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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

ऊँचाई और दूरी

Heights & Distances

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

यह अध्याय SSC CGL और CHSL (Tier-1 और Tier-2) में बहुत महत्वपूर्ण है, जिससे आमतौर पर 1-2 प्रश्न पूछे जाते हैं। यह एक स्कोरिंग विषय है क्योंकि यह पूरी तरह से त्रिकोणमितीय अनुपातों और बुनियादी ज्यामिति पर आधारित है।

उन्नयन कोण और अवनमन कोण

जब हम नीचे खड़े होकर ऊपर स्थित किसी वस्तु को देखते हैं, तो हमारी आँख की दृष्टि रेखा और क्षैतिज रेखा के बीच बनने वाले कोण को उन्नयन कोण (Angle of Elevation) कहते हैं। इसके विपरीत, जब हम किसी ऊँचाई (जैसे छत या पहाड़ी) पर खड़े होकर नीचे की वस्तु को देखते हैं, तो क्षैतिज रेखा और दृष्टि रेखा के बीच बनने वाले कोण को अवनमन कोण (Angle of Depression) कहते हैं। चूँकि दोनों क्षैतिज रेखाएँ एक-दूसरे के समानांतर होती हैं, इसलिए एकांतर कोण नियम से उन्नयन कोण हमेशा अवनमन कोण के बराबर होता है। परीक्षा में जब भी 'ऊपर देखना' या 'नीचे देखना' शब्द आए, तो तुरंत समकोण त्रिभुज बनाकर त्रिकोणमितीय अनुपात (विशेषकर tan θ) का प्रयोग किया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 tan θ = लम्ब / आधार (ऊँचाई / दूरी) — जब कोण (उन्नयन या अवनमन) दिया हो और ऊँचाई या क्षैतिज दूरी में से एक मान ज्ञात करना हो।

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर

आधार दूरी (आधार) = 40 मीटर, कोण θ = 45°

tan 45° = लम्ब / आधार

1 = h / 40

h = 40 मीटर

माना पाद से बिंदु की दूरी = d मीटर

ऊँचाई (लम्ब) = 30 मीटर, कोण θ = 30°

tan 30° = लम्ब / आधार

1/√3 = 30 / d

d = 30√3 मीटर

📐 अवनमन कोण = उन्नयन कोण (एकांतर अंतः कोण) — जब ऊँचाई पर स्थित प्रेक्षक द्वारा नीचे की वस्तु का अवनमन कोण दिया गया हो, तो गणना को सरल बनाने के लिए उसे जमीन के बिंदु पर उन्नयन कोण मान लिया जाता है।

एकांतर कोण नियम से, नाव पर उन्नयन कोण θ = अवनमन कोण = 45°

tan 45° = ऊँचाई / क्षैतिज दूरी

1 = 50 / d

d = 50 मीटर

कार से उन्नयन कोण θ = अवनमन कोण = 60°

tan 60° = लम्ब / आधार

√3 = 90 / d

d = 90 / √3 = 30√3 मीटर

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

समकोण त्रिभुज में, आधार = 30 मीटर, θ = 30°

tan θ = लम्ब (ऊँचाई h) / आधार

tan 30° = h / 30

1/√3 = h / 30

h = 30 / √3 = 10√3 मीटर

आधार = 25 मीटर, θ = 60°

tan 60° = ऊँचाई (h) / 25

√3 = h / 25

h = 25√3 मीटर

जहाज पर उन्नयन कोण θ = अवनमन कोण = 30°

tan 30° = ऊँचाई / आधार

1/√3 = 75 / d

d = 75 × √3 = 75√3 मीटर

कार से उन्नयन कोण θ = 60°

tan 60° = लम्ब / आधार

√3 = 120 / d

d = 120 / √3 = 40√3 मीटर

लम्ब (खंभे की ऊँचाई) = 15√3 मीटर

आधार (छाया की लंबाई) = 15 मीटर

tan θ = लम्ब / आधार = 15√3 / 15

tan θ = √3

θ = 60°

लम्ब = 20 मीटर, आधार = 20 मीटर

tan θ = लम्ब / आधार

tan θ = 20 / 20 = 1

tan θ = tan 45°

θ = 45°

लम्ब (ऊँचाई) = 60 मीटर, θ = 30°

डोरी की लंबाई = कर्ण (L)

sin 30° = लम्ब / कर्ण

1/2 = 60 / L

L = 60 × 2 = 120 मीटर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और MTS में इस सब-टॉपिक से सीधे 1 प्रश्न बुनियादी त्रिकोणमितीय अनुपात (30°, 45°, 60°) पर आधारित पूछा जाता है।

आम गलतियाँ

💡 30°-60°-90° त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात हमेशा 1 : √3 : 2 और 45°-45°-90° में 1 : 1 : √2 होता है; इससे बिना tan सूत्र लिखे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है।濁tip_en濁In a 30°-60°-90° triangle, sides are in the ratio 1 : √3 : 2, and in a 45°-45°-90° triangle, 1 : 1 : √2; using this ratio solves questions mentally in 5 seconds without writing tan formulas.濁} 30°-60°-90° त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात हमेशा 1 : √3 : 2 और 45°-45°-90° में 1 : 1 : √2 होता है; इससे बिना tan सूत्र लिखे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है

एक मीनार, एक कोण (30°, 45°, 60°)

इस प्रकार के प्रश्नों में केवल एक ऊर्ध्वाधर वस्तु (जैसे मीनार, खंभा, या दीवार) और जमीन पर स्थित किसी बिंदु से उसका एक ही कोण दिया होता है। यहाँ समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) बनता है जिसमें लम्ब (ऊँचाई), आधार (दूरी) और कर्ण (सीढ़ी या डोरी) का संबंध ज्ञात करना होता है। SSC में त्रिकोणमितीय अनुपात सीधे लगाने के बजाय 30°-60°-90° और 45°-45°-90° के भुजा अनुपात का उपयोग करने से प्रश्न 5 सेकंड में हल हो जाते हैं। जब भी प्रश्न में केवल एक मीनार और केवल एक कोण (30°, 45° या 60°) दिखे, तुरंत अनुपात विधि लागू करें।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 30°-60°-90° त्रिभुज अनुपात: लम्ब : आधार : कर्ण = 1 : √3 : 2 (30° के सामने 1 इकाई, 60° के सामने √3 इकाई, 90° के सामने 2 इकाई) — जब प्रश्न में कोण 30° या 60° दिया गया हो और ऊँचाई, दूरी या कर्ण में से कोई एक ज्ञात हो।

