्या ज्ञात करें।

आयतन / CSA = (πr²h) / (2πrh) = r/2

924 / 264 = r/2

3.5 = r/2

r = 3.5 × 2

r = 7 मीटर

✔ Answer: 7 m
Q 22 [बेलन के आधार की परिधि (Circumference) से संबंधित प्रश्न]: एक बेलन के आधार की परिधि 44 सेमी है और इसकी ऊँचाई 15 सेमी है। इसका आयतन क्या है?

आधार की परिधि = 2πr = 44

2 × (22/7) × r = 44

44/7 × r = 44 => r = 7 सेमी

आयतन = πr²h

आयतन = (22/7) × 7 × 7 × 15

आयतन = 154 × 15

आयतन = 2310 घन सेमी

✔ Answer: 2310 cm³
Q 23 [बेलन की त्रिज्या या ऊँचाई में प्रतिशत परिवर्तन का प्रभाव]: यदि एक बेलन की त्रिज्या को 20% बढ़ा दिया जाए और ऊँचाई को 10% कम कर दिया जाए, तो आयतन में कितने प्रतिशत परिवर्तन होगा?

माना r=10, h=10, आयतन = π(10)²(10) = 1000π

नयी r = 12, नयी h = 9

नया आयतन = π(12)²(9) = π(144)(9) = 1296π

वृद्धि = 1296π - 1000π = 296π

प्रतिशत वृद्धि = (296/1000) × 100 = 29.6%

✔ Answer: 29.6% वृद्धि
Q 24 [आयतन या CSA दिया होने पर त्रिज्या या ऊँचाई ज्ञात करना]: एक बेलन का आयतन 448π घन सेमी है और ऊँचाई 7 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

आयतन = πr²h = 448π

r² × 7 = 448

r² = 448 / 7 = 64 => r = 8 सेमी

CSA = 2πrh

CSA = 2 × π × 8 × 7

CSA = 112π वर्ग सेमी

✔ Answer: 112π cm²

How it is asked

This sub-topic is highly frequent in SSC CGL, CHSL, and MTS exams. Questions usually focus on ratio-based dimensions or finding one parameter when the relationship between CSA and Volume is given.

Common mistakes

✘ व्यास (Diameter) को ही त्रिज्या (Radius) मान लेना। हमेशा व्यास का आधा करें।
✘ आयतन निकालते समय त्रिज्या का वर्ग (r²) करना भूल जाना।
✘ इकाइयों (Units) का ध्यान न रखना, जैसे त्रिज्या सेमी में और ऊँचाई मीटर में होना।

💡 If the radius is a multiple of 7, the area of the base (πr²) will be a multiple of 154. Also, check options for divisibility by 11 since π = 22/7.

Cone and Frustum of Cone

A cone is a 3D solid with a circular base and a single vertex. The height (h), radius (r), and slant height (l) form a right-angled triangle, satisfying l = √(r² + h²). When a cone is sliced by a plane parallel to its base, the bottom portion left behind is called a frustum (bucket shape). In SSC exams, questions frequently test canvas required for conical tents, bucket capacity, and ratio problems from slicing cones.

Formulas with examples

📐 तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²), CSA = πrl, TSA = πr(l + r), आयतन (V) = (1/3)πr²h — Used to find slant height, CSA, TSA, or volume of a cone when radius and vertical height are known.

Example 25: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) ज्ञात कीजिए।

तिर्यक ऊँचाई l = √(7² + 24²) = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = πrl

CSA = (22/7) × 7 × 25

CSA = 22 × 25 = 550 सेमी²

✔ Answer: 550 सेमी²
Example 26: एक शंकु की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

आयतन V = (1/3)πr²h

V = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 12

V = (1/3) × 22 × 7 × 12

V = 22 × 7 × 4 = 616 सेमी³

✔ Answer: 616 सेमी³

📐 छिन्नक की तिर्यक ऊँचाई l = √[h² + (R - r)²], CSA = π(R + r)l, आयतन V = (1/3)πh(R² + r² + Rr) — Used to calculate slant height, curved surface area, or volume of a frustum/bucket.

