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SSC CGLगणित (Quantitative Aptitude)

ज्यामिति: त्रिभुज और वृत्त के गुण

Geometry: Properties of Triangles and Circles

📖 किताब की तरह पढ़ें📝 इस परीक्षा का मॉक टेस्ट

SSC CGL में ज्यामिति से 3-4 प्रश्न आते हैं। यह 6-8 अंकों का होता है और मेरिट बनाने के लिए बहुत जरूरी है।

तरीका

त्रिभुज की समरूपता (Similarity) का मतलब है कि कोण बराबर हैं और भुजाओं का अनुपात समान है। यदि दो त्रिभुज समरूप हैं, तो उनकी भुजाओं का अनुपात (Ratio) बराबर होगा। वृत्त के लिए, स्पर्श रेखा (Tangent) हमेशा त्रिज्या (Radius) पर 90 डिग्री का कोण बनाती है।

हल किया हुआ उदाहरण

उदाहरण 1: एक त्रिभुज ABC में, DE समानांतर है BC के। यदि AD=2, DB=3 और AE=4 है, तो EC निकालें। हल: थेल्स प्रमेय (Thales Theorem) से, AD/DB = AE/EC। तो, 2/3 = 4/EC। इसका मतलब 2*EC = 12, तो EC = 6।

उदाहरण 2: एक वृत्त की त्रिज्या 5 सेमी है। केंद्र से 13 सेमी दूर एक बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई क्या होगी? हल: यहाँ एक समकोण त्रिभुज बनता है। कर्ण (Hypotenuse) = 13, आधार = 5। स्पर्श रेखा = वर्गमूल (13^2 - 5^2) = वर्गमूल (169 - 25) = वर्गमूल (144) = 12 सेमी।

ध्यान रखें

1. समरूपता और सर्वांगसमता (Congruence) में अंतर समझें। 2. वृत्त के केंद्र से स्पर्श रेखा पर हमेशा लंब (Perpendicular) डालें।

शॉर्टकट

यदि त्रिभुज की भुजाएं 3:4:5 के अनुपात में हैं, तो वह हमेशा एक समकोण त्रिभुज होगा।

अपने आप को जाँचिए — 5 प्रश्न

1. त्रिभुज ABC में, AB=6, AC=8 और BC=10 है। यदि यह त्रिभुज DEF के समरूप है और DF=15 है, तो DE की लंबाई क्या है?

  1. (क) 9
  2. (ख) 12
  3. (ग) 10
  4. (घ) 18
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 9

त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है। समरूपता से, AB/DF = AC/EF। यहाँ 6/15 = DE/AC, हल करने पर DE=9 आता है।

2. एक वृत्त की दो जीवाएं (Chords) AB और CD एक-दूसरे को P पर काटती हैं। यदि AP=4, PB=6 और CP=3 है, तो PD क्या है?

  1. (क) 8
  2. (ख) 7
  3. (ग) 9
  4. (घ) 5
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 8

जीवाओं के प्रतिच्छेदन का नियम है: AP * PB = CP * PD। 4 * 6 = 3 * PD, तो 24 = 3 * PD, PD = 8।

3. एक त्रिभुज की भुजाएं 7, 24 और 25 हैं। इसके परिवृत्त (Circumcircle) की त्रिज्या क्या है?

  1. (क) 12.5
  2. (ख) 13
  3. (ग) 12
  4. (घ) 14
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 12.5

यह एक समकोण त्रिभुज है (7^2+24^2=25^2)। समकोण त्रिभुज के परिवृत्त की त्रिज्या कर्ण की आधी होती है: 25/2 = 12.5।

4. यदि एक वृत्त की त्रिज्या 10 सेमी है और एक जीवा केंद्र से 6 सेमी दूर है, तो जीवा की लंबाई क्या है?

  1. (क) 16
  2. (ख) 8
  3. (ग) 12
  4. (घ) 14
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 16

आधा जीवा = वर्गमूल (10^2 - 6^2) = 8। पूरी जीवा = 8 * 2 = 16 सेमी।

5. त्रिभुज ABC में, कोण A का समद्विभाजक (Bisector) BC को D पर मिलता है। यदि AB=6, AC=9 और BC=10 है, तो BD की लंबाई क्या है?

  1. (क) 4
  2. (ख) 6
  3. (ग) 5
  4. (घ) 3
उत्तर देखें

उत्तर: (क) 4

कोण समद्विभाजक प्रमेय से, BD/DC = AB/AC = 6/9 = 2/3। BD = (2/5) * 10 = 4।

English version — Geometry: Properties of Triangles and Circles

Geometry appears in 3-4 questions in SSC CGL. It is worth 6-8 marks and is crucial for merit.

The method

Similarity of triangles means angles are equal and sides are in the same proportion. If two triangles are similar, the ratio of their sides is equal. For circles, a tangent always makes a 90-degree angle with the radius.

Worked example

Example 1: In triangle ABC, DE is parallel to BC. If AD=2, DB=3, and AE=4, find EC. Solution: By Thales Theorem, AD/DB = AE/EC. So, 2/3 = 4/EC. This means 2*EC = 12, so EC = 6.

Example 2: A circle has a radius of 5 cm. What is the length of the tangent from a point 13 cm away from the center? Solution: A right-angled triangle is formed. Hypotenuse = 13, base = 5. Tangent = square root (13^2 - 5^2) = square root (169 - 25) = square root (144) = 12 cm.

Watch out

1. Understand the difference between similarity and congruence. 2. Always draw a perpendicular from the center of the circle to the tangent.

Shortcut

If the sides of a triangle are in the ratio 3:4:5, it is always a right-angled triangle.

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