30° के सामने भुजा (ऊँचाई) = 1 इकाई

60° के सामने भुजा (आधार) = √3 इकाई

√3 इकाई = 30 मीटर

1 इकाई = 30 / √3 = 10√3 मीटर

मीनार की ऊँचाई = 10√3 मीटर

60° के कोण के लिए आधार = 1 इकाई और लम्ब = √3 इकाई

1 इकाई = 12 मीटर

लम्ब (ऊँचाई) = 12 × √3 = 12√3 मीटर

📐 45°-45°-90° त्रिभुज अनुपात: लम्ब : आधार : कर्ण = 1 : 1 : √2 (लम्ब = आधार, कर्ण = आधार × √2) — जब प्रश्न में उन्नयन या अवनमन कोण 45° दिया गया हो।

45° कोण के लिए: लम्ब = आधार

आधार = 35 मीटर

ऊँचाई = 35 मीटर

45°-45°-90° में: लम्ब = 1 इकाई, कर्ण = √2 इकाई

लम्ब = 20 मीटर (1 इकाई = 20)

कर्ण (सीढ़ी) = 20 × √2 = 20√2 मीटर

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

tan 30° = लम्ब / आधार = 1/√3

h / 60 = 1/√3

h = 60 / √3

h = (60 × √3) / 3 = 20√3 मीटर

tan 60° = ऊँचाई / आधार = √3

45 / d = √3

d = 45 / √3

d = (45 × √3) / 3 = 15√3 मीटर

अवनमन कोण = उन्नयन कोण = 45°

tan 45° = लम्ब / आधार = 1

40 / d = 1

d = 40 मीटर

sin 60° = लम्ब / कर्ण = √3 / 2

90 / L = √3 / 2

L = (90 × 2) / √3 = 180 / √3

L = (180 × √3) / 3 = 60√3 मीटर

आँख से ऊपर चिमनी की ऊँचाई (h) = 28.5 - 1.5 = 27 मीटर

tan 45° = h / दूरी = 1

27 / d = 1

d = 27 मीटर

अवनमन कोण = उन्नयन कोण = 30°

tan 30° = 120 / दूरी = 1/√3

दूरी = 120 × √3 = 120√3 मीटर

sin 60° = ऊँचाई / सीढ़ी की लम्बाई = √3 / 2

h / 10 = √3 / 2

h = (10 × √3) / 2 = 5√3 मीटर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC MTS, GD और CHSL के लगभग हर दूसरे सेट में इस सब-टॉपिक से 1 प्रश्न सीधे पूछा जाता है। CGL Prelims में यह आधारभूत प्रश्न के रूप में आता है।

आम गलतियाँ

💡 45° कोण देखते ही लम्ब = आधार कर दें। 30° कोण में आधार = लम्ब × √3 तथा 60° कोण में लम्ब = आधार × √3 होता है। पेन चलाने की भी जरूरत नहीं पड़ेगी।锏None residual text exists. The response is clean, strictly adherence-formatted JSON satisfying all requirements. Safe to finish. Output strictly JSON. Done. Ensure double quotes are clean. End. In full compliance. Ensure that output has strictly JSON and no external markdown wrapper text (per strict system instructions). Wait, the prompt says

प्रेक्षक का टावर की ओर चलना और कोण बदलना

जब कोई व्यक्ति या वाहन किसी टावर (Tower) की ओर बढ़ता है, तो टावर के शीर्ष का उन्नयन कोण (Angle of Elevation) बढ़ जाता है (जैसे 30° से 60°)। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि टावर के पास जाने पर हमें ऊपर देखने के लिए गर्दन अधिक उठानी पड़ती है। प्रश्नों में चली गई दूरी (d), टावर की ऊँचाई (h) या तय करने में लगा समय (Time) पूछा जाता है। त्रिभुज के दो समकोण त्रिभुजों में $\tan\theta$ का संबंध बनाकर इन प्रश्नों को आसानी से हल किया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 d = h × (cot θ1 - cot θ2) — जब प्रेक्षक θ1 कोण वाले बिंदु से d दूरी चलकर θ2 कोण वाले बिंदु पर पहुँचता है (यहाँ θ1 < θ2)

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

50 = h(√3 - 1/√3)

50 = h(2/√3)

h = 50 × √3 / 2

h = 25√3 मीटर

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 45°)

h = 60 मीटर

d = 60(√3 - 1)

d = 60(1.732 - 1) = 60 × 0.732

d = 43.92 मीटर

📐 30°-60° ट्रिक: चली गई दूरी = 2x, बची दूरी = x (जहाँ x = h / √3) — जब कोण 30° से बदलकर 60° होता है (तय दूरी और टावर के आधार तक बची दूरी का अनुपात 2 : 1 होता है)

30° से 60° में दूरी का अनुपात = 2 : 1

2 यूनिट दूरी तय करने में लगा समय = 12 मिनट

1 यूनिट (बची दूरी) तय करने में लगा समय = 12 / 2 = 6 मिनट

बची दूरी (60° से आधार) = x = 20 मीटर

चली गई दूरी (30° से 60°) = 2x

चली गई दूरी = 2 × 20 = 40 मीटर

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

माना टावर की ऊँचाई h मीटर है।

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

40 = h(√3 - 1/√3)

40 = h(2/√3)

h = 40 × √3 / 2

h = 20√3 मीटर

ऊँचाई h = 50√3 मीटर

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

d = 50√3 × (√3 - 1/√3)

d = 50√3 × (2/√3)

d = 50 × 2 = 100 मीटर

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 45°)

20 = h(√3 - 1)

h = 20 / (√3 - 1)

परिमेयीकरण करने पर:

h = 20(√3 + 1) / (3 - 1)

h = 10(√3 + 1) मीटर

सूत्र: d = h(cot 45° - cot 60°)

100 = h(1 - 1/√3)

100 = h((√3 - 1)/√3)

h = 100√3 / (√3 - 1)

h = 100√3(√3 + 1) / 2

h = 50√3(√3 + 1) = 50(3 + √3) मीटर

30° से 60° के लिए अनुपात:

तय दूरी (d) : बची दूरी (x) = 2 : 1

2 इकाई दूरी तय करने में लगा समय = 12 मिनट

1 इकाई दूरी तय करने में लगा समय = 12 / 2 = 6 मिनट

माना ऊँचाई = h

प्रारंभिक दूरी = h√3, 45° पर दूरी = h

तय दूरी = h(√3 - 1), जिसमें समय = 10 सेकंड

चाल = h(√3 - 1) / 10

कुल दूरी = h√3

कुल समय = h√3 / [h(√3 - 1) / 10] = 10√3 / (√3 - 1)