Example 27: एक छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 14 सेमी और 7 सेमी हैं तथा ऊँचाई 24 सेमी है। इसकी तिर्यक ऊँचाई (l) ज्ञात कीजिए।

R = 14 सेमी, r = 7 सेमी, h = 24 सेमी

R - r = 14 - 7 = 7 सेमी

l = √[h² + (R - r)²] = √(24² + 7²) = √(576 + 49)

l = √625 = 25 सेमी

✔ Answer: 25 सेमी
Example 28: एक छिन्नक के सिरों की त्रिज्याएँ 8 सेमी और 2 सेमी हैं तथा ऊँचाई 6 सेमी है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए।

R = 8 सेमी, r = 2 सेमी, h = 6 सेमी

R² + r² + Rr = 8² + 2² + (8 × 2) = 64 + 4 + 16 = 84

आयतन V = (1/3) × (22/7) × 6 × 84

V = 2 × (22/7) × 84 = 2 × 22 × 12 = 528 सेमी³

✔ Answer: 528 सेमी³

📐 ऊँचाई का अनुपात (h₁/h₂) = त्रिज्या का अनुपात (r₁/r₂), आयतन का अनुपात (V₁/V₂) = (h₁/h₂)³ — Used when a cone is sliced parallel to the base to compare dimensions and volumes using similarity.

Example 29: 30 सेमी ऊँचाई वाले शंकु को शीर्ष से 10 सेमी नीचे आधार के समानांतर काटा गया। छोटे शंकु और मूल शंकु के आयतन का अनुपात क्या होगा?

ऊँचाइयों का अनुपात h₁/h₂ = 10/30 = 1/3

आयतन का अनुपात V₁/V₂ = (h₁/h₂)³

V₁/V₂ = (1/3)³ = 1/27

अनुपात = 1 : 27

✔ Answer: 1 : 27
Example 30: एक 20 सेमी ऊँचे शंकु को मध्य-बिंदु से आधार के समानांतर काटा जाता है। ऊपरी छोटे शंकु और निचले छिन्नक के आयतन का अनुपात क्या होगा?

ऊँचाइयों का अनुपात h₁ : H = 1 : 2

शंकुओं के आयतन का अनुपात V₁ : V = 1³ : 2³ = 1 : 8

निचले छिन्नक का आयतन = V - V₁ = 8 - 1 = 7

वांछित अनुपात = 1 : 7

✔ Answer: 1 : 7

Question types asked

शंकु का आयतन, वक्र पृष्ठ और कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करना
शंकु की तिर्यक ऊँचाई या ऊँचाई से संबंधित प्रश्न (पाइथागोरस त्रिक)
शंकु को आधार के समानांतर काटना (अनुपात और छिन्नक का आयतन)
कैनवास/तम्बू बनाने में आवश्यक कपड़ा या लागत
शंकु के छिन्नक (बाल्टी) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

Solved questions (every type)

Q 31 [शंकु का आयतन, वक्र पृष्ठ और कुल पृष्ठ क्षेत्रफल ज्ञात करना]: एक शंकु के आधार की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 24 सेमी है। इसका सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए।

तिर्यक ऊँचाई l = √(r² + h²) = √(7² + 24²) = 25 सेमी

सम्पूर्ण पृष्ठ (TSA) = πr(l + r)

TSA = (22/7) × 7 × (25 + 7)

TSA = 22 × 32

TSA = 704 सेमी²

✔ Answer: 704 सेमी²
Q 32 [शंकु की तिर्यक ऊँचाई या ऊँचाई से संबंधित प्रश्न (पाइथागोरस त्रिक)]: यदि एक लम्ब वृत्तीय शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 550 सेमी² है और इसकी तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है, तो शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए।

वक्र पृष्ठ πrl = 550

(22/7) × r × 25 = 550

r = (550 × 7) / (22 × 25) = 7 सेमी

ऊँचाई h = √(l² - r²) = √(25² - 7²) = 24 सेमी

आयतन = (1/3)πr²h = (1/3) × (22/7) × 7 × 7 × 24

आयतन = 22 × 7 × 8 = 1232 सेमी³

✔ Answer: 1232 सेमी³
Q 33 [शंकु को आधार के समानांतर काटना (अनुपात और छिन्नक का आयतन)]: 45 सेमी ऊँचाई वाले एक ठोस शंकु को आधार के समानांतर, आधार से 15 सेमी ऊपर एक तल द्वारा काटा जाता है। यदि मूल शंकु का आयतन 2700 सेमी³ था, तो कटे हुए छोटे शंकु का आयतन कितना होगा?

मूल शंकु की ऊँचाई H = 45 सेमी

छोटे शंकु की ऊँचाई h = 45 - 15 = 30 सेमी

ऊँचाइयों का अनुपात h/H = 30/45 = 2/3

आयतन का अनुपात = (h/H)³ = (2/3)³ = 8/27

छोटे शंकु का आयतन = 2700 × (8/27) = 100 × 8

आयतन = 800 सेमी³

✔ Answer: 800 सेमी³
Q 34 [कैनवास/तम्बू बनाने में आवश्यक कपड़ा या लागत]: एक शंक्वाकार तम्बू के आधार का व्यास 14 मीटर और ऊँचाई 24 मीटर है। 2 मीटर चौड़े कैनवास का उपयोग करके इस तम्बू को बनाने के लिए कितने मीटर कपड़े की आवश्यकता होगी?

त्रिज्या r = 14 / 2 = 7 मी, ऊँचाई h = 24 मी

तिर्यक ऊँचाई l = √(7² + 24²) = 25 मी

आवश्यक कैनवास का क्षेत्रफल = CSA = πrl

क्षेत्रफल = (22/7) × 7 × 25 = 550 मी²

कपड़े का क्षेत्रफल = लम्बाई × चौड़ाई = 550

लम्बाई = 550 / 2 = 275 मी

✔ Answer: 275 मी
Q 35 [शंकु के छिन्नक (बाल्टी) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल]: एक बाल्टी (शंकु के छिन्नक के आकार की) के दोनों वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 20 सेमी और 10 सेमी हैं तथा गहराई 21 सेमी है। बाल्टी की धारिता लीटर में ज्ञात कीजिए।

R = 20 सेमी, r = 10 सेमी, h = 21 सेमी

R² + r² + Rr = 20² + 10² + (20 × 10) = 400 + 100 + 200 = 700

आयतन V = (1/3) × (22/7) × 21 × 700

V = 22 × 700 = 15400 सेमी³

धारिता लीटर में = 15400 / 1000 = 15.4 लीटर

✔ Answer: 15.4 लीटर
Q 36 [शंकु को आधार के समानांतर काटना (अनुपात और छिन्नक का आयतन)]: एक शंकु को उसकी ऊँचाई के सम-त्रिभाजक (3 बराबर भागों) बिंदुओं से आधार के समानांतर दो तलों द्वारा काटा जाता है। शीर्ष से नीचे की ओर बने तीनों भागों के आयतन का अनुपात क्या होगा?

तीनों शंकुओं की ऊँचाई का अनुपात = 1 : 2 : 3

तीनों पूर्ण शंकुओं के आयतन का अनुपात = 1³ : 2³ : 3³ = 1 : 8 : 27

शीर्ष शंकु का आयतन = 1 इकाई

मध्य भाग (छिन्नक 1) = 8 - 1 = 7 इकाई

निचला भाग (छिन्नक 2) = 27 - 8 = 19 इकाई

तीनों भागों के आयतन का अनुपात = 1 : 7 : 19

✔ Answer: 1 : 7 : 19
Q 37 [शंकु के छिन्नक (बाल्टी) का आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल]: एक शंकु के छिन्नक के वृत्ताकार सिरों की त्रिज्याएँ 15 सेमी और 6 सेमी हैं तथा इसकी ऊँचाई 12 सेमी है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) ज्ञात कीजिए।

R = 15 सेमी, r = 6 सेमी, h = 12 सेमी

R - r = 15 - 6 = 9 सेमी

तिर्यक ऊँचाई l = √[12² + 9²] = √(144 + 81) = √225 = 15 सेमी

CSA = π(R + r)l

CSA = (22/7) × (15 + 6) × 15

CSA = (22/7) × 21 × 15 = 22 × 3 × 15 = 990 सेमी²

✔ Answer: 990 सेमी²

How it is asked

In SSC exams (CGL, CHSL, MTS, GD), 1 question is frequently asked from cones in almost every shift. Most common patterns include tent canvas area (πrl), Pythagorean triplets for slant height, and volume ratio when a cone is cut parallel to its base. Frustum problems are asked mainly in higher-tier exams.