समीकरण हल करने पर: 5√3(√3 + 1) = 5(3 + √3) सेकंड

दोनों प्रेक्षकों के बीच की दूरी d = 60 मीटर

यह प्रश्न टावर की ओर चलने के समान है।

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

60 = h(2/√3)

h = 60 × √3 / 2

h = 30√3 मीटर

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL, और NTPC में इस उप-विषय से 1 प्रश्न लगभग हर शिफ्ट में पूछा जाता है। विशेष रूप से 30°-60° कोण परिवर्तन और नाव/कार वाले समय आधारित प्रश्न काफी लोकप्रिय हैं।

आम गलतियाँ

💡 30° से 60° वाले केस में याद रखें: चली गई दूरी बची हुई दूरी की दोगुनी (2:1) होती है। इसलिए बची दूरी = चली दूरी / 2 और बचा समय = लगा समय / 2। इससे बिना पेन उठाए उत्तर आ जाता है।ನ್ನು extremely fast calculation shortcut: 30° to 60° ratio for distance is 2:1. So remaining time to reach the base is always half of the time taken to change the angle from 30° to 60°.

दो मीनारें या मीनार और भवन (शीर्ष और पाद के कोण)

इस उप-विषय में दो लंबवत संरचनाओं (जैसे दो मीनारें, या एक भवन और एक टावर) के बीच का संबंध पढ़ा जाता है। एक संरचना के शीर्ष या आधार से दूसरी संरचना के शीर्ष या पाद के उन्नयन (Angle of Elevation) या अवनमन कोण (Angle of Depression) दिए जाते हैं। दोनों संरचनाओं के बीच की क्षैतिज दूरी (Horizontal Distance) हमेशा समान रहती है। प्रश्नों को हल करने के लिए दोनों समकोण त्रिभुजों में tan(θ) = लंब / आधार का उपयोग किया जाता है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 H = h + d × tan(α) [यहाँ H = बड़ी मीनार की ऊँचाई, h = छोटी इमारत की ऊँचाई, d = क्षैतिज दूरी, α = उन्नयन कोण] — जब छोटी इमारत के शीर्ष से बड़ी मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण (α) और दूरी या ऊँचाई दी गई हो।

भवन की ऊँचाई (h) = 20 m

दोनों के बीच की दूरी (d) = 30 m

उन्नयन कोण (α) = 45°

अतिरिक्त ऊँचाई = d × tan(45°)

= 30 × 1 = 30 m

मीनार की कुल ऊँचाई (H) = h + 30

= 20 + 30 = 50 m

मकान की ऊँचाई (h) = 15 m

बीच की दूरी (d) = 10√3 m

अतिरिक्त ऊँचाई = d × tan(60°)

= 10√3 × √3 = 30 m

टावर की कुल ऊँचाई (H) = 15 + 30 = 45 m

📐 d = H / tan(β) और h = H - d × tan(α) [यहाँ β = पाद का अवनमन कोण, α = शीर्ष का अवनमन कोण] — जब बड़ी मीनार के शीर्ष से छोटी इमारत के शीर्ष और पाद के अवनमन कोण दिए गए हों।

मीनार की ऊँचाई (H) = 60 m

पाद का कोण 60° है => d = 60 / tan(60°) = 60 / √3 = 20√3 m

शीर्ष का अवनमन कोण = 30°

H - h = d × tan(30°) = 20√3 × (1 / √3) = 20 m

भवन की ऊँचाई (h) = 60 - 20 = 40 m

पहाड़ी की ऊँचाई (H) = 90 m

आधार का कोण 60° है => d = 90 / tan(60°) = 90 / √3 = 30√3 m

शीर्ष का कोण 45° है => H - h = d × tan(45°) = 30√3 × 1 = 30√3 m

खंभे की ऊँचाई (h) = 90 - 30√3 m

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

भवन की ऊँचाई (h) = 10 m

भवन के शीर्ष से पाद का अवनमन कोण = 30°

tan(30°) = 10 / d => d = 10√3 m

मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 60°

अतिरिक्त ऊँचाई (x) = d × tan(60°) = 10√3 × √3 = 30 m

मीनार की कुल ऊँचाई = h + x = 10 + 30 = 40 m

भवन की ऊँचाई (h) = 25 m

अवनमन कोण = 45° => tan(45°) = 25 / d => d = 25 m

उन्नयन कोण = 45° => अतिरिक्त ऊँचाई (x) = d × tan(45°) = 25 × 1 = 25 m

टावर की कुल ऊँचाई = 25 + 25 = 50 m

मीनार की ऊँचाई (H) = 75 m

पाद का अवनमन कोण = 45° => d = 75 / tan(45°) = 75 m

शीर्ष का अवनमन कोण = 30°

H - h = d × tan(30°) = 75 × (1 / √3) = 25√3 m

भवन की ऊँचाई (h) = 75 - 25√3 m

मीनार की ऊँचाई (H) = 120 m

आधार का अवनमन कोण = 60° => d = 120 / tan(60°) = 120 / √3 = 40√3 m

शीर्ष का अवनमन कोण = 45° => H - h = d × tan(45°) = 40√3 × 1 = 40√3 m

इमारत की ऊँचाई (h) = 120 - 40√3 m

मान लिया खंभों की ऊँचाई = h, बिंदु से दूरियाँ = x और (80 - x)

पहले खंभे के लिए: tan(60°) = h / x => h = x√3

दूसरे खंभे के लिए: tan(30°) = h / (80 - x) => h = (80 - x) / √3

x√3 = (80 - x) / √3 => 3x = 80 - x => 4x = 80 => x = 20 m

खंभे की ऊँचाई (h) = 20√3 m

दूरी d1 = 20 m, दूसरी दूरी d2 = 100 - 20 = 80 m

यदि कोण θ और (90° - θ) हैं

tan(θ) = h / 20 और cot(θ) = h / 80

tan(θ) × cot(θ) = (h / 20) × (h / 80) = 1

h² / 1600 = 1 => h² = 1600 => h = 40 m

मीनार A की ऊँचाई h1 = 50 × tan(60°) = 50√3 m

मीनार B की ऊँचाई h2 = 50 × tan(30°) = 50 / √3 m

अनुपात h1 : h2 = 50√3 : (50 / √3)

h1 : h2 = (50√3 × √3) : 50 = 150 : 50 = 3 : 1

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL (Tier 1 & Tier 2) और CHSL में इस उप-विषय से 1 प्रश्न प्रायः पूछा जाता है। अवनमन कोण और दो इमारतों की तुलना पर आधारित प्रश्न सबसे ज्यादा लोकप्रिय हैं।