Common mistakes

✘ वक्र पृष्ठ (πrl) निकालते समय तिर्यक ऊँचाई (l) की जगह सीधी ऊँचाई (h) का प्रयोग कर देना।
✘ तम्बू (tent) का कपड़ा निकालते समय फर्श का क्षेत्रफल भी जोड़ देना; तम्बू में केवल वक्र पृष्ठ (CSA) लिया जाता है क्योंकि जमीन पर कैनवास नहीं बिछाया जाता।
✘ शंकु को काटने वाले प्रश्नों में ऊँचाई आधार से दी है या शीर्ष से, इसे ध्यान से न पढ़ना और अनुपात गलत लेना।

Sphere and Hemisphere

A sphere is a perfectly round 3D solid where every point on the surface is equidistant from the center; it has only one surface, so its CSA and TSA are both 4πr². When a solid sphere is sliced into two equal halves, a hemisphere is formed with an additional flat circular base of area πr², making its TSA equal to 3πr². Recognizing questions involves terms like ball, spherical drop, hemispherical bowl, or dome.

Formulas with examples

📐 गोला (Sphere): आयतन (V) = (4/3)πr³, कुल पृष्ठ (TSA = CSA) = 4πr² — Used to find volume, radius, or surface area of a solid sphere.

Example 38: एक ठोस गोले की त्रिज्या 7 सेमी है। इसका आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

त्रिज्या (r) = 7 सेमी

आयतन = (4/3) × π × r³

आयतन = (4/3) × (22/7) × 7 × 7 × 7

आयतन = (4 × 22 × 49) / 3 = 4312 / 3 = 1437.33 सेमी³

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × π × r²

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 7 × 7 = 616 सेमी²

✔ Answer: आयतन = 1437.33 सेमी³, क्षेत्रफल = 616 सेमी²
Example 39: एक गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 1386 सेमी² है। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 1386

4 × (22/7) × r² = 1386

(88/7) × r² = 1386

r² = (1386 × 7) / 88

r² = (63 × 7) / 4 = 441 / 4

r = √(441 / 4) = 21 / 2 = 10.5 सेमी

✔ Answer: 10.5 सेमी

📐 अर्धगोला (Hemisphere): आयतन = (2/3)πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr² — Used when dealing with hemispherical objects to compute volume, curved surface, or total surface area.

Example 40: एक ठोस अर्धगोले की त्रिज्या 21 सेमी है। इसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

त्रिज्या (r) = 21 सेमी

ठोस अर्धगोले का TSA = 3πr²

TSA = 3 × (22/7) × 21 × 21

TSA = 3 × 22 × 3 × 21

TSA = 66 × 63 = 4158 सेमी²

✔ Answer: 4158 सेमी²
Example 41: एक अर्धगोलाकार कटोरे का आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 14 सेमी है। (π = 22/7)

त्रिज्या (r) = 14 सेमी

कटोरे का CSA = 2πr²

CSA = 2 × (22/7) × 14 × 14

CSA = 2 × 22 × 2 × 14

CSA = 88 × 14 = 1232 सेमी²

✔ Answer: 1232 सेमी²

📐 खोखला गोला (Spherical Shell): धातु का आयतन = (4/3)π(R³ - r³) — Used for hollow spherical shells and hemispherical bowls with uniform thickness.

Example 42: एक खोखले गोले की बाहरी त्रिज्या 6 सेमी और आंतरिक त्रिज्या 3 सेमी है। धातु का आयतन ज्ञात कीजिए। (π = 22/7)

बाहरी त्रिज्या (R) = 6 सेमी, आंतरिक त्रिज्या (r) = 3 सेमी

धातु का आयतन = (4/3)π(R³ - r³)

आयतन = (4/3) × (22/7) × (6³ - 3³)

आयतन = (4/3) × (22/7) × (216 - 27)

आयतन = (4/3) × (22/7) × 189

आयतन = (88/21) × 189 = 88 × 9 = 792 सेमी³

✔ Answer: 792 सेमी³
Example 43: एक खोखले अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक और बाहरी त्रिज्या क्रमशः 7 सेमी और 8 सेमी है। कटोरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

r = 7 सेमी, R = 8 सेमी

कुल पृष्ठ = बाहरी CSA + भीतरी CSA + रिंग का क्षेत्रफल

TSA = 2πR² + 2πr² + π(R² - r²) = π(3R² + r²)

TSA = (22/7) × (3 × 64 + 49)

TSA = (22/7) × (192 + 49) = (22/7) × 241

TSA = 5302 / 7 = 757.43 सेमी²

✔ Answer: 757.43 सेमी²

Question types asked

सीधे सूत्र पर आधारित प्रश्न (आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल)
त्रिज्या या व्यास में परिवर्तन का अनुपात एवं प्रतिशत प्रभाव
अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)
गोले को काटकर दो अर्धगोलों में बदलना (क्षेत्रफल में वृद्धि)
खोखला गोला एवं अर्धगोलाकार कटोरा

Solved questions (every type)

Q 44 [सीधे सूत्र पर आधारित प्रश्न (आयतन व पृष्ठीय क्षेत्रफल)]: एक गोले का आयतन 38808 सेमी³ है। इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 22/7 लीजिए)

गोले का आयतन = (4/3)πr³ = 38808

(4/3) × (22/7) × r³ = 38808

(88/21) × r³ = 38808

r³ = (38808 × 21) / 88 = 441 × 21 = 9261

r = ∛9261 = 21 सेमी

पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr² = 4 × (22/7) × 21 × 21

क्षेत्रफल = 4 × 22 × 3 × 21 = 5544 सेमी²

✔ Answer: 5544 सेमी²
Q 45 [त्रिज्या या व्यास में परिवर्तन का अनुपात एवं प्रतिशत प्रभाव]: दो गोलों के आयतनों का अनुपात 64 : 27 है। उनके पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात क्या होगा?

आयतनों का अनुपात = V₁ / V₂ = (r₁ / r₂)³ = 64 / 27

त्रिज्याओं का अनुपात = r₁ / r₂ = ∛(64 / 27) = 4 / 3

पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र = 4πr²

पृष्ठीय क्षेत्रफलों का अनुपात = (r₁ / r₂)²

अनुपात = (4 / 3)² = 16 / 9 = 16 : 9

✔ Answer: 16 : 9
Q 46 [त्रिज्या या व्यास में परिवर्तन का अनुपात एवं प्रतिशत प्रभाव]: यदि किसी गोले की त्रिज्या में 20% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

प्रारंभिक त्रिज्या = 100 इकाई, नई त्रिज्या = 120 इकाई (अनुपात 5 : 6)

आयतन त्रिज्या के घन (r³) के समानुपाती होता है

प्रारंभिक आयतन ∝ 5³ = 125

नया आयतन ∝ 6³ = 216

आयतन में वृद्धि = 216 - 125 = 91

प्रतिशत वृद्धि = (91 / 125) × 100 = 91 × 4 / 5 = 72.8%

✔ Answer: 72.8%
Q 47 [अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) और वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)]: एक ठोस अर्धगोले का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1848 सेमी² है। इसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

ठोस अर्धगोले का TSA = 3πr²

3πr² = 1848 सेमी²

πr² = 1848 / 3 = 616 सेमी²

अर्धगोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πr²

CSA = 2 × 616 = 1232 सेमी²

✔ Answer: 1232 सेमी²
Q 48 [गोले को काटकर दो अर्धगोलों में बदलना (क्षेत्रफल में वृद्धि)]: एक ठोस गोले को उसके केंद्र से होकर जाने वाले तल द्वारा दो बराबर अर्धगोलों में काटा जाता है। इस प्रक्रिया में कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होती है?

मूल ठोस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4πr²

काटने पर बने 2 अर्धगोलों का कुल क्षेत्रफल = 2 × (3πr²) = 6πr²

क्षेत्रफल में हुई वृद्धि = 6πr² - 4πr² = 2πr²

प्रतिशत वृद्धि = (वृद्धि / मूल क्षेत्रफल) × 100

प्रतिशत वृद्धि = (2πr² / 4πr²) × 100 = (1/2) × 100 = 50%

✔ Answer: 50%
Q 49 [खोखला गोला एवं अर्धगोलाकार कटोरा]: धातु के बने एक खोखले अर्धगोलाकार कटोरे की आंतरिक त्रिज्या 5 सेमी तथा बाहरी त्रिज्या 6 सेमी है। कटोरे का कुल बाह्य एवं आंतरिक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14 लीजिए)

r = 5 सेमी, R = 6 सेमी

कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = भीतरी CSA + बाहरी CSA

कुल CSA = 2πr² + 2πR² = 2π(r² + R²)

कुल CSA = 2 × 3.14 × (5² + 6²)