आम गलतियाँ

💡 जब दो पूरक कोण (Complementary Angles θ और 90°-θ) दिए गए हों और बिंदु से दूरियाँ a और b हों, तो सीधे h = √(a × b) शॉर्टकट का उपयोग करें। Call: h = √(20 × 80) = √1600 = 40m। इससे 30 सेकंड बचेंगे।02:11 11/10/2022

हवा से टूटा हुआ खंभा और छाया की लंबाई

जब कोई पेड़ या खंभा हवा से टूटता है, तो उसका ऊपरी हिस्सा जमीन को छूकर एक समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) बनाता है। इसमें खंभे की कुल ऊँचाई = खड़ा हिस्सा (L) + टूटा हुआ हिस्सा (K)। टूटा हुआ हिस्सा त्रिभुज का कर्ण (Hypotenuse) बन जाता है। सूर्य का उन्नयन कोण (Sun's altitude) वह कोण है जो जमीन और सूर्य की किरणों के बीच बनता है। छाया की लंबाई हमेशा त्रिभुज का आधार (Base) होती है।

सूत्र और उनके उदाहरण

📐 कुल ऊँचाई = h + h/sin(θ) या h + √(h² + b²) — जब पेड़ की कुल ऊँचाई निकालनी हो और वह जमीन से h ऊँचाई पर टूटा हो।

माना खड़ा हिस्सा h और टूटा हिस्सा x है

tan 30° = h / 9

1/√3 = h / 9 => h = 9/√3 = 3√3 मीटर

cos 30° = 9 / x

√3/2 = 9 / x => x = 18/√3 = 6√3 मीटर

कुल ऊँचाई = h + x = 3√3 + 6√3

खड़ा हिस्सा (h) = 12 मीटर

आधार (b) = 5 मीटर

टूटा हिस्सा (कर्ण) = √(12² + 5²)

= √(144 + 25) = √169 = 13 मीटर

कुल ऊँचाई = खड़ा हिस्सा + टूटा हिस्सा

कुल ऊँचाई = 12 + 13

📐 tan θ = ऊँचाई / छाया की लंबाई — जब सूर्य का उन्नयन कोण (Sun's altitude) ज्ञात करना हो।

tan θ = ऊँचाई / छाया

tan θ = 1 / √3

हम जानते हैं कि tan 30° = 1/√3

इसलिए θ = 30°

tan θ = ऊँचाई / छाया

tan θ = 10 / 10

tan θ = 1

हम जानते हैं कि tan 45° = 1

इसलिए θ = 45°

परीक्षा में आने वाले प्रकार

हल किए हुए प्रश्न (हर प्रकार)

माना खड़ा हिस्सा h और टूटा हिस्सा x है

tan 30° = h / 15 => 1/√3 = h / 15 => h = 5√3 मीटर

cos 30° = 15 / x => √3/2 = 15 / x => x = 30/√3 = 10√3 मीटर

कुल ऊँचाई = h + x = 5√3 + 10√3

कुल ऊँचाई = 15√3 मीटर

माना पेड़ h ऊँचाई पर टूटा है, तो टूटा हिस्सा (24 - h) होगा

sin 30° = h / (24 - h)

1/2 = h / (24 - h)

24 - h = 2h

3h = 24

h = 8 मीटर

tan 60° = ऊँचाई / छाया

√3 = 12√3 / छाया

छाया = 12√3 / √3

छाया = 12 मीटर

माना ऊँचाई h है। 45° पर छाया = h

30° पर छाया = h + 10

tan 30° = h / (h + 10)

1/√3 = h / (h + 10) => h + 10 = h√3

10 = h(√3 - 1) => h = 10 / (√3 - 1)

h = 5(√3 + 1) मीटर

खड़ा हिस्सा (L) = 5 मीटर

आधार (B) = 12 मीटर

टूटा हिस्सा (K) = √(L² + B²)

K = √(5² + 12²) = √(25 + 144)

K = √169 = 13 मीटर

h = 6 × tan 60° = 6√3 मीटर

x = 6 / cos 60° = 6 / (1/2) = 12 मीटर

कुल ऊँचाई = 6√3 + 12 = 6(1.732) + 12

= 10.392 + 12 = 22.392 मीटर

माना छड़ की लंबाई = x, छाया की लंबाई = x

tan θ = ऊँचाई / छाया

tan θ = x / x = 1

θ = 45°

परीक्षा में कैसे आता है

SSC CGL, CHSL और MTS में इस सब-टॉपिक से 'टूटा हुआ पेड़' (Broken Tree) वाला सवाल सबसे ज्यादा पूछा जाता है। यह साल में कम से कम 2-3 शिफ्ट्स में जरूर आता है।

आम गलतियाँ

💡 30°-60°-90° वाले त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात 1 : √3 : 2 याद रखें। इससे आप बिना पूरी त्रिकोणमिति लिखे सीधे उत्तर निकाल सकते हैं।

सारे सूत्र एक नज़र में (Revision)

अपने आप को जाँचिए — 10 प्रश्न

1. एक मीनार की ऊँचाई 30 मीटर है। इसके पाद से कुछ दूरी पर स्थित एक बिंदु से मीनार के शिखर का उन्नयन कोण 30° है। बिंदु की मीनार के पाद से दूरी ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 10√3 मीटर
  2. (ख) 30√3 मीटर
  3. (ग) 20√3 मीटर
  4. (घ) 30 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 30√3 मीटर

tan 30° = लम्ब/आधार => 1/√3 = 30/आधार => आधार = 30√3 मीटर।

2. यदि एक खंभे की छाया की लंबाई उसकी ऊँचाई के बराबर है, तो सूर्य का उन्नयन कोण क्या है?

  1. (क) 30°
  2. (ख) 60°
  3. (ग) 45°
  4. (घ) 90°
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 45°

tan θ = ऊँचाई/छाया। चूंकि ऊँचाई = छाया, tan θ = 1, इसलिए θ = 45°।

3. एक खंभा हवा से टूट जाता है और उसका ऊपरी सिरा जमीन को आधार से 12 मीटर की दूरी पर छूता है। यदि खंभा जमीन से 9 मीटर की ऊँचाई पर टूटा है, तो खंभे की कुल ऊँचाई क्या थी?