कुल CSA = 6.28 × (25 + 36) = 6.28 × 61

कुल CSA = 383.08 सेमी²

✔ Answer: 383.08 सेमी²
Q 50 [खोखला गोला एवं अर्धगोलाकार कटोरा]: एक 2 सेमी मोटाई वाले खोखले गोले का बाहरी व्यास 16 सेमी है। इसे पिघलाकर आवश्यक धातु का आयतन ज्ञात कीजिए। उत्तर π के पदों में दें।

बाहरी व्यास = 16 सेमी ⇒ बाहरी त्रिज्या (R) = 16 / 2 = 8 सेमी

मोटाई (t) = 2 सेमी ⇒ आंतरिक त्रिज्या (r) = 8 - 2 = 6 सेमी

खोखले गोले में धातु का आयतन = (4/3)π(R³ - r³)

आयतन = (4/3)π(8³ - 6³)

आयतन = (4/3)π(512 - 216)

आयतन = (4/3)π × 296 = (1184 / 3)π सेमी³

✔ Answer: 394.67π सेमी³ (या 1184π/3 सेमी³)

How it is asked

SSC exams regularly feature 1-2 questions per shift from spheres and hemispheres, focusing on ratio relationships (r, A, V), TSA vs CSA of hemispheres, and cutting a sphere into hemispheres.

Common mistakes

✘ अर्धगोले के संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल में वृत्ताकार आधार (πr²) जोड़ना भूल जाना और 3πr² की जगह 2πr² प्रयोग कर देना।
✘ व्यास (diameter) दिया होने पर उसे सीधे त्रिज्या (radius) मानकर सूत्र में रख देना।
✘ खोखले गोले में धातु का आयतन निकालते समय (R - r)³ करना, जबकि सही सूत्र (R³ - r³) होता है।

Melting & Recasting, Water Level Rise, and % Change in Volume

When a 3D solid is melted and recast into another shape, the total volume remains constant before and after the process. When a solid is immersed in a liquid, the volume of displaced water equals the volume of the immersed solid. Percentage change in volume depends on how the dimensions (like radius and height) are scaled. These concepts are heavily tested across all SSC and Railway exams.

Formulas with examples

📐 संख्या (N) = बड़े ठोस का आयतन / एक छोटे ठोस का आयतन — When a large solid is melted to form multiple smaller identical solids.

Example 51: 6 सेमी त्रिज्या वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर 2 सेमी त्रिज्या वाली कितनी छोटी गोलियाँ बनाई जा सकती हैं?

बड़े गोले का आयतन = (4/3) × π × 6³ सेमी³

एक छोटी गोली का आयतन = (4/3) × π × 2³ सेमी³

गोलियों की संख्या (N) = [(4/3) × π × 216] / [(4/3) × π × 8]

N = 216 / 8 = 27

✔ Answer: 27
Example 52: 12 सेमी लंबा, 6 सेमी चौड़ा तथा 4 सेमी ऊँचा घनाभ पिघलाकर 2 सेमी भुजा वाले कितने घन बनाए जा सकते हैं?

घनाभ का आयतन = 12 × 6 × 4 = 288 सेमी³

एक घन का आयतन = 2³ = 8 सेमी³

घनों की संख्या = 288 / 8 = 36

✔ Answer: 36

📐 विस्थापित पानी का आयतन = बर्तन के आधार का क्षेत्रफल × जल स्तर में वृद्धि (h) — When a solid is immersed in a liquid container causing the water level to rise.

Example 53: 10 सेमी त्रिज्या वाले बेलनाकार बर्तन में कुछ पानी है। इसमें 6 सेमी त्रिज्या का एक ठोस गोला पूरी तरह डुबोया जाता है। जल स्तर में कितनी वृद्धि होगी?

गोले का आयतन = (4/3) × π × 6³ = 288π सेमी³

उठे पानी का आयतन = π × r² × h = π × 10² × h = 100π h

100π h = 288π

h = 288 / 100 = 2.88 सेमी

✔ Answer: 2.88 सेमी
Example 54: 20 सेमी × 15 सेमी वाले आयताकार टैंक में 5 सेमी भुजा का घन डुबोने पर जल स्तर कितना बढ़ेगा?

घन का आयतन = 5³ = 125 सेमी³

टैंक का आधार क्षेत्रफल = 20 × 15 = 300 सेमी²

जल स्तर में वृद्धि (h) = 125 / 300 = 5 / 12 सेमी

✔ Answer: 5/12 सेमी

📐 आयतन में % परिवर्तन = [(नया आयतन - पुराना आयतन) / पुराना आयतन] × 100 — When percentage changes in dimensions are given and percentage change in volume is required.

Example 55: यदि एक गोले की त्रिज्या में 10% की वृद्धि की जाती है, तो उसके आयतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

आयतन V ∝ r³

माना प्रारंभिक r = 10 ⇒ पुराना आयतन = 10³ = 1000

नया r = 11 ⇒ नया आयतन = 11³ = 1331

वृद्धि = 1331 - 1000 = 331

% वृद्धि = (331 / 1000) × 100 = 33.1%

✔ Answer: 33.1%
Example 56: यदि बेलन की त्रिज्या में 20% कमी और ऊँचाई में 50% वृद्धि की जाए, तो आयतन में प्रतिशत परिवर्तन क्या होगा?

बेलन का आयतन V = π r² h

माना r = 10, h = 10 ⇒ V1 = 10² × 10 = 1000

नया r = 8, नया h = 15 ⇒ V2 = 8² × 15 = 960

कमी = 1000 - 960 = 40

% कमी = (40 / 1000) × 100 = 4%

✔ Answer: 4% कमी

Question types asked

ठोस को पिघलाकर छोटी गोलियाँ/वस्तुएँ बनाना
पिघलाकर नया ठोस तार (बेलन) बनाना
बर्तन में ठोस डालने पर जल स्तर में वृद्धि
त्रिज्या और ऊँचाई में परिवर्तन से आयतन में प्रतिशत प्रभाव
बेलनाकार पाइप से बहते पानी द्वारा टंकी भरने का समय

Solved questions (every type)

Q 57 [ठोस को पिघलाकर छोटी गोलियाँ/वस्तुएँ बनाना]: 10.5 सेमी त्रिज्या वाले एक धातु के गोले को पिघलाकर 3.5 सेमी त्रिज्या और 3 सेमी ऊँचाई वाले छोटे शंकुओं में ढाला जाता है। इस प्रकार बने शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए।

गोले का आयतन = (4/3) × π × (10.5)³

एक शंकु का आयतन = (1/3) × π × (3.5)² × 3

संख्या N = [(4/3) × π × 10.5 × 10.5 × 10.5] / [(1/3) × π × 3.5 × 3.5 × 3]

N = (4 × 10.5 × 10.5 × 10.5) / (3.5 × 3.5 × 3)

N = (4 × 3 × 3 × 10.5) / 3

N = 126

✔ Answer: 126
Q 58 [पिघलाकर नया ठोस तार (बेलन) बनाना]: 6 सेमी व्यास वाले तांबे के एक गोले को पिघलाकर 2 मिमी समान व्यास वाला एक लंबा तार बनाया जाता है। तार की लंबाई (मीटर में) ज्ञात कीजिए।

गोले की त्रिज्या r1 = 3 सेमी

गोले का आयतन = (4/3) × π × 3³ = 36π सेमी³

तार की त्रिज्या r2 = 1 मिमी = 0.1 सेमी

तार का आयतन = π × (0.1)² × h = 0.01π h

0.01π h = 36π

h = 36 / 0.01 = 3600 सेमी

मीटर में लंबाई = 3600 / 100 = 36 मीटर

✔ Answer: 36 मीटर
Q 59 [बर्तन में ठोस डालने पर जल स्तर में वृद्धि]: 12 सेमी आधार त्रिज्या वाले बेलनाकार पात्र में कुछ पानी भरा है। इसमें 6 सेमी त्रिज्या वाली तीन लोहे की गोलियाँ पूरी तरह डुबोई जाती हैं। पात्र में पानी के स्तर में कितनी वृद्धि होगी?

एक गोली का आयतन = (4/3) × π × 6³ = 288π सेमी³

3 गोलियों का आयतन = 3 × 288π = 864π सेमी³

विस्थापित जल का आयतन = π × (12)² × h

864π = 144π × h

h = 864 / 144 = 6 सेमी

✔ Answer: 6 सेमी
Q 60 [त्रिज्या और ऊँचाई में परिवर्तन से आयतन में प्रतिशत प्रभाव]: यदि किसी लंब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या में 20% की वृद्धि की जाती है और उसकी ऊँचाई में 30% की कमी की जाती है, तो उसके आयतन में प्रतिशत परिवर्तन ज्ञात कीजिए।