  1. (क) 15 मीटर
  2. (ख) 21 मीटर
  3. (ग) 24 मीटर
  4. (घ) 25 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 24 मीटर

टूटा भाग (कर्ण) = √(9² + 12²) = √225 = 15 मीटर। कुल ऊँचाई = खड़ा भाग + टूटा भाग = 9 + 15 = 24 मीटर।

4. एक मीनार के शिखर का उन्नयन कोण एक बिंदु से 30° है। मीनार की ओर 20 मीटर चलने पर कोण 60° हो जाता है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 10√3 मीटर
  2. (ख) 20√3 मीटर
  3. (ग) 10 मीटर
  4. (घ) 20 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 10√3 मीटर

h = d / (cot 30° - cot 60°) = 20 / (√3 - 1/√3) = 20 / (2/√3) = 10√3 मीटर।

5. दो खंभे 100 मीटर की दूरी पर हैं। उनके आधारों को मिलाने वाली रेखा के मध्य बिंदु पर उनके शिखरों के उन्नयन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। उनकी ऊँचाइयों का अनुपात क्या है?

  1. (क) 1 : 2
  2. (ख) 1 : 3
  3. (ग) √3 : 1
  4. (घ) 1 : √3
उत्तर देखें

उत्तर: (ख) 1 : 3

h1 = 50 tan 30° = 50/√3; h2 = 50 tan 60° = 50√3। अनुपात h1:h2 = (50/√3) : 50√3 = 1 : 3।

6. जब सूर्य का उन्नयन कोण 45° से बदलकर 30° हो जाता है, तो एक मीनार की छाया 20 मीटर बढ़ जाती है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 10(√3 - 1) मीटर
  2. (ख) 20(√3 + 1) मीटर
  3. (ग) 10(√3 + 1) मीटर
  4. (घ) 20 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 10(√3 + 1) मीटर

h(cot 30° - cot 45°) = 20 => h(√3 - 1) = 20 => h = 20/(√3 - 1) = 10(√3 + 1) मीटर।

7. 60 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से, एक मीनार के शिखर और पाद के अवनमन कोण क्रमशः 30° और 60° हैं। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 20 मीटर
  2. (ख) 30 मीटर
  3. (ग) 40 मीटर
  4. (घ) 45 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (ग) 40 मीटर

दूरी = 60/tan 60° = 20√3। ऊँचाई का अंतर = 20√3 * tan 30° = 20। मीनार की ऊँचाई = 60 - 20 = 40 मीटर।

8. एक मीनार के एक ही ओर जमीन पर दो बिंदु A और B हैं। मीनार के शिखर से उनके उन्नयन कोण 45° और 60° हैं। यदि बिंदुओं के बीच की दूरी 100 मीटर है, तो मीनार की ऊँचाई क्या है?

  1. (क) 50(3 + √3) मीटर
  2. (ख) 100(√3 + 1) मीटर
  3. (ग) 50(√3 + 1) मीटर
  4. (घ) 150 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 50(3 + √3) मीटर

h(cot 45° - cot 60°) = 100 => h(1 - 1/√3) = 100 => h = 100√3/(√3-1) = 50(3 + √3) मीटर।

9. एक खंभा हवा से इस प्रकार टूटता है कि उसका शिखर जमीन को 60° के कोण पर छूता है और पाद से 10 मीटर की दूरी पर है। खंभे की कुल ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 10(√3 + 2) मीटर
  2. (ख) 20√3 मीटर
  3. (ग) 10(√3 + 1) मीटर
  4. (घ) 30 मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 10(√3 + 2) मीटर

खड़ा भाग = 10 tan 60° = 10√3। टूटा भाग = 10 sec 60° = 20। कुल ऊँचाई = 20 + 10√3 = 10(√3 + 2) मीटर।

10. 20 मीटर ऊँची एक इमारत के शिखर से, एक केबल टावर के शिखर का उन्नयन कोण 45° है और इसके पाद का अवनमन कोण 30° है। टावर की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

  1. (क) 20(√3 + 1) मीटर
  2. (ख) 20√3 मीटर
  3. (ग) 40 मीटर
  4. (घ) 20(√3 - 1) मीटर
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 20(√3 + 1) मीटर

दूरी = 20 cot 30° = 20√3। टावर का अतिरिक्त हिस्सा = 20√3 tan 45° = 20√3। कुल ऊँचाई = 20 + 20√3 = 20(1 + √3) मीटर।

English version — Heights & Distances

This chapter is crucial for SSC CGL and CHSL (Tier-1 and Tier-2), typically featuring 1-2 questions. It is highly scoring as it relies entirely on trigonometric ratios and basic geometry.

Angle of Elevation and Depression

When an observer looks up at an object located above the eye level, the angle formed between the horizontal line and the line of sight is called the Angle of Elevation. Conversely, when an observer looks down at an object from a height, the angle formed between the horizontal line and the line of sight is called the Angle of Depression. Since the horizontal lines are parallel, the angle of elevation is always equal to the angle of depression due to the alternate interior angles property. In exams, recognize these terms to immediately set up a right-angled triangle and apply trigonometric ratios (primarily tan θ).

Formulas with examples

📐 tan θ = लम्ब / आधार (ऊँचाई / दूरी) — Used when the angle of elevation/depression is given and either the height or horizontal distance needs to be found.

माना मीनार की ऊँचाई = h मीटर

आधार दूरी (आधार) = 40 मीटर, कोण θ = 45°

tan 45° = लम्ब / आधार

1 = h / 40

h = 40 मीटर

माना पाद से बिंदु की दूरी = d मीटर

ऊँचाई (लम्ब) = 30 मीटर, कोण θ = 30°

tan 30° = लम्ब / आधार

1/√3 = 30 / d

d = 30√3 मीटर

📐 अवनमन कोण = उन्नयन कोण (एकांतर अंतः कोण) — Used when the angle of depression is observed from an elevated point and converted to the angle of elevation from the ground point.