आयतन V ∝ r² h

माना प्रारंभिक r = 10, h = 10 ⇒ V1 = 10² × 10 = 1000

नया r = 12, नया h = 7 ⇒ V2 = 12² × 7 = 1008

आयतन में वृद्धि = 1008 - 1000 = 8

% वृद्धि = (8 / 1000) × 100 = 0.8%

✔ Answer: 0.8% वृद्धि
Q 61 [बेलनाकार पाइप से बहते पानी द्वारा टंकी भरने का समय]: 14 सेमी व्यास वाले पाइप से 15 किमी/घंटा की गति से पानी एक आयताकार टैंक में बहता है जो 50 मीटर लंबा और 44 मीटर चौड़ा है। टैंक में पानी का स्तर 21 सेमी तक बढ़ाने में कितना समय (घंटों में) लगेगा?

पाइप की त्रिज्या r = 7 सेमी = 0.07 मीटर

पानी की चाल = 15000 मीटर/घंटा

1 घंटे में निकले पानी का आयतन = (22/7) × (0.07)² × 15000 = 231 मीटर³

टैंक में आवश्यक पानी का आयतन = 50 × 44 × 0.21 = 462 मीटर³

समय = 462 / 231 = 2 घंटे

✔ Answer: 2 घंटे
Q 62 [ठोस को पिघलाकर छोटी गोलियाँ/वस्तुएँ बनाना]: एक ठोस बेलन जिसके आधार की त्रिज्या 8 सेमी और ऊँचाई 2 सेमी है, को पिघलाकर 6 सेमी ऊँचाई वाले शंकु में बदला जाता है। शंकु के आधार की त्रिज्या (सेमी में) ज्ञात कीजिए।

बेलन का आयतन = π × 8² × 2 = 128π सेमी³

शंकु का आयतन = (1/3) × π × r² × 6 = 2π r² सेमी³

2π r² = 128π

r² = 64

r = 8 सेमी

✔ Answer: 8 सेमी
Q 63 [बर्तन में ठोस डालने पर जल स्तर में वृद्धि]: एक आयताकार जलाशय की लंबाई 6 मीटर और चौड़ाई 5 मीटर है। इसमें 2 मीटर भुजा वाला एक ठोस लोहे का घन डाला जाता है। जल स्तर में कितनी वृद्धि (मीटर में) होगी?

घन का आयतन = 2³ = 8 मीटर³

जलाशय का आधार क्षेत्रफल = 6 × 5 = 30 मीटर²

विस्थापित जल का आयतन = 30 × h

30 × h = 8

h = 8 / 30 = 4 / 15 मीटर

✔ Answer: 4/15 मीटर

How it is asked

1-2 questions from this sub-topic appear in almost every shift of SSC CGL, CHSL, MTS, CPO, and Railway exams.

Common mistakes

✘ इकाइयों (Units) को समान न करना (जैसे सेमी को मीटर या मिमी में बदलना भूल जाना)।
✘ जल स्तर में वृद्धि निकालते समय बर्तन की कुल ऊँचाई का उपयोग कर देना, जबकि केवल जल स्तर में वृद्धि (h) ज्ञात करनी होती है।
✘ प्रतिशत परिवर्तन निकालते समय r² के प्रभाव को भूलकर केवल त्रिज्या में एक बार परिवर्तन लागू करना।

All formulas at a glance

Cube: Volume = a³, CSA = 4a², TSA = 6a², Diagonal = a√3
Cuboid: Volume = l×b×h, CSA = 2h(l+b), TSA = 2(lb+bh+hl), Diagonal = √(l²+b²+h²)
Cylinder: Volume = πr²h, CSA = 2πrh, TSA = 2πr(r+h)
Cone: Slant height l = √(r²+h²), Volume = (1/3)πr²h, CSA = πrl, TSA = πr(r+l)
Frustum of Cone: Slant height l = √[h² + (R-r)²], Volume = (1/3)πh(R²+r²+Rr), CSA = πl(R+r)
Sphere: Volume = (4/3)πr³, Surface Area = 4πr²
Hemisphere: Volume = (2/3)πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr²
Melting & Recasting: Volume of new recast shape = Sum of volumes of melted shapes
Water level rise: Volume of raised water = Base Area × Rise in height
Percentage change: If radius changes by x% and height by y%, new volume factor = (1 + x/100)² × (1 + y/100)

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