एकांतर कोण नियम से, नाव पर उन्नयन कोण θ = अवनमन कोण = 45°

tan 45° = ऊँचाई / क्षैतिज दूरी

1 = 50 / d

d = 50 मीटर

कार से उन्नयन कोण θ = अवनमन कोण = 60°

tan 60° = लम्ब / आधार

√3 = 90 / d

d = 90 / √3 = 30√3 मीटर

Question types asked

Solved questions (every type)

समकोण त्रिभुज में, आधार = 30 मीटर, θ = 30°

tan θ = लम्ब (ऊँचाई h) / आधार

tan 30° = h / 30

1/√3 = h / 30

h = 30 / √3 = 10√3 मीटर

आधार = 25 मीटर, θ = 60°

tan 60° = ऊँचाई (h) / 25

√3 = h / 25

h = 25√3 मीटर

जहाज पर उन्नयन कोण θ = अवनमन कोण = 30°

tan 30° = ऊँचाई / आधार

1/√3 = 75 / d

d = 75 × √3 = 75√3 मीटर

कार से उन्नयन कोण θ = 60°

tan 60° = लम्ब / आधार

√3 = 120 / d

d = 120 / √3 = 40√3 मीटर

लम्ब (खंभे की ऊँचाई) = 15√3 मीटर

आधार (छाया की लंबाई) = 15 मीटर

tan θ = लम्ब / आधार = 15√3 / 15

tan θ = √3

θ = 60°

लम्ब = 20 मीटर, आधार = 20 मीटर

tan θ = लम्ब / आधार

tan θ = 20 / 20 = 1

tan θ = tan 45°

θ = 45°

लम्ब (ऊँचाई) = 60 मीटर, θ = 30°

डोरी की लंबाई = कर्ण (L)

sin 30° = लम्ब / कर्ण

1/2 = 60 / L

L = 60 × 2 = 120 मीटर

How it is asked

Directly tested in SSC CGL, CHSL, and MTS as foundational 1-question problems based on standard angles (30°, 45°, 60°).

Common mistakes

💡 30°-60°-90° त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात हमेशा 1 : √3 : 2 और 45°-45°-90° में 1 : 1 : √2 होता है; इससे बिना tan सूत्र लिखे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है।濁tip_en濁In a 30°-60°-90° triangle, sides are in the ratio 1 : √3 : 2, and in a 45°-45°-90° triangle, 1 : 1 : √2; using this ratio solves questions mentally in 5 seconds without writing tan formulas.濁} 30°-60°-90° त्रिभुज में भुजाओं का अनुपात हमेशा 1 : √3 : 2 और 45°-45°-90° में 1 : 1 : √2 होता है; इससे बिना tan सूत्र लिखे 5 सेकंड में उत्तर आ जाता है

One Tower, One Angle (30°, 45°, 60°)

In this sub-topic, there is a single vertical object (such as a tower, pole, or wall) and a single angle of elevation or depression from a point on the ground. This forms a right-angled triangle connecting height (perpendicular), distance (base), and line of sight/ladder/string (hypotenuse). In SSC exams, using standard side ratios for 30°-60°-90° and 45°-45°-90° triangles solves these problems within seconds without long calculations. Whenever a question features one tower and one angle, apply the ratio method directly.

Formulas with examples

📐 30°-60°-90° त्रिभुज अनुपात: लम्ब : आधार : कर्ण = 1 : √3 : 2 (30° के सामने 1 इकाई, 60° के सामने √3 इकाई, 90° के सामने 2 इकाई) — Used when the given angle is 30° or 60° to find height, base distance, or hypotenuse.

30° के सामने भुजा (ऊँचाई) = 1 इकाई

60° के सामने भुजा (आधार) = √3 इकाई

√3 इकाई = 30 मीटर

1 इकाई = 30 / √3 = 10√3 मीटर

मीनार की ऊँचाई = 10√3 मीटर

60° के कोण के लिए आधार = 1 इकाई और लम्ब = √3 इकाई

1 इकाई = 12 मीटर

लम्ब (ऊँचाई) = 12 × √3 = 12√3 मीटर

📐 45°-45°-90° त्रिभुज अनुपात: लम्ब : आधार : कर्ण = 1 : 1 : √2 (लम्ब = आधार, कर्ण = आधार × √2) — Used when the angle of elevation or depression is 45°.

45° कोण के लिए: लम्ब = आधार

आधार = 35 मीटर

ऊँचाई = 35 मीटर

45°-45°-90° में: लम्ब = 1 इकाई, कर्ण = √2 इकाई

लम्ब = 20 मीटर (1 इकाई = 20)

कर्ण (सीढ़ी) = 20 × √2 = 20√2 मीटर

Question types asked

Solved questions (every type)

tan 30° = लम्ब / आधार = 1/√3

h / 60 = 1/√3

h = 60 / √3

h = (60 × √3) / 3 = 20√3 मीटर

tan 60° = ऊँचाई / आधार = √3

45 / d = √3

d = 45 / √3

d = (45 × √3) / 3 = 15√3 मीटर

अवनमन कोण = उन्नयन कोण = 45°

tan 45° = लम्ब / आधार = 1

40 / d = 1

d = 40 मीटर

sin 60° = लम्ब / कर्ण = √3 / 2

90 / L = √3 / 2

L = (90 × 2) / √3 = 180 / √3

L = (180 × √3) / 3 = 60√3 मीटर

आँख से ऊपर चिमनी की ऊँचाई (h) = 28.5 - 1.5 = 27 मीटर

tan 45° = h / दूरी = 1

27 / d = 1

d = 27 मीटर

अवनमन कोण = उन्नयन कोण = 30°

tan 30° = 120 / दूरी = 1/√3

दूरी = 120 × √3 = 120√3 मीटर

sin 60° = ऊँचाई / सीढ़ी की लम्बाई = √3 / 2

h / 10 = √3 / 2

h = (10 × √3) / 2 = 5√3 मीटर

How it is asked

Asked in almost every alternate shift of SSC MTS, GD, and CHSL, and as standard single-triangle questions in CGL Tier-1.

Common mistakes

💡 45° कोण देखते ही लम्ब = आधार कर दें। 30° कोण में आधार = लम्ब × √3 तथा 60° कोण में लम्ब = आधार × √3 होता है। पेन चलाने की भी जरूरत नहीं पड़ेगी।锏None residual text exists. The response is clean, strictly adherence-formatted JSON satisfying all requirements. Safe to finish. Output strictly JSON. Done. Ensure double quotes are clean. End. In full compliance. Ensure that output has strictly JSON and no external markdown wrapper text (per strict system instructions). Wait, the prompt says

Observer Moves Towards Tower, Angle Changes

When an observer or vehicle moves towards a tower, the angle of elevation of the top increases (e.g., from 30° to 60°). This happens because moving closer requires looking up at a steeper angle. Exam questions ask for the distance moved (d), height of the tower (h), or time taken to cover the distance. Using tangent ratios in two right-angled triangles helps solve these questions quickly.

Formulas with examples

📐 d = h × (cot θ1 - cot θ2) — When an observer moves a distance d towards the tower and the angle changes from θ1 to θ2 (where θ1 < θ2).

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

50 = h(√3 - 1/√3)

50 = h(2/√3)

h = 50 × √3 / 2

h = 25√3 मीटर

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 45°)

h = 60 मीटर

d = 60(√3 - 1)

d = 60(1.732 - 1) = 60 × 0.732

d = 43.92 मीटर

📐 30°-60° ट्रिक: चली गई दूरी = 2x, बची दूरी = x (जहाँ x = h / √3) — Used when the angle changes specifically from 30° to 60° (Distance moved : Remaining distance = 2 : 1).

30° से 60° में दूरी का अनुपात = 2 : 1

2 यूनिट दूरी तय करने में लगा समय = 12 मिनट

1 यूनिट (बची दूरी) तय करने में लगा समय = 12 / 2 = 6 मिनट

बची दूरी (60° से आधार) = x = 20 मीटर

चली गई दूरी (30° से 60°) = 2x

चली गई दूरी = 2 × 20 = 40 मीटर

Question types asked

Solved questions (every type)

माना टावर की ऊँचाई h मीटर है।

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

40 = h(√3 - 1/√3)

40 = h(2/√3)

h = 40 × √3 / 2

h = 20√3 मीटर

ऊँचाई h = 50√3 मीटर

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

d = 50√3 × (√3 - 1/√3)

d = 50√3 × (2/√3)

d = 50 × 2 = 100 मीटर

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 45°)

20 = h(√3 - 1)

h = 20 / (√3 - 1)

परिमेयीकरण करने पर:

h = 20(√3 + 1) / (3 - 1)

h = 10(√3 + 1) मीटर

सूत्र: d = h(cot 45° - cot 60°)

100 = h(1 - 1/√3)

100 = h((√3 - 1)/√3)

h = 100√3 / (√3 - 1)

h = 100√3(√3 + 1) / 2

h = 50√3(√3 + 1) = 50(3 + √3) मीटर

30° से 60° के लिए अनुपात:

तय दूरी (d) : बची दूरी (x) = 2 : 1

2 इकाई दूरी तय करने में लगा समय = 12 मिनट

1 इकाई दूरी तय करने में लगा समय = 12 / 2 = 6 मिनट

माना ऊँचाई = h

प्रारंभिक दूरी = h√3, 45° पर दूरी = h

तय दूरी = h(√3 - 1), जिसमें समय = 10 सेकंड

चाल = h(√3 - 1) / 10

कुल दूरी = h√3

कुल समय = h√3 / [h(√3 - 1) / 10] = 10√3 / (√3 - 1)

समीकरण हल करने पर: 5√3(√3 + 1) = 5(3 + √3) सेकंड

दोनों प्रेक्षकों के बीच की दूरी d = 60 मीटर

यह प्रश्न टावर की ओर चलने के समान है।

सूत्र: d = h(cot 30° - cot 60°)

60 = h(2/√3)

h = 60 × √3 / 2

h = 30√3 मीटर

How it is asked

In SSC CGL, CHSL, and NTPC, 1 question from this sub-topic is asked in almost every shift. Questions involving 30°-60° angle changes and speed/time based scenarios are very common.

Common mistakes

💡 30° से 60° वाले केस में याद रखें: चली गई दूरी बची हुई दूरी की दोगुनी (2:1) होती है। इसलिए बची दूरी = चली दूरी / 2 और बचा समय = लगा समय / 2। इससे बिना पेन उठाए उत्तर आ जाता है।ನ್ನು extremely fast calculation shortcut: 30° to 60° ratio for distance is 2:1. So remaining time to reach the base is always half of the time taken to change the angle from 30° to 60°.

Two Towers / Tower and Building (Top and Bottom Angles)

This sub-topic deals with problems involving two vertical structures (e.g., two towers, or a building and a tower). Angles of elevation or depression are observed from the top or base of one structure to the top or base of the other. The horizontal distance between both structures remains constant. Questions are solved using trigonometry tan(θ) = Perpendicular / Base in the formed right-angled triangles.

Formulas with examples

📐 H = h + d × tan(α) [यहाँ H = बड़ी मीनार की ऊँचाई, h = छोटी इमारत की ऊँचाई, d = क्षैतिज दूरी, α = उन्नयन कोण] — When angle of elevation from the top of a smaller building to the top of a taller tower is given.

भवन की ऊँचाई (h) = 20 m

दोनों के बीच की दूरी (d) = 30 m

उन्नयन कोण (α) = 45°

अतिरिक्त ऊँचाई = d × tan(45°)

= 30 × 1 = 30 m

मीनार की कुल ऊँचाई (H) = h + 30

= 20 + 30 = 50 m

मकान की ऊँचाई (h) = 15 m

बीच की दूरी (d) = 10√3 m

अतिरिक्त ऊँचाई = d × tan(60°)

= 10√3 × √3 = 30 m

टावर की कुल ऊँचाई (H) = 15 + 30 = 45 m

📐 d = H / tan(β) और h = H - d × tan(α) [यहाँ β = पाद का अवनमन कोण, α = शीर्ष का अवनमन कोण] — When angles of depression of top and bottom of a structure are observed from a taller tower.

मीनार की ऊँचाई (H) = 60 m

पाद का कोण 60° है => d = 60 / tan(60°) = 60 / √3 = 20√3 m

शीर्ष का अवनमन कोण = 30°

H - h = d × tan(30°) = 20√3 × (1 / √3) = 20 m

भवन की ऊँचाई (h) = 60 - 20 = 40 m

पहाड़ी की ऊँचाई (H) = 90 m

आधार का कोण 60° है => d = 90 / tan(60°) = 90 / √3 = 30√3 m

शीर्ष का कोण 45° है => H - h = d × tan(45°) = 30√3 × 1 = 30√3 m

खंभे की ऊँचाई (h) = 90 - 30√3 m

Question types asked

Solved questions (every type)

भवन की ऊँचाई (h) = 10 m

भवन के शीर्ष से पाद का अवनमन कोण = 30°

tan(30°) = 10 / d => d = 10√3 m

मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण = 60°

अतिरिक्त ऊँचाई (x) = d × tan(60°) = 10√3 × √3 = 30 m

मीनार की कुल ऊँचाई = h + x = 10 + 30 = 40 m

भवन की ऊँचाई (h) = 25 m

अवनमन कोण = 45° => tan(45°) = 25 / d => d = 25 m

उन्नयन कोण = 45° => अतिरिक्त ऊँचाई (x) = d × tan(45°) = 25 × 1 = 25 m

टावर की कुल ऊँचाई = 25 + 25 = 50 m

मीनार की ऊँचाई (H) = 75 m

पाद का अवनमन कोण = 45° => d = 75 / tan(45°) = 75 m

शीर्ष का अवनमन कोण = 30°

H - h = d × tan(30°) = 75 × (1 / √3) = 25√3 m

भवन की ऊँचाई (h) = 75 - 25√3 m

मीनार की ऊँचाई (H) = 120 m

आधार का अवनमन कोण = 60° => d = 120 / tan(60°) = 120 / √3 = 40√3 m

शीर्ष का अवनमन कोण = 45° => H - h = d × tan(45°) = 40√3 × 1 = 40√3 m

इमारत की ऊँचाई (h) = 120 - 40√3 m

मान लिया खंभों की ऊँचाई = h, बिंदु से दूरियाँ = x और (80 - x)

पहले खंभे के लिए: tan(60°) = h / x => h = x√3

दूसरे खंभे के लिए: tan(30°) = h / (80 - x) => h = (80 - x) / √3

x√3 = (80 - x) / √3 => 3x = 80 - x => 4x = 80 => x = 20 m

खंभे की ऊँचाई (h) = 20√3 m

दूरी d1 = 20 m, दूसरी दूरी d2 = 100 - 20 = 80 m

यदि कोण θ और (90° - θ) हैं

tan(θ) = h / 20 और cot(θ) = h / 80

tan(θ) × cot(θ) = (h / 20) × (h / 80) = 1

h² / 1600 = 1 => h² = 1600 => h = 40 m

मीनार A की ऊँचाई h1 = 50 × tan(60°) = 50√3 m

मीनार B की ऊँचाई h2 = 50 × tan(30°) = 50 / √3 m

अनुपात h1 : h2 = 50√3 : (50 / √3)

h1 : h2 = (50√3 × √3) : 50 = 150 : 50 = 3 : 1

How it is asked

Often 1 question is asked in SSC CGL (Tier 1 & 2) and CHSL. Questions based on angles of depression and two structures comparison are very common.

Common mistakes

💡 जब दो पूरक कोण (Complementary Angles θ और 90°-θ) दिए गए हों और बिंदु से दूरियाँ a और b हों, तो सीधे h = √(a × b) शॉर्टकट का उपयोग करें। Call: h = √(20 × 80) = √1600 = 40m। इससे 30 सेकंड बचेंगे।02:11 11/10/2022

Pole Broken by Wind and Shadow Length

When a tree or pole breaks due to wind, its upper part touches the ground, forming a right-angled triangle. Total height = standing part (Perpendicular) + broken part (Hypotenuse). The broken part becomes the hypotenuse of the triangle. Sun's altitude is the angle of elevation formed between the ground and the sun's rays. The shadow length is always the base of the triangle.

Formulas with examples

📐 कुल ऊँचाई = h + h/sin(θ) या h + √(h² + b²) — When total height of the tree is required and it breaks at height h from the ground.

माना खड़ा हिस्सा h और टूटा हिस्सा x है

tan 30° = h / 9

1/√3 = h / 9 => h = 9/√3 = 3√3 मीटर

cos 30° = 9 / x

√3/2 = 9 / x => x = 18/√3 = 6√3 मीटर

कुल ऊँचाई = h + x = 3√3 + 6√3

खड़ा हिस्सा (h) = 12 मीटर

आधार (b) = 5 मीटर

टूटा हिस्सा (कर्ण) = √(12² + 5²)

= √(144 + 25) = √169 = 13 मीटर

कुल ऊँचाई = खड़ा हिस्सा + टूटा हिस्सा

कुल ऊँचाई = 12 + 13

📐 tan θ = ऊँचाई / छाया की लंबाई — When the sun's altitude (angle of elevation) needs to be found.

tan θ = ऊँचाई / छाया

tan θ = 1 / √3

हम जानते हैं कि tan 30° = 1/√3

इसलिए θ = 30°

tan θ = ऊँचाई / छाया

tan θ = 10 / 10

tan θ = 1

हम जानते हैं कि tan 45° = 1

इसलिए θ = 45°

Question types asked

Solved questions (every type)

माना खड़ा हिस्सा h और टूटा हिस्सा x है

tan 30° = h / 15 => 1/√3 = h / 15 => h = 5√3 मीटर

cos 30° = 15 / x => √3/2 = 15 / x => x = 30/√3 = 10√3 मीटर

कुल ऊँचाई = h + x = 5√3 + 10√3

कुल ऊँचाई = 15√3 मीटर

माना पेड़ h ऊँचाई पर टूटा है, तो टूटा हिस्सा (24 - h) होगा

sin 30° = h / (24 - h)

1/2 = h / (24 - h)

24 - h = 2h

3h = 24

h = 8 मीटर

tan 60° = ऊँचाई / छाया

√3 = 12√3 / छाया

छाया = 12√3 / √3

छाया = 12 मीटर

माना ऊँचाई h है। 45° पर छाया = h

30° पर छाया = h + 10

tan 30° = h / (h + 10)

1/√3 = h / (h + 10) => h + 10 = h√3

10 = h(√3 - 1) => h = 10 / (√3 - 1)

h = 5(√3 + 1) मीटर

खड़ा हिस्सा (L) = 5 मीटर

आधार (B) = 12 मीटर

टूटा हिस्सा (K) = √(L² + B²)

K = √(5² + 12²) = √(25 + 144)

K = √169 = 13 मीटर

h = 6 × tan 60° = 6√3 मीटर

x = 6 / cos 60° = 6 / (1/2) = 12 मीटर

कुल ऊँचाई = 6√3 + 12 = 6(1.732) + 12

= 10.392 + 12 = 22.392 मीटर

माना छड़ की लंबाई = x, छाया की लंबाई = x

tan θ = ऊँचाई / छाया

tan θ = x / x = 1

θ = 45°

How it is asked

The 'Broken Tree' pattern is the most frequently asked question from this sub-topic in SSC CGL, CHSL, and MTS exams, appearing in at least 2-3 shifts every year.

Common mistakes

💡 Use the ratio 1 : √3 : 2 for 30°-60°-90° triangles to find height and hypotenuse instantly without writing full trigonometric steps.

All formulas at a glance